Procedimiento para realizar una ANOVA

1. Análisis de Varianza de una
Vía

2. Principios generales
• El análisis de la varianza (ANOVA) es una técnica estadística paramétrica de
contraste de hipótesis.
• El ANOVA de un factor sirve para comparar varios grupos en una variable
cuantitativa.
• Se trata, por tanto, de una generalización de la Prueba t de Student para dos
muestras independientes al caso de diseños con más de dos muestras.
• A la variable categórica (nominal u ordinal) que define los grupos que
deseamos comparar la llamamos independiente o factor y la representamos
por VI.
• A la variable cuantitativa (de intervalo o razón, que en clase llamamos Escalar)
en la que deseamos comparar los grupos la llamamos dependiente y la
representamos por VD.

3. Hipótesis
• La hipótesis nula que se pone a prueba en el ANOVA de un factor es
que las medias poblacionales (las medias de la VD en cada nivel de la
VI) son iguales.
• Si las medias poblacionales son iguales, eso significa que los grupos no
difieren en la VD y que, en consecuencia, la VI o factor que influya
sobre la VD.
• Ho: G1 = G2 = G3 = … = Gn
• Ha: Al menos uno de los grupos es distinto a otro

4. Condiciones
• Cada muestra debe ser independiente de las otras.
• Cada muestra debe haber sido seleccionada al azar de la
población de donde proviene.
• Las población de donde provienen las muestras debe tener
distribución normal.
• Las varianzas de cada población deben ser iguales.

5. Ejemplo
• Una Directora de un colegio, preocupada de explicar los problemas de
comportamiento de sus estudiantes, se dispuso a hacer un estudio para
establecer si existían diferencias en ese aspecto según estado civil de los
padres, entre otras variables.
• Para ese fin, solicitó a los padres de 45 niños la aplicación del Child Behavior
Checklist, versión para padres. El CBCL (Achenbach, 1991) es un instrumento
conformado por 113 ítems que comprenden problemas específicos, agrupados
en síndromes que exploran dos tipos de anomalías de conducta:
externalización (agresión, delincuencia y trastornos de conducta) e
internalización (aislamiento, preocupaciones somáticas, depresión y ansiedad).
Además, (Friedrich et al., 1986) seis de sus ítems conforman la escala de
problemas sexuales, la que sólo se aplica a niños y niñas mayores.
• Los ítems tienen un nivel de medición escalar.

6. Datos

7. Calculamos la media de cada grupo y
la media global
Calculamos la suma de cuadrados
de las desviaciones de cada
observación respecto a la media
global, suma que denominaremos
Suma de Cuadrados Total (SCT) y
que refleja la variabilidad total. Si se
divide por el tamaño total de
muestra se obtiene la varianza total.
SCT =
X
(xi Mg)2

8. CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO
1262,26 507,52 1054,41 553,58
703,75 271,32 598,86 598,86
90,79 1977,73 6,11 6,11
89,71 241,13 504,98 307,24
0,28 754,69 271,32 0,28
20,51 241,13 273,18 241,13
241,13 30,56 56,68 89,71
20,51 307,24 504,98 0,28
183,01 6,39 209,43 20,00
0,22 71,77 239,37 12,45
56,68 12,05 155,54 419,09
931,98 703,75 421,41
241,13 271,32 209,43
89,71 307,24
305,26
16695,208
SCT =
X
(xi Mg)2
= 16695, 208

9. Calculamos la suma de cuadrados de las desviaciones entre la media de
cada grupo y la media general. Esta es la suma de cuadrados explicada
por el factor considerado, a la que denominaremos Suma de cuadrados
del factor (SCF) o variabilidad explicada.
kgrupodelaritméticamedia
kgrupoelensujetosdenúmero
globalmedia
=
=
=
K
k
g
M
M
n
• Siendo:
En la literatura científica también se denomina a la SCF como SC Entre los grupos
(SS Between) o SC del Modelo (SS Model)
SCF =
X
nk(Mk Mg)2

10. CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO MEDIA GLOBAL
MEDIA 35,21 46,27 58,18 45,08 45,53
n 14 15 11 13
(Mk-Mg)2 106,38 0,55 160,11 0,20
nk(Mk-Mg)2 1489,305 8,178 1761,226 2,649 3261,358
SCF =
X
nk(Mk Mg)2
= 3261, 358

