Desplazamientos estructura conjugada

PROBLEMA Nº 1
• Aplicando el método de la estructura conjugada determine VA,
HA, B y C.
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

PROBLEMA Nº 1
• 1ro. Se analiza la estabilidad y
determinación de la estructura.
• Descripción de la estructura: Es una
estructura plana conformada por tres
elementos unidos en B y C por medio de
juntas rígidas. Esto hace que se comporte
como un solo cuerpo que requiere sólo de
tres reacciones, no concurrentes y no
paralelas para que sea estable y
estáticamente determinada.
• El apoyo en D es un empotramiento que
proporciona tres reacciones: r = 3. El número
de ecuaciones de equilibrio en el plano es e =
3 y no existe inestabilidad geométrica
externa, como r = e = 3 se concluye que la
estructura es estable y estáticamente
determinada.

PROBLEMA Nº 1
• 2do. Se determinan las reacciones.
• Se reconocen los tipos de apoyos. Se
dibuja el diagrama de cuerpo libre. Se
sustituyen los apoyos por la reacción
correspondiente.
• 𝑀𝐷 = 0; 3 ∙ 4 − 𝑀𝐷 = 0
• 𝑀𝐷 = 12 𝑡 ∙ 𝑚
• 𝐹𝑥 = 0; 𝐷𝑥 = 0
• 𝐹𝑦 = 0; 𝐷𝑦 − 4 = 0
• 𝐷𝑦 = 4 𝑡

PROBLEMA Nº 1
• 3ro. Se determinan los diagramas de momento por
partes en cada tramo.
• Tramo DC: En este tramo la viga no tiene carga
distribuida, tiene una fuerza vertical Dy y el
momento MD en el extremo D. Observando el
sentido de caminamiento el signo del momento
flector debido a MD es positivo y se representa por
medio de un área rectangular de altura 12 t·m (área
positiva) y la reacción Dy produce un diagrama en
forma de triángulo con un valor cero en D y un valor
– 16 t en C. Aplicando el método de corte se puede
comprobar que la fuerza cortante es constante y es
igual a V = - 4 t y el momento flector varía
linealmente con la distancia x medida desde el
extremo D: M =12 - x, por lo que se puede concluir
que el diagrama de momento en el tramo tiene
forma de línea recta con MD = 12 t·m y MC = - 4 t·m.
Pero como sabemos en este método conviene
trabajar con diagramas por partes.

PROBLEMA Nº 1
• El tramo CB, no tiene carga distribuida y se puede
verificar fácilmente que la fuerza cortante en toda
su longitud es igual a cero. Por lo anterior se
concluye que el momento flector en este tramo es
constante y tiene valor igual a - 4 t·m.
• El tramo BA arranca en B con momento MB = - 4
t·m y debe cerrar en cero en A. Como tiene un
carga distribuida uniforme la curva de variación
del momento debe ser una parábola.
• Teniendo en cuenta lo antes indicado se dibuja los
diagramas de momento flector por partes en cada
tramo, tal como se ve en la figura.
• Se utiliza luego las tabla de áreas y centroides que
se presenta mas adelante, para determinar la
magnitud de las áreas y la ubicación de los
centroides.

PROBLEMA Nº 1
• Para dibujar diagramas de momentos por partes, a
veces puede ser conveniente:
• Estudiar cada barra por separado.
• Colocar en los extremos las fuerzas de reacción y las
fuerzas internas que aplican las juntas y también
colocar las cargas distribuidas que estén aplicadas.
• Se inicia por un extremo. La fuerza cortante en ese
extremo produce un momento con diagrama
triangular con magnitud cero en ese extremo y con
magnitud V·L en el extremo opuesto.
• El momento en el extremo donde se inicia, produce
un diagrama de momento rectangular.
• Una carga distribuida uniforme produce un diagrama
de momento parabólico con valor cero en el punto
donde aparece por primera vez la carga (en este caso
desde el extremo libre) hasta un valor máximo en el
extremo opuesto al extremo de inicio. Si la carga
distribuida es con variación lineal, la curva de
momento será una curva de tercer grado y así
sucesivamente.

PROBLEMA Nº 1
• Si le parece complicado y no está seguro, puede
buscar las ecuaciones de momento en cada tramo
de la estructura cortando. De esta manera obtiene
la ecuación de momento en forma de polinomio
como una función de la distancia x desde uno de
los extremos.
• Para dibujar el diagrama de momentos por partes,
cada termino del polinomio obtenido como
ecuación de momento se representa en forma de
diagrama independiente con una forma común o
conocida como las que se presentan a
continuación.

