1. Dualidad onda-partícula y física cuántica. Tema 17. Tipler
Fotones
1. El carácter cuantizado de la radiación electromagnética se revela por
a) La experiencia de la doble rendija de Young.
b) La difracción de la luz por una pequeña abertura.
c) El efecto fotoeléctrico.
d) El experimento de los rayos catódicos de J.J. Thomson.
Respuesta c.
2. Dos fuentes de luz monocromática, A y B, emiten el mismo número de fotones por
segundo. La longitud de onda de A es λA=400 nm y la de B es 600 nm. La potencia radiada
por la fuente B es
a) Igual a la de la A.
b) Menor que la de la fuente A.
c) Mayor que la de la fuente A.
d) Con los datos disponibles no puede compararse con la potencia de A.
La energía de un fotón de A es:
𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝑨𝑨
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟗𝟗 = 𝟒𝟒,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
La de un fotón de B:
𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝑩𝑩
= 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
Como emiten los mismos fotones por segundo, la potencia de A es mayor. Respuesta
c.
3. Hallar la energía en julios y electrón-voltios de los fotones correspondientes a
a) Una onda electromagnética en la banda de radio FM de frecuencia 100 MHz.
b) A una banda de radio AM de 900 kHz.
a) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔
= 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑱𝑱
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕
𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
= 𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑱𝑱
𝟓𝟓,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
𝒆𝒆𝒆𝒆
4. Un transmisor de FM de 80 kW opera a una frecuencia de 101,1 MHz. ¿Cuántos fotones
por segundo emite el transmisor?
Energía de un fotón:
𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔
= 𝟔𝟔, 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑱𝑱
𝒏𝒏ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 =
𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷
𝑬𝑬(𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏𝒏)
=
𝟖𝟖𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑 𝑾𝑾
𝟔𝟔,𝟕𝟕𝟕𝟕∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑱𝑱
= 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝟑𝟑
5. ¿Cuál es la frecuencia de un fotón de energía
a) 1 eV, b) 1 keV y c) 1 MeV?
a) 𝝂𝝂 =
𝑬𝑬
𝒉𝒉
=
𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯
b) 𝝂𝝂 =
𝑬𝑬
𝒉𝒉
=
𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯
c) 𝝂𝝂 =
𝑬𝑬
𝒉𝒉
=
𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑯𝑯𝑯𝑯
2. 6. Hallar la energía de los fotones correspondientes a luz de longitud de onda
a) 450 nm, b) 550 nm y c) 650 nm.
a) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝑨𝑨
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
b) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝑨𝑨
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟑𝟑,𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
c) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝑨𝑨
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
7. Hallar la energía de los fotones si la longitud de onda es
a) 0,1 nm (aproximadamente 1 diámetro atómico).
b) 1 fm (1fm=10-15
m. aproximadamente un diámetro nuclear).
a) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝑨𝑨
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟎𝟎.𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
=
𝟏𝟏𝟏𝟏,𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝑨𝑨
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
=
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
𝒆𝒆𝒆𝒆
8. La longitud de onda de la luz emitida por un láser He-Ne de 3 mW es 632 nm. Si el
diámetro del haz láser es 1,0 mm, ¿Cuál es la densidad de fotones del haz?
𝒏𝒏ú𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎𝒎 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 =
𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏
𝑬𝑬(𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏𝒏)
=
𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 𝑾𝑾
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
= 𝟗𝟗. 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 =
𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇
𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 =
𝟗𝟗.𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝝅𝝅∗(𝟎𝟎.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑)𝟐𝟐 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇/𝒎𝒎𝟐𝟐
Efecto fotoeléctrico
9. Verdadero o falso: En efecto fotoeléctrico
a) La corriente es proporcional a la intensidad de la luz incidente.
b) La función trabajo de un metal depende de la frecuencia de la luz incidente.
c) La energía cinética máxima de los electrones emitidos varía linealmente con la
frecuencia de la luz incidente.
d) La energía de un fotón es proporcional a su frecuencia.
a) Verdadero
b) Falso
c) Verdadero
d) Verdadero
10. En el efecto fotoeléctrico, el número de electrones emitidos por segundo es
a) Independiente de la intensidad de la luz.
b) Proporcional a la intensidad de la luz.
c) Proporcional a la función de trabajo de la superficie emisora.
d) Proporcional a la frecuencia de la luz.
a) Falso
b) Verdadero.
c) Falso.
d) Falso.
11. La función trabajo de una superficie es Φ. La longitud de onda umbral para la emisión de
los fotoelectrones de la superficie es
a) 𝒉𝒉𝒉𝒉/𝝓𝝓 b) 𝝓𝝓/𝒉𝒉𝒉𝒉 c) 𝒉𝒉𝒉𝒉/𝝓𝝓 d) ninguna de las anteriores.
Respuesta correcta es la a.
3. 12. Cuando la luz de longitud de onda λ1 incide sobre cierto cátodo fotoeléctrico, éste no
emite electrones, cualquiera que sea la intensidad de la luz incidente. Sin embargo,
cuando una luz de longitud de onda λ2< λ1 incide sobre el mismo cátodo, se emiten
electrones, aunque la luz incidente sea de baja intensidad. Explicar este fenómeno.
El efecto fotoeléctrico se produce a partir de la frecuencia umbral, por debajo de ésta no
se dará.
Si bajamos la longitud de onda aumenta la frecuencia y se producirá el efecto
fotoeléctrico. Si subimos la longitud de onda, baja la frecuencia, si es inferior al umbral
no se producirá.
13. La función trabajo del tungsteno es 4,58 eV.
a) Hallar la frecuencia umbral y la longitud de onda para el efecto fotoeléctrico.
b) Determinar la energía cinética máxima de los electrones si la longitud de onda de la
luz incidente es 200 nm.
c) Y si es de 250 nm.
a) ∅ = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂𝒐𝒐; 𝝂𝝂𝒐𝒐 =
∅
𝒉𝒉
=
𝟒𝟒,𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒆𝒆𝒆𝒆∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑱𝑱∗𝒔𝒔
= 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯
𝝀𝝀𝒐𝒐 =
𝒄𝒄
𝝂𝝂𝒐𝒐
=
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 =2,7*10-7
m
b) 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝝓𝝓 + 𝑬𝑬𝒄𝒄 ; 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 − 𝝓𝝓 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 − 𝟒𝟒, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏, 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟐𝟐, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟏𝟏,𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒆𝒆𝒆𝒆
c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 − 𝝓𝝓 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 − 𝟒𝟒, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏, 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟔𝟔, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒆𝒆𝒆𝒆
14. Cuando incide sobre el potasio luz de 300 nm de longitud de onda, los electrones
emitidos tienen una energía máxima de 2,03 eV.
a) ¿Cuál es la energía del fotón incidente?
b) ¿Cuál es la función de trabajo del potasio?
c) ¿Cuál sería la energía cinética máxima de los electrones si la radiación incidente
tuviese una longitud de onda de 430 nm?
d) ¿Cuál es la longitud de onda umbral para el efecto fotoeléctrico con el potasio?
a) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝝓𝝓 = 𝑬𝑬 − 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟒𝟒,𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝑬𝑬 − 𝝓𝝓 = �𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 � 𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
− 𝟐𝟐. 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝟒𝟒.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟐𝟐.𝟖𝟖𝟖𝟖 − 𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒆𝒆𝒆𝒆
d) 𝝓𝝓 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂𝒐𝒐 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝒐𝒐
; 𝝀𝝀𝒐𝒐 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝝓𝝓
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟐𝟐.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟓𝟓,𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕
𝒎𝒎
15. La longitud de onda umbral de la plata para el efecto fotoeléctrico es 262 nm.
a) Hallar la función de trabajo de la plata.
b) Hallar la energía cinética máxima de los electrones si la radiación incidente tiene una
longitud de onda de 175 nm.
a) 𝝓𝝓 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂𝒐𝒐 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝒐𝒐
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟕𝟕, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟒𝟒,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝑬𝑬 − 𝝓𝝓 = �𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 � 𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
− 𝟒𝟒. 𝟕𝟕𝟕𝟕 = 𝟐𝟐. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒆𝒆𝒆𝒆
16. La función de trabajo del cesio es 1,9 eV.
4. a) Hallar la frecuencia umbral y la longitud de onda para el el efecto fotoeléctrico.
