Matemáticas aplicadas a la Economía II: Gráfica, curvas de nivel, límites

1. February 15, 2010
() February 15, 2010 1 / 24

2. Semana 4
Gráca de una función de varias variables. Curvas y
supercies de nivel. Límites de funciones
Matemáticas II
Universidad Carlos III. Madrid
Curso 2008-2009
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curso 2008-2009
Semana Curvas y supercies de nivel. L
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3. Funciones de Varias Variables Introducción
Vamos a estudiar funciones f : Rn → R.
Ejemplo
f : R2 → R denida por
f (x , y ) = x + y − 1
o por
f (x , y ) = x sin y
f : R3 → R denida por
f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + 1 + z2
o por
2 +y 2
f (x , y , z ) = ze x
f : R4 → R denida por
f (x , y , z , t ) = sin x + y + ze t .
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4. Funciones de Varias Variables Introducción
Vamos a estudiar funciones f : Rn → R.
Ejemplo
f : R2 → R denida por
f (x , y ) = x + y − 1
o por
f (x , y ) = x sin y
f : R3 → R denida por
f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + 1 + z2
o por
2 +y 2
f (x , y , z ) = ze x
f : R4 → R denida por
f (x , y , z , t ) = sin x + y + ze t .
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5. Funciones de Varias Variables Introducción
Vamos a estudiar funciones f : Rn → R.
Ejemplo
f : R2 → R denida por
f (x , y ) = x + y − 1
o por
f (x , y ) = x sin y
f : R3 → R denida por
f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + 1 + z2
o por
2 +y 2
f (x , y , z ) = ze x
f : R4 → R denida por
f (x , y , z , t ) = sin x + y + ze t .
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6. Funciones de Varias Variables Introducción
Vamos a estudiar funciones f : Rn → R.
Ejemplo
f : R2 → R denida por
f (x , y ) = x + y − 1
o por
f (x , y ) = x sin y
f : R3 → R denida por
f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + 1 + z2
o por
2 +y 2
f (x , y , z ) = ze x
f : R4 → R denida por
f (x , y , z , t ) = sin x + y + ze t .
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7. Funciones de Varias Variables Introducción
Vamos a estudiar funciones f : Rn → R.
Ejemplo
f : R2 → R denida por
f (x , y ) = x + y − 1
o por
f (x , y ) = x sin y
f : R3 → R denida por
f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + 1 + z2
o por
2 +y 2
f (x , y , z ) = ze x
f : R4 → R denida por
f (x , y , z , t ) = sin x + y + ze t .
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8. Funciones de Varias Variables Introducción
Vamos a estudiar funciones f : Rn → R.
Ejemplo
f : R2 → R denida por
f (x , y ) = x + y − 1
o por
f (x , y ) = x sin y
f : R3 → R denida por
f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + 1 + z2
o por
2 +y 2
f (x , y , z ) = ze x
f : R4 → R denida por
f (x , y , z , t ) = sin x + y + ze t .
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9. Funciones de Varias Variables Gráca de una función
Observación
Usualmente el dominio de f : Rn → R está implícito. Cuando no, se
dene explícitamente f : D ⊂ Rn → R especicando D .
Denition
Dado f : D ⊂ Rn → R se dene la gráca (o el grafo) de f como
G (f ) = {(x , y ) ∈ Rn+1 : y = f (x ), x ∈ D }
Observemos que una función se puede representar grácamente
únicamente para n = 1, 2 en la denición (en el caso del plano y del
espacio).
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10. Funciones de Varias Variables Gráca de una función
Observación
Usualmente el dominio de f : Rn → R está implícito. Cuando no, se
dene explícitamente f : D ⊂ Rn → R especicando D .
Denition
Dado f : D ⊂ Rn → R se dene la gráca (o el grafo) de f como
G (f ) = {(x , y ) ∈ Rn+1 : y = f (x ), x ∈ D }
Observemos que una función se puede representar grácamente
únicamente para n = 1, 2 en la denición (en el caso del plano y del
espacio).
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11. Funciones de Varias Variables Gráca de una función
Observación
Usualmente el dominio de f : Rn → R está implícito. Cuando no, se
dene explícitamente f : D ⊂ Rn → R especicando D .
Denition
Dado f : D ⊂ Rn → R se dene la gráca (o el grafo) de f como
G (f ) = {(x , y ) ∈ Rn+1 : y = f (x ), x ∈ D }
Observemos que una función se puede representar grácamente
únicamente para n = 1, 2 en la denición (en el caso del plano y del
espacio).
