1. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
Objetivo:
Se pretende que el estudiante encuentre algebraicamente antiderivadas
1.1 DEFINICIÓN
1.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1.2.1 FORMULAS
1.2.2 PROPIEDADES
1.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA
1.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
1.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES
1.2.6 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1.2.7 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
1.2.8 INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES. FRACCIONES PARCIALES
1.2.9 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES TRIGONOMÉTRICAS
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2. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
En la antigüedad existían dos problemas a resolver, el de la recta tangente y el área bajo una curva. El problema de la determinación de la ecuación de la recta tangente fue resuelto con la derivada y ya fue tratado en cálculo diferencial. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este curso. Sin embargo empezaremos en este capítulo hallando antiderivadas y en el siguiente capítulo utilizaremos antiderivadas para el propósito del cálculo integral.
1.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA
Llamamos a una antiderivada, primitiva o Fintegral indefinida de en el intervalo fI, si )()(xfxFDx= es decir )()´(xfxF=
1.1.1 Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:
∫+=CxFdxxf)()(
1.1.2 Teorema
Si , )´()´(xGxF=()bax,∈∀ entonces existe una constante tal que CCxGxF+=)()(, ()bax,∈∀
Demostración:
Sea )()()(xGxFxH−= definida en un intervalo entonces ()ba, )´()´()´(xGxFxH−=. Por Hipótesis, como )´()´(xGxF= entonces 0)´(=xH, . ()bax,∈∀
Como H es derivable ()bax,∈∀, entonces de acuerdo el teorema del valor medio para derivada,()baxxx,),(10⊆∈∃ tal que xxxHxHxH− − = 110)()( )´(. Haciendo 0)´(0=xH tenemos 0)()( 11= − − xxxHxH es decir CxHxH==)()(1.
Por lo tanto CxGxF=−)()(
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1.2 INTEGRACIÓN.
Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación, como ya se habrá notado. Esto no es tan sencillo y requeriremos de técnicas, las cuales presentaremos a continuación.
En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas.
1.2.1 Formas (Fórmulas) Estándares de Integrales
1. ∫+=Cxdx
2. ∫+ + = + Cnxdxxnn11 ; 1−≠n
3. ∫+=Cxdxxln1
4. ∫+=Cedxexx
5. ∫+=Caadxaxxln
6. ∫+−=Cxxdxcossen
7. ∫+=Cxxdxsencos
8. ∫+=Cxxdxtgsec2
9. ∫+−=Cgxxdxcotcsc2
10. ∫+=Cxxdxxsectgsec
11. ∫+−=Cxgdxxcsccotcsc
12. CxCxxdx+=+−=∫seclncoslntg
13. ∫+=Cxgxdxsenlncot
14. ∫++=Cxxxdxtgseclnsec
15. ∫+−=Cgxxxdxcotcsclncsc
16. ∫+⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛= − Caxdxxaarcsen122
17. ∫+⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛= + Caxadxxaarctg1122
18. CxaaCaxadxaxx+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = −∫arccos1arcsen1122
19. ∫+=Cxxdxcoshsenh
20. ∫+=Cxxdxsenhcosh 3
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Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas.
Ejemplo 1
Calcular ∫dxx2
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 2. CxCxdxx+=+ + = +∫3123122
Ejemplo 2
Calcular ∫dxx1
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 2. Cxdxxdxx+== +− +− −∫∫112121211
Ejemplo 3
Calcular ∫+ dxx241
SOLUCIÓN:
Sería cuestión de emplear la formula 17. ()Cdxxx+= +∫222arctan2121
Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares hacemos uso de las siguientes propiedades.
1.2.2 PROPIEDADES.
La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es decir:
1. []∫∫∫±=±dxxgdxxfdxxgxf)()()()(
2. ∫∫∈=Rkdxxfkdxxkf;)()(
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Ejemplo 4
Calcular ∫⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛−+dxexxx4sin32
SOLUCIÓN:
Aplicando propiedades y fórmulas: Cexxdxexdxdxxdxedxdxxdxexxxxxx+−−= −+= −+=⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛−+ ∫∫∫ ∫∫∫∫ 4cos3ln24sin3124sin324sin32
Para situaciones un tanto más complejas se requerirá de técnicas para lograr el objetivo.
1.2.3 TECNICAS DE INTEGRACIÓN
1.2.3.1 INTEGRACIÓN DIRECTA.
Puede ser que, haciendo uso de recursos algebraicos, de las propiedades y de las formulas se puedan encontrar antiderivadas.
Ejemplo 1
Calcular ()∫− dxxxx331
SOLUCIÓN:
Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta:
() CxxxxCxxxxdxxdxxdxxdxxdxxxxxdxxxxxxxxdxxxxxdxxxx+−+−−= +−+− − = −+−= ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −+−= ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −+−= −+− = − − − −− −− ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ 3835323138353231353231343532313434334234343432338359293383533233133333313311
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Ejercicios Propuestos 1.1
Encuentre las antiderivadas de:
1. ()∫−dxx323
2. ∫⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −dxxxx211
3. ()()dxxxx∫−+ 322221
4. dxxxx∫−+− 105211
5. dxxxx∫++− 3442
1.2.3.2 INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un cambio de variable se transformen en integrales inmediatas.
En este caso las formulas de integrales se las puede observar no sólo para "" sino para otra variable. x
Ejemplo 1
Calcular()∫−dxx301
SOLUCIÓN:
No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más conveniente si empleamos el cambio de variable xt−=1 .
Del cambio de variable, tenemos: dtdxdxdxdt−=→−=1.
Ahora sustituyendo resulta: ()Ctdttdtt+−=−=−∫∫31313030
Una vez integrado, reemplazando se obtiene:t()()Cxdxx+ − −=−∫31113130
Ejemplo 2
Calcular∫dxxxsen
SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: xt=.
Del cambio de variable se obtiene: dtxdxxdxdt221=→=.
Sustituyendo resulta: ()∫∫∫+−===Cttdtdtxxtdxxxcos2sen22sensen
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Una vez integrado, reemplazando "" tenemos: tCxdxxx+−=∫cos2sen
Ejemplo 3
Calcular∫−dxxx1
SOLUCIÓN:
Aquí empleamos el cambio de variable: 1−=xt
Del cambio de variable se obtiene: dtdxdxdt=→=1
Sustituyendo resulta: ∫∫=−dttxdxxx1
Como no se simplifica la , debemos reemplazarla. x
En este caso, despejando del cambio de variable: 1+=tx
Entonces: ()() Cttdttdttdttttdtttdttx++= +=+=+=∫∫∫∫∫ 2332 255221231
Una vez integrado, reemplazando t resulta: ()()Cxxdxxx+−+−=−∫2332 2552111
Ejemplo 4
Calculardxxextanarcxxtanarc∫⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −+− 1142
SOLUCIÓN:
Separando las integrales, tenemos: dxxedxxarctanxdxxdxxxxtanarc∫∫∫∫+ − + + + − +1111142222
Ahora tenemos 4 integrales, que se las trata por separado.
1. dxxx∫+142. Esta integral se la resuelve por cambio de variable 12+=xt, de donde xdxdt2=, entonces xdtdx2=.
Sustituyendo, resulta: CxCtdttxdttxdxxx++=+=== +∫∫∫1ln2ln212241422
2. dxx∫+112. Esta integral es directa. Carctanxdxx+= +∫112
3. dxxx∫+1arctg2. Esta integral se la resuelve por cambio de variable xtarctg=, de donde 112+ = xdxdt, entonces ()dtxdx12+=.
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Sustituyendo, resulta: ()()CarctanxCttdtdtxxtdxxarctanx+=+==+ + = +∫∫∫2211122222
4. dxxexarc∫+12tg. Para esta integral sirve el mismo cambio de variable, por tanto: ()∫∫∫+=+==+ + = + CeCedtedtxxedxxearctanxtttxtanarc111222
FINALMENTE: () Cextanarcxtanarcxdxxextanarcxxtanarcxtanarc+−+−+= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + −+−∫21ln2114222
Ejemplo 5
Calcular ()∫⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ +++221ln1xxxdx
SOLUCIÓN:
Tomando el cambio de variable: ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛++=21lnxxt
Del cambio de variable: dtxdxxdxdtxxxxxxxxxdxdt222222211111112121111+=→ + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ++ ++ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ++ =
Reemplazando, resulta: () CxxCtdtttxdtxxxxdx+⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛++= +== + + = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛+++ ∫ ∫∫ − 2212122221ln22111ln1
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Ejercicios Propuestos 1.2
Calcular:
1. ()∫−2525xdx
2. ∫−dxxx12
3. ∫⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛π+ 42sen2xdx
4. ()dxx∫−2sen1
5. dxxx∫− + 112
6. ()∫+ + dxxx2211
7. ()∫+xxdx1
8. ()dxxxxtanarc∫+1
9. dxxxx∫⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − + −11ln112
10. ∫−++11xxdx
11. dxxxxx∫− −++ 422111
12. ∫+xxdxxln1ln
13. ()∫xxxdxlnlnln
14. ∫− + dxxaxa
15. ∫+ dxxbxaxx2222cossencossen
16. ∫42tgsenxcxdx
17. ∫+ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛++ dxxxx2211ln
18. ∫− dxxxxx4932
19. ()∫+++ 32211xxdxx
20. dxxxx∫+− − 38412
1.2.3.3 INTEGRACION POR PARTES.
Para el producto de funciones, tenemos: ()vduudvuvd+=
Despejando y tomando integral, resulta: () ()∫∫∫−= −= vduuvdudvvduuvdudv
En definitiva, la formula que se emplea en integración por partes es: ∫∫−=vduuvudv
Ejemplo 1
Calcular ∫dxexx
SOLUCIÓN: Haciendo u = x y dxedvx=.
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Entonces dxdu= y xxedxev==∫
Integrando, resulta: }}}}} Ceexdxeexdxexxxduvxvxudvxu+−= −=∫∫876
Ejemplo 2
Calcular ()∫−+dxxxxsen5322
SOLUCIÓN: Haciendo u = 2 x 2 + 3 x − 5 y dxxdvsen=. Entonces du = (4 x + 3)dx y xxdxvcossen−==∫
Por lo tanto, integrando tenemos:
()()()()() ()()∫ ∫∫ ++−+−= +−−−−+=−+ xdxxxxxdxxxxxxdxxxxduvvudvucos34cos53234coscos532sen5322224847648476484764484476484764484476Ahora, la integral ()∫+xdxxcos34 también se la realiza por partes.
Haciendo 34+=xu y dxxdvcos=. Entonces dxdu4= y xxdxvsencos==∫
Por tanto: ()()( ()xxxdxxxxxdxxcos4sen344sensen34cos34++= −+=+ ) ∫∫
FINALMENTE: ()()()Cxxxxxxdxxxx++++−+−=−+∫cos4sen34cos532sen53222
Ejemplo 3
Calcular xdxexcos∫
SOLUCIÓN: Haciendo u = e x y dxxdvcos=. Entonces du = e x dx y xxdxvsencos==∫
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Por tanto: ∫∫−=dxexxexdxexxxsensencos
La integral se la calcula por parte. Hacemos ∫dxxexsenxeu= y dxxdvsen=. Entonces dxedux= y xxdxvcossen−==∫.
Por lo tanto ∫∫+−=xdxexexdxexxxcoscossen
FINALMENTE:
∫∫ ∫∫ −+= ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−−= xdxexexexdxexdxexexexdxexxxxxxxxcoscossencoscoscossencos
Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando Cxexexdxexexexdxexxxxxx+ + = += ∫ ∫ 2cossencoscossencos2
Ejemplo 4
Calcular ∫xdxxln
SOLUCIÓN:
Aquí debemos tomar xuln= y dxxdv=.(¿por qué?)
Entonces dxxdu1= y 22xxdxv==∫
Por tanto: () Cxxxxdxxxdxxxxxxdxx+⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −= −= ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ∫∫ 2lnln122lnln2212212122122
Ejemplo 5
Calcular ∫xdxln
SOLUCIÓN:
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Entonces, aquí sería también xuln= y dxdv=. Entonces dxxdu1= y xdxv==∫
Por tanto: Cxxxdxxxxxxdx+−= ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛−=∫∫ ln1lnln
Ejemplo 6
Calcular ∫dxxxarctg
SOLUCIÓN: Tomamos x u y = arctg xdxdv=, entonces: dxxdu211+ = y 22xv=
Por tanto: () dxxxxxdxxxxxxdxx∫ ∫∫ + −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1arctg1122arctgarctg2221221222
Para la última integral dividimos el numerador entre el denominador, resulta: 1111222+ −= +xxx
Reemplazando ∫∫∫∫−= + −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −= + xxdxxdxdxxdxxxarctg1111112222
FINALMENTE: []Cxxxxxdxx+−−=∫arctgarctgarctg21221
Ejercicios Propuestos 1.3
Encuentre las antiderivadas de:
1. ∫ dxexx3
2. ()∫+dxexx21
3. ()∫−xdxx3sen12
4. ()∫−dxxx13sen
5. ∫ −dxexx22
6. ()∫+−dxexxx2223
7. ()∫−xdxxln12
11. ()∫dxxx2arctg
12. ∫dxex
13. ∫⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛++dxxx21ln
14. ∫dxxarcsin
15. ∫xdxarctg
16. ()∫dxxtanarc
17. ()∫dxxlncos
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8. ∫dxxx2ln
9. ∫dxxxln
10. ∫xdxxx2sencos
18. dxx∫sen
19. ()∫dxxlnsen
20. ()∫dxxxtglnsen
1.2.3.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.
Cuando se integran funciones trigonométricas que no sean directas, es necesario utilizar identidades trigonométricas. Se las ha clasificado de la siguiente manera:
TIPO I: Integrales de la forma: ∫dxxnsen o ∫dxxncos
Para este caso se sugiere, lo siguiente:
1. Si "" es IMPAR usar: nxxxx2222sen1coscos1sen−= −=
2. Si "" es PAR usar: n22cos1cos22cos1sen22xxxx+ = − =
Ejemplo 1
Calcular ∫dxx2cos
SOLUCIÓN:
Usamos la regla para la potencia par: Cxxxdxdxdxxdxx+⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ += ⎟⎠⎞ ⎜⎝ ⎛+ = ∫∫ ∫∫ 22sen212cos12122cos1cos2
Ejemplo 2
Calcular ∫dxx3sen
SOLUCIÓN:
Ahora usamos la regla para la potencia impar: () ∫∫∫ ∫∫ −= −= = xdxxxdxxdxxxdxxdxxsencossensencos1sensensen2223
De esto último, la primera integral es directa y la segunda es por sustitución.
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1. xxdxcossen−=∫
2. ∫ requiere el cambio de variable xdxxsencos2xtcos= entonces xdxdtsen−=. Reemplazando resulta: ()∫∫−=−= 3cossencos322xdttxdxx
FINALMENTE: Cxxxdx++−=∫3coscossen33
Ejemplo 3
Calcular ∫dxx4cos
SOLUCIÓN:
Ahora usamos la regla para la potencia par: () Cxxxxxdxdxxxdxxxxxdxxdxdxdxxdxxdxx+⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ +++= ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +++= ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛+ ++= ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ++= ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛+ = = ∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ 44sen212sen414cos1212sen4124cos122sen2412cos2cos214122cos1coscos22224
TIPO II. Integrales de la forma ∫dxxxnmcossen
1. si son impares nm∨
Ejemplo
Calcular ∫−dxxx43cossen
SOLUCIÓN:
Como el exponente de seno es impar, hacemos lo siguiente:
() ()()∫∫ ∫ ∫∫ −− − −− −= −= = dxxxdxxxdxxxxdxxxxdxxxsencossencoscossencos1cossensencossen24424243
Ambas integrales se resuelven por sustitución. Haciendo cambio de variable xtcos= de donde xdxdtsen−=, resulta
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TIPO III. Integrales de la forma: nxdxxmcossen∫, , nxdxxmsensen∫ nxdxxmcoscos∫
En este caso se recomienda usar, las siguientes identidades como sea conveniente:
()()[] ()()[] ()()[]xnmxnmnxmxxnmxnmnxmxxnmxnmnxmx−++= −−+−= −++= coscos21coscoscoscos21sensensensen21cossen
Ejemplo 1
Calcular: dxxx∫3cos2sen
SOLUCIÓN:
Empleando la identidad trigonométrica respectiva y simplificando, resulta: ()()[] () Cxxdxxxdxdxxxdxxx+⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+−= ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −+= −++= ∫∫ ∫∫ cos55cos21sen5sen2132sen32sen213cos2sen
Ejemplo 2
Calcularxdxxx3sen2sensen∫
SOLUCIÓN:
Agrupando y aplicando identidades, tenemos:
() ()()[] ()[] [][] Cxxxxdxxdxxdxdxxxxxxdxxxdxxdxxxxxxdxxxxdxxxxdxxx+⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡++−−= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−−= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +−+−= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −−= −−−= −−+−= = ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ 22cos44cos66cos412sen4sen6sen412sen4sen210sen6sen2121cos3sen3cos3sen213sencos3sen3cos213sen21cos21cos213sen2sensen3sen2sensen
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TIPO IV. Integrales de la forma: ∫dxxntg y ∫dxxgncot
Aquí se recomienda usar las identidades: 1csccot1sectg2222−= −= xxgxx
Ejemplo 1
Calcular ∫dxx3tg
SOLUCIÓN: () ∫∫∫ ∫∫ −= −= = xdxxdxxxdxxgxdxtxdxxtgtgsectg1sectgtg2223
La segunda integral es directa, mientras que la primera es por sustitución. xttg= de donde xdxdt2sec=
FINALMENTE: () Cxxxtdtdxx++= −−=∫∫ cosln2tgcoslntg23
Ejemplo 2
Calcular ∫dxxg4cot
SOLUCIÓN:
Empleando la identidad trigonométrica respectiva y aplicando propiedades, resulta:
() ∫∫∫ ∫∫ −= −= = xdxgxdxxgdxxxgdxxgxgdxxg22222224cotcsccot1csccotcotcotcot
La primera integral es por sustitución y la segunda se emplea la identidad trigonométrica respectiva, es decir:
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18. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
() Cxgxxgdxxdxxgdxxxgdxxgdxxgxdxxgdtt+++−= +−−= −−−= − ⎟⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∫∫∫ ∫∫∫− cot3cotcsc3cot1csc3cotcotcsccotcot32323222443421321
TIPO V. Integrales de la forma: ∫xdxxnmsectg y ∫xdxxgnmcsccot
Caso 1. Si el exponente de la secante o cosecante "" es par, se procede con el diferencial de la tangente o cotangente. n
Ejemplo
Calcular ∫−xdxx423sectg
SOLUCIÓN: () ∫∫∫ ∫∫ − − −− += += = dxxxdxxxdxxxxxdxxxdxxx22322122232223423sectgsectgsec1tgtgsecsectgsectg321
Las dos integrales últimas se hacen por sustitución: {{ CxxCxxdxxxdxxxxdxxdttdtt+−= + − += ⎟⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − − −∫∫∫ 2123322123223221423tg2tg21tg23tgsectgsectgsectg4342143421
Caso 2. Si el exponente de la tangente o cotangente "" es impar, se procede con el diferencial de la secante o cosecante. m
Ejemplo
Calcular ∫−xdxx213sectg
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19. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
SOLUCIÓN:
Descomponiendo para obtener el diferencial de la secante () ()∫∫−−= 4434421xdxdxxxxxdxxsec232213tgsecsectgsectg
y luego resolviendo, tenemos: ()() ()()∫∫ ∫∫ − −− −= −= xdxxxxdxxxxdxxxxxdxxtgsecsectgsecsectgsecsec1secsectg2321232213
estas últimas integrales se resuelven por sustitución: {(){() xxxdxxxxdxxxxdxxdttdtt212332 2321213sec2sectgsecsectgsecsecsectg− − − += ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =∫∫∫44344214434421
Otras integrales trigonométricas pueden requerir tratamientos ya definidos:
Ejemplo
Calcular ∫dxx3sec
SOLUCIÓN:
Esta integral se resuelve por partes
{∫∫=43421dvuxdxxdxx23secsecsec
Entonces si tomamos xusec= tenemos xdxxdutgsec= y si tomamos xdxdv2sec= tenemos xvtg=
Ahora, integrando }}} () xxxdxxxdxxxdxxdxxxxdxxxxxdxxxxxdxxxxxdxxduvvutgseclnsectgsecsecsecsectgsecsec1sectgsecsectgtgsectgsectgtgsecsec333223++−= +−= −−= −= −= ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫48476
FINALMENTE, despejamos la integral buscada Cxxxxdxxxxxxdxx+++= ++= ∫ ∫ tgseclntgsecsectgseclntgsecsec2212133
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20. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
Ejercicios Propuestos 1.4
Encuentre las antiderivadas de:
1. ()dxx∫−2cos322
2. ∫ xdx3sen3
3. ∫ dxx6cos
4. ∫dxxxsencos5
5. ∫ dxxx5sen3sen
6. ∫dxxx32cos3sen
7. ∫⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ −dxxxsen43cos62 ππ
8. ∫ dxxx3coscos2
9. ()()dxxx∫2cos2sen73
10. ∫dxxxx3cos2coscos
11. ∫dxxtan5
12. ∫dxxc6tg
13. dxx∫5tan2
14. xdxx∫−23sectg5
15. ∫xxdx22cossen
16. ()()∫232xxCosSendx
17. ∫xxdx42cossen
18. ()∫π+ dxxxxcossensen4
19. ∫xxdxcossen2
20. ∫dxx3csc
1.2.3.5 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA.
Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante una sustitución trigonométrica. Usualmente presenta la forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados, en tal caso se recomienda:
Si tenemos 22xa− sustituir taxsen=
Si tenemos 22xa+ sustituir taxtg=
Si tenemos 22ax− sustituir taxsec= 20
21. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
Ejemplo 1
Calcular∫− dxxx224
SOLUCIÓN:
En este caso hacemos txsen2= entonces tdtdxcos2=
Reemplazando y resolviendo, resulta: () () () () Ctgtdttdtdtttdtgdttttdttttdttttdttttdttttdtttdxxx+−−= −= −= = = = = − = − = − = − ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫ cotcsc1csccotsencoscossen2cos2cossen2cos4cossen2sen14cos2sen4sen44cos2sen2sen2442222222222222222
Ahora hay regresar a un expresión en "x", para lo cual del cambio de variable tenemos 2senxt=. Por trigonometría, hacemos el siguiente triángulo:
De la figura, observamos que xxtg24cot− = y como 2arcsenxt= tenemos: CxxxCtgtdxxx+− − −= +−−= −∫ 2arcsen4cot4222
2t
x 24x−
21
22. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
Ejemplo 2
Calcular()∫+23239xdxx
SOLUCIÓN:
En este caso hacemos txtg3= entonces dttdx2sec3=
Reemplazando y resolviendo, resulta:
() () ()() () () []Ctttdttdttdtttdttttdttttdttttdtttdttttdttttdtttttdtttxdxx++= ⎥⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢ ⎣ ⎡ −= ⎥⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢ ⎣ ⎡ −= − = = = = = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛+ = + = + ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ cossec3sentgsec3sectgsecsectg3sec1sectg3sectgtg3sectg3sec27sectg81sec3sectg819tg9sec3tg27sec39tg3tg3922233233233223223232323
Ahora por trigonometría, del cambio de variable 3tgxt= tenemos el siguiente triángulo: 92+x
t
Por tanto 39sec2+ =xt y 93cos
2 +
=
x
t
FINALMENTE, ()Cxxxdxx+ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + + + = +∫933939222323
x
3
22
23. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
Ejemplo 3
Calcular∫− dxxx3216
SOLUCIÓN:
En este caso hacemos txsec4= entonces tdttdxtgsec4=
Reemplazando y resolviendo, resulta: () () () CtttCtttdtdtdtttdtdttttdttttdttttdttttdttttdtttttdttttdxxx+⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −= +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −= ⎥⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣ ⎡ −= ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛− = = = = = = − = − = − = − ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫ 2cossen28122sen812cos18122cos141sen41cos1cossen41sec4tgtgsec4tg4tgsec4tg16tgsec41sec16tgsec4sec416sec16tgsec4sec416sec416222222 222222223323232
Ahora por trigonometría , del cambio de variable 4secxt= tenemos el siguiente triángulo:
x
t 162−x
4
Por tanto, 4secxarct= , xxt16sen2− = y xt4cos=
23
24. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
FINALMENTE: CxxxxarcCtttdxxx+ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎣ ⎡− −= +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡−= −∫ 4164sec812cossen28116232
En otras integrales, es necesario completar cuadrado primero.
Ejemplo 4
Calcular∫−−dxxx245
SOLUCIÓN:
Primero completamos cuadrado, para de allí realizar una simple sustitución algebráica y luego la sustitución trigonométrica que convenga. () ()dxxdxxxdxxx∫ ∫∫ +−= +++−=−− 22229444545
En la última integral podemos hacer 2+=xu entonces dxdu= y la integral quedará así: ∫−duu29
Para la cual la sustitución trigonométrica adecuadas es tusen3= de la cual resulta tdtducos3=. Reemplazando y resolviendo, tenemos: CtttCttdttdtdtttdttdtttdttduu+⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += +⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ += ⎥⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢ ⎣ ⎡ += ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛+ = = = −=− ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ 2cossen22922sen292cos12922cos19cos9cos3cos3cos3sen999222
Del cambio de variable 3senut= obtenemos el siguiente triángulo: t3
u
24 29u−
26. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
1.2.3.6 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Cuando la función racional )( )( xqxp es una fracción propia, o sea que el grado del numerador es menor que el grado del denominador, se recomienda usar el método de fracciones parciales.
REGLA GENERAL
Sea )( )( xqxp una fracción propia. Entonces:
1. Se podrá expresar en tantas fracciones parciales como factores tenga el denominador . )(xq
2. Cada denominador de las fracciones parciales es un factor de . )(xq
3. El numerador de cada fracción parcial será un polinomio de un grado menor a su denominador.
Ahora veámos por caso.
CASO I: se descompone en factores lineales diferentes )(xq
Ejemplo
Calcular dxxxxx∫−− + 323523
SOLUCIÓN:
Note que tenemos la integral de una fracción propia (el grado del numerador es uno mientras que el grado del denominador es tres). Empecemos factorizando el denominador ()()( ) 133522353235223+− + = −− + = −− + xxxxxxxxxxxx
El denominar se expresa en 3 factores lineales diferentes, entonces sus fracciones parciales serían de la forma siguiente: ()()131335+ + − += +− + xCxBxAxxxx
Ahora debemos encontrar los valores de A, y BC
Multiplicando por ()()13+−xxx a cada termino, resulta: ()())3()1(1335−++++−=+xCxxBxxxAx
Una manera rápida y efectiva es evaluando la última expresión en las raíces de : )(xq
Si 0=x , resulta:
()() 133)30)(0()10)(0(10303)0(5−= −= −++++−=+ AACBA
Si 3=x, resulta:
()() 231218)33)(3()13)(3(13333)3(5= = −++++−=+ BBCBA
Si 1−=x , resulta:
26
27. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
()() 2142)31)(1()11)(1(11313)1(5−= =− −−−++−−++−−−=+− CCCBA
Integrando, Cxxxdxxdxxdxxdxxxxdxxxxx++−−+−= + − − +−= ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − + − = −− + ∫∫∫ ∫∫− 1ln3lnln11213123113132352123 212323
CASO II. En hay factores lineales repetidos )(xq
Ejemplo
Calcular ()()∫−+ +− dxxxxx22131383
SOLUCIÓN:
En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma: ()()()222113131383− + − + + = −+ +− xCxBxAxxxx
multiplicando por ()()213−+xx se obtiene: ()()())3(131138322++−++−=+−xCxxBxAxx
Evaluando para las raíces:
Si 3−=x, resulta:
()()()() 41664)33(1331313)3(83322= = +−+−+−+−−=+−−− AACxBA
Si 1=x, resulta:
()()() 248)31(11311113)1(8)1(322= = ++−++−=+− CCCBA
Como ya no disponemos de otra raíz, evaluamos para cualquier otro x y empleamos los valores ya encontrados:
Si 0=x, resulta:
()()() 163413)30(2103010413)0(8)0(322−= ++−= ++−++−=+− BBB
Integrando
()()() () Cxxxdxxdxxdxxdxxxxdxxxxx+ − −−−+= − + − − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − − + + = −+ +− ∫∫∫ ∫∫ 121ln3ln4112113141211341313832222
27
28. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
CASO III. En hay factores cuadráticos irreducibles )(xq
Ejemplo 1
Calcular ∫+− + dxxxxx5425232
SOLUCIÓN:
En este caso las fracciones parciales para la integral serían de la forma: () () 544254255425222232+− +− += +− + = +− + xxCxBxAxxxxxxxx
Note que para el polinomio de grado uno, que es numerador de la fracción con denominador el factor cuadrático, se lo define con la derivada del denominador; por asunto de facilitar el cálculo de la derivada.
Simplificando, tenemos: ()()[]()xCxBxxAx+−++−=+42542522
Evaluando para 0=x,
()()()()()()[]() 52520402504020522= = +−++−=+ AACBA
Para 2=x, porque anulamos el término que contiene a B y como ya se conoce el valor de A
()()()()()()[]() () 5542122242252422255222= += +−++−=+ CCCBA
Evaluando para 1=x y empleando lo valores de A y C, tenemos:
()()()()()()[]() ()()[] 102322714125141215554525542522= +−+= +−++−=+ BBB
Ahora, integrando resulta () () ()Cxxxxdxxxxxdxxxdxxxxdxxdxxxxxdxxxxx+−++−+= +− ++−+= +− + +− − += ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +− +− += +− + ∫ ∫∫∫ ∫∫ 2arctg55454ln1023ln5212155454ln1023ln525415545442102315254425425222222554102352232
Ejemplo 2
Calcular ∫+ − dxxxx331
SOLUCIÓN:
Note que en esta integral la fracción no es propia, el grado del numerador es 3 y el del denominador también; por tanto dividiendo primero, se obtiene: xxxxxx+ + −= + − 333111
La integral sería ahora:
28
29. MOISES VILLENA MUÑOZ La integral Indefinida
∫∫ ∫∫ + + −= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + + −= + − dxxxxdxdxxxxdxxxx333311111
La primera integral es directa y la segunda por fracciones parciales. Entonces: () () 12111223+ + += + + = + + xCxBxAxxxxxx
Simplificando tenemos: ()()[]()xCxBxAx+++=+2112
Evaluando para 0=x, resulta: ()()[]() 1)1(10)0(210102= = +++=+ AACBA
Evaluando para 1=x y utilizando el valor obtenido para A, resulta
()()[]() 022221)1(2111112=+ ++= +++=+ CBCBCB
Evaluando para 1−=x y utilizando el valor obtenido para A, resulta
()()()()[]() 22220112111112−=− −+= −+−++−=+− CBCBCB
Tomando simultáneamente, ambos resultados, encontramos los valores de B y C
⎩⎨⎧ −=− =+ 2202CBCB
Bastaría con sumar miembro a miembro las ecuaciones y obtendríamos B: 2124−= −= BB
Entonces 12122= ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛−−= −= CCBC
OTRO MÉTODO para obtener A, B y C, que en ocasiones es más ventajoso, es el que sigue:
En la expresión ()()[]()xCxBxAx+++=+2112 simplificamos hasta obtener un polinomio reducido en ambos lados de la ecuación, es decir:
()ACxxBAxCxBxAAxx+++=+ +++=+ 2222121
De la última expresión, rápidamente se puede decir que: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = += ACBA1120
Por tanto ⎪⎩⎪⎨⎧ = −= = 1211CBA
En fin, ahora integrando tenemos:
29
