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1. Calculo Integral Unidad 1 Centurión Domínguez José E

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1.1 Medida Aproximada de Figuras Amorfas
Calcular las áreas de una figura regular es una tarea muy fácil, por lo
cual la sustitución de la longitud, anchura u otras cantidades en la
fórmula produciría el resultado.
Sin embargo, la estimación del área bajo la curva de las funciones no
es tan sencilla ya que existen figuras amorfas y no fórmulas directas
para estimar esta área.
La integración puede ser utilizada fructíferamente en una situación
semejante.
Existen cuatro gráficas posibles para las cuales el área necesita ser
evaluada.
Estas son: 1 Cuando el área está limitada por la curva y = f(x), el eje x
y las ordenadas x = a y x = b.
El gráfico de la función se muestra a continuación,

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1.2 Notación Sumatoria
En muchas ocasiones las operaciones matemáticas requieren la
adición de una serie de números para generar la suma total de todos
los números de la serie. En tal escenario se hace difícil escribir la
expresión que representa este tipo de operación. El problema
empeora a medida que incrementan los números en la serie. Una
solución es utilizar los primeros números de la serie, luego puntos
suspensivos y finalmente los últimos números de la serie, como se
muestra a continuación,
Esta expresión representa una operación que incluye lasuma de los
primeros cien números naturales. En esta expresión hemos usadolos
puntos suspensivos, los tres puntos en la sucesión, para simbolizar la
ausencia de números en la serie.
Una solución aún mejor es hacer uso del símbolo sumatorio o sigma.
Este es un tipo de técnica abreviada que ofrece una alternativa más
conveniente para representar la operación sumatoria. Puede ser
representada de la siguiente manera,
Aquí se representa la variable o los términos en la serie. El operador
sigma es un símbolo de la Grecia antigua, donde fue utilizado como
letra mayúscula del alfabeto S. Una representación típica de la
operación sumatoria n utilizando el símbolo sumatorio se representa,
La variable que aparece en la parte derecha del símbolo es el
“Elemento Típico”, el cual será sumado con la operación sumatoria.
Siempre existe un límite inferior y un límite superior de la operación los
cuales están representados por debajo y por encima del símbolo
sumatorio. La variable, representando el límite de la operación, se
escribe debajo del símbolo sumatorio hacia la izquierda del límite
inferior.
El límite de la operación se inicia a partir del valor hacia el lado
derecho del índice de la variable y ntermina e el valor escrito sobre el
símbolo sumatorio. El

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límite inferior de la operación es llamado en ocasiones punto de
partida, por lo tanto, el límite superior es llamado punto final.
La expresión mostrada arriba se calcula como,
= x1 + x2 + x3 + … + xn-1 + xn
Mientras que algunos matemáticos están a favor de la escritura de la
notación completa cada vez que se va a escribir una operación de
notación sumatoria, algunos de ellos están a favor de escribirla
solamente cuando se requiere producir la suma de algunas de las
cantidades disponibles del conjunto de cantidades, y de escribir una
versión abreviada cuando se va a producir la suma de los valores del
conjunto completo. A modo de ejemplo, serviría a los fines en el último
caso.
Es posible elevar al cuadrado cada uno de los términos y luego
producir la suma de todas las cantidades cuadradas. Tal operación se
puede denotar como,
= x12 + x22 + x32 + … + xn-12 + xn2
La notación abreviada de la expresión anterior sería x2. Es esencial
recordar que esta notación es completamente diferente de ( x)2 dado
que esta última expresión denota una operación en la queprimero se
suman todos los términos y luego se eleva al cuadrado el resultado
obtenido, mientras que la operación anterior denota una expresión en
la cual se produce la suma de términos que ya estaban elevados al
cuadrado.
Otra operación interesante que se puede realizar utilizando el símbolo
sumatorio es la sumatoria de productos vectoriales. Taloperación se
puededenotarcomo,

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1.3 Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración
numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida,
es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es
posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas
toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito
de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada
uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de
integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen
de error muy grande.
Introducción
Es aquella sumatoria en la cual se hacen varias subdivisiones del área
bajo la curva y se van calculando las partes de una función por medio
de rectángulos con base en un incremento en el eje X, ya que la suma
de toda las áreas de los rectángulos va ser el área total. Dicha área es
conocida como la suma de Riemann
Dada f(x) en el intervalo [a,b] para encontrar el área bajo la curva:
Dividimos la región "S" en franjas de anchos iguales. El ancho de cada
franja es:
Teniendo los intervalos:
La ecuación para la suma de Riemann es la siguiente:
donde haciendo de esta como un promedio entre la suma superior e
inferior de Darboux.
Para esta suma es importante saber las siguientes identidades:
Representación.
Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes: . Una suma
de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos
adyacientes de anchura común y de alturas situados entre el eje de los
abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).
Sumas de Riemann S'n de una misma función, con n = 5 rectángulos;
n = 10 y n = 20. Cuando crece n, el área total de los rectángulos se
aproxima al área delimitado por el eje de las abscisas y la curva de f.