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12. Funciones de Varias Variables Gráca de una función
Ejemplo
La gráca de f (x , y ) = x 2 + y 2 es
La gráca de f (x , y ) = x 2 − y 2 es
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13. Funciones de Varias Variables Gráca de una función
Ejemplo
La gráca de f (x , y ) = x 2 + y 2 es
La gráca de f (x , y ) = x 2 − y 2 es
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14. Funciones de Varias Variables Conjuntos y Curvas de Nivel
Ejemplo
La gráca de f (x , y ) = 2x + 3y es
Denición
Dada f : D ⊂ Rn → R y k ∈R se dene el conjunto de nivel k de f
al conjunto
Ck = {x ∈ D : f (x ) = k }.
Si n = 2, el conjunto de nivel se llama curva de nivel.
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15. Funciones de Varias Variables Conjuntos y Curvas de Nivel
Ejemplo
La gráca de f (x , y ) = 2x + 3y es
Denición
Dada f : D ⊂ Rn → R y k ∈R se dene el conjunto de nivel k de f
al conjunto
Ck = {x ∈ D : f (x ) = k }.
Si n = 2, el conjunto de nivel se llama curva de nivel.
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16. Funciones de Varias Variables Conjuntos y Curvas de Nivel
Ejemplo
La gráca de f (x , y ) = 2x + 3y es
Denición
Dada f : D ⊂ Rn → R y k ∈R se dene el conjunto de nivel k de f
al conjunto
Ck = {x ∈ D : f (x ) = k }.
Si n = 2, el conjunto de nivel se llama curva de nivel.
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17. Funciones de Varias Variables Conjuntos y Curvas de Nivel
Ejemplo
Las curvas de nivel de f (x , y ) = x 2 + y 2 son
Las echas indican la dirección en la que f crece.
Las curvas de nivel de f (x , y ) = x2 − y 2 son
Las echas indican la dirección en la que f crece.
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Semana Curvas y supercies de nivel. L
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18. Funciones de Varias Variables Conjuntos y Curvas de Nivel
Ejemplo
Las curvas de nivel de f (x , y ) = x 2 + y 2 son
Las echas indican la dirección en la que f crece.
Las curvas de nivel de f (x , y ) = x2 − y 2 son
Las echas indican la dirección en la que f crece.
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Semana Curvas y supercies de nivel. L
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19. Funciones de Varias Variables Conjuntos y Curvas de Nivel
Ejemplo
Las curvas de nivel de f (x , y ) = x 2 + y 2 son
Las echas indican la dirección en la que f crece.
Las curvas de nivel de f (x , y ) = x2 − y 2 son
Las echas indican la dirección en la que f crece.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curso 2008-2009
Semana Curvas y supercies de nivel. L
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20. Funciones de Varias Variables Conjuntos y Curvas de Nivel
Ejemplo
Las curvas de nivel de f (x , y ) = x 2 + y 2 son
Las echas indican la dirección en la que f crece.
Las curvas de nivel de f (x , y ) = x2 − y 2 son
Las echas indican la dirección en la que f crece.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curso 2008-2009
Semana Curvas y supercies de nivel. L
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21. Funciones de Varias Variables Conjuntos y Curvas de Nivel
Ejemplo
Las curvas de nivel f (x , y ) = 2x + 3y son
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22. Funciones de Varias Variables Límites
Denition
Sea f : D ⊂ Rn → R y L ∈ R, p ∈ Rn . Se dice que
lim f (x ) = L
x →p
si, dado ε 0, existe algún δ0 tal que
|f (x ) − L| ε
siempre que 0 x − p δ.
Observación
Esta es una generalización del concepto de límite de funciones de una
variable a funciones de varias variables, una vez se reemplaza la
distancia || en R por la distancia en Rn ).
Se observa que la interpretación es la misma, e.j., |x − y | es la
distancia de x a y en R, y x −y es la distancia de x a y en Rn .
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23. Funciones de Varias Variables Límites
Denition
Sea f : D ⊂ Rn → R y L ∈ R, p ∈ Rn . Se dice que
lim f (x ) = L
x →p
si, dado ε 0, existe algún δ0 tal que
|f (x ) − L| ε
siempre que 0 x − p δ.
Observación
Esta es una generalización del concepto de límite de funciones de una
variable a funciones de varias variables, una vez se reemplaza la
distancia || en R por la distancia en Rn ).