Hallar la energía cinética máxima de los electrones si la longitud de onda de la luz
incidente es
b) 250 nm y
c) 350 nm.
a) 𝝂𝝂𝒐𝒐 =
∅
𝒉𝒉
=
𝟏𝟏.𝟗𝟗 𝒆𝒆𝒆𝒆∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑱𝑱∗𝒔𝒔
= 𝟒𝟒, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯
𝝀𝝀𝒐𝒐 =
𝒄𝒄
𝝂𝝂𝒐𝒐
=
𝟐𝟐.𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟒𝟒.𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 =6,54*10-8
m
b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝑬𝑬 − 𝝓𝝓 = �𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 � 𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
− 𝟏𝟏. 𝟗𝟗
𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝟕𝟕.𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏.𝟗𝟗 = 𝟑𝟑. 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆
c) 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝑬𝑬 − 𝝓𝝓 = �𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 � 𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
− 𝟏𝟏. 𝟗𝟗
𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝟓𝟓.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 − 𝟏𝟏.𝟗𝟗 = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝒆𝒆𝒆𝒆
17. Cuando una superficie se ilumina con luz de longitud de onda 512 nm, la energía cinética
máxima de los electrones emitidos es 0,54 eV. ¿Cuál sería la energía cinética máxima si la
superficie se ilumina con luz de longitud de onda 365 nm?
𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝟏𝟏
= 𝝓𝝓 + 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄
𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝟐𝟐
= 𝝓𝝓 + 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄
Operando:
𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 + 𝒉𝒉 ∗ 𝒄𝒄 ∗ �
−𝟏𝟏
𝝀𝝀𝟏𝟏
+
𝟏𝟏
𝝀𝝀𝟐𝟐
�
𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏. 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
+ 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟐𝟐, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
∗ �
−𝟏𝟏
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 +
𝟏𝟏
𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗�
𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟐𝟐. 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒆𝒆𝒆𝒆
Efecto Compton
18. Hallar el desplazamiento de la longitud de onda de los fotones dispersados a ϴ=60º.
𝝀𝝀𝟐𝟐 − 𝝀𝝀𝟏𝟏 =
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
∗ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄) =
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄º) = 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
19. Cuando los fotones son dispersados por los electrones del carbono, el desplazamiento de
la longitud de onda es 0.33 pm. Hallar el ángulo de dispersión.
𝝀𝝀𝟐𝟐 − 𝝀𝝀𝟏𝟏 =
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
∗ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄) ;𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝟏𝟏 −
(𝝀𝝀𝟐𝟐−𝝀𝝀𝟏𝟏)∗𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
𝒉𝒉
𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 �𝟏𝟏 −
(𝝀𝝀𝟐𝟐−𝝀𝝀𝟏𝟏)∗𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
𝒉𝒉
� = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂 �𝟏𝟏 −
𝟎𝟎.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 �
𝜽𝜽 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂(𝟎𝟎.𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖) = 𝟑𝟑𝟑𝟑.𝟐𝟐º
20. La longitud de onda de los fotones dispersados por efecto Compton se mide a ϴ=90º. Si
𝚫𝚫𝝀𝝀/𝝀𝝀 ha de ser el 1,5 por ciento, ¿Cuál deberá ser la longitud de onda de los fotones
incidentes?
𝚫𝚫𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
∗ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄) =
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
; 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
= 𝟏𝟏.𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
5. 21. Compton utilizó fotones de 0,0711 nm de longitud de onda.
a) ¿Cuál es la energía de estos fotones?
b) ¿Cuál es la longitud de onda del fotón dispersado a ϴ=180º?
c) ¿Cuál es la energía del fotón dispersado a este ángulo?
a) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟐𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 = 𝟏𝟏. 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒
𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝝀𝝀𝟐𝟐 = 𝝀𝝀𝟏𝟏 +
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
∗ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄)
𝝀𝝀𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
+
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟕𝟕, 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
c) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟐𝟐. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 = 𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒
𝒆𝒆𝒆𝒆
22. En el caso de los fotones utilizados por Compton, hallar la cantidad de movimiento del
fotón incidente y la del fotón dispersado a 180º, y utilizar la conservación de la cantidad
de movimiento para hallar la cantidad de movimiento del electrón de retroceso en este
experimento (ver problema 21).
𝒑𝒑𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó =
𝒉𝒉
𝝀𝝀
Suponemos que el fotón incidente se mueve en el eje x, sentido positivo:
𝒑𝒑
�
�⃗𝒐𝒐 =
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 𝒊𝒊
⃗ = 𝟗𝟗,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎
𝒔𝒔
𝒊𝒊
⃗
𝒑𝒑
�
�⃗𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏𝒏 = −
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟕𝟕.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒊𝒊
⃗ = −𝟖𝟖.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎
𝒔𝒔
𝒊𝒊
⃗
Aplicando la conservación de la cantidad de movimiento:
𝒑𝒑
�
�⃗𝒐𝒐 = 𝒑𝒑
�
�⃗𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏𝒏 + 𝒑𝒑
�
�⃗𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 ; 𝒑𝒑
�
�⃗𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 = 𝒑𝒑
�
�⃗𝒐𝒐 − 𝒑𝒑
�
�⃗𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏𝒏
𝒑𝒑
�
�⃗𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒓𝒓ó𝒏𝒏 = 𝟗𝟗,𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎
𝒔𝒔
𝒊𝒊
⃗ + 𝟖𝟖.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎
𝒔𝒔
𝒊𝒊
⃗ = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌
𝒎𝒎
𝒔𝒔
𝒊𝒊
⃗
23. Un fotón de rayos X, cuya longitud de onda es 6 pm, tiene una colisión frontal con un
electrón, de manera que sufre una dispersión con un ángulo de 180 º.
a) ¿Qué cambio se produce en la longitud de onda del fotón?
b) ¿Cuál es la energía cinética del electrón dispersado?
a) 𝝀𝝀𝟐𝟐 − 𝝀𝝀𝟏𝟏 =
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
∗ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄) =
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 ∗ 𝟐𝟐 = 𝟒𝟒. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
𝝀𝝀𝟐𝟐 = 𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
+ 𝟒𝟒. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
b) 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏; 𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 = 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 − 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄ó𝒏𝒏 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝝀𝝀𝟏𝟏
−
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝝀𝝀𝟐𝟐
= 𝒉𝒉 ∗ 𝒄𝒄 �
𝟏𝟏
𝝀𝝀𝟏𝟏
−
𝟏𝟏
𝝀𝝀𝟐𝟐
�
𝑬𝑬𝒄𝒄 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟐𝟐, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
∗
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ �
𝟏𝟏
𝟔𝟔
−
𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏
� = 𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
𝟏𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
= 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑
𝒆𝒆𝒆𝒆
24. ¿Cuántos procesos de dispersión Compton frontales son necesarios para duplicar la
longitud de onda inicial de 200 pm?
