Teoria Electromagnetica - Electrostática (27 nov)

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
ELECTROSTÁTICA
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
Ing. Eléctrico, MSc. , MBA
FACULTAD DE ENERGÍA, LAS
INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS
NATURALES NO RENOVABLES
CARRERA DE
INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA

Definiciones:
Escalar: cantidad que solo posee magnitud (tiempo, masa, distancia, temperatura,
etc.).
Vector: cantidad que posee tanto magnitud como dirección y sentido (velocidad,
fuerza, intensidad de capo eléctrico, desplazamiento, etc.)
Campo: función que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una
región.
Cálculo vectorial: comprende las leyes de diferenciación e integración de vectores,
el uso de operadores vectoriales (gradiente, divergencia, rotacional) y la aplicación
de algunos teoremas útiles (teorema de Stokes).
Análisis vectorial

Leyes básicas
Un vector A tiene una magnitud A = ǀAǀ y una dirección especificada por un vector
unitario â:
El vector unitario â tiene una magnitud igual a la unidad (ǀâǀ = 1) y su dirección está
dada por
1. Leyes básicas del álgebra vectorial

Leyes básicas
Se dice que dos vectores A y B son iguales si tienen magnitudes iguales y vectores
unitarios idénticos.
La igualdad de dos vectores no necesariamente implica que son idénticos; en
coordenadas cartesianas, dos vectores paralelos desplazados de igual magnitud y
que apuntan en la misma dirección son iguales, pero son idénticos sólo si están
uno encima del otro.

Operación con vectores
Suma vectorial de dos vectores A y B es un vector C
La sustracción del vector B del vector A es equivalente a la suma de A y B
negativo.

Vectores de posición y distancia
Los puntos P1 y P2 en la figura están localizados en (x1, y1, z1) y (x2, y2, z2),
respectivamente. Sus vectores de posición son
El vector de distancia desde P1 hasta P2

Multiplicación Vectorial
• Producto simple
• Producto escalar o punto (donde θAB es el ángulo entre A y B)
El producto punto es positivo si 0 ≤ θAB < 90°, como en (a) y negativo si 90° < θAB ≤
180°, como en (b).

Como los vectores base son ortogonales entre sí, se deduce que
Lo que conduce a
O también se puede determinar θAB

• Producto vectorial o cruz
donde, θAB es el ángulo entre A y B medido desde la cola de A hasta la cola de B
y es un vector unitario normal al plano que contiene A y B.
La magnitud del producto cruz es igual al área del paralelogramo definido por los
dos vectores, como se ilustra en la figura y su dirección se especifica por de
acuerdo con la regla de la mano derecha:

Anticonmutativa
Distributiva
De acuerdo con la definición del producto cruz, es fácil verificar que los vectores
base del sistema de coordenadas cartesianas obedecen las siguientes
relaciones cíclicas de la mano derecha:

Ejemplo 3.1, pág. 114

Sistema de coordenadas ortogonales
Un sistema de coordenadas ortogonales es aquel cuyas coordenadas son
mutuamente perpendiculares. Dentro de este sistema los más estandarizados y
que se utilizan con mayor frecuencia son:
• el sistema de coordenadas cartesianas (o rectangular),
• el sistema de coordenadas cilíndricas y
• el sistema de coordenadas esféricas.

Coordenadas cartesianas
La longitud diferencial en coordenadas cartesianas es un vector (véase la figura)
definido como
dl =

Coordenadas cartesianas
Para una área diferencial en el plano y-z,
Para una área diferencial en el plano x-z,
Para una área diferencial en el plano x-y, dSz =
El volumen diferencial

Coordenadas cilíndricas
La localización de un punto en el espacio se define de forma única por tres variables,
r, φ y z, como se indica en la figura. La coordenada r es la distancia radial en el
plano x-y, φ es el ángulo azimutal medido con respecto al eje x positivo, y z es como
previamente se definió en el sistema de coordenadas cartesianas.
Rangos son 0 ≤ r < ∞; 0 ≤ φ < 2π; y -∞ < z < ∞
El punto P(r, φ, z) se determina en la figura