Se observa que la interpretación es la misma, e.j., |x − y | es la
distancia de x a y en R, y x −y es la distancia de x a y en Rn .
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curso 2008-2009
Semana Curvas y supercies de nivel. L
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24. Funciones de Varias Variables Límites
Denition
Sea f : D ⊂ Rn → R y L ∈ R, p ∈ Rn . Se dice que
lim f (x ) = L
x →p
si, dado ε 0, existe algún δ0 tal que
|f (x ) − L| ε
siempre que 0 x − p δ.
Observación
Esta es una generalización del concepto de límite de funciones de una
variable a funciones de varias variables, una vez se reemplaza la
distancia || en R por la distancia en Rn ).
Se observa que la interpretación es la misma, e.j., |x − y | es la
distancia de x a y en R, y x −y es la distancia de x a y en Rn .
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curso 2008-2009
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25. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Consideremos la función
1
(x 2 + y 2 ) cos( x 2 +y 2 ) si (x , y ) = (0, 0),
f (x , y ) =
0 si (x , y ) = (0, 0).
cuya gráca es:
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26. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Consideremos la función
1
(x 2 + y 2 ) cos( x 2 +y 2 ) si (x , y ) = (0, 0),
f (x , y ) =
0 si (x , y ) = (0, 0).
cuya gráca es:
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 10 nivel. L
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27. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Queremos probar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0
Demostración
Tenemos que probar que dado ε0 existe algún δ0 tal que
|f (x , y ) − 0| ε siempre que 0 (x , y ) − 0 δ
. ecordemos que
R (x , y ) = x2 + y2 y supongamos que se nos da
un ε0 arbitario.
√
Fijemos ahora δ= ε 0, y consideremos (x , y ) tal que
√
0 (x , y ) = x2 + y2 δ = ε
Entonces, x 2 + y 2 ε, por lo que
1 1 1
˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛
|f (x , y )| = ˛(x 2 + y 2 ) cos( 2 )˛ = ˛(x 2 + y 2 )˛ ˛cos( 2 )˛ ε ˛cos( 2
˛ ˛ ˛ ˛˛ ˛ ˛ ˛
)˛ ≤ ε
˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛
ya que | cos(z )| ≤ 1 para cualquier z ∈ R. Se sigue que |f (x , y )| ε.
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28. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Queremos probar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0
Demostración
Tenemos que probar que dado ε0 existe algún δ0 tal que
|f (x , y ) − 0| ε siempre que 0 (x , y ) − 0 δ
Recordemos que
. (x , y ) = x2 + y2 y supongamos que se nos da
un ε0 arbitario.
√
Fijemos ahora δ= ε 0, y consideremos (x , y ) tal que
√
0 (x , y ) = x2 + y2 δ = ε
Entonces, x 2 + y 2 ε, por lo que
1 1 1
˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛
|f (x , y )| = ˛(x 2 + y 2 ) cos( 2 )˛ = ˛(x 2 + y 2 )˛ ˛cos( 2 )˛ ε ˛cos( 2
˛ ˛ ˛ ˛˛ ˛ ˛ ˛
)˛ ≤ ε
˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛
ya que | cos(z )| ≤ 1 para cualquier z ∈ R. Se sigue que |f (x , y )| ε.
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29. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Queremos probar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0
Demostración
Tenemos que probar que dado ε0 existe algún δ0 tal que
|f (x , y ) − 0| ε siempre que 0 (x , y ) − 0 δ
Recordemos que
. (x , y ) = x2 + y2 y supongamos que se nos da
un ε0 arbitario.
√
Fijemos ahora δ= ε 0, y consideremos (x , y ) tal que
√
0 (x , y ) = x2 + y2 δ = ε
Entonces, x 2 + y 2 ε, por lo que
1 1 1
˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛
|f (x , y )| = ˛(x 2 + y 2 ) cos( 2 )˛ = ˛(x 2 + y 2 )˛ ˛cos( 2 )˛ ε ˛cos( 2
˛ ˛ ˛ ˛˛ ˛ ˛ ˛
)˛ ≤ ε
˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛
ya que | cos(z )| ≤ 1 para cualquier z ∈ R. Se sigue que |f (x , y )| ε.
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30. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Queremos probar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0
Demostración
Tenemos que probar que dado ε0 existe algún δ0 tal que
|f (x , y ) − 0| ε siempre que 0 (x , y ) − 0 δ
Recordemos que
. (x , y ) = x2 + y2 y supongamos que se nos da
un ε0 arbitario.