𝝀𝝀𝟐𝟐 − 𝝀𝝀𝟏𝟏 =
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
∗ (𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄) = 𝟐𝟐 ∗
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
Después de n procesos:
𝝀𝝀𝒏𝒏 − 𝝀𝝀𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 ∗
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
; 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟐𝟐 ∗ 𝒏𝒏 ∗
𝒉𝒉
𝒎𝒎𝒆𝒆∗𝒄𝒄
𝒏𝒏 =
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐∗𝒉𝒉
∗ 𝒎𝒎𝒆𝒆 ∗ 𝒄𝒄 =
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐∗𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟐𝟐, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
= 𝟒𝟒𝟒𝟒, 𝟐𝟐
𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕𝒕,𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗.
6. Ondas de materia
25. Verdadero o falso:
a) La longitud de onda de De Broglie de un electrón varía inversamente con su cantidad
de movimiento.
b) Los electrones pueden difractarse.
c) Los neutrones pueden difractarse.
d) El microscopio electrónico se utiliza para observar electrones.
a) 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒑𝒑
; Verdadera.
b) 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽.
c) 𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽𝑽.
d) 𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭𝑭.
26. Si la longitud de onda de De Broglie de un electrón y un protón son iguales,
a) La velocidad del protón es mayor que la del electrón.
b) Las velocidades del protón y del electrón son iguales.
c) La velocidad del protón es menor que la del electrón.
d) La energía del protón es mayor que la del electrón.
e) Las afirmaciones (a) y (d) son correctas.
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒑𝒑
=
𝒉𝒉
𝒎𝒎∗𝒗𝒗
Como la masa del protón es mayor que la del electrón, la respuesta c es correcta.
Si consideramos las energías cinéticas de cada partícula la respuesta d también lo
será.
27. Un protón y un electrón tienen energías cinéticas iguales. En consecuencia, la longitud de
onda del protón es
a) Mayor que la del electrón.
b) Igual a la del electrón.
c) Menor que la del electrón.
𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐
; 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∗ 𝒎𝒎 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒎𝒎𝟐𝟐
∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐
; 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 = �𝟐𝟐 ∗ 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∗ 𝒎𝒎
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒑𝒑
=
𝒉𝒉
𝒎𝒎∗𝒗𝒗
=
𝒉𝒉
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎
Como las energías son iguales, al ser la mas del protón mayor que la del electrón, la
longitud de onda del protón será menor que la del electrón. Respuesta c.
28. Utilizar la ecuación 𝝀𝝀 =
𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐
�𝑬𝑬𝒄𝒄
𝒏𝒏𝒏𝒏 (𝑬𝑬𝒄𝒄𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆ó𝒏𝒏 𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗𝒗) para calcular la longitud de
De Broglie para un electrón de energía cinética
a) 2,5 eV b) 250 eV c) 2,5 keV d) 25 keV.
a) 𝝀𝝀 =
𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐
�𝑬𝑬𝒄𝒄
=
𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐
√𝟐𝟐.𝟓𝟓
= 𝟎𝟎. 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒏𝒏𝒏𝒏
b) 𝝀𝝀 =
𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐
�𝑬𝑬𝒄𝒄
=
𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐
√𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒏𝒏𝒏𝒏
c) 𝝀𝝀 =
𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐
�𝑬𝑬𝒄𝒄
=
𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐
√𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒏𝒏𝒏𝒏
d) 𝝀𝝀 =
𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐
�𝑬𝑬𝒄𝒄
=
𝟏𝟏.𝟐𝟐𝟐𝟐
√𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒏𝒏𝒏𝒏
7. 29. Un electrón se mueve con velocidad v=2,5 105
m/s. Calcular su longitud de onda de De
Broglie.
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒑𝒑
=
𝒉𝒉
𝒎𝒎∗𝒗𝒗
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐.𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟐𝟐. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
𝒎𝒎
30. Un electrón tiene una longitud de onda de 200 nm. Hallar
a) Su cantidad de movimiento.
b) Su energía cinética.
a) 𝒑𝒑 =
𝒉𝒉
𝝀𝝀
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟑𝟑. 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎/𝒔𝒔
b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝒑𝒑𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝒎𝒎
=
(𝟑𝟑.𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝟗𝟗.𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟔𝟔.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟑𝟑.𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓
𝒆𝒆𝒆𝒆
31. Determinar la energía de un electrón en electrón-voltios para que su longitud de onda de
De Broglie sea
a) 5 nm
b) 0,01 nm.
a) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟑𝟑. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝑽𝑽
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐.𝟐𝟐 𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 = 𝟏𝟏. 𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓
𝒆𝒆𝒆𝒆
32. Un neutrón térmico en un reactor tiene una energía cinética próxima a 0,02 eV. Calcular
su longitud de onda de De Broglie a partir de la ecuación 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉𝒉𝒉
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎𝒄𝒄𝟐𝟐
, en donde
mc2
=940 MeV es la energía en reposo del neutrón.
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
�𝟐𝟐∗(𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏)∗(𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏)
= 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
33. Hallar la longitud de onda de De Broglie de un protón (energía en reposo mc2
=938 MeV)
que tiene una energía cinética de 2 MeV. Utilizar la ecuación 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉𝒉𝒉
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎𝒄𝒄𝟐𝟐
).
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
�𝟐𝟐∗(𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏)∗(𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔∗𝟏𝟏.𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏)
= 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
34. Un protón se está moviendo a v=0,003 c, siendo c la velocidad de la luz. Hallar su
longitud de onda de De Broglie.
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒑𝒑
=
𝒉𝒉
𝒎𝒎∗𝒗𝒗
=
𝒉𝒉
𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝒄𝒄
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 = 𝟒𝟒,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
35. ¿Cuál es la energía cinética de un protón cuya longitud de onda de De Broglie es
a) 1 nm.
b) 1 fm?
a) 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐
; 𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝒉𝒉𝟐𝟐∗𝒄𝒄𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝝀𝝀𝟐𝟐∗(𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐)
=
(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆∗𝒏𝒏𝒏𝒏)𝟐𝟐
𝟐𝟐∗(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐∗(𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒆𝒆𝒆𝒆)
= 𝟖𝟖,𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐
; 𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝒉𝒉𝟐𝟐∗𝒄𝒄𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝝀𝝀𝟐𝟐∗(𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐)
=
(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆∗𝒏𝒏𝒏𝒏)𝟐𝟐
𝟐𝟐∗(𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝒏𝒏𝒏𝒏)𝟐𝟐∗(𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒆𝒆𝒆𝒆)
= 𝟖𝟖, 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖
𝒆𝒆𝒆𝒆
36. Hallar la longitud de onda de De Broglie de una pelota de 0,145 kg de masa que se
mueve a 30 m/s.
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒑𝒑
=
𝒉𝒉
𝒎𝒎∗𝒗𝒗
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟑𝟑𝟑𝟑
= 𝟏𝟏. 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
37. La energía de un haz de electrones Enel experimento de Davisson y Germer era 54 eV.
Calcular la longitud de onda de estos electrones.
8. 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐
=
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒏𝒏𝒏𝒏
�𝟐𝟐∗𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒆𝒆𝒆𝒆∗𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟎𝟎. 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒏𝒏𝒏𝒏
38. La distancia entre los iones de Li+
y Cl-
en un cristal de Li+
Cl-
es 0,257 nm. Hallar la energía
de los electrones que tienen longitudes de onda igual a esta distancia.
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐
; 𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝒉𝒉𝟐𝟐∗𝒄𝒄𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝝀𝝀𝟐𝟐∗(𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐)
=
(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆∗𝒏𝒏𝒏𝒏)𝟐𝟐
𝟐𝟐∗(𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐)𝟐𝟐∗(𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒆𝒆𝒆𝒆)
= 𝟐𝟐𝟐𝟐,𝟕𝟕𝟕𝟕 𝒆𝒆𝒆𝒆
39. Un microscopio electrónico utiliza electrones de 70 keV de energía. Hallar la longitud de
onda de estos electrones.
