Matemática Aplicada Ecuación de Laplace

2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE
INGENIERIA
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
Y DE SISTEMAS
Ecuaciones de Equilibrio
Integrantes:
Giraldo Salinas, Lizbeth Carol 20081172F
Zelada Mariluz, Kevin Aar´n 20101083C
o
Guizado Rios, Jos´ Antonio 20110201E
e
Ar´valo Ram´
e
ırez, Leandro 20102074H
´
D´ Esquivel, Luis Angel 20112072H
ıaz
Machicao Atao, Gonzalo 20100157C
Ramos Zorrilla,Angelica Isabel 20102577J
05 de Octubre del 2013
2

3. 3

4. ´
Indice general
1. Introducci´n
o
2
2. Ecuaciones de Equilibrio
3
2.1. Ecuaci´n de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3
2.2. Propiedades B´sicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
8
3. Problemas de Aplicaci´n
o
10
3.1. Potencial de condensadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Mec´nica de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
a
4. Conclusiones
18
5. Bibliograf´
ıa
19
1

5. Cap´
ıtulo 1
Introducci´n
o
La modelaci´n matem´tica ha empezado a cobrar fuerza muy esencial al
o
a
saber relacionar el estudio de diferentes ciencias, tales como: biolog´ f´
ıa, ısica,
qu´
ımica, con la matem´ticas, haciendo de ellas un aprendizaje m´s signifia
a
cativo. De esta manera la modelaci´n matem´
o
ıatica se muestra como un eje
medular en la predicci´n o toma de decisiones respecto de fen´menos sociales
o
o
o naturales ya que una buena interpretaci´n de un modelo matem´tico ayuo
a
dar´ a tener buenos resultados futuros, de lo contrario las p´rdidas pueden
a
e
ser grandes.
En la actualidad, la utilizaci´n de modelos matem´ticos en plagas y enfermeo
a
dades de los cultivos, pueden abarcar aspectos muy variados y amplios. Sin
embargo, los mayores esfuerzos se han centrado en los modelos de poblaci´n
o
en el tiempo y/o espacio.
2

6. Cap´
ıtulo 2
Ecuaciones de Equilibrio
2.1.
Ecuaci´n de Laplace
o
Es el prototipo de la ecuaci´n el´
o
ıptica, es una de las ecuaciones b´sicas
a
de las matem´ticas.
a
Supongamos que las condiciones en la frontera ∂Ω son fijos y no dependen
del tiempo, y las fuentes, si est´n presentes, son independientes del tiempo.
a
Entonces, despu´s de mucho tiempo se espera que los efectos de la condici´n
e
o
inicial de la regi´n Ω decaer´ de distancia, dando un estado de equilibrio
o
a
µ = µ(x) que satisface una ecuaci´n de tipo estado estacionario. Considere
o
el problema inicial de contorno para la ecuaci´n de difusi´n:
o
o
µ(x, t) = g(x), x ∈ δΩ, t > 0.
µ(x, t) = g(x), x ∈ δΩ, t > 0.
µ(x, 0) = µ0 (x), x ∈ Ω, t > 0.
3

7. En el largo plazo podemos esperar que los efectos de los datos iniciales sean
pequeos y una soluci´n de equilibrio µ = µ(x) a emerger que satisface el
o
problema de equilibrio:
−D∆µ = f (x), x ∈ Ω..........(1)
µ(x) = g(x), x ∈ δΩ.............(2)
Ecuaci´n (1) es la ecuaci´n de Poisson. Si no hay fuentes, entonces la ecuacin
o
o
(1) se reduce a:
∆µ = 0, x ∈ Ω.....................(3)
que es la ecuaci´n de Laplace. Esta ecuaci´n diferencial parcial es posibleo
o
mente la ecuaci´n m´s analizada en el an´lisis. Tambi´n se plantea en muchos
o
a
a
e
otros escenarios naturales.
Los lectores que han estudiado an´lisis complejo pueden recordar que la
a
ecuaci´n de Laplace en dos dimensiones se satisface por tanto las partes real
o
e imaginaria de un funci´n anal´
o
ıtica F (z) = µ(x, y) + iν(x, y) en un dominio
Ω en el plano complejo, es decir, ∆µ es decir (µx + µy = 0) y ∆ν = 0 en Ω.
Por lo tanto la ecuacin de Laplace juega un papel importante en el an´lisis
a
complejo.
Estas ecuaciones tambi´n surgen de manera natural en la teor´ del poe
ıa
tencial. Por ejemplo, si E es un campo el´ctrico est´tico en Ω inducida por
e
a
las cargas que se encuentran fuera Ω, entonces
w × E = 0. Si V(x) es una
funci´n potencial, lo que significa E = − V entonces se deduce que la funo
ci´n potencial F satisface la ecuaci´n de Laplace.
o
o
4