√
Fijemos ahora δ= ε 0, y consideremos (x , y ) tal que
√
0 (x , y ) = x2 + y2 δ = ε
Entonces, x 2 + y 2 ε, por lo que
1 1 1
˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛
|f (x , y )| = ˛(x 2 + y 2 ) cos( 2 )˛ = ˛(x 2 + y 2 )˛ ˛cos( 2 )˛ ε ˛cos( 2
˛ ˛ ˛ ˛˛ ˛ ˛ ˛
)˛ ≤ ε
˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛
ya que | cos(z )| ≤ 1 para cualquier z ∈ R. Se sigue que |f (x , y )| ε.
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31. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Queremos probar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0
Demostración
Tenemos que probar que dado ε0 existe algún δ0 tal que
|f (x , y ) − 0| ε siempre que 0 (x , y ) − 0 δ
Recordemos que
. (x , y ) = x2 + y2 y supongamos que se nos da
un ε0 arbitario.
√
Fijemos ahora δ= ε 0, y consideremos (x , y ) tal que
√
0 (x , y ) = x2 + y2 δ = ε
Entonces, x 2 + y 2 ε, por lo que
1 1 1
˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛
|f (x , y )| = ˛(x 2 + y 2 ) cos( 2 )˛ = ˛(x 2 + y 2 )˛ ˛cos( 2 )˛ ε ˛cos( 2
˛ ˛ ˛ ˛˛ ˛ ˛ ˛
)˛ ≤ ε
˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛
ya que | cos(z )| ≤ 1 para cualquier z ∈ R. Se sigue que |f (x , y )| ε.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 11 nivel. L
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32. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Queremos probar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0
Demostración
Tenemos que probar que dado ε0 existe algún δ0 tal que
|f (x , y ) − 0| ε siempre que 0 (x , y ) − 0 δ
Recordemos que
. (x , y ) = x2 + y2 y supongamos que se nos da
un ε0 arbitario.
√
Fijemos ahora δ= ε 0, y consideremos (x , y ) tal que
√
0 (x , y ) = x2 + y2 δ = ε
Entonces, x 2 + y 2 ε, por lo que
1 1 1
˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛
|f (x , y )| = ˛(x 2 + y 2 ) cos( 2 )˛ = ˛(x 2 + y 2 )˛ ˛cos( 2 )˛ ε ˛cos( 2
˛ ˛ ˛ ˛˛ ˛ ˛ ˛
)˛ ≤ ε
˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛
ya que | cos(z )| ≤ 1 para cualquier z ∈ R. Se sigue que |f (x , y )| ε.
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33. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Queremos probar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0
Demostración
Tenemos que probar que dado ε0 existe algún δ0 tal que
|f (x , y ) − 0| ε siempre que 0 (x , y ) − 0 δ
Recordemos que
. (x , y ) = x2 + y2 y supongamos que se nos da
un ε0 arbitario.
√
Fijemos ahora δ= ε 0, y consideremos (x , y ) tal que
√
0 (x , y ) = x2 + y2 δ = ε
Entonces, x 2 + y 2 ε, por lo que
1 1 1
˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛
|f (x , y )| = ˛(x 2 + y 2 ) cos( 2 )˛ = ˛(x 2 + y 2 )˛ ˛cos( 2 )˛ ε ˛cos( 2
˛ ˛ ˛ ˛˛ ˛ ˛ ˛
)˛ ≤ ε
˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛ ˛ x + y2 ˛
ya que | cos(z )| ≤ 1 para cualquier z ∈ R. Se sigue que |f (x , y )| ε.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 11 nivel. L
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34. Funciones de Varias Variables Límites
Proposición
Sea f : Rn → R y supongamos que existen dos números, L1 y L2 que
satisfacen la anterior denición de límite. Es decir, L1 = limx →p f (x ) y
L2 = limx →p f (x ). Entonces L1 = L2
Observación
El cálculo de límites de funciones de varias variables es más complicado
que el cálculo de límites de funciones con una sola variable.
Una de las razones es que en el caso de una variable bastaba con
constatar que los dos límites laterales existían para vericar que el
límite existe, usando la proposición anterior.
Sin embargo, con más de una variable debemos constatar que el límite
existe en cualquier dirección del entorno del punto considerado.
Para instrumentar esto, deniremos curva en Rn , y tomaremos
límites el la dirección de dicha curva.