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉 ∗ 𝒄𝒄
�𝟐𝟐 ∗ 𝑬𝑬𝒄𝒄 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒄𝒄𝟐𝟐
=
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒏𝒏𝒏𝒏
√𝟐𝟐 ∗ 𝟕𝟕𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟑𝟑𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗ 𝟎𝟎. 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒏𝒏𝒏𝒏
40. ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un neutrón cuya velocidad es 106
m/s?
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒑𝒑
=
𝒉𝒉
𝒎𝒎∗𝒗𝒗
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔 = 𝟑𝟑,𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
Dualidad onda-partícula
41. Un objeto esférico de masa 4 g se mueve a 100 m/s. ¿qué tamaño de abertura es
necesario par que el objeto muestre fenómenos de difracción? Demostrar que los
objetos comunes no serían suficientemente pequeños para pasar a través de una
obertura de ese tamaño.
El hecho de darse la difracción dependerá de la longitud de onda asociada al objeto:
𝝀𝝀𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐 =
𝒉𝒉
𝒑𝒑
=
𝒉𝒉
𝒎𝒎∗𝒗𝒗
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝒎𝒎
No existen partículas subatómicas con dimensiones tan pequeñas.
42. Un neutrón posee una energía cinética de 10 MeV. ¿Qué tamaño debería tener un objeto
para observar efectos de difracción de neutrones? ¿Existe algo en la naturaleza de este
tamaño que sirva de blanco para demostrar la naturaleza ondulatoria de los neutrones
de 10 MeV?
𝝀𝝀 =
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒏𝒏𝒏𝒏
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐
=
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
�𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔∗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔
= 𝟗𝟗,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
𝒏𝒏𝒏𝒏
La longitud de onda tiene las dimensiones de los núcleos atómicos, con ellos podrá darse
la difracción.
43. ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un electrón de energía cinética 200 eV?
Indicar algunos blancos comunes que podrían demostrar la naturaleza ondulatoria de
este electrón.
𝝀𝝀 =
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒏𝒏𝒏𝒏
�𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐
=
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
�𝟐𝟐∗𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟎𝟎.𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔
= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
Dimensiones del orden de los valores atómicos.
Partícula en una caja
44. Hacer un esquema de la función de onda 𝝍𝝍(𝒙𝒙) y de la distribución de probabilidad
𝝍𝝍𝟐𝟐
(𝒙𝒙)para el estado n=4 de una partícula en una caja.
𝝍𝝍𝒏𝒏(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝒏𝒏∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�
9. Para n=4:
𝝍𝝍𝟒𝟒(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�
Para la probabilidad:
𝝍𝝍𝟒𝟒
𝟐𝟐
(𝒙𝒙) =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�
45. a) Determinar la energía del estado fundamental (n=1) y de los dos primeros estados
excitados de un protón en una caja monodimensional de longitud L=10-15
m=1 fm. (Los
valores son del orden de magnitud de las energías nucleares). Calcular la longitud de
onda de la radiación electromagnética emitida cuando el protón realiza una transición
desde n=2 a n=1.
b) n=3 a n=2.
c) n=3 a n=1,
a) 𝑬𝑬𝒏𝒏 = 𝒏𝒏𝟐𝟐
∗
𝒉𝒉𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝒎𝒎∗𝑳𝑳𝟐𝟐 = 𝒏𝒏𝟐𝟐
∗ 𝑬𝑬𝟏𝟏
𝑬𝑬𝟏𝟏 =
𝒉𝒉𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝒎𝒎∗𝑳𝑳𝟐𝟐 =
(𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑)
𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐∗(𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏)𝟐𝟐 =
𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔
∗
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟑𝟑. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
x 0,1
x/L
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
10. 𝟑𝟑.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝒆𝒆𝒆𝒆
𝑬𝑬𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟖𝟖. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝒆𝒆𝒆𝒆
𝑬𝑬𝟐𝟐 − 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟔𝟔. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝒆𝒆𝒆𝒆
𝑬𝑬𝟐𝟐 − 𝑬𝑬𝟏𝟏 =
𝒉𝒉 ∗ 𝒄𝒄
𝝀𝝀
; 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉 ∗ 𝒄𝒄
𝑬𝑬𝟐𝟐 − 𝑬𝑬𝟏𝟏
=
𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗ 𝟐𝟐, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟔𝟔. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟐𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
𝑬𝑬𝟑𝟑 = 𝟗𝟗 ∗ 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝑬𝑬𝟑𝟑 − 𝑬𝑬𝟐𝟐 = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
− 𝟖𝟖. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
= 𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
𝒆𝒆𝒆𝒆
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝑬𝑬𝟑𝟑−𝑬𝑬𝟏𝟏
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟏𝟏.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒆𝒆𝒆𝒆∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟏𝟏. 𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
c) 𝑬𝑬𝟑𝟑 − 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟏𝟏. 𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
− 𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
= 𝟏𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗
𝒆𝒆𝒆𝒆
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝑬𝑬𝟑𝟑−𝑬𝑬𝟏𝟏
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗 𝒆𝒆𝒆𝒆∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟕𝟕, 𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒎𝒎
46. a) Determinar la energía del estado fundamental (n=1) y de los dos primeros estados
excitados de un protón en una caja monodimensional de longitud 0.2 nm (del orden del
diámetro de la molécula de H2).
Calcular la longitud de onda de la radiación electromagnética emitida cuando el protón
realiza una transición desde
b) n=2 a n=1.
c) n=3 a n=2.
d) n=3 a n=1.
a) 𝑬𝑬𝒏𝒏 = 𝒏𝒏𝟐𝟐
∗
𝒉𝒉𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝒎𝒎∗𝑳𝑳𝟐𝟐 = 𝒏𝒏𝟐𝟐
∗ 𝑬𝑬𝟏𝟏
𝑬𝑬𝟏𝟏 =
𝒉𝒉𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝒎𝒎∗𝑳𝑳𝟐𝟐 =
(𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑)
𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐∗(𝟎𝟎.𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗)𝟐𝟐 =
𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝟏𝟏.𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟖𝟖𝟖𝟖.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑱𝑱
𝟖𝟖𝟖𝟖.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝒆𝒆𝒆𝒆
𝑬𝑬𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝑬𝑬𝟐𝟐 − 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝑬𝑬𝟑𝟑 = 𝟗𝟗 ∗ 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝑬𝑬𝟐𝟐 − 𝑬𝑬𝟏𝟏 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝝀𝝀
; 𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝑬𝑬𝟐𝟐−𝑬𝑬𝟏𝟏
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟖𝟖. 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓
𝒎𝒎
c) 𝑬𝑬𝟑𝟑 − 𝑬𝑬𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝑬𝑬𝟑𝟑−𝑬𝑬𝟏𝟏
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟒𝟒.𝟖𝟖𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓
𝒎𝒎
d) 𝑬𝑬𝟑𝟑 − 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟓𝟓.𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
= 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝑬𝑬𝟑𝟑−𝑬𝑬𝟏𝟏
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟐𝟐,𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟑𝟑.𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟓𝟓
𝒎𝒎
47. a) Determinar la energía del estado fundamental(n=1) y de los dos primeros estados
excitados de una pequeña partícula de masa 1 mg confinada en una caja
monodimensional de longitud 1 cm.
b) Si la partícula se mueve con una velocidad de 1 mm/s, calcular su energía cinética y
hallar el valor aproximado del número cuántico n.