8. Ecuaci´n de Laplace es tambi´n importante en la mec´nica de fluidos y
o
e
a
muchas otras ´reas de aplicaci´n. Las soluciones a la ecuaci´n Laplace se
a
o
o
llaman funciones arm´nicas.
o
En una dimensi´n, la ecuaci´n de Laplace es solo −µ (x) = 0, que tiene
o
o
soluciones lineales µ(x) = ax + b. As´ los perfiles de temperatura de estado
ı,
estable en una barra son lineales. Las constantes a y b se determinaron a
partir de las condiciones de contorno.
Qu´ tipo de condiciones auxiliares son apropiadas para la ecuaci´n de
e
o
Laplace o la ecuaci´n (1)? De las observaciones anteriores se espera imponer
o
solamente las condiciones de contorno a lo largo de δΩ, y no las condiciones
iniciales (en el ejemplo de Hadamard se observ´ que el problema de valoo
res iniciales para la ecuaci´n de Laplace en dos dimensiones no estaba bien
o
planteada). Por lo tanto, s´lo imponen condiciones de contorno, como por
o
ejemplo la condici´n de Dirichlet (2), la condici´n Neuman:
o
o
dµ
= g(x), x ∈ δΩ
dn
la cual especifica el flujo a trav´s de la frontera, o una condici´n Robin:
e
o
dµ
+ a(x)µ = g(x), x ∈ δΩ
dn
En algunas aplicaciones en tres dimensiones, es conveniente trabajar en cualquiera de las coordenadas cil´
ındricas o esf´ricas. Estas coordenadas se definen
e
por las ecuaciones:
5

9. Coordenadas cilindricas r,θ, z
x = rcosθ
y = rsenθ
z=z
Coordenadas esf´ricas r,φ,θ
e
x = rsenφcosθ
y = rsenφsenθ
z = rcosφ
donde θ es el ´ngulo polar y φ es el ´ngulo azimutal. Y la aplicaci´n de
a
a
o
la regla de la cadena permite que escribamos el Laplaciano en coordenadas
cil´
ındricas y esf´ricas como:
e
1
1
∆µ = µr + µr + 2 µθ + µz .......(cilindrica)
r
r
∆µ =
1 δ 2
1
δ
1
(r µr ) + 2
(senφµφ ) + 2
µθ ..............(esf erica)
2 δr
r
r senφ δφ
r senφ
Los detalles de estos c´lculos se dejan como ejercicios que se deben hacer
a
una vez en la vida de todos, pero no dos veces. En dos dimensiones con simetr´ circular, las coordenadas polares son apropiadas.
ıa
6

10. Ejemplo 3.1:
Hallar todas las soluciones radiales para la ecuaci´n de Laplace en dos dio
mensiones. Escribimos la ecuaci´n de Laplace en coordenadas polares como:
o
1
urr + ur = 0, u = u(r).
r
Notar que las derivadas parciales actualmente son derivadas ordinarias. Entonces podemos escribir de inmediato:
1
vr + v = 0, v = ur (r).
r
Esta ecuaci´n la separamos por partes y se puede integrar para obtener:
o
a
v(r) = .
r
Donde a es una constante. Luego:
u(r) = aln r + b,
Donde b es otra constante arbitraria.
Por ejemplo, las temperaturas de equilibrio entre dos c´
ırculos conc´ntrie
cos con valores constantes en los l´
ımites, var´ logar´
ıa
ıtmicamente.
Esto en contraste a la distribuci´n lineal en una barra o la geometr´ lineal.
o
ıa
7