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35. Funciones de Varias Variables Límites
Proposición
Sea f : Rn → R y supongamos que existen dos números, L1 y L2 que
satisfacen la anterior denición de límite. Es decir, L1 = limx →p f (x ) y
L2 = limx →p f (x ). Entonces L1 = L2
Observación
El cálculo de límites de funciones de varias variables es más complicado
que el cálculo de límites de funciones con una sola variable.
Una de las razones es que en el caso de una variable bastaba con
constatar que los dos límites laterales existían para vericar que el
límite existe, usando la proposición anterior.
Sin embargo, con más de una variable debemos constatar que el límite
existe en cualquier dirección del entorno del punto considerado.
Para instrumentar esto, deniremos curva en Rn , y tomaremos
límites el la dirección de dicha curva.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 12 nivel. L
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36. Funciones de Varias Variables Límites
Proposición
Sea f : Rn → R y supongamos que existen dos números, L1 y L2 que
satisfacen la anterior denición de límite. Es decir, L1 = limx →p f (x ) y
L2 = limx →p f (x ). Entonces L1 = L2
Observación
El cálculo de límites de funciones de varias variables es más complicado
que el cálculo de límites de funciones con una sola variable.
Una de las razones es que en el caso de una variable bastaba con
constatar que los dos límites laterales existían para vericar que el
límite existe, usando la proposición anterior.
Sin embargo, con más de una variable debemos constatar que el límite
existe en cualquier dirección del entorno del punto considerado.
Para instrumentar esto, deniremos curva en Rn , y tomaremos
límites el la dirección de dicha curva.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 12 nivel. L
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37. Funciones de Varias Variables Límites
Proposición
Sea f : Rn → R y supongamos que existen dos números, L1 y L2 que
satisfacen la anterior denición de límite. Es decir, L1 = limx →p f (x ) y
L2 = limx →p f (x ). Entonces L1 = L2
Observación
El cálculo de límites de funciones de varias variables es más complicado
que el cálculo de límites de funciones con una sola variable.
Una de las razones es que en el caso de una variable bastaba con
constatar que los dos límites laterales existían para vericar que el
límite existe, usando la proposición anterior.
Sin embargo, con más de una variable debemos constatar que el límite
existe en cualquier dirección del entorno del punto considerado.
Para instrumentar esto, deniremos curva en Rn , y tomaremos
límites el la dirección de dicha curva.
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38. Funciones de Varias Variables Límites
Proposición
Sea f : Rn → R y supongamos que existen dos números, L1 y L2 que
satisfacen la anterior denición de límite. Es decir, L1 = limx →p f (x ) y
L2 = limx →p f (x ). Entonces L1 = L2
Observación
El cálculo de límites de funciones de varias variables es más complicado
que el cálculo de límites de funciones con una sola variable.
Una de las razones es que en el caso de una variable bastaba con
constatar que los dos límites laterales existían para vericar que el
límite existe, usando la proposición anterior.
Sin embargo, con más de una variable debemos constatar que el límite
existe en cualquier dirección del entorno del punto considerado.
Para instrumentar esto, deniremos curva en Rn , y tomaremos
límites el la dirección de dicha curva.
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39. Funciones de Varias Variables Límites
Denición
Sea σ(t ) : R → Rn . Entonces a σ se le denomina una curva en Rn .
Ejemplo
1) σ(t ) = (2t , t + 1), t ∈ R, cuya gráca es
4
3
2
1
-4 -2 2 4 6
-1
2) σ(t ) = (cos (t ), sin(t )), t ∈ R, cuya gráca es
1.0
0.5
-1.0 - 0.5 0.5 1.0
-0.5
-1.0
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40. Funciones de Varias Variables Límites
Denición
Sea σ(t ) : R → Rn . Entonces a σ se le denomina una curva en Rn .
Ejemplo
1) σ(t ) = (2t , t + 1), t ∈ R, cuya gráca es
4
3
2
1
-4 -2 2 4 6
-1
2) σ(t ) = (cos (t ), sin(t )), t ∈ R, cuya gráca es
1.0
0.5
-1.0 - 0.5 0.5 1.0
-0.5
-1.0
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41. Funciones de Varias Variables Límites
Denición
Sea σ(t ) : R → Rn . Entonces a σ se le denomina una curva en Rn .