PROBLEMA Nº 1

PROBLEMA Nº 1
• 4to. Dibujamos la estructura conjugada
cumpliendo con las reglas respectivas.
• El método de la estructura conjugada
consiste en transformar el cálculo de
rotaciones y traslaciones horizontales y
verticales de una estructura sometida a
la acción de cargas reales, en el cálculo
de las fuerzas cortantes y los momentos
flectores con respecto al eje (x) y con
respecto al eje (y) en una estructura
imaginaria llamada estructura
conjugada.
• La estructura conjugada se dibuja como
acostada en un plano xy. Las cargas son
las áreas de los diagramas de momento
de la estructura real divididas entre EI.

PROBLEMA Nº 1
• Como se sabe, los apoyos de las estructura real tienen en la mayoría de
los casos un tipo de apoyo diferente en la estructura conjugada. La forma
de asignar los apoyos a la estructura conjugada se puede ver en la página
18 de la guía que es lo mismo que la página 183 de Ana Scheuren, en la
tabla No. 3-1.
• En este caso se tiene que el empotramiento se convierte en la estructura
conjugada en un extremo libre y el extremo libre de la estructura real se
convierte prácticamente en un empotramiento en la estructura
conjugada.

PROBLEMA Nº 1
• 5to. Determinamos las magnitudes de las
áreas de carga en los diferentes tramos de la
estructura conjugada y su ubicación en el
centroide de las áreas. Se dibuja el diagrama
de cuerpo libre
• 𝐴1 =
12∙4
𝐸𝐼
=
48
𝐸𝐼
, a 𝑥 = 2 𝑚 𝑑𝑒 𝐶
• 𝐴2 = −
16∙4
2𝐸𝐼
= −
32
𝐸𝐼
, a 𝑥 =
4
3
𝑚 𝑑𝑒 𝐶
• 𝐴3 = −
4∙1
𝐸𝐼
= −
4
𝐸𝐼
, a 𝑥 = 0,5 𝑚 𝑑𝑒 𝐶
• 𝐴3 = −
4∙2
3𝐸𝐼
= −
8
3𝐸𝐼
, a 𝑥 =
2
4
=
0,5 𝑚 𝑑𝑒 𝐵
• Observe que el área negativa se
representa por arriba y con una resultante
hacia abajo. El área positiva se dibuja por
abajo y con una resultante hacia arriba.

PROBLEMA Nº 1
• Cálculo de reacciones:
• 𝑀𝐴𝑦 = 0; 𝑀𝐴𝑦 − 1,5
8
3𝐸𝐼
− 2 ∙
4
𝐸𝐼
−
2
3
32
𝐸𝐼
= 0
• 𝑀𝐴𝑦 = ∆𝑉𝐴=
100
3𝐸𝐼
, ∆𝑉𝐴=
100
3𝐸𝐼
↓
• 𝑀𝐴𝑥 = 0; 𝑀𝐴𝑥 + 0,5 ∙
4
𝐸𝐼
+
1
32
𝐸𝐼
− 1
48
𝐸𝐼
= 0
• 𝑀𝐴𝑥 = ∆𝐻𝐴=
14
𝐸𝐼
, ∆𝐻𝐴=
14
𝐸𝐼
⟵

PROBLEMA Nº 1
• 𝐹𝑧 = 0; −
8
3𝐸𝐼
−
4
𝐸𝐼
−
32
𝐸𝐼
+ 48 + 𝑅𝐴 = 0
• 𝑅𝐴 = −
28
3𝐸𝐼
• El signo menos indica que RA es hacia abajo, esto
representa un cortante positivo en A, lo que indica
según las reglas que A es antihorario (positivo)
• 𝜃𝐴 =
28
3𝐸𝐼
↺
• B es igual al cortante en B calculado en la estructura
conjugada, considerando sólo la porción BA.
• 𝜃𝐵 =
28
3𝐸𝐼
+
8
3𝐸𝐼
=
12
𝐸𝐼
↺
• C es igual al cortante en C calculado en la estructura
conjugada, considerando sólo la porción CBA.
• 𝜃𝐶 =
28
3𝐸𝐼
+
8
3𝐸𝐼
+
4
𝐸𝐼
=
16
𝐸𝐼
↺
• En la figura se puede ver la estructura real deformada.
Es bueno desarrollar la habilidad de predecir y dibujar
la deformada de la estructura.

PROBLEMA Nº 2
• Aplicando el método de la estructura conjugada determine VA,
B y C.