Los vectores unitarios corresponden a:
La longitud diferencial dl en coordenadas cilíndricas se determina mediante
dl

dSr =
dSφ =
dSz =
dv
Ejemplo 3-3, pág. 120

Coordenadas esféricas
La coordenada R, se denomina coordenada de rango, describe una esfera de radio R
con centro en el origen. El ángulo cenit θ se mide a partir del eje z positivo y
describe una superficie cónica con su vértice en el origen; y, el ángulo azimutal φ es
el mismo como en el sistema de coordenadas cilíndricas.
Rangos son 0 ≤ R < ∞; 0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ φ < 2π
El punto P(R1, θ1, φ1)
R
R sen θ

Los vectores unitarios corresponden a:
La longitud diferencial dl en coordenadas esféricas se determina mediante
dl

La longitud diferencial dl en coordenadas esféricas se determina mediante
dl

dSR =
dSθ =
dSφ =
dv

Coordenadas
cartesianas
Coordenadas
cilíndricas
Coordenadas
esféricas

Variables de Coordenadas Vectores unitarios Componentes vectoriales

Gradiente de un campo escalar
En cálculo vectorial, se utilizan tres operadores fundamentales para describir las
variaciones espaciales diferenciales de escalares y vectores, son los operadores
gradiente, divergencia y rotacional.
El operador gradiente se aplica a campos escalares. Los otros dos, se aplican a
campos vectoriales.
El símbolo Δ se llama operador del gradiente y se define como
(cartesianas)
(cilíndricas)
(esféricas)

Divergencia de un campo vectorial
La divergencia de un campo eléctrico E se denota de la siguiente manera
(coordenadas cartesianas):

Rotacional de un campo vectorial
El rotacional de un campo magnético representado por la densidad de flujo
magnético magnético B se denota de la siguiente manera (coordenadas
cartesianas):

Teorema de Stokes
El teorema de Stokes convierte la integral de superficie del rotacional de un vector
sobre una superficie abierta S en una integral lineal del vector a lo largo del
contorno C que limita la superficie S. La geometría se muestra en la figura.
Matemáticamente, el teorema de Stokes se define
La dirección del vector unitario n es a lo
largo del pulgar cuando los otros cuatro
dedos de la mano derecha apuntan en la
dirección de dl.

Densidad de carga
La densidad de carga en un volumen ρv se define como
Físicamente, ρv representa la carga promedio por unidad de volumen para un
volumen Δv con centro en (x, y, z).
La variación de ρv con la ubicación en el espacio se llama distribución espacial, o
simplemente distribución. La carga total contenida en un volumen dado v se
determina mediante
2. Electrostática

Densidad de carga
La carga eléctrica puede estar distribuida a través de la superficie de un material, la
densidad de carga superficial ρS se define como
La carga eléctrica puede estar distribuida a lo largo de una línea, la cual no tiene que
ser recta, la densidad de carga lineal ρl se define como
2. Electrostática

Densidad de corriente
Considere un tubo de carga cuya densidad de carga volumétrica es ρv , como se
ilustra en la figura. Las cargas se mueven con una velocidad media u a lo largo del
eje del tubo.
2. Electrostática

La cantidad de carga Δq que fluye a través de Δs es
2. Electrostática

Cuando el movimiento de la materia eléctricamente cargada genera la corriente, se
llama corriente convectiva y J se llama densidad de corriente de convección
(ejemplo movimiento de moléculas de agua en las nubes).
Ésta es distinta de una corriente de conducción, donde los átomos del medio
conductor no se mueven.
2. Electrostática

Ley de Coulomb
Una carga aislada q induce un campo eléctrico E en todos los puntos del espacio y
en cualquier punto específico P, y que E se determina mediante
2. Electrostática

Ley de Coulomb
En presencia de un campo eléctrico E en un punto dado en el espacio, que puede
deberse a una sola carga o una distribución de muchas, la fuerza que actúa en una
carga de prueba q’, cuando ésta se coloca en ese punto, se determina por
2. Electrostática