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1.4 Integral definida
Dada una función de una variable real y un intervalo de la
recta real, la integral es igual al área de la región del plano limitada
entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales y ,
donde son negativas las áreas por debajo del eje .
La palabra "integral" también puede hacer referencia a la noción de
primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada . En este
caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales
tratadas en este artículo son las integrales definidas. Algunos
autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e
indefinidas.
Los principios de la integración fueron formulados por Newton y
Leibniz a finales del siglo XVII. A través del teorema fundamental del
cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la
integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una
función se puede calcular fácilmente una vez se conoce una
antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser
herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en
ciencia e ingeniería.
Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa
en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de
partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX,
empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde
se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los
cuales se hace la integración. La integral curvilínea se define para
funciones vectoriales de una variable, y el intervalo de integración [a,b]
se sustituye por el de la parametrización de la curva sobre la cual se
está integrando, la cual, conecta dos puntos del plano o del espacio.
En una integral de superficie, la curva se sustituye por un trozo de una
superficie en el espacio tridimensional.
Las integrales de las formas diferenciales desempeñan un papel
fundamental en la geometría diferencial moderna. Estas

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generalizaciones de la integral surgieron primero a partir de las
necesidades de la física, y tienen un papel importante en la
formulación de muchas leyes físicas cómo, por ejemplo, las del
electromagnetismo. Los conceptos modernos de integración se basan
en la teoría matemática abstracta conocida como integral de
Lebesgue, que fue desarrollada por Henri Lebesgue.
1.5 Teorema de existencia
En matemáticas, un teorema de existencia es un teorema con un
enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo
x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en términos más formales de lógica
simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el
cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen
explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar,
por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o
cualquier teorema escrito en la notación O.
Una controversia que data del temprano siglo XX concierne el tema de
teoremas de existencia puros, y la acusación relacionada de que al
admitirlos las matemáticas traicionan sus responsabilidades de
aplicación concreta (ver demostración no constructiva). El punto de
vista matemático es que los métodos abstractos tienen un gran
alcance, mayor que el del análisis numérico.

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1.6 Propiedades de la integral definida
Se enuncian algunas propiedades y teoremas básicos de las
integrales definidas que ayudarán a evaluarlas con más facilidad.
1) donde c es una constante
2) Si f y g son integrables en [a, b] y c es una constante, entonces las
siguientes propiedades son verdaderas:
(se pueden generalizar para más de dos funciones)
3) Si x está definida para x = a entonces = 0
4) Si f es integrable en [a, b] entonces
5) Propiedad de aditividad del
intervalo: si f es integrable en los dos
intervalos cerrados definidos por a, b
y c entonces

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1.7 Función primitiva
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una
función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas
sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una
infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos
primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C.
A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia,
si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es
F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se
representa como:
ó
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como
integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las
integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a
través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método
sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones

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1.8 Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la
afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones
inversas. Esto significa que toda función acotada e integrable (siendo continua
o discontinua en un número finito de puntos) verifica que la derivada de su
integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las
matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de
áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una
rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que
se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en
el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales
eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en
ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el
estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo
diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada
en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite
calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la
función al ser integrada

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1.9 Integrales impropias
Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c,
especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞,
entonces la integral
Punto singular en c.
Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto
que las integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c
son ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir. Estos casos
corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas
cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.
La integral
puede interpretarse como:
pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio
interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una
integral de Lebesgue sobre el intervalo (0, ∞). Por otro lado, el uso del

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límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no
sea como forma de calcular su valor.
En contraste al caso anterior,
no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que
Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por
Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la
recta real extendida en los cuales debemos utilizar límites.
Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de
igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite
de integración. Esto no hace más que "ocultar" el debido proceso de
calcular los límites de la integral. Utilizando la más avanzada integral
de Lebesgue en lugar de una integral de Riemann, uno puede a veces
evitar tal operación. Pero si sólo se desea evaluar el límite para
obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda.
El concepto de integral de Lebesgue es más o menos esencial en el
tratamiento teórico de la transformada de Fourier que hace uso
extensivo de integrales sobre el total de la recta real.