PROBLEMA Nº 2
• 1ro. Se analiza la estabilidad y determinación de
la estructura.
• Descripción de la estructura: Es una estructura
plana conformada por tres elementos unidos en B
y C por medio de juntas rígidas. Esto hace que se
comporte como un solo cuerpo que requiere sólo
de tres reacciones, no concurrentes y no paralelas
para que sea estable y estáticamente determinada.
• El apoyo en D es un apoyo fijo o articulación que
proporciona dos componentes de fuerza de
reacción, que se pueden considerar una horizontal
y otra vertical.
• El apoyo en C es un apoyo simple tipo rodillo, pero
se debe aclarar que este apoyo es externo a la
junta de la estructura en C. Este apoyo proporciona
una componente de fuerza de reacción vertical. Se
tiene entonces el número de reacciones: r = 3. El
número de ecuaciones de equilibrio en el plano es
e = 3 y no existe inestabilidad geométrica externa,
como r = e = 3 se concluye que la estructura es
estable y estáticamente determinada.

PROBLEMA Nº 2
• 2do. Se determinan las reacciones.
• Se reconocen los tipos de apoyos. Se
dibuja el diagrama de cuerpo libre. Se
sustituyen los apoyos por la reacción
correspondiente.
• 𝑀𝐷 = 0; 3 ∙ 4 − 4 ∙ 𝐶𝑦 = 0
• 𝐶𝑦 = 3 𝑡
• 𝐹𝑥 = 0; 𝐷𝑥 = 0
• 𝐹𝑦 = 0; 𝐷𝑦 − 4 + 3 = 0
• 𝐷𝑦 = 1 𝑡

PROBLEMA Nº 2
• 3ro. Se determinan los diagramas de momento
por partes en cada tramo.
• Tramo DC: No tiene carga distribuida y sólo tiene
una fuerza vertical Dy = 1 t en el extremo D.
Observando el sentido de caminamiento el signo
del momento flector debido a Dy es negativo y
varía linealmente con la distancia x medida desde
D.
• Por lo anterior el diagrama de momentos en el
tramo DC se representa por medio de un área
triangular con valor cero en D y un valor máximo
de -4 t·m en C (área negativa).
• El tramo CB, no tiene carga distribuida y se puede
verificar fácilmente que la fuerza cortante en
toda su longitud es igual a cero. Por lo anterior se
concluye que el momento flector en este tramo
es constante y tiene valor igual a - 4 t·m. Se
representa por medio de un rectángulo.

PROBLEMA Nº 2
• El tramo BA arranca en B con momento MB = - 4
t·m y debe cerrar en cero en A. Como tiene un
carga distribuida uniforme la curva de variación
del momento debe ser una parábola.
• Teniendo en cuenta lo antes indicado se dibuja los
diagramas de momento flector por partes en cada
tramo, tal como se ve en la figura.
• Se utiliza luego las tabla de áreas y centroides
para calcular la magnitud de las áreas y ubicar sus
centroides.

PROBLEMA Nº 2

PROBLEMA Nº 2
• 4to. Dibujamos la estructura conjugada cumpliendo
con las reglas respectivas.
• La estructura conjugada se dibuja como acostada en
un plano xy. Las cargas son las áreas de los diagramas
de momento de la estructura real divididas entre EI.
• Como se sabe, los apoyos de las estructura real
tienen en la mayoría de los casos un tipo de apoyo
diferente en la estructura conjugada. La forma de
asignar los apoyos a la estructura conjugada se
puede ver en la página 18 de la guía que es lo mismo
que la página 183 de Ana Scheuren, en la tabla No.
3-1.
• La estructura real tiene en D un apoyo fijo y en la
estructura conjugada se representa igual por un
apoyo fijo que brinda una reacción vertical, que es
un cortante en D cuyo valor representa el ángulo de
rotación en D. Como el punto D no se puede
desplazar verticalmente y se sabe por la regla que un
momento MDy representa el desplazamiento vertical
del punto D, resulta de esto que la suma de
momentos alrededor del eje y que pasa por D debe
ser igual a cero.

PROBLEMA Nº 2
• En la estructura real en el punto C existe un rodillo
(externo a la estructura), esto hace que el punto C
no se pueda mover verticalmente por esto se tiene
que MCy = 0.
• En este tipo de problemas se desprecia la
deformación axial de los elementos y por esto el
punto C no se puede desplazar horizontalmente, de
esto surge otra ecuación útil para determinar las
incógnitas, como lo es la MCx = 0.
• Por la misma condición anterior de rigidez axial
infinita, el punto B no se puede desplazar
verticalmente y se puede utilizar otra ecuación útil
para determinar las incógnitas, como lo es la MBy
= 0 (Esta condición no aparece en la figura).
• Como el rodillo en C es externo a la estructura y la
junta en C es rígida, se puede asumir que en la
estructura conjugada, en este caso, no se tiene en C
una reacción vertical que hiciera cambiar el cortante
interno en la estructura conjugada. Recordemos que
el cortante es lo mismo que la rotación, y como la
junta en C es rígida se tiene que la rotación C para
los elementos DC y CB tienen que ser iguales, por
esto no puede haber una reacción en C que altere
esa igualdad.