Ley de Coulomb
Para un material con permitividad eléctrica ε, las cantidades de campo eléctrico D
(densidad de flujo eléctrico) y E están relacionadas por
ε0 es la permitividad eléctrica del espacio libre y εr = ε / ε0 se llama permitividad
relativa (o constante dieléctrica) del material.
2. Electrostática
Permitividad relativa de algunos materiales (εr)
Vacío 1,0000
Aire 1,0005
Gasolina 2,35
Aceite 2,80
Vidrio 4,70
Mica 5,60
Porcelana 6,00
Permitividad relativa de algunos materiales (εr)
Agua destilada 80,5
Aceite mineral 2,70
Papel 1,50
Papel parafinado 3,70
Cuarzo 4,50
PVC De 30 a 40
Baquelita 5,00

Campo eléctrico producido por múltiples cargas puntuales
La expresión dada para el campo E producido por una sola carga puede ampliarse
para determinar el campo generado por múltiples cargas puntuales. Comencemos
por considerar dos cargas puntuales, q1 y q2, localizadas con vectores de posición R1
y R2 a partir del origen de un sistema de coordenadas dadas, como se ilustra en la
figura .
2. Electrostática

Campo eléctrico producido por múltiples cargas puntuales
2. Electrostática

Campo eléctrico producido por una distribución de carga
Un volumen v’ mostrado en la figura, contiene una distribución de carga eléctrica
caracterizada por una densidad de carga volumétrica ρv , cuya magnitud puede
variar con la ubicación en el espacio dentro de v’. El campo eléctrico diferencial en
un punto P producido por una cantidad de carga diferencial dq = ρv dv’ contenido
en un volumen diferencial dv’ es
En general, tanto R’ como varían como una
función de la posición sobre el volumen de
integración v’ .
2. Electrostática

Campo eléctrico producido por una distribución de carga
Si la carga se distribuye a través de una superficie S’ con densidad de carga ρS ,
entonces dq = ρS dS’ ; y, si se distribuye a lo largo de una línea l’ con una densidad de
carga lineal ρl , entonces, dq = ρl dl’.
(distribución superficial carga)
(distribución lineal carga)
2. Electrostática

Ley de Gauss
Considerando que proviene de la ecuación de Maxwell, se conoce como
forma diferencial de la ley de Gauss (D = densidad de flujo eléctrico o densidad de
campo eléctrico).
Aplicando el teorema de divergencia, se tiene
Lo que conduce a la siguiente expresión integral de la ley de Gauss
La superficie S se conoce como superficie gaussiana.
2. Electrostática

Ley de Gauss
La ley de Gauss establece que el flujo dirigido hacia fuera de D a través de una
superficie es proporcional a la carga encerrada Q.
2. Electrostática

Ley de Gauss
Se considera una carga q en un volumen Δv como una carga puntual. Se aplica la
forma integral de la ley de Gauss para determinar D producido por una sola carga
aislada q construyendo una superficie gaussiana esférica cerrada S de radio
arbitrário R centrada en q.
Expresión idéntica que obtenida con ley de
Coulomb.
2. Electrostática

Ley de Gauss
La ley de Gauss, ofrece un método conveniente para determinar la densidad de flujo
electrostático D cuando la distribución de carga posee propiedades de simetría que
permiten hacer suposiciones válidas sobre las variaciones de la magnitud y dirección
de D como una función de localización espacial.
Ejemplo 4-6 pág. 162
2. Electrostática

Potencial escalar eléctrico
El voltaje V entre dos puntos de un circuito representa la cantidad de trabajo o
energía potencial, que se requiere para mover una carga unitaria entre los dos
puntos.
Cuando se resuelve un problema de circuito no se consideran los campos eléctricos
presentes en él, en realidad es la existencia de un campo eléctrico entre dos puntos
lo que da lugar a la diferencia de voltaje entre ellos.
2. Electrostática