Ejemplo
1) σ(t ) = (2t , t + 1), t ∈ R, cuya gráca es
4
3
2
1
-4 -2 2 4 6
-1
2) σ(t ) = (cos (t ), sin(t )), t ∈ R, cuya gráca es
1.0
0.5
-1.0 - 0.5 0.5 1.0
-0.5
-1.0
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42. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
√
3) σ(t ) = (cos (t ), sin(t ), t ), σ : R → R3 , cuya gráca es
-1.0
1.0
- 0.5
0.5 0.0
0.5
0.0 1.0
-0.5
-1.0
4
3
2
1
0
Proposición
Sea p ∈ D ⊂ Rn y f : D ⊂ Rn → R. Consideremos una curva
σ : [−ε, ε] → D tal que σ(t ) = p si t = 0. Supongamos que
limx →p f (x ) = L y limt →0 σ(t ) = p. Entonces,
lim f (σ(t )) = L
t →0
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43. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
√
3) σ(t ) = (cos (t ), sin(t ), t ), σ : R → R3 , cuya gráca es
-1.0
1.0
- 0.5
0.5 0.0
0.5
0.0 1.0
-0.5
-1.0
4
3
2
1
0
Proposición
Sea p ∈ D ⊂ Rn y f : D ⊂ Rn → R. Consideremos una curva
σ : [−ε, ε] → D tal que σ(t ) = p si t = 0. Supongamos que
limx →p f (x ) = L y limt →0 σ(t ) = p. Entonces,
lim f (σ(t )) = L
t →0
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44. Funciones de Varias Variables Límites
Observación
Como veremos en los ejemplos abajo, esta proposición es útil para
demostrar que un límite no existe o para calcular el valor del límite si se
conoce que el límite existe. Pero no puede ser utilizada para probar que un
límite existe, si no es cierto para cualquier curva, lo cual es mucho más
difícil que el caso de una sola variable, que requiere solo las dos curvas en
las direcciones contrarias del eje horizontal.
Observación (Aproximación a lo largo de los ejes)
Sea f : D ⊂ R2 → R. Sea p = (a, b). Consideremos las siguientes curvas:
σ1 (t ) = (a + t , b) y σ2 (t ) = (a, b + t )
Observemos que limt →0 σi (t ) = (a, b) i = 1, 2. Usando la proposición, si
lim f (x , y ) = L
(x ,y )→(a,b )
se tiene que limx →a f (x , b) = limy →b f (a, y ) = L
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45. Funciones de Varias Variables Límites
Observación
Como veremos en los ejemplos abajo, esta proposición es útil para
demostrar que un límite no existe o para calcular el valor del límite si se
conoce que el límite existe. Pero no puede ser utilizada para probar que un
límite existe, si no es cierto para cualquier curva, lo cual es mucho más
difícil que el caso de una sola variable, que requiere solo las dos curvas en
las direcciones contrarias del eje horizontal.
Observación (Aproximación a lo largo de los ejes)
Sea f : D ⊂ R2 → R. Sea p = (a, b). Consideremos las siguientes curvas:
σ1 (t ) = (a + t , b) y σ2 (t ) = (a, b + t )
Observemos que limt →0 σi (t ) = (a, b) i = 1, 2. Usando la proposición, si
lim f (x , y ) = L
(x ,y )→(a,b )
se tiene que limx →a f (x , b) = limy →b f (a, y ) = L
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 15 nivel. L
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46. Funciones de Varias Variables Límites
Observación
Como veremos en los ejemplos abajo, esta proposición es útil para
demostrar que un límite no existe o para calcular el valor del límite si se
conoce que el límite existe. Pero no puede ser utilizada para probar que un
límite existe, si no es cierto para cualquier curva, lo cual es mucho más
difícil que el caso de una sola variable, que requiere solo las dos curvas en
las direcciones contrarias del eje horizontal.
Observación (Aproximación a lo largo de los ejes)
Sea f : D ⊂ R2 → R. Sea p = (a, b). Consideremos las siguientes curvas:
σ1 (t ) = (a + t , b) y σ2 (t ) = (a, b + t )
Observemos que limt →0 σi (t ) = (a, b) i = 1, 2. Usando la proposición, si
lim f (x , y ) = L
(x ,y )→(a,b )
se tiene que limx →a f (x , b) = limy →b f (a, y ) = L
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 15 nivel. L
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47. Funciones de Varias Variables Límites
Observación
Como veremos en los ejemplos abajo, esta proposición es útil para
demostrar que un límite no existe o para calcular el valor del límite si se
conoce que el límite existe. Pero no puede ser utilizada para probar que un
límite existe, si no es cierto para cualquier curva, lo cual es mucho más
difícil que el caso de una sola variable, que requiere solo las dos curvas en
las direcciones contrarias del eje horizontal.