PROBLEMA Nº 2
• En los extremos libres de las estructura real al
llevarlos a la estructura conjugada (en este caso en
el extremo A), se requieren empotramientos en x y
en y que hagan que MAx  0 y MAy  0, porque
estos valores representan los desplazamientos
horizontal y vertical del punto A respectivamente.
Además se requiere una reacción vertical en A que
representa al ángulo de rotación A, que como
sabemos, en un extremo libre es diferente de cero.
• La estructura conjugada debe estar en equilibrio, si
bien en algunos casos puede presentarse como si
fuera inestable, siempre se deben cumplir las
condiciones de equilibrio, aunque se esté en
equilibrio para una caso particular de carga. Por lo
anterior se debe cumplir también la ecuación Fz =
0.
• En la figura pueden ver todas las condiciones antes
planteadas y además se observan las magnitudes de
las áreas de carga, representadas como cargas
concentradas en el centroide de las áreas.

PROBLEMA Nº 2
• 5to. Determinamos las magnitudes de las
áreas de carga en los diferentes tramos
de la estructura conjugada y su ubicación
en el centroide de las áreas. Se dibuja el
diagrama de cuerpo libre
• 𝐴1 = −
4∙4
2𝐸𝐼
= −
8
𝐸𝐼
, a 𝑥 =
4
3
𝑚 𝑑𝑒 𝐶
• 𝐴2 = −
4∙1
𝐸𝐼
= −
4
𝐸𝐼
, a 𝑥 = 0,5 𝑚 𝑑𝑒 𝐶
• 𝐴3 = −
4∙2
3𝐸𝐼
= −
8
3𝐸𝐼
, a 𝑥 =
2
4
=
0,5 𝑚 𝑑𝑒 𝐵
• Observe que el área negativa se
representa por arriba y con una
resultante hacia abajo. Así mismo se
tiene que el área positiva se dibuja por
abajo y con una resultante hacia arriba.

PROBLEMA Nº 2
• 𝐹𝑧 = 0; 𝑅𝐴 + 𝑅𝐷 −
44
3𝐸𝐼
= 0
• 𝑅𝐷 =
44
3𝐸𝐼
− 𝑅𝐴 1
• Tomamos suma de momentos en torno al eje y
que pasa por B, pero consideramos sólo la
porción de estructura ubicada a la derecha de B.
• 𝑀𝐵𝑦 ; 0,5
8
3𝐸𝐼
− 2 ∙ 𝑅𝐴 + 𝑀𝐴𝑦 = 0
•
2
3𝐸𝐼
+ 0,5𝑀𝐴𝑦 = 𝑅𝐴 2
• 𝑀𝐷𝑦 = 0; −
8
3
8
𝐸𝐼
− 4
4
𝐸𝐼
−
3,5
8
3𝐸𝐼
+ 2 ∙ 𝑅𝐴 + 𝑀𝐴𝑦 = 0 3
• Sustituyendo (2) en (3)
• 2𝑀𝐴𝑦 =
140
3𝐸𝐼
−
4
3𝐸𝐼
=
136
3𝐸𝐼
, 𝑀𝐴𝑦 = ∆𝑉𝐴=
68
3𝐸𝐼
↓
4

PROBLEMA Nº 2
• Se sustituye (4) en (2) y se obtiene RA.
• 𝑅𝐴 = 𝜃𝐴 =
2
3𝐸𝐼
+ 0,5 ∙
68
3𝐸𝐼
=
12
𝐸𝐼
↷
• Determinamos el cortante en B
considerando sólo el tramo BA y este
cortante es igual a B.
𝐹𝑧 = 0 𝑠ó𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝐵𝐴 ; 𝜃𝐵 −
8
3𝐸𝐼
+
12
𝐸𝐼
= 0
• 𝜃𝐵 = −
28
3𝐸𝐼
, 𝜃𝐵 =
28
3𝐸𝐼
↷
• Determinamos el cortante en C
considerando sólo el tramo CBA y este
cortante es igual a C.
𝐹𝑧 = 0 𝑠ó𝑙𝑜 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝐶𝐵𝐴 ; 𝜃𝐶 −
4
𝐸𝐼
−
8
3𝐸𝐼
+
12
𝐸𝐼
= 0
• 𝜃𝐶 = −
16
3𝐸𝐼
, 𝜃𝐶 =
16
3𝐸𝐼
↷

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