Potencial eléctrico en función del campo eléctrico
La presencia del campo E ejerce una fuerza Fe = qE sobre la carga en la dirección «y»
negativa.
Para mover q sin aceleración (a una velocidad constante), es necesario que la fuerza
neta que actúa en la carga sea cero, es decir, que Fext + Fe = 0  (Fext = - Fe = - qE)
El trabajo realizado, o energía consumida por una fuerza externa Fext es
dW = Fext · dl = - qE · dl (J)
2. Electrostática
Fe
Fext
q

La energía potencial eléctrica dW por unidad de carga se llama potencial eléctrico
diferencial.
La diferencia de potencial entre dos puntos P2 y P1 (figura) se obtiene integrando la
ecuación a lo largo de cualquier trayectoria entre ellos.
2. Electrostática
Donde, V1 y V2 son potenciales
eléctricos en los puntos P1 y P2,
respectivamente. El resultado de la
integral lineal del lado derecho de la
ecuación es independiente de la
trayectoria de integración específica
tomada entre los puntos P1 y P2.

La diferencia de voltaje entre dos nodos en un circuito eléctrico tiene el mismo valor
sin importar qué trayectoria se siga en el circuito entre dos nodos.
La ley del voltaje de Kirchhoff establece que la caída de voltaje neta alrededor de un
circuito cerrado es cero.
Si se va de P1 a P2 por la trayectoria «1» en la figura y luego se regresa de P2 a P1 por
la trayectoria «2», el lado derecho de la ecuación anterior se convierte en un
contorno cerrado y el lado izquierdo equivale a cero, razón por la que se denomina
campo conservativo o irrotacional.
Se puede que decir por tanto:
Partiendo de la segunda ecuación de Maxwell (Δ x E = 0) y aplicado el teorema de
Stokes, se tiene:
2. Electrostática

El punto de potencial de referencia se elige de modo que sea infinito.
En la ecuación anterior se supone que V1 0 cuando P1 está en el infinito y, por
consiguiente, el potencial eléctrico V en cualquier punto P está dado por
2. Electrostática

Potencial eléctrico producido por cargas puntuales
Para una carga puntual q localizada en el origen de un sistema de coordenadas
esféricas, el campo eléctrico E a una distancia R está determinado por la ecuación
La elección de una trayectoria de integración entre los dos puntos extremos es
arbitraria. Por consiguiente, se elegirá convenientemente la trayectoria para que
quede a lo largo de la dirección radial R , en cuyo caso dl = R dR
2. Electrostática
V

Potencial eléctrico producido por cargas puntuales
Aplicando el principio de superposición así como en el caso del campo eléctrico E,
también es válido para el potencial eléctrico V. Por consiguiente, para N cargas
puntuales discretas, q1, q2,..., qN con vectores de posición R1, R2,..., RN, el potencial
eléctrico es
2. Electrostática

Potencial eléctrico producido por distribuciones continuas
Para una distribución de carga continua especificada sobre un volumen dado v’, a
través de una superficie S’ o a lo largo de una línea l’, se reemplaza en la ecuación
con, respectivamente, ρv, dv’, ρS dS’ y ρl dl’; luego se convierte la suma en
integración; y, se define R’ = ǀR - Riǀ
2. Electrostática

Campo eléctrico en función del potencial eléctrico
Se explora la relación inversa examinando la forma diferencial de V.
Para una función escalar V, la diferencia de potencial dV = V2 – V1 se puede poner de
la siguiente manera:
𝑑𝑉 =
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝑑𝑧
Donde ΔV es el gradiente de V. Si se compara entre estas ecuaciones
Esta relación entre V y E en forma diferencial permite determinar E para cualquier
distribución de carga
2. Electrostática