Observación (Aproximación a lo largo de los ejes)
Sea f : D ⊂ R2 → R. Sea p = (a, b). Consideremos las siguientes curvas:
σ1 (t ) = (a + t , b) y σ2 (t ) = (a, b + t )
Observemos que limt →0 σi (t ) = (a, b) i = 1, 2. Usando la proposición, si
lim f (x , y ) = L
(x ,y )→(a,b )
se tiene que limx →a f (x , b) = limy →b f (a, y ) = L
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48. Funciones de Varias Variables Límites
Observación
Como veremos en los ejemplos abajo, esta proposición es útil para
demostrar que un límite no existe o para calcular el valor del límite si se
conoce que el límite existe. Pero no puede ser utilizada para probar que un
límite existe, si no es cierto para cualquier curva, lo cual es mucho más
difícil que el caso de una sola variable, que requiere solo las dos curvas en
las direcciones contrarias del eje horizontal.
Observación (Aproximación a lo largo de los ejes)
Sea f : D ⊂ R2 → R. Sea p = (a, b). Consideremos las siguientes curvas:
σ1 (t ) = (a + t , b) y σ2 (t ) = (a, b + t )
Observemos que limt →0 σi (t ) = (a, b) i = 1, 2. Usando la proposición, si
lim f (x , y ) = L
(x ,y )→(a,b )
se tiene que limx →a f (x , b) = limy →b f (a, y ) = L
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 15 nivel. L
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49. Funciones de Varias Variables Límites
Proposición
Límites Iterados:
Supongamos que lim(x ,y )→(a,b ) f (x , y ) = L, y que los siguientes límites
unidimensionales
lim f (x , y ) ; lim f (x , y )
x →a y →b
existen para todo (x , y ) ∈ B ((a, b), r ). Denamos las funciones
g 1 (y ) = lim f (x , y ) ; g2 (x ) = lim f (x , y )
x →a y →b
Entonces
lim lim f (x , y ) = lim g2 (x ) = L; y
x →a y →b x →a
lim lim f (x , y ) = lim g1 (y ) = L
y →b x →a y →b
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 16 nivel. L
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50. Funciones de Varias Variables Límites
Proposición
Límites Iterados:
Supongamos que lim(x ,y )→(a,b ) f (x , y ) = L, y que los siguientes límites
unidimensionales
lim f (x , y ) ; lim f (x , y )
x →a y →b
existen para todo (x , y ) ∈ B ((a, b), r ). Denamos las funciones
g 1 (y ) = lim f (x , y ) ; g2 (x ) = lim f (x , y )
x →a y →b
Entonces
lim lim f (x , y ) = lim g2 (x ) = L; y
x →a y →b x →a
lim lim f (x , y ) = lim g1 (y ) = L
y →b x →a y →b
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 16 nivel. L
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51. Funciones de Varias Variables Límites
Proposición
Límites Iterados:
Supongamos que lim(x ,y )→(a,b ) f (x , y ) = L, y que los siguientes límites
unidimensionales
lim f (x , y ) ; lim f (x , y )
x →a y →b
existen para todo (x , y ) ∈ B ((a, b), r ). Denamos las funciones
g 1 (y ) = lim f (x , y ) ; g2 (x ) = lim f (x , y )
x →a y →b
Entonces
lim lim f (x , y ) = lim g2 (x ) = L; y
x →a y →b x →a
lim lim f (x , y ) = lim g1 (y ) = L
y →b x →a y →b
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 16 nivel. L
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52. Funciones de Varias Variables Límites
Observación
Observemos de nuevo que es posible aplicar esta proposición para
calcular el límite si se sabe de antemano que éste existe.
La proposición es muy útil en casos de límites difíciles de calcular o
constatar: Si para alguna función f (x , y ) sabemos que
lim lim f (x , y ) = lim lim f (x , y ),
x →a y →b y →b x →a
entonces podemos concluir (por la igualdad de los límites cuando
existen) que lim(x ,y )→(a,b ) f (x , y ) no existe.
Sin embargo, la proposición no puede ser utilizada para demostrar que
el lim(x ,y )→(a,b ) f (x , y ) existe, ya que se trata de límites en solo
algunas direcciones.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 17 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

53. Funciones de Varias Variables Límites
Observación
Observemos de nuevo que es posible aplicar esta proposición para
calcular el límite si se sabe de antemano que éste existe.
