Repaso sobre el uso y aplicacion de vectores

1. ANALISIS VECTORIAL
Contenidos .
1. Magnitudes vectoriales,
2. Vector: concepto, elementos, tipos.
3. Operaciones con vectores.
3.1. Métodos gráficos
3.2. Métodos analíticos.

2. VECTOR
Es aquel elemento
matemático, indicado
por un segmento de
recta orientado, que nos
permite representar
gráficamente a una
magnitud física vectorial
.

3. ELEMENTOS DE UN VECTOR
•Dirección: Es la recta que contiene el
vector. Se define por el ángulo medido
positivamente en sentido anti horario.
•Sentido: Es la característica del vector que
nos indica hacía donde se dirige. Se le
representa por una flecha.
Magnitud: Llamado también intensidad,
viene a ser el valor o medida de la magnitud
vectorial

4. Tipos de Vectores
COLINEALES
A B C
Línea de
Acción
A, B y C
CONCURRENTES
A
B
Punto de
Concurrencia
C

5. PARALELOS
A
B
C
OPUESTOS
A –A

6. | A| |B|
A B Sentido de Sentido de
A B
VECTORES IGUALES

7. Propiedades de los Vectores:
Todo vector puede trasladarse
sobre un plano en forma
paralela, sin alterar ninguno de
sus elementos.
A
A A

8. En el plano cartesiano, un vector A está representado matemáticamente
por un par ordenado (ax , ay). Los elementos del par ordenado son
llamados componentes rectangulares del vector.
A ax se le denomina componente en el eje x, pues su valor absoluto l ax l
nos indica cuando mide la proyección del vector A sobre dicho eje.
Además el signo de ax nos indica si el vector se orienta en la dirección
positiva o negativa del eje x. Con ay, la componente en el eje y
sucederá lo mismo
Por ejemplo, si se presenta un vector V = (4; -3), este
medirá 4 unidades en el eje x y 3 unidades en el eje
y, y se orientara hacia la dirección positiva del eje x y
hacia la negativa del eje y.
Figura 1: las componentes de un vector nos
indican cuanto mide su proyección sobre cada eje y V
en que sentido se orienta.
Como puedes ver en la gráfica, la longitud del vector
coincide con la hipotenusa de un triangulo cuyos
catetos miden el valor absoluto de cada componente
rectangular. Luego a partir del Teorema de Pitágoras
se deduce la siguiente relación:

9. lAl : módulo del vector
lAl = √ ax2 + ay2 Ax : abscisa del punto A
Ay : ordenada del punto A
Para el ejemplo mostrado anteriormente, se tendrá entonces que el módulo es:
√42 + (-3)2 = √ 25 = 5

10. 2 A -2 A
A
Fig. 2 Multiplicación del vector A por los escalares 2 y -2

11. SUMA DE VECTORES O VECTOR RESULTANTE.
Se pueden utilizar los siguientes métodos:
 para vectores coloniales y /o paralelos. En este caso se
consideran como si fueran simples números reales. Ejemplo:
<>
| A| 2u | B | 5u |R|
A D |D| 1
| A| 1
R
C |C| 5
E |E| 2 |R|
B |B | 3

12. Para vectores coplanares y concurrentes
que forman un ángulo entre si:
Métodos :
1. Método del paralelogramo
2.Método del triangulo y
3. Método del polígono
Analicemos cada uno
de estos métodos

13. En este método se dibujan los dos vectores que se van a sumar
unidos por sus puntos de origen. Luego, se traza una paralela a
cada vector desde el extremo del otro, de modo que se complete
un paralelogramo.
El vector resultante R es aquel que parte del origen y cuyo
extremo se encuentra con la intersección de las líneas trazadas.
A
A R
B B

14. 
R A2 B2 2 A Bc os
Ejemplo 1
A
A B
B
Trazamos paralelas a
cada uno de los vectores A
y obtenemos una figura
llamada _________________
B

15. Ejemplo 2
y
A
A S
S
C
B
B C R
C
x
Para hallar el vector R=A + B + C primero hallamos S= A + B
y luego R= S + C

16. Para hallar la resultante de una suma de vectores mediante este método sigue
estos pasos:
Dibuja uno de los vectores.
Dibuja el siguiente vector empezando por el extremo del vector anterior.
Repite el paso anterior tantas veces como vectores para sumar tengas.
El vector resultante R es el que resulta de unir el origen de coordenadas con el
extremo del último vector.
A B
B
A C
C
R

17. Halla mediante los métodos gráficos del polígono y del
paralelogramo la resultante R de 3 A – 2 B + ½ C, sabiendo
que A, B y C son los vectores.
C
-2 B
B ½C
A 3A

18. Como puedes observar en el POLIGONO primero se
identifica los datos y luego es necesario dibujar cada
vector que se va a sumar en forma proporcional a su
longitud, luego de efectuar las multiplicaciones escalares
respectivas.
Reemplaza y resuelve:
Se halla la resultante R = (3A) + (-2 B) + (½ C ) por el
método del polígono dibujando un vector a continuación
del otro.
Y 3A
-2 B
R
½C
X