Propiedades eléctricas de los materiales
Los parámetros constitutivos electromagnéticos de un medio material son su
permitividad eléctrica ε, permeabilidad magnética μ y conductividad σ.
Se dice que un material es homogéneo si sus parámetros constitutivos no varían de
un punto a otro y es isotrópico si sus parámetros constitutivos son independientes
de la dirección. La mayoría de los materiales exhiben propiedades isotrópicas, pero
algunos cristales no.
La conductividad de un material mide la facilidad con la que los electrones pueden
viajar a través del material por la influencia de un campo eléctrico externo.
Los materiales se clasifican como conductores (metales) o dieléctricos (aislantes) de
acuerdo con las magnitudes de sus conductividades. Un conductor tiene un gran
número de electrones débilmente adheridos en las capas más externas de los
átomos. Sin un campo eléctrico externo, estos electrones libres se mueven en
direcciones aleatorias y con rapidez variable.
2. Electrostática

Al aplicar un campo eléctrico externo, los electrones emigran de un átomo al
siguiente a lo largo de una dirección opuesta a la del campo externo. Su
movimiento, que se caracteriza por una velocidad promedio llamada velocidad de
flujo de electrones ue, esto origina una corriente de conducción.
En un dieléctrico, los electrones están fuertemente adheridos a los átomos, tanto
que es muy difícil desprenderlos bajo la influencia de un campo eléctrico. Por
consiguiente, no fluye corriente a través de este dieléctrico.
Un dieléctrico perfecto es un material con conductividad σ = 0 y, en contraste, un
conductor perfecto es un material con σ = ∞.
2. Electrostática

Conductividad de algunos materiales comunes a 20°C.
2. Electrostática

La conductividad σ de la mayoría de los metales se encuentra en el rango de 106 a
107 S/m, en comparación con 10-10 a 10-17 de los buenos aislantes.
Los materiales cuyas conductividades σ quedan comprendidas entre las de
conductores y aislantes se llaman semiconductores.
La σ de los metales se incrementa con la temperatura decreciente y a temperaturas
muy bajas en la cercanía del cero absoluto, algunos conductores se vuelven
superconductores porque sus conductividades llegan a ser prácticamente infinitas.
2. Electrostática
La diferencia entre conductores y aislantes está dada por la conductividad

Conductores
La velocidad de flujo ue de electrones en un material conductor está relacionada con
el campo eléctrico externamente aplicado E por
donde μe es una propiedad de material llamada movilidad de electrones con
unidades de (m2/V·s).
Con lo que puede transformarse en
se conoce como forma puntual de la ley de Ohm.
Un dieléctrico perfecto con σ = 0, J = 0 sin importar E, mientras que en un conductor
perfecto con σ = ∞, E = J/σ = 0 sin importar J. Es decir,
Dieléctrico perfecto J = 0
Conductor perfecto E = 0
2. Electrostática

Conductores
Un conductor «perfecto» es un medio equipotencial, lo que significa que el
potencial eléctrico es el mismo en todos los puntos del conductor. Esta propiedad se
deriva del hecho de que V21 (la diferencia de voltaje entre dos puntos del conductor)
es, por definición, igual a la integral de línea de E entre dos puntos, como se indicó
anteriormente; y como E = 0 en todas partes de un conductor perfecto, la diferencia
de voltaje V21 = 0.
2. Electrostática

Resistencia
Para demostrar el uso de la forma puntual de la ley de Ohm, se utilizará para derivar
una expresión para la resistencia R de un conductor de longitud l y sección
transversal uniforme A, como se muestra en la figura.
El eje del conductor está orientado a lo largo del eje x y se extiende entre los puntos
x1 y x2, con l = x2 - x1. Un voltaje V aplicado entre las terminales del conductor
establece un campo eléctrico E = Ex.
2. Electrostática

Resistencia
La relación entre V y Ex se obtiene aplicando
La corriente que fluye a través de la sección A en x2 es
Como R = V / I, la razón entre las ecuaciones resulta
2. Electrostática

Resistencia
El recíproco de R se llama conductancia G y su unidad es Ω-1, o siemens (S). Para el
resistor lineal,
2. Electrostática

Ley de Joule
La potencia P medida en watts (W) se define como la tasa de cambio de energía. El
cambio de potencia correspondiente a W es entonces (Fe y Fh son las fuerzas
eléctricas que actúan sobre las cargas de electrones y agujeros, respectivamente).
2. Electrostática

Ley de Joule
Considerando que J = ς E se puede expresar
Si se separa esta integral de volumen en un producto de una integral de superficie
sobre A y una integral de línea sobre l, se tiene
Con V = I R, se obtiene la expresión conocida
2. Electrostática

Dieléctricos
La diferencia fundamental entre un conductor y un dieléctrico es que el primero
tiene electrones débilmente adheridos (libres) que pueden emigrar a través de la
estructura cristalina del material, en tanto que los electrones presentes en las capas
más externas de un dieléctrico están fuertemente ligados al átomo.
2. Electrostática

Dieléctricos
Cuando un conductor se somete a un campo eléctrico externamente aplicado, los
electrones más débilmente ligados en cada átomo saltan de un átomo al siguiente,
con lo cual se establece una corriente eléctrica. Sin embargo, en un dieléctrico, un
campo eléctrico externamente aplicado Eext no puede efectuar la migración masiva
de cargas puesto que éstas no son capaces de moverse libremente, pero sí es capaz
de polarizar los átomos o moléculas presentes en el material al distorsionar el
centro de la nube y la ubicación del núcleo.
2. Electrostática

Dieléctricos
El átomo o molécula polarizada se representa por un dipolo eléctrico compuesto de
la carga q en el centro del núcleo y la carga q en el centro de la nube de electrones
[véase la figura (c)]. Cada dipolo establece un pequeño campo eléctrico, que apunta
del núcleo positivamente cargado al centro de la nube de electrones igual pero
negativamente cargada. Este campo eléctrico inducido, llamado campo de
polarización, es más débil pero de dirección opuesta a Eext.
2. Electrostática
Despolarizado
Polarizado por un campo eléctrico

Dieléctricos
Dentro del material dieléctrico, los dipolos se alinean en una configuración lineal,
como se ve en la figura.
A lo largo de los bordes superior e inferior del material, la configuración dipolar
exhibe una densidad de carga superficial positiva sobre la superficie superior y
negativa sobre la inferior.
2. Electrostática
Despolarizado

Dieléctricos
Las moléculas no polares se polarizan sólo cuando se aplica un campo eléctrico
externo y, cuando el campo se termina, las moléculas regresan a su estado no
polarizado original. En algunos materiales, como el agua, la estructura molecular es
tal que las moléculas poseen momentos dipolares permanentes orientados al azar
sin un campo eléctrico aplicado. Los materiales compuestos de dipolos permanentes
se conocen como materiales polares.
2. Electrostática
Despolarizado

Dieléctricos
En realidad, si E sobrepasa un cierto valor crítico, conocido como resistencia
dieléctrica del material, liberará los electrones por completo de las moléculas y los
acelerará a través del material en la forma de una corriente de conducción. Cuando
esto sucede, se producen chispas, y el material dieléctrico puede sufrir daños
permanentes a causa de la colisión de electrones con la estructura molecular. Este
abrupto cambio de comportamiento se llama ruptura dieléctrica.
La resistencia dieléctrica Eds es la magnitud más alta de E que el material puede
aguantar sin ruptura. La ruptura dieléctrica ocurre en gases, líquidos y dieléctricos
sólidos.
2. Electrostática
Permitividad relativa, εr Resistencia dieléctrica, Eds (MV/m)

Dieléctricos
La ruptura dieléctrica ocurre en gases, líquidos y dieléctricos sólidos. La resistencia
de campo asociada depende de la composición del material, así como también de
otros factores tales como temperatura y humedad.
2. Electrostática
Goma 30 – 50
Aceite para transformadores 15 – 25
Dióxido de silicio 100% (cuarzo fundido) 16,1
Polietafloruroetileno (teflón) 39,4
Cloruro de polivinilo (PVC) 16
Permitividad relativa, εr Resistencia dieléctrica, Eds (MV/m)

Capacitancia
Un capacitor es cuando están separados por un medio aislante (dieléctrico) dos
cuerpos conductores cualesquiera, sin importar sus formas y tamaños.
Al conectar una fuente de CD a los conductores arbitrarios, como se muestra en la
figura, se transfiere una carga de igual polaridad a las superficies de los conductores.
2. Electrostática

Capacitancia
2. Electrostática

Capacitancia
La capacitancia de un capacitor de dos conductores se define como
La presencia de cargas libres en las superficies de los conductores origina un campo
eléctrico E, como se aprecia en la figura; las líneas de campo se originan en las
cargas positivas y terminan en las negativas.
El componente «tangencial» de E siempre es igual a cero en la superficie de un
conductor, E siempre es «perpendicular» a las superficies conductoras.
El componente normal de E en cualquier punto de la superficie de uno u otro
conductor está determinado por
2. Electrostática
𝜌 𝑆 = 𝜀

Capacitancia
La carga Q es igual a la integral de ρs sobre la superficie S:
El voltaje V está relacionado con E por la ecuación donde P1 y p2 son dos puntos
cualesquiera de los conductores 1 y 2, respectivamente:
Si se sustituyen éstas últimas ecuaciones en C, se obtiene:
C depende sólo de la geometría del capacitor (tamaños, formas y posiciones
relativas de los dos conductores) y de la permitividad del material aislante.
2. Electrostática

Capacitancia y voltaje de ruptura de un capacitor de placas paralelas
(Ejemplo 4-11)
Obtenga una expresión para la capacitancia C del capacitor de placas paralelas
formado por dos placas paralelas cada una de área de superficie A y separadas por
una distancia d. El capacitor está relleno de un material dieléctrico con permitividad
ε. Además, determine el voltaje de ruptura si d = 1 cm y el material dieléctrico es
cuarzo.
2. Electrostática

(Ejemplo 4-11)
En la figura, la placa inferior se coloca en el plano x-y y la superior en el plano z = d.
A causa de la diferencia del voltaje aplicado V, se acumula carga Q de manera
uniforme en la placa superior y se acumula Q uniformemente en la placa inferior.
Considerando la expresión la magnitud de E en la frontera entre
conductor y dieléctrico es E = ρs/ε = Q/εA. La diferencia de voltaje es
2. Electrostática

(Ejemplo 4-11)
Considerando la expresión la magnitud de E en la frontera entre
conductor y dieléctrico es E = ρs/ε = Q/εA. La diferencia de voltaje es
Y la capacitancia
2. Electrostática

(Ejemplo 4-11)
Como V = Ed, de acuerdo con la ecuación anterior, se denomina (Vbr) V = Vbr cuando
E = Eds, la resistencia dieléctrica del material. De acuerdo con la tabla, Eds = 30
(MV/m) para cuarzo. Por consiguiente, el voltaje de ruptura es
Vbr = Edsd = 30 x 106 x 10-2 = 3 x 105 V
2. Electrostática

Energía potencial electrostática
Cuando se conecta una fuente a un capacitor, se consume energía para cargarlo.
La energía termina almacenada en el dieléctrico en la forma de energía potencial
electrostática.
La cantidad de energía almacenada We está relacionada con Q, C y V.
El voltaje v a través del capacitor está relacionado con q por
la cantidad de trabajo dWe requerida para transferir una cantidad incremental
adicional de carga es
Si se inicia con un capacitor descargado y se carga desde cero hasta una carga final
Q, entonces la cantidad de trabajo realizado es
2. Electrostática

Utilizando C = Q/V, donde V es el voltaje final, We también se escribe como
el voltaje V a través del capacitor está relacionado con la magnitud del campo
eléctrico E, en el dieléctrico por V = Ed. Si se utilizan estas expresiones en la
ecuación se obtiene
La densidad de energía electrostática ωe se define como la energía potencial
electrostática We por unidad de volumen:
2. Electrostática

Para cualquier volumen v que contiene un dieléctrico ε, la energía potencial
electrostática total almacenada en v es
2. Electrostática

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