La proposición es muy útil en casos de límites difíciles de calcular o
constatar: Si para alguna función f (x , y ) sabemos que
lim lim f (x , y ) = lim lim f (x , y ),
x →a y →b y →b x →a
entonces podemos concluir (por la igualdad de los límites cuando
existen) que lim(x ,y )→(a,b ) f (x , y ) no existe.
Sin embargo, la proposición no puede ser utilizada para demostrar que
el lim(x ,y )→(a,b ) f (x , y ) existe, ya que se trata de límites en solo
algunas direcciones.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 17 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

54. Funciones de Varias Variables Límites
Observación
Observemos de nuevo que es posible aplicar esta proposición para
calcular el límite si se sabe de antemano que éste existe.
La proposición es muy útil en casos de límites difíciles de calcular o
constatar: Si para alguna función f (x , y ) sabemos que
lim lim f (x , y ) = lim lim f (x , y ),
x →a y →b y →b x →a
entonces podemos concluir (por la igualdad de los límites cuando
existen) que lim(x ,y )→(a,b ) f (x , y ) no existe.
Sin embargo, la proposición no puede ser utilizada para demostrar que
el lim(x ,y )→(a,b ) f (x , y ) existe, ya que se trata de límites en solo
algunas direcciones.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 17 nivel. L
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55. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Consideremos la función
x 2 −y 2
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0),
f (x , y ) =
0 si (x , y ) = (0, 0).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 18 nivel. L
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56. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Como la función es
x 2 −y 2
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0),
f (x , y ) = ,
0 si (x , y ) = (0, 0).
observemos que
x2
lim lim f (x , y ) = lim f (x , 0) = lim =1
x →0 y →0 x →0 x →0 x 2
Pero, −y 2
lim lim f (x , y ) = lim f (0, y ) = lim = −1
y →0 x →0 y →0 y →0 y2
Por lo que podemos concluir que el límite
x2 − y2
lim
(x ,y )→(0,0) x 2 + y 2
no existe.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 19 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

57. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Como la función es
x 2 −y 2
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0),
f (x , y ) = ,
0 si (x , y ) = (0, 0).
observemos que
x2
lim lim f (x , y ) = lim f (x , 0) = lim =1
x →0 y →0 x →0 x →0 x 2
Pero, −y 2
lim lim f (x , y ) = lim f (0, y ) = lim = −1
y →0 x →0 y →0 y →0 y2
Por lo que podemos concluir que el límite
x2 − y2
lim
(x ,y )→(0,0) x 2 + y 2
no existe.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 19 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

58. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Como la función es
x 2 −y 2
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0),
f (x , y ) = ,
0 si (x , y ) = (0, 0).
observemos que
x2
lim lim f (x , y ) = lim f (x , 0) = lim =1
x →0 y →0 x →0 x →0 x 2
Pero, −y 2
lim lim f (x , y ) = lim f (0, y ) = lim = −1
y →0 x →0 y →0 y →0 y2
Por lo que podemos concluir que el límite
x2 − y2
lim
(x ,y )→(0,0) x 2 + y 2
no existe.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 19 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

59. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Como la función es
x 2 −y 2
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0),
f (x , y ) = ,
0 si (x , y ) = (0, 0).
observemos que
x2
lim lim f (x , y ) = lim f (x , 0) = lim =1
x →0 y →0 x →0 x →0 x 2
Pero, −y 2
lim lim f (x , y ) = lim f (0, y ) = lim = −1
y →0 x →0 y →0 y →0 y2
Por lo que podemos concluir que el límite
x2 − y2
lim
(x ,y )→(0,0) x 2 + y 2
no existe.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 19 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

60. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Consideremos la función
xy
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0),
f (x , y ) =
0 si (x , y ) = (0, 0).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 20 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

61. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo (Continuación)
Como la función es
xy
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0)
f (x , y ) =
0 si (x , y ) = (0, 0),
los límites iterados coinciden, como puede verse directamente:
0 0
lim lim f (x , y ) = lim =0 y lim lim f (x , y ) = lim =0
x →0 y →0 x →0 x2 y →0 x →0 y →0 y2
Ahora calculemos el límite en la dirección de la curva σ(t ) = (t , t ):
t2 1
lim f (σ(t )) = lim f (t , t ) = lim =
t →0 t →0 t →0 2t 2 2
Como este límite no coincide con el valor de los límites iterados,
xