Este documento describe los conceptos fundamentales detrás de los péndulos compuestos y físicos. Explica que un péndulo compuesto es un sólido rígido que oscila alrededor de un eje fijo debido a la gravedad. También define el período de oscilación para péndulos compuestos y físicos y describe cómo se puede usar un péndulo de Kater para medir la aceleración de la gravedad.

1. PENDULO COMPUESTO
I. OBJETIVO:
 Determinar el momento de inercia del centro de gravedad de una
barra.
II. FUNDAMENTON TEORICO
APENDULO COMPUESTO
DEFINICION 1. Un péndulo físico es un cuerpo rígido que efectúa
oscilaciones por la acción de la gravedad alrededor de un eje horizontal fijo
O que no pasa por su centro de gravedad CG. .El péndulo físico, también
llamado péndulo compuesto, es un sistema integrado por un sólido de
forma irregular, móvil en torno a un punto o a eje fijos, y que oscila
solamente por acción de su peso.
Representado un péndulo físico, que consiste de un cuerpo de masa m
suspendido de un punto de suspensión que dista una distancia d de su
centro de su masa.
El período del péndulo físico para pequeñas amplitudes de oscilación está
dado por la expresión siguiente :
2
. .
oI
T
m g d

Donde “I” es el momento de inercia de péndulo respecto del centro de
rotación (punto de suspensión) , : la masa del mismo, : la aceleración de la

2. gravedad del lugar y : la distancia del centro de masa del péndulo al centro
de rotación .
DEFINICIÓN 2 :
Se denomina Péndulo Físico, a cualquier péndulo real, o sea, que en
contraste con el péndulo simple no tiene toda la masa concentrada en un
punto. Un péndulo físico, de forma de lámina, cuyo centro de masa es C.G
tiene un eje de rotación en O y se separa un ángulo “ ” de su posición de
equlibrio.
Un cuerpo de forma irregular está articulado alrededor de un eje
horizontal sin rozamiento que pasa por O y se desplaza un ángulo “ ” de la
posición de equilibrio. La posición de equilibrio es aquella para la cual el
centro de masa del cuerpo C.G, se encuentra debajo de O y en la vertical
que pasa por ese punto. La distancia del eje al centro de masa es d , el
momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje pasa por el eje de
rotación es oI , y la masa del cuerpo es m . El momento restaurador para un
desplazamiento angular  es:
. .oM mg d sen 
Y se debe a la componente tangencial de la fuerza de gravedad. Puesto que
oM es proporcional a sen y no a  , la condición para que el movimiento
sea armónico simple, en general, no se cumple en este caso. Sin embargo,
para pequeños desplazamientos angulares, la relación sen a , como
anteriormente, una excelente aproximación, de manera que para que
pequeñas amplitudes,
. .oM mg d   L
2
2
.o
o
M I
d
M I
dt



 
  
 
L
TAMBIEN
2
2
d
dt

 &&
De y

3. 2
2
2
2
2
2
.
0
0
d
I mgd
dt
d mgd
dt I
d mgd
dt I
mgd
I






 
 


 
 &&
Es un movimiento armónico simple para º14 .
Por consiguiente, el periodo de un péndulo físico que oscila con pequeña
amplitud es:
2 1
2
2
o o
mgd
I T
I
T
mgd
  

  

Para amplitudes mayores, el péndulo físico sigue teniendo un movimiento
armónico, pero no simple .
Esta es la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuencia angular  y
periodo T :
2
0
o
mgd
I
  2 oI
T
mgd

Por el teorema de Steiner :
2
0
21
12
CG
CG
I I md
I md
 

donde CGI es la inercia de la barra con respecto a su centro de gravedad.
2 2 2
0 0CGI I md I mR md     , R se denomina radio de giro, para una
varilla
2
2
12
d
R  siendo d la longitud de la varilla. El periodo se escribe