11. Paso 5: Calculamos la suma de cuadrados de las desviaciones entre cada dato y la
media de su grupo. Esta es la suma de cuadrados no explicada, a la que
denominaremos Suma de cuadrados residual (SCR) o variabilidad residual.
• Siendo:
En la literatura científica también se denomina a la SCR como SC Dentro de los
grupos (SS Within)
FTRRFT SCSCSCSCSCSC −=⇒+=Si
SCR =
X
(xik Mk)2
xik
Mk
= cada dato i del grupo k
= media aritmética del grupo k

12. CASADO SEPARADO VIUDO SOLTERO
635,76 541,34 392,76 532,54
262,90 247,54 139,67 621,16
0,62 1912,60 103,67 8,54
391,47 264,60 96,40 291,62
95,76 714,67 14,58 0,01
33,47 264,60 851,58 227,31
27,19 39,27 407,31 98,47
33,47 333,67 96,40 0,01
10,33 10,67 3,31 24,24
116,33 59,80 7,94 9,47
7,76 7,47 0,03 437,78
408,62 743,47 403,08
27,19 247,54 222,70
391,47 333,67
280,00
13433,850
850,13433
2
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= ∑ Mx kR ikSC

13. • Cada suma de cuadrados tiene sus propios grados de
libertad.
• La SCT es el número total de casos menos uno, es decir
n-1;
• La SCF es el número de grupos menos uno, es decir, k-1 y
• La SCR es el número total de datos menos k, es decir,
n-k.
• En el análisis de la varianza, se define una media
cuadrática como el cociente entre la suma de cuadrados y
sus correspondientes grados de libertad:
Calculamos las medias cuadráticas, para lo cual necesitamos conocer los
grados de libertad correspondiente a cada suma de cuadrados de las
desviaciones

14. Grados de libertad
• Factor, Entre los grupos (between)
(k-1):
(4 - 1) = 3
• Residual, Dentro de los grupos (within)
(n-k):
53-4 = 49
• Total =
(n – 1):
53 - 1 = 52
RFT SCSCSC glglgl +=

15. Medias Cuadráticas
kn
SC
MC R
R
−
=
1−
=
k
SC
MC F
F
1−
=
n
SC
MC T
T
160,274
49
13433,850
==RMC
119,1087
3
358,3261
==FMC
52
16695,208
=TMC

16. Calculamos el estadístico F, que nos informará si tenemos “pruebas
suficientes” para rechazar o aceptar la hipótesis nula.
965,3
160,274
119,1087
==F
En nuestro caso
R
F
R
F
R
F
S
S
kn
SC
k
SC
MC
MC
F 2
2
1 =
−
−==

17. Con el fin de informar los resultados, se procede a generar el cuadro
resumen del ANOVA.
En nuestro caso
FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE CUADRADOS (SC) GRADOS DE LIBERTAD (gl) MEDIA DE CUADRADOS (MC) F calculado
FACTOR SC ENTRE k - 1 SC Entre / k-1 MC Entre/MC Dentro
RESIDUAL SC DENTRO n - k SC Dentro/ n-k
TOTAL SC TOTAL n - 1
FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE CUADRADOS (SC) GRADOS DE LIBERTAD (gl) MEDIA DE CUADRADOS (MC) F calculado
FACTOR 3261,358 3 1087,119 3,965
RESIDUAL 13433,850 49 274,160
TOTAL 16695,208 52

18. Las reglas de decisión en este procedimiento son las siguientes:
REGLAS DE DECISIÓN
)(obs0 siRechace αFFH ≥
)(obs0 sirechaceNo αFFH <
k210 ...: µµµ ==H
)...(: k211 µµµ ==¬H

19. En la tabla correspondiente, ubicamos los valores (k-1) en las columnas; y
(n-k) en las filas y el punto de intersección nos informa el valor Fα con el
cual compararemos el Fobs
Si desarrollamos el contraste en nuestro ejemplo, tenemos los siguientes valores:
3)1( =−kglF
49)( =− knglR
965,3=F

20. Los valores críticos de Fα son:
28,210.0 =F
Al realizar la comparación de Fobs con Fα, se observa que
Por lo tanto, podemos rechazar la hipótesis nula, al 2,5% y aceptamos que
existe evidencia empírica suficiente para afirmar que existen diferencias
significativas entre las medias de, al menos, dos de los grupos de padres.
Paso 10) Se concluye sobre la Hipótesis nula.
05.0FFobs >
92,205.0 =F
59,3025.0 =F
24,501.0 =F
920,2965,3 >

21. A partir de los resultados expuestos
sabemos que las cuatro categorías de la
variable independiente presentan resultados
diferentes.
Pero no sabemos exactamente entre que
categoría se presentan dichas diferencias,
pues ANOVA no nos informa al respecto.
Nos dice que hay diferencias significativas,
pero no entre que pares