19. Por el método del paralelogramo se deben efectuar
dos sumas: primero, S = 3 A + (-2B):
Y
3A
½C
-2 B
S
x

20. Luego, R = S + ½ C :
Y
½C
S
S
R
x
La resultante R es, evidentemente , la misma que la
obtenida por el método del polígono

21. EJERCICIOS RESUELTOS
1. - Se tiene dos vectores de módulo V que forman un ángulo
de 60 ° entre sí. Calcular el módulo de la resultante.
• Utilizamos el método del Paralelogramo

V2 V2 2V.V c os60
A
600
R
B
l R l = √ 2V2 + 2 V2 (½)
A

R R V 2
B

22. 2. Determinar el módulo de la resultante de .
Y

R A2 B2

R 32 42

R 5

23. Diferencia de vectores :
(METODO DEL TRIANGULO)
Se unen los vectores por su origen, manteniendo su
módulo, dirección y sentido. Luego, trazamos el vector
diferencia, completando el triangulo como indicamos en la
figura: Como se puede observar en la
figura la orientación del vector
A D=A-B diferencia apunta al minuendo
(A) para determinar el vector
diferencia podemos medirlo
directamente con una regla o
B calcularlo con la ley de coseno
para la sustracción de vectores.
l D l = √ A2 + B2 – 2 A B COS θ

24. Ejemplo 1
Encontrar el módulo del
A
vector diferencia A – B, si
estos vectores se muestran B
en la figura , de modo que
560 500
.l A l = 50 , l B l = 14
SOLUCION:
Trasladamos los vectores
de modo paralelo a sus
posiciones originales
B A
hasta que sus orígenes
coincidan. Observamos θ
560 500
que el ángulo formado
por ellos se obtiene de:
560 + θ + 500 = 1800 Luego utilizamos la fórmula:
θ = 740 lDl= √ 502 + 142 – (2)(50)(14) cos 740
lDl= 48 (cos 740 = 7/25)

25. Ejemplo 2
Dos vectores tienen una resultante máxima que mide 14 y una
resultante mínima que mide 2 ¿cuál es el módulo de la
resultante de dichos vectores cuando formen un ángulo de 900?
SOLUCION:
De acuerdo con el enunciado del problema, tenemos:
A B
R máx = A + B = 14 ……. (1) Rmáx
A
R mín = A - B = 2 .……(2)
B
Rmín
Luego resolviendo las ecuaciones (1) y (2)
obtendremos que A= 8 y B = 6

26. C.- MÉTODO DEL TRIÁNGULO
• Este es un método B
gráfico sustentado en
el método anterior, y
A
que consiste en
trasladar
paralelamente a uno de
dos vectores, para
colocarlo a
continuación del otro,
de modo que exista
entre ellos una
continuidad; así, la
resultante de ellos es el
vector que cierra el
triángulo.

27. EJERCICIOS DE APLICACIÓN:
1.- Dibujar el vector resultante de
B
B A
A
R
2.- Dibujar el vector resultante de
A
B
R

28. DESCOMPOSICION
DE UN VECTOR
Un vector oblicuo puede expresarse como la composición de dos
vectores perpendiculares; estos vectores son llamados
componentes rectangulares los cuales se trazan sobre los ejes de
coordenadas X e Y desde el origen de coordenadas.
A = Ax + Ay Componentes
A rectangulares
Ay lAxl = lAl cos α Módulo del C. horizontal
lAyl = lAl sen α Módulo del C. vertical
Ax
lAl = √ A2x + A2y Módulo de A
tg = Ay / Ax Dirección y sentido de A
Nota . Si hubiera mas de un vector se suman las componentes que
se ubican en un mismo eje y por separado: Rx = ∑Vx y Ry = ∑ Vy

29. Y
Ejemplo
Encontrar el módulo y dirección de la B A
resultante del conjunto de vectores 300 370
mostrados en figura. Si lAl = 5 , l B l =
14 , l C l = 2√2 , l D l = 7√ 3 D X
450
C
SOLUCION:
B A
Ax =Acos 370 = 5 . 4/5 = 4
A{
Ay = Asen 370 = 5 . 3/5 = 3
B Ay
y
Bx Ax Bx = Bcos 300 = 14 . √3/2 = 7√3
B{
Cx D
By = Bsen 300 = 14 . 1/2 = 7
Cy
C
Cx = Ccos 450 = 2√2 . 1/√2 = 2
C{
Cy = Csen 450 = 2√2 . 1/√2 = 2

30. Luego tenemos que: Rx = +Ax + Cx + D – Bx = +4+2+7√3- 7√3 = +6
Ry = +Ay + By – Cy = +3 + 7 – 2 = +8
Para encontrar el módulo
de la resultante usamos la R = √ 62+ 82
siguiente fórmula R = √ 36 + 64
R = 10
Finalmente para encontrar Tg θ = Ry/Rx
la dirección del vector
Tg θ = 8 / 6
resultante aplicamos
Tg θ = 4/3
θ = 530