4. 2 2
2
R d
T
gd



Cuando se representa T en función de d . Aparecen dos curvas simétricas
con respecto a la posición de centro de masas. El periodo alcanza un valor
infinito para 0d  , es decir, cuando coincide el centro de masa con el
centro de oscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor
de d que se puede calcular derivando T respecto de d e igualando a cero.
ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
Se basa en la fórmula que relaciona el periodo T , del movimiento
oscilatorio efectuado por un péndulo simple (para pequeñas oscilaciones
considerando  pequeños menores a 10° y en ausencia de rozamiento) y su
longitud L, con la aceleración de la gravedad:
2
L
T
g

El péndulo simple se compone de una masa que se pueda considerar
puntual m , suspendida de un hilo de masa despreciable y longitud L , que
gira libremente alrededor de su extremo superior. Para obtener la
frecuencia de oscilación del péndulo aplicaremos el principio de la ley de
Newton. Siguiendo la notación de la figura, la desviación se mide por el
ángulo  que forma el hilo con la vertical, cuando el hilo se desvía dicho
ángulo, la fuerza tangencial es la encargada de restaurar y está dad por:

5. T TF ma
Por otra parte la trayectoria del péndulo es un arco de circunferencia de
radio L, por lo que su aceleración es :
2
2
.T
d
a L
dt

   
2
2
. .
0
0
mgsen m L
g
sen
L
d g
sen
dt L
g
sen
L
 
 


 
 
 
 
 &&
Para ángulos pequeños (  10º ) el seno puede sustituirse por el ángulo en
radianes y se llega a una ecuación cuya solución es la de un movimiento
armónico simple de frecuencia angular  y periodo T :
0
g
L
  &&
 maxsen t    
g
L
 
2
2
L
T
g



 
NOTA: Del desarrollo de sen  =  -  3/ 6 +…., se deduce que para ángulos grandes
empiezan a tener importancia los siguientes términos y la ecuación
2
2
0
d g
sen
dt L

  ,
hasta el segundo término se convierte en :
d dt g L g / 6L)2 2 3
  / ( / ) (   0
que es la ecuación de un oscilador armónico de grado 3. La solución de este tipo de
ecuaciones viene dada por la superposición de una oscilación de frecuencia 
(frecuencia fundamental) y otras de menor amplitud, de frecuencia múltiplo de la
fundamental, que se llaman sus armónicos. En el caso de la última ecuación aparece
principalmente el tercer armónico y no el segundo que aparecería en el caso de una
ecuación que incluyera un término en  2 . La solución de la ecuación (5) es siempre
aproximada y se resuelve no teniendo los términos considerados en cada caso

6. “pequeños”. Una solución aproximada de este tipo de ecuación diferencial se
denomina solución de perturbación porque al añadir un término “pequeño” a la
ecuación diferencial perturba el movimiento que se tendría sin él. Encontraremos
muchos ejemplos de esto a lo largo de la física.
PÉNDULO DE KATER :
Es un tipo concreto de péndulo físico o compuesto cuyo aspecto clásico es el que
muestra la figura 1 . En la figura 4 puede verse un dibujo esquemático del péndulo de
Kater utilizado en la medida experimental de la aceleración de la gravedad de esta
aplicación. Básicamente, el péndulo de Kater consta de: una barra rígida a la que se le
unen dos cuchillas (O y O’) y dos masas (m y m’). Una de las cuchillas se apoya sobre
un soporte que hace de centro de suspensión, mientras que la otra se deja libre
haciendo el papel de centro de oscilación.
Desplazando la pesa exterior (A) se puede llegar a una disposición de los elementos en
la que se obtiene igualdad de periodos. En esta situación donde se igualan los
periodos, O y O’ son puntos conjugados. Friedrich Bessel demostró que, para la
determinación exacta del valor de g no es necesario el lento proceso que conduce a la
igualación de los periodos de oscilación, T y T′, de manera muy precisa. Es suficiente
que sean aproximadamente iguales, i.e., que la diferencia T-T′ sea muy pequeña. El
procedimiento se conoce como "Método de Bessel para la medida de la aceleración de
la gravedad g".

7. En efecto, a partir de una de las expresiones del periodo del péndulo compuesto,
ecuación
y recordando que K el radio de giro con respecto a un eje paralelo al de suspensión
que pase por el centro de gravedad G del péndulo y h la distancia OG, podemos
obtener:
de modo que, restando miembro a miembro, tenemos:
Donde

8. Entonces, si el centro de gravedad (G) del péndulo se encuentra más cerca de una
cuchilla que de la otra, la diferencia (h-h′) no es pequeña y, puesto que T es
aproximadamente igual a T′, el segundo término de la expresión anterior será
despreciable en comparación con el primero, por lo que el valor de g puede obtenerse
mediante la fórmula:
* Comentarios :
 El péndulo compuesto es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo . Cuando
se separa un ángulo  de la posición de equilibrio y se suelta , sobre el sólido
actúa el momento del peso , que tiene signo contrario al desplazamiento .
 Para el caso del Péndulo de Kater el período de la oscilación depende de la
aceleración de la gravedad , de manera que la medición de ese período se puede
emplear para obtener la constante “g” mediante el método propuesto por Kater.
III. MATERIALES
 Barra metálica
 Pesas
 Cronometro
 Regla graduada
 Balanza

9. CUESTIONARIO:
1. Considere un péndulo compuesto donde la masa es una esfera de radio r y la
longitud del péndulo L, halle su periodo y aproxime para r << L.
La ecuación del periodo para un péndulo compuesto es:
donde d=L, reemplazando
Por ser “r” muy pequeño
Calculamos el momento de inercia I con respecto al punto de oscilación, por el
teorema de Steiner tenemos:

10. Reemplazamos (2) en (1) y obtenemos:
Entonces el periodo de oscilación para la esfera será
OBSERVACIONES:
 los momentos de inercia obtenidos experimentalmente mediante la
toma de datos en la sesión de laboratorio que tuvimos se aproxima
de buena manera al resultado obtenido mediante la aplicación de la
fórmula de momento de inercia respecto de una barra.
 Para el péndulo de Kater , el período del péndulo compuesto
alrededor de 1O o 2O , para los dos casos los períodos son
aproximadamente iguales , pues nos estamos basando en la simetría.
 La grafica de I Vs d2 es de forma lineal esto se debe a que el
momento e inercia depende de la distancia que se tome con respecto
de la barra; a mayor distancia tomada el momento de inercia será
mayor y menor distancia tomada el momento de inercia será menor

11. CONCLUSIONES:
 La oscilación de péndulos compuestos se deben debido que hay una
fuerza recuperadora que genera un torque en cualquier posición del
péndulo siendo esto valido solo para pequeños ángulos
 Al hacer la gráfica I vs d2se puede obtener el momento de inercia con
respecto al centro de gravedad de la barra sin necesidad de aplicar la
formula ya establecida en los libros.
 La utilidad del péndulo en la medición del tiempo se debe a que el
periodo es prácticamente independiente de la amplitud, así cuando se
está terminando la cuerda de un reloj y la amplitud de las oscilaciones se
hace ligeramente menor, el reloj indicará todavía un tiempo muy exacto.
BIBLIOGAFIA
[1] Medina H. (2009) Física 2 Lima.
[2] Serway R, Jewett J. (2008) Física para ciencias e ingeniería (7ma ed.) Mexico.

12. UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTOBAL DE
HUAMANGA
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL
ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
PRACTICA N°
PENDULO COMPUESTO
ALUMNO: JONATHAN ESPINO CANCHARI
JOSE LUIS CANDIA ROMAN
DOCENTE: KLÉBER JANAMPA QUISPE
CURSO: FISICA II
GRUPO: LUNES (8:00-10:00)