a) 𝑬𝑬𝟏𝟏 =
𝒉𝒉𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝒎𝒎∗𝑳𝑳𝟐𝟐 =
(𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑)
𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑∗(𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎)𝟐𝟐 =
𝟔𝟔.𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟐𝟐 ∗
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑 = 𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝟔𝟔
𝑱𝑱
𝑬𝑬𝟐𝟐 = 𝟒𝟒 ∗ 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝟔𝟔
𝑱𝑱
𝑬𝑬𝟑𝟑 = 𝟗𝟗 ∗ 𝑬𝑬𝟏𝟏 = 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝟔𝟔
𝑱𝑱
b) 𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗𝟐𝟐
=
𝟏𝟏
𝟐𝟐
∗ 𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
= 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
11. 𝑬𝑬𝒏𝒏 = 𝒏𝒏𝟐𝟐
∗ 𝑬𝑬𝟏𝟏 ; 𝒏𝒏 = �
𝑬𝑬𝒏𝒏
𝑬𝑬𝟏𝟏
= � 𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔𝟔𝟔 = 𝟗𝟗.𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓𝟓𝟓
Cálculo de probabilidades y valores esperados
48. Una partícula en una caja de longitud L se encuentra en su estado fundamental.
Determinar la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo Δx=0,002 L en
a) X=L/2. B) x=2L/3 c) x=L.
(Como Δx es muy pequeño no es necesario realizar ninguna integración, pues la función
de onda varía lentamente).
a) 𝑷𝑷 = 𝑷𝑷(𝒙𝒙) ∗ ∆𝒙𝒙 = 𝚿𝚿𝟐𝟐
(𝒙𝒙) ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙
Para la partícula en una caja:
𝝍𝝍𝒏𝒏(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
𝒏𝒏∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
Para el estado fundamental, n=1:
𝑷𝑷 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝚫𝚫𝒙𝒙
Para x=L/2 i Δx=0,002*L:
𝑷𝑷 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝝅𝝅
𝟐𝟐
� ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
b) Para x=2*L/3 i Δx=0,002*L:
𝑷𝑷 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
𝟑𝟑
� ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
c) Para x=L i Δx=0,002*L:
𝑷𝑷 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝅𝝅) ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎
49. Repetir el problema 48 para una partícula en el primer estado excitado (n=2).
𝝍𝝍𝒏𝒏(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
𝒏𝒏∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
𝝍𝝍𝟐𝟐(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
a) Para x=L/2 i Δx=0,002*L:
𝑷𝑷 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝅𝝅) ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎
b) Para x=2*L/3 i Δx=0,002*L:
𝑷𝑷 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅
𝟑𝟑
� ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
c) Para x=L i Δx=0,002*L:
𝑷𝑷 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝟐𝟐 ∗ 𝝅𝝅) ∗ 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎
50. Repetir el problema 48 para una partícula Enel segundo estado excitado (n=3).
𝝍𝝍𝟑𝟑(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
a) Para x=L/2 i Δx=0,002*L:
𝑷𝑷 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝟑𝟑∗𝝅𝝅
𝟐𝟐
� ∗ 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
b) Para x=2*L/3 i Δx=0,002*L:
13. 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ;𝒗𝒗 = −
𝑳𝑳
𝟒𝟒∗𝝅𝝅
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�
∫ (𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
= −
𝑳𝑳
𝟐𝟐∗𝝅𝝅
∗ ��−𝒙𝒙 ∗
𝑳𝑳
𝟒𝟒∗𝝅𝝅
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
��
𝟎𝟎
𝑳𝑳
+ ∫ �
𝑳𝑳
𝟒𝟒∗𝝅𝝅
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅�
𝑳𝑳
𝟎𝟎
�
∫ (𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
=
𝑳𝑳𝟑𝟑
𝟖𝟖∗𝝅𝝅𝟐𝟐
〈𝒙𝒙𝟐𝟐〉 =
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟑𝟑
−
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ ∫ (𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
=
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟑𝟑
−
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝝅𝝅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐
53. a) Determinar 〈𝒙𝒙〉 para el primer estado excitado (n=3) de una partícula en una caja de
longitud L.
b) Determinar 〈𝒙𝒙〉𝟐𝟐
.
𝝍𝝍𝟑𝟑(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
a) 〈𝒙𝒙〉 = 𝑳𝑳/𝟐𝟐 ; ver problema anterior.
b) 〈𝒙𝒙𝟐𝟐〉 = ∫ 𝝍𝝍𝟐𝟐(𝒙𝒙) ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
= ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
〈𝒙𝒙𝟐𝟐〉 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝟑𝟑∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
=
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ ∫ �𝒙𝒙𝟐𝟐
∗
𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�
𝟐𝟐
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
〈𝒙𝒙𝟐𝟐〉 =
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟑𝟑
−
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ ∫ (𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
La integral, por partes con:
𝒖𝒖 = 𝒙𝒙𝟐𝟐
;𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅;𝒗𝒗 =
𝑳𝑳
𝟔𝟔∗𝝅𝝅
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�
∫ (𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
= �𝒙𝒙𝟐𝟐
∗
𝑳𝑳
𝟔𝟔∗𝝅𝝅
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔�
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
��
𝟎𝟎
𝑳𝑳
− ∫ �
𝑳𝑳
𝟔𝟔∗𝝅𝝅
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔�
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅�
𝑳𝑳
𝟎𝟎
∫ (𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔�
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
= 𝟎𝟎 − ∫ �
𝑳𝑳
𝟔𝟔∗𝝅𝝅
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔�
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝟐𝟐 ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅�
𝑳𝑳
𝟎𝟎
= −
𝑳𝑳
𝟔𝟔∗𝝅𝝅
∗ ∫ (𝒙𝒙 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔�
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
Volviendo a hacer por partes:
𝒖𝒖 = 𝒙𝒙 ; 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅 ;𝒗𝒗 = −
𝑳𝑳
𝟔𝟔∗𝝅𝝅
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�
∫ (𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
= −
𝑳𝑳
𝟑𝟑∗𝝅𝝅
∗ ��−𝒙𝒙 ∗
𝑳𝑳
𝟔𝟔∗𝝅𝝅
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
��
𝟎𝟎
𝑳𝑳
+ ∫ �
𝑳𝑳
𝟔𝟔∗𝝅𝝅
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅�
𝑳𝑳
𝟎𝟎
�
∫ (𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�
𝟔𝟔∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
=
𝑳𝑳𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝝅𝝅𝟐𝟐
〈𝒙𝒙𝟐𝟐〉 =
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟑𝟑
−
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ ∫ (𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
=
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟑𝟑
−
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝝅𝝅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝑳𝑳𝟐𝟐
54. Una partícula dentro de una caja unidimensional se encuentra en el primer estado
excitado (n=2).
a) Representar gráficamente 𝝍𝝍𝟐𝟐
(x) en función de x para este estado.
b) ¿Cuál es el valor esperado 〈𝒙𝒙〉para este estado?
c) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar la partícula en una pequeña región dx centrada
en 1/2L?
d) ¿Son contradictorias las respuestas de (b) y (c)? si no lo son, explíquese.
a) 𝝍𝝍𝟐𝟐(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔
𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
; [𝝍𝝍𝟐𝟐(𝒙𝒙)]𝟐𝟐
=
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�
14. b) 〈𝒙𝒙〉 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒙𝒙 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟎𝟎
Usando resultados problema 52:
〈𝒙𝒙〉 =
𝑳𝑳
𝟐𝟐
c) 𝑷𝑷(𝒙𝒙) = 𝝍𝝍𝟐𝟐
𝟐𝟐(𝒙𝒙) =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒙𝒙
𝑷𝑷 �
𝑳𝑳
𝟐𝟐
� = 𝝍𝝍𝟐𝟐
𝟐𝟐(𝒙𝒙) =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐
�
𝟐𝟐∗𝝅𝝅∗
𝑳𝑳
𝟐𝟐
𝑳𝑳
� ∗
𝑳𝑳
𝟐𝟐
= 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐(𝝅𝝅) = 𝟎𝟎
d) No son contradictorias, el valor d promedio de las mediciones será L/2, pero no
encontraremos la partícula en L/2.
55. Una partícula de masa m tiene una función de onda dada por 𝝍𝝍(𝒙𝒙) = 𝑨𝑨𝒆𝒆−|𝒙𝒙|/𝒂𝒂
, en donde
A y a son constantes.
a) Determinar la constante de normalización A.
b) Calcular la probabilidad de determinar la partícula en la región −𝒂𝒂 ≤ 𝒙𝒙 ≤ 𝒂𝒂.
a) La condición de normalización es:
∫ 𝝍𝝍𝟐𝟐
∞
−∞
(𝒙𝒙) = 𝟏𝟏
∫ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∞
−∞
𝒆𝒆−𝟐𝟐|𝒙𝒙|/𝒂𝒂
𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 ∗ ∫ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ 𝒆𝒆−
𝟐𝟐|𝒙𝒙|
𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒅𝒅
∞
𝟎𝟎
= 𝟏𝟏
Usando:
∫ 𝒆𝒆−𝒂𝒂∗𝒙𝒙
𝒅𝒅𝒅𝒅
∞
𝟎𝟎
=
𝟏𝟏
𝒂𝒂
𝟐𝟐 ∗ ∫ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗ 𝒆𝒆−
𝟐𝟐|𝒙𝒙|
𝒂𝒂 𝒅𝒅𝒅𝒅
∞
𝟎𝟎
= 𝟐𝟐 ∗ 𝑨𝑨𝟐𝟐
∗
𝒂𝒂
𝟐𝟐
= 𝟏𝟏 ;𝑨𝑨 =
𝟏𝟏
√𝒂𝒂
b) 𝑷𝑷(𝒙𝒙) = ∫ 𝝍𝝍𝟐𝟐(𝒙𝒙) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒂𝒂
−𝒂𝒂
= 𝟐𝟐 ∗
𝟏𝟏
𝒂𝒂
∗ ∫ 𝒆𝒆−𝟐𝟐∗
𝒙𝒙
𝒂𝒂 ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝒂𝒂
𝟎𝟎
= −
𝟐𝟐
𝒂𝒂
∗ �
𝒂𝒂
𝟐𝟐
∗ 𝒆𝒆−𝟐𝟐∗
𝒙𝒙
𝒂𝒂�
𝟎𝟎
𝒂𝒂
= −(𝒆𝒆−𝟐𝟐
− 𝟏𝟏) = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖
56. Una partícula en una caja unidimensional de longitud L se encuentra en su estado
fundamental. Calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en la región
a) 𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 < 𝑳𝑳/𝟐𝟐.
b) 𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 < 𝑳𝑳/𝟑𝟑.
c) 𝟎𝟎 < 𝒙𝒙 <
𝟑𝟑
𝟒𝟒
𝑳𝑳.
a) 𝑷𝑷(𝒙𝒙) =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ ∫ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳/𝟐𝟐
𝟎𝟎
Usamos:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
y
17. 𝝍𝝍𝒏𝒏(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏𝒏
𝑳𝑳
�, n=2,4,6,8,…
𝝍𝝍𝟐𝟐(𝒙𝒙) = �
𝟐𝟐
𝑳𝑳
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑳𝑳
�
〈𝒙𝒙〉 = ∫ �𝒙𝒙 ∗ 𝝍𝝍𝟐𝟐(𝒙𝒙)� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
=
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ ∫ �𝒙𝒙 ∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝟐𝟐 �
𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
〈𝒙𝒙〉 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ ∫ �𝒙𝒙 ∗ �
𝟏𝟏−𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝟒𝟒∗
𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�
𝟐𝟐
�� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
〈𝒙𝒙〉 =
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ ∫ ��𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝟒𝟒 ∗
𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
��� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
〈𝒙𝒙〉 =
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ �
𝒙𝒙𝟐𝟐
𝟐𝟐
�
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
𝑳𝑳
𝟐𝟐
+
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ ∫ ��𝒙𝒙 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝟒𝟒 ∗
𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
��� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
〈𝒙𝒙〉 = 𝟎𝟎 +
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ ∫ ��𝒙𝒙 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄�𝟒𝟒 ∗
𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
��� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
Haciendo la integral por partes: obtenemos:
〈𝒙𝒙〉 =
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ �𝒙𝒙 ∗
𝑳𝑳
𝟒𝟒∗𝝅𝝅
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� +
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
��
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
𝑳𝑳
𝟐𝟐
= 𝟎𝟎
〈𝒙𝒙𝟐𝟐〉 =
𝟐𝟐
𝑳𝑳
∗ ∫ �𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒔𝒔𝒆𝒆𝒏𝒏𝟐𝟐 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
�� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
〈𝒙𝒙𝟐𝟐〉 =
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ ∫ �(𝒙𝒙𝟐𝟐
+ 𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
=
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ ��
𝒙𝒙𝟑𝟑
𝟑𝟑
�
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
𝑳𝑳
𝟐𝟐
+ ∫ �(𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
�
〈𝒙𝒙𝟐𝟐〉 =
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏
+
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ ∫ �(𝒙𝒙𝟐𝟐
∗ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅
𝑳𝑳
𝟐𝟐
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
Haciendo sucesivamente la integral por partes:
〈𝒙𝒙𝟐𝟐〉 =
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏
+
𝟏𝟏
𝑳𝑳
∗ �𝒙𝒙𝟐𝟐
∗
𝑳𝑳
𝟒𝟒∗𝝅𝝅
∗ 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� −
𝑳𝑳
𝝅𝝅
∗ �−𝒙𝒙 ∗
𝑳𝑳
𝟒𝟒∗𝝅𝝅
∗ 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 (
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
� +
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝝅𝝅𝟐𝟐 ∗
𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 �
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝒙𝒙
𝑳𝑳
��
−
𝑳𝑳
𝟐𝟐
𝑳𝑳
𝟐𝟐
=
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏
−
𝑳𝑳𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝝅𝝅𝟐𝟐
Problemas generales
61. ¿Puede el valor esperado de x tener un valor tal que la probabilidad de ser medido sea
nula?
Sí
62. Explicar por qué la energía cinética máxima de los electrones emitidos en el efecto
fotoeléctrico no depende de la intensidad de la luz incidente, mientras que el número de
electrones si depende de esta intensidad.
La energía cinética máxima de los electrones emitidos depende de:
𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝒉𝒉 ∗ (𝝂𝝂 − 𝝂𝝂𝒐𝒐) ; depende de la diferencia entre frecuencia umbral del material y la
frecuencia incidente.
El número de electrones emitidos dependerá del número de fotones incidente, a más
intensidad más fotones incidentes.
18. 63. Un dado de seis caras tiene el número 1 pintado en tres caras y el número 2 en las otras
tres.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 1 cuando se lanza el dado?
b) ¿Cuál es el valor esperado del número que salga cuando se lanza el dado?
a) 𝑷𝑷(𝟏𝟏) =
𝟑𝟑
𝟔𝟔
= 𝟎𝟎, 𝟓𝟓
b) Para un número muy grande de lanzamientos, el valor medio será:
〈𝒏𝒏〉 =
𝟑𝟑∗𝟏𝟏+𝟑𝟑∗𝟐𝟐
𝟔𝟔
= 𝟏𝟏, 𝟓𝟓
64. Verdadero o Falso:
a) En principio es imposible conocer con toda precisión la posición de un electrón.
b) Una partícula que está confinada en una determinada región del espacio no puede
tener energía cero.
c) Todos los fenómenos de la naturaleza están adecuadamente descritos por la teoría
ondulatoria clásica.
d) El valor esperado de una magnitud es el valor que se espera medir.
a) Verdadero, por principio incertidumbre: 𝚫𝚫𝒙𝒙 ∗ 𝚫𝚫𝒑𝒑 ≥
ℏ
𝟐𝟐
b) Verdadero, por principio incertidumbre: ∆𝑬𝑬 ∗ ∆𝝉𝝉 ≥
ℏ
𝟐𝟐
c) Falso. El efecto fotoeléctrico, por ejemplo, no.
d) Falso.〈𝒇𝒇(𝒙𝒙)〉 = ∫ 𝒇𝒇(𝒙𝒙) ∗ 𝝍𝝍𝟐𝟐(𝒙𝒙) ∗ 𝒅𝒅𝒅𝒅. Muchas mediciones darán como media el valor
esperado, en una medición no tiene por qué salir el valor esperado
65. Hace algún tiempo se creía que si dos experimentos idénticos se realizaban sobre
sistemas idénticos en las mismas condiciones, los resultados debían se idénticos. Explicar
por qué esto no es cierto y cómo puede modificarse de modo que sea coherente con la
física cuántica.
Según la teoría cuántica, el valor medio de muchas mediciones de la misma cantidad
producirá el valor esperado de esa cantidad. Sin embargo, cualquier medición individual
puede diferir del valor esperado.
66. Un haz de luz de longitud de onda 400 nm tiene una intensidad de 100 W/m2
.
a) ¿Cuál es la energía de cada fotón del haz?
b) ¿Cuánta energía incide sobre un área de 1 cm2
perpendicular al haz en 1 s?
c) ¿Cuántos fotones inciden en dicha área en 1 s?
a) 𝑬𝑬 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀
= 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗ 𝒏𝒏𝒏𝒏 ∗
𝟏𝟏
𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 𝒏𝒏𝒏𝒏
= 𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝑬𝑬 = 𝑰𝑰 ∗ 𝑨𝑨 ∗ 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑾𝑾
𝒎𝒎𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐
∗
𝟏𝟏 𝒎𝒎𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱
= 𝟔𝟔,𝟐𝟐𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒆𝒆𝒆𝒆
c) 𝒏𝒏 =
𝟔𝟔,𝟐𝟐𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇
67. Una masa de 10-6
g se mueve con una velocidad de aproximadamente 10-1
cm/s en una
caja de longitud 1 cm. Considerando que se trata de una partícula unidimensional en una
caja, calcular el valor aproximado del número cuántico n.
𝑬𝑬𝒏𝒏 = 𝒏𝒏𝟐𝟐
∗
𝒉𝒉𝟐𝟐
𝟖𝟖∗𝒎𝒎∗𝑳𝑳𝟐𝟐 ; 𝒏𝒏 =
𝑳𝑳
𝒉𝒉
∗ �𝟖𝟖 ∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝑬𝑬𝒏𝒏 = 𝟐𝟐 ∗
𝑳𝑳
𝒉𝒉
∗ 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 = 𝟐𝟐 ∗
𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝒏𝒏 = 𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
19. 68. a) Determinar Δx y Δp para la partícula clásica del problema 67 suponiendo que estas
incertidumbres vienen dadas por
𝚫𝚫𝒙𝒙
𝑳𝑳
= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 % 𝒚𝒚
𝚫𝚫𝒑𝒑
𝒑𝒑
= 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎 %.
b) ¿Cuánto vale (𝚫𝚫𝒙𝒙𝚫𝚫𝒑𝒑)/ℏ?
a) ∆𝒙𝒙 = 𝑳𝑳 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔
𝒎𝒎
∆𝒑𝒑 = 𝒎𝒎 ∗ 𝒗𝒗 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒
= 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒌𝒌𝒌𝒌 𝒎𝒎/𝒔𝒔
b)
𝚫𝚫𝒙𝒙𝚫𝚫𝒑𝒑
ℏ
=
𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔 ∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟗𝟗,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
69. En 1987, un láser de los Alamos National Laboratory produjo un destello que duró
1,0 10-12
s con una potencia de 5,0 1015
W. Estimar el número de fotones emitidos si su
longitud de onda fue de 400 nm.
𝒏𝒏 =
𝑷𝑷∗𝒕𝒕
𝑬𝑬𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó
=
𝟓𝟓,𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝒔𝒔∗𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗𝒎𝒎
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑𝑱𝑱∗𝒔𝒔∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔
= 𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
70. Los seres humanos no pueden ver nada que sea inferior a la longitud de onda λ utilizada.
¿Cuál es la energía mínima de un electrón utilizado en un microscopio electrónico para
ver un átomo, cuyo diámetro es del orden de 1 nm?
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
�𝟐𝟐∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄
; 𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝒉𝒉𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝒎𝒎∗𝝀𝝀𝟐𝟐 =
(𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑𝑱𝑱∗𝒔𝒔)𝟐𝟐
𝟐𝟐∗𝟗𝟗,𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑𝒌𝒌𝒌𝒌∗(𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗𝒎𝒎)𝟐𝟐 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
𝟐𝟐,𝟒𝟒𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒆𝒆𝒆𝒆
También podemos usar para la energía en eV y λ en nm:
𝝀𝝀 =
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐
�𝑬𝑬𝒄𝒄
𝑬𝑬𝒄𝒄 =
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝝀𝝀𝟐𝟐 =
𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟏𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓𝟓𝟓 𝒆𝒆𝒆𝒆
71. Una pulga común que tiene una masa de 0,008 g puede saltar una distancia de 20 cm.
Estimar la longitud de onda de De Broglie para la pulga inmediatamente después del
salto
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒑𝒑
=
𝒉𝒉
𝒎𝒎∗𝒗𝒗𝒐𝒐
Si suponemos un salto vertical de la pulga:
𝟎𝟎𝟐𝟐
− 𝒗𝒗𝒐𝒐
𝟐𝟐
= 𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝚫𝚫𝒚𝒚 ; 𝒗𝒗𝒐𝒐 = �𝟐𝟐 ∗ 𝒈𝒈 ∗ 𝚫𝚫𝒚𝒚
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉
𝒎𝒎∗�𝟐𝟐∗𝒈𝒈∗𝚫𝚫𝒚𝒚
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟖𝟖∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟔𝟔∗√𝟐𝟐∗𝟗𝟗.𝟖𝟖∗𝟎𝟎.𝟐𝟐
= 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒎𝒎
72. La función trabajo del sodio es ϴ=2,3 eV. Determinar la longitud de onda mínima de De
Broglie para los electrones emitidos por un cátodo de sodio iluminado por luz violeta con
una longitud de onda de 420 nm.
𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀
= 𝚯𝚯 + 𝑬𝑬𝒄𝒄 ; 𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀
− 𝚯𝚯 = 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑
∗
𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗 − 𝟐𝟐,𝟑𝟑 𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
𝝀𝝀 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
�𝟐𝟐∗𝒎𝒎∗𝒄𝒄𝟐𝟐∗𝑬𝑬𝒄𝒄
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
�𝟐𝟐∗𝟗𝟗.𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟗𝟗∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
𝒎𝒎
73. Suponer que un foco de 100 W radia luz de 600 nm de longitud de onda uniformemente
en todas direcciones, y que el ojo puede detectar esta luz si como mínimo entran 20
fotones por segundo en un ojo adaptado a la oscuridad con una pupila de 7 mm de
diámetro. ¿A qué distancia del foco puede detectarse la luz en estas condiciones
bastante extremas?
20. 𝒏𝒏𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
𝒏𝒏𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆
=
𝑨𝑨𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐
𝑨𝑨𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆
=
𝝅𝝅∗𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 =
𝒓𝒓𝟐𝟐
𝟒𝟒∗𝑹𝑹𝟐𝟐
𝑹𝑹 =
𝒓𝒓
𝟐𝟐
∗ �
𝒏𝒏𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆
𝒏𝒏𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
Para los fotones emitidos por segundo:
𝒏𝒏𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 =
𝑷𝑷∗𝒕𝒕
𝑬𝑬𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏𝒏
=
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗
𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖
𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
= 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝑹𝑹 =
𝒓𝒓
𝟐𝟐
∗ �
𝒏𝒏𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆
𝒏𝒏𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄
=
𝟑𝟑,𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑
𝟐𝟐
∗ �𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐
= 𝟔𝟔,𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔
𝒎𝒎
74. Los datos de la energía cinética máxima de los electrones en función de la longitud de
onda para el efecto fotoeléctrico utilizando sodio son
λ, nm 200 300 400 500 600
Ec, eV 4,20 2,06 1,05 0,41 0,03
Representar estos datos de modo que se obtenga una recta y a partir de ella hallar
a) La función trabajo. b) la frecuencia umbral. c) el cociente h/e.
a) Para el efecto fotoeléctrico tenemos:
𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀
= 𝒉𝒉 ∗ 𝒇𝒇 = 𝚯𝚯 + 𝑬𝑬𝒄𝒄
𝒇𝒇 =
𝚯𝚯
𝒉𝒉
+
𝑬𝑬𝒄𝒄
𝒉𝒉
λ, nm 200 300 400 500 600
f,Hz 1,5E+15 1E+15 7,5E+14 6E+14 5E+14
Ec, eV 4,20 2,06 1,05 0,41 0,03
Por tanto:
𝚯𝚯
𝒉𝒉
= 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
; 𝚯𝚯 = 𝒉𝒉 ∗ 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟒𝟒, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗ 𝒔𝒔 ∗ 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝒆𝒆𝒆𝒆 = 𝟐𝟐,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒆𝒆𝒆𝒆
b) 𝚯𝚯 = 𝒉𝒉 ∗ 𝝂𝝂𝒐𝒐; 𝝂𝝂𝒐𝒐 =
𝚯𝚯
𝒉𝒉
=
𝟐𝟐.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟒𝟒.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 = 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑯𝑯𝑯𝑯
c) Si representamos en el eje vertical la Energía cinética y en el horizontal la frecuencia:
𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝐡𝐡 ∗ 𝐟𝐟 − 𝚯𝚯
Si utilizamos para la energía cinética el potencial de frenada:
𝑬𝑬𝒄𝒄 = 𝒆𝒆 ∗ 𝑽𝑽 = 𝒉𝒉 ∗ 𝒇𝒇 − 𝚯𝚯
y = 2E+14x + 5E+14
R² = 0,9998
0
2E+14
4E+14
6E+14
8E+14
1E+15
1,2E+15
1,4E+15
1,6E+15
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Ec, eV
21. La pendiente de la recta es h, en eV*s, por tanto:
𝒉𝒉
𝒆𝒆
=
𝟒𝟒∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝒆𝒆𝒆𝒆∗𝒔𝒔
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑪𝑪
∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟒𝟒 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱/𝑪𝑪
75. El diámetro de la pupila del ojo es del orden de 5 mm . (Puede variar entre 1 y 8 mm
aproximadamente). Hallar la intensidad de la luz de 600 nm de longitud de onda tal que
al ojo entre por la pupila solo 1 fotón por segundo.
𝑰𝑰𝟏𝟏 𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏𝒏 =
𝑷𝑷
𝑨𝑨
=
𝑬𝑬𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏𝒏
𝑨𝑨∗𝚫𝚫𝒕𝒕
=
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝝀𝝀∗𝑨𝑨∗𝚫𝚫𝒕𝒕
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝑱𝑱∗𝒔𝒔∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔
𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗𝒎𝒎∗
𝝅𝝅
𝟒𝟒
∗(𝟓𝟓∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑)𝟐𝟐𝒎𝒎𝟐𝟐∗𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
76. Una lampara radia 90 W de luz uniformemente en todas direcciones.
a) Hallar la intensidad a una distancia de 1,5 m.
b) Si la longitud de onda es de 650 nm, hallar el número de fotones por segundo que
inciden sobre 1 cm2
de área orientada de modo que su normal esté alineada con la
lámpara.
a) 𝑰𝑰 =
𝑷𝑷
𝑨𝑨
=
𝑷𝑷
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝑹𝑹𝟐𝟐 =
𝟗𝟗𝟗𝟗
𝟒𝟒∗𝝅𝝅∗𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟐𝟐 = 𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑾𝑾/𝒎𝒎𝟐𝟐
b) 𝒏𝒏 =
𝑰𝑰∗𝑨𝑨
𝑬𝑬𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇𝒇ó𝒏𝒏
=
𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟏𝟏∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟒𝟒∗𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟗𝟗
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖 = 𝟏𝟏, 𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
77. Cuando la luz de longitud de onda λ1 incide sobre el cátodo de un tubo fotoeléctrico, la
energía cinética máxima de los electrones emitidos es 1,8 eV.Si la longitud de onda se
reduce a λ1/2 la energía cinética máxima de los electrones emitidos es 5,5 eV.
Determinar la función trabajo Φ del material catódico.
𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝟏𝟏
= 𝝓𝝓 + 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄
𝒉𝒉 ∗
𝟐𝟐∗𝒄𝒄
𝝀𝝀𝟏𝟏
= 𝝓𝝓 + 𝑬𝑬𝒄𝒄𝟐𝟐
Del sistema obtenemos, restando las ecuaciones y despejando, λ1:
𝝀𝝀𝟏𝟏 =
𝒉𝒉∗𝒄𝒄
𝑬𝑬𝒄𝒄𝟐𝟐−𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄
=
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑𝑱𝑱∗𝒔𝒔∗𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎/𝒔𝒔
(𝟓𝟓,𝟓𝟓−𝟏𝟏,𝟖𝟖)𝒆𝒆𝒆𝒆∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟑𝟑, 𝟑𝟑𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕
𝒎𝒎
𝝓𝝓 = 𝒉𝒉 ∗
𝒄𝒄
𝝀𝝀𝟏𝟏
− 𝑬𝑬𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝟔𝟔,𝟔𝟔𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟑𝟑𝟑𝟑𝑱𝑱∗𝒔𝒔∗𝟑𝟑∗
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝒎𝒎
𝒔𝒔
𝟑𝟑,𝟑𝟑𝟑𝟑∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟕𝟕𝒎𝒎
− 𝟏𝟏,𝟖𝟖 𝒆𝒆𝒆𝒆 ∗
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
= 𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱
𝟑𝟑,𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝑱𝑱 ∗
𝟏𝟏 𝒆𝒆𝒆𝒆
𝟏𝟏,𝟔𝟔∗𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟏𝟏𝟏𝟏𝑱𝑱
= 𝟏𝟏,𝟗𝟗𝟗𝟗 𝒆𝒆𝒆𝒆
78. Un fotón de energía E se dispersa según un ángulo ϴ. Demostrar que la energía E’ del
fotón dispersado viene dada por
y = 4E-15x - 2,0855
R² = 0,9998
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 1E+15 2E+15
Ec, eV