11. 2.2.
Propiedades B´sicas
a
Las identidades en la subsecci´n anterior permitieron obtener, de una mao
nera f´cil, algunas propiedades b´sicas a los problemas sobre el equilibrio.
a
a
Por ejemplo, podemos probar que hay una unica soluci´n al problema de
´
o
Dirichlet.
TEOREMA 3.1
¯
Sea h una funci´n continua sobre ∂Ω y f continua sobre Ω . Si el problema
o
de Dirichlet.
∆µ = f, x Ω; µ = h, x δΩ
¯
Tiene una soluci´n µ C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω) , entonces es unica.
o
´
Para probar esto, asumimos que hay 2 soluciones µ1 = µ2 . Entonces:
∆µ1 = 0, x ∈ Ω, µ1 = h, x ∈ δΩ; ∆µ2 = 0, x ∈ Ω, µ2 = h, x ∈ δΩ
Por lo tanto la diferencia ω = µ1 −µ2 debe satisfacer el problema homog´neo:
e
∆ω = 0, x ∈ Ω; ω = 0, x ∈ δΩ.
Ahora, de la identidad de Green , tomar u = w para obtener
w. wdx = 0
Ω
Por lo tanto
¯
w = 0 y entonces w = const. en Ω; ya que w es continua en Ω
¯
y cero en el l´
ımite que debe tener u1 − u2 = w = 0 en Ω, o u1 = u2 .
De la misma manera tambi´n tenemos el siguiente teorema:
e
8

12. TEOREMA 3.2
¯
Sea g continua en ∂Ω y f continua en Ω. Si el problema de Neumann
u = f, x ∈ Ω;
du
= g, x ∈ ∂Ω,
dn
¯
tiene una soluci´n x ∈ C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω), entonces necesariamente
o
f dx =
Ω
gdS
∂Ω
La prueba se sigue inmediatamente de establecer w = 1 en la identidad de
Green . F´
ısicamente, significa que, en un estado de equilibrio, el flujo neto (de
calor, por ejemplo) a traves del l´
ımite debe ser equilibrada por la cantidad
total de calor que se est´ creando en la regi´n por las fuentes.
a
o
Aplicaciones adicionales de las identidades de Green se encuentran en
los ejercicios. Otra propiedad de importacia (no constante) soluciones a la
ecuaci´n de Laplace es que alcanzan su m´ximo y m´
o
a
ınimo en el l´
ımite del
dominio, y no el interior. Este resultado se le llama el principio m´ximo, y
a
nos referimos a las referencias de la prueba.
TEOREMA 3.3
(Principio M´ximo) Sea Ω un dominio abierto, acotado, bien definido en el
a
¯
dominio Rn . Si ∆u = 0 en Ω y u es continua en Ω,a continuaci´n se alcanzan
o
los valores m´ximos de u en ∂Ω.
a
9

13. Cap´
ıtulo 3
Problemas de Aplicaci´n
o
3.1.
Potencial de condensadores
En una f´brica de computadoras, uno de sus principales problemas es el
a
de determinar el potencial de los condensadores que ser´n implementados en
a
la placas. Estos condensadores consisten en 2 cilindros coaxiales de radios R1
y R2 que se encuentran a potenciales V1 y V2 . Se necesita hallar el potencial
a una distancia d entre los cilindros.
10

14. ´
SOLUCION
Las condiciones de frontera son:
(a) En la superficie del cilindro de radio R1 el potencial es:
V (r = R1 ) = V1
(b) En la superficie del cilindro de radio R2 el potencial es:
V (r = R2 ) = V2
Aplicando la condici´n de frontera indicada en (a), tenemos la relaci´n:
o
o
V1 = A0 Ln(R1 ) + B0
y al considerar la condici´n sealada en el punto (b)
p
V2 = A0 Ln(R2 ) + B0
A partir de estas dos ecuaciones se tiene que las constantes son:
A0 =
B0 =
V2 − V1
Ln(R2 /R1 )
V1 Ln(R2 ) − V2 Ln(R1 )
Ln(R2 /R1 )
por lo que el potencial se puede escribir como:
V (r) =
(V2 − V1 )Ln(r) + V1 Ln(R2 ) − V2 Ln(R1 )
Ln(R2 /R1 )
11

15. 3.2.
Mec´nica de Fluidos
a
En la mec´nica de fluidos tenemos ciertas condiciones de borde usuales
a
para la soluci´n de las ecuaciones que rigen el flujo subterraneo:
o
CONDICION DE POTENCIAL IMPUESTO
Es el caso que se presenta cuando el acufero est´ en contacto con una masa
a
libre de agua tal como un r´ o el mar. En esta situaci´n la carga potencial
ıo
o
es constante en todos los puntos de la superficie de contacto entre el acu´
ıfero
y el r´ o entre el acu´
ıo
ıfero y el mar, y est´ definida por la altura del agua en
a
el r´ o en el mar. En estas masas de agua las p´rdidas de carga son pr´ctiıo
e
a
camente despreciables pues si bien es cierto que la carga pueda tener ciertas
variaciones con el tiempo, dichas variaciones no dependen del funcionamiento
del acu´
ıfero sino de condiciones externas a ´l como lo son las precipitaciones,
e
por ejemplo. La condici´n se expresa por lo tanto como h = cte.
o
CONDICIONES DE FLUJO IMPUESTO
Son equivalentes a la condici´n de Neumann, ya que si se impone un valor
o
a
∂h
,
∂n
(el gradiente en la direccin n), se tiene a partir de la Ley de Darcy:
VN = −K ∂H y como
∂N
∂h
∂n
= cte, entonces VN = cte y por consiguiente el
caudal o flujo es tambin constante.
CONDICIONES DE FOURIER Sup´ngase un r´ que drena o alimenta
o
ıo
un acu´
ıfero, que tiene un fondo colmatado por un material poco permeable.
12

16. CONDICIONES DE FLUJO A SUPERFICIE LIBRE
Dos condiciones definen una superficie libre:
- La presi´n sobre todo punto M de la superficie libre es la presi´n atmosf´rio
o
e
ca. Se puede escribir entonces: h = z.
- Adem´s la superficie libre es una superficie a flujo impuesto, que puede ser
a
nulo si el acu´
ıfero no es alimentado por su superficie, o sea
pa es recargada por su superficie, entonces
∂h
∂n
∂h
∂n
= 0, y si la na-
= a. Esta .alimentaci´n”puede
o
ser tambi´n negativa, como en el caso en que haya evaporaci´n.
e
o
Aparece aqu´ entonces una doble determinaci´n. El problema principal
ı
o
reside en el hecho de que la posici´n de la superficie libre no es conocida,
o
sino que por el contrario debe ser determinada y a su vez dicha superficie
13

17. constituye una condici´n de borde del flujo. Se trata entonces de una supero
ficie que cumpla simult´neamente las dos ecuaciones: h = z y
a
∂h
∂n
= cte. Lo
que se hace en la pr´ctica es determinar la posici´n de la superficie por aproa
o
ximaciones sucesivas. Primero se supone la posicin de la superficie, limitando
as el dominio de integraci´n, luego se fija la carga para dicho dominio h = z
o
∂h
y se verifica que el caudal calculado K ∂n , sea correcto.Si dicho flujo no es
correcto, se var´ la posici´n de la superficie libre.
ıa
o
Hay condiciones de l´
ımites con flujo a superficie libre, por ejemplo en los
acu´
ıferos libres en los cuales la superficie piezom´trica es la misma superficie
e
fre´tica. Tambi´n en el caso del flujo a trav´s de una presa de tierra, la l´
a
e
e
ınea
de saturaci´n constituye un l´
o
ımite de flujo a superficie libre.
En muchos casos la superficie libre es cortada por una superficie que est´ en
a
contacto con la atm´sfera, y aparece lo que se denomina una l´
o
ınea de emergencia del flu´
ıdo, dejando de existir una continuidad entre la superficie libre
y el plano de agua hacia abajo. Dicha superficie de contacto entre la superficie libre y la atm´sfera es llamada superficie de goteo. Como ejemplos de
o
superficies de goteo se pueden precisar los mostran flujo a trav´s de una presa
e
14

18. de tierra, flujo hacia un pozo, contacto de un acu´
ıfero con una masa libre de
agua. En la figura el sector AB es la superficie de goteo.
En este caso entonces las condiciones de borde en la superficie de goteo se
expresan por la ecuaci´n:
o
h=z
Aqu´ tambi´n se presenta el problema de determinar la extensi´n de la
ı
e
o
superficie de goteo, lo cual se hace tambi´n por aproximaciones sucesivas,
e
como en el caso de la posici´n de la superficie libre.
o
En ciertos casos, cuando se supone que el dominio de integraci´n es infinito,
o
es posible abstraerse de las condiciones de frontera. Esto es muy utilizado
cuando se est´n buscando soluciones anal´
a
ıticas a la ecuaci´n de difusi´n. Los
o
o
m´todos num´ricos se adaptan mejor cuando se tienen condiciones de frone
e
tera conocidas.
Para los problemas de flujo transitorio es necesario definir las condiciones
iniciales del problema o sea el valor de h en todo el dominio, cuando t=0.
15

19. ´
APLICACION
Encontrar el caudal que fluye debajo de una presa que descansa sobre una
fundaci´n permeable
o
´
SOLUCION:
Considerando el acu´
ıfero confinado y el flujo permanente se tiene:
2
h=0
Si se considera adem´s, que el flujo es unidimensional :
a
∂ 2h
=0
∂x2
Integrando esta ultima ecuacin se tiene:
´
h = C1 x + C2
16

20. Las condiciones de borde son:
Para x = 0, h = H1 y para x = B, h = H2 Esto implica que:
C1 = H1
C2 = H2
La cabeza piezom´trica en cualquier punto debajo de la presa ser´ entonces:
e
a
h=
H2 − H1
x + H1
B
y el caudal total, si L es la longitud de la presa, ser´:
a
Q = V A → A = Le
H1 − H2
dh
=K
dx
B
KLe
Q=
(H1 − H2 )
B
V = −K
17

21. Cap´
ıtulo 4
Conclusiones
1. Pdemos concluir que la Ecuaci´n de Laplace es importante en varios
o
aspectos de la vida diaria,por ejemplo en la mec´nica de fluidos,la astroa
nom´ la electrost´tica (teor´ del potencial electrost´tico),la mecnica
ıa,
a
ıa
a
cu´ntica, etc
a
2. Podemos ver que los arm´nicos esf´ricos son funciones arm´nicas que
o
e
o
representan la variaci´n espacial de un conjunto de soluciones de la
o
ecuaci´n de Laplace cuando la dichas soluciones se expresan en cooro
denadas esf´ricas, como nos dice la informacion ya dada.
e
18

22. Cap´
ıtulo 5
Bibliograf´
ıa
1. http : //www.ecologiaconnumeros.uab.es/llibre/InstruccionsApplets/Instrucciones−
Applet − 5 2.htm
2. http : //web.mat.bham.ac.uk/j.a.canizo/tex/elipticas2.pdf
3. http : //www.tecnun.es/asignaturas/metmat/T exto/En web/Ecuacion de Laplace.pdf
4. http : //es.wikipedia.org/wiki/Ecuacion de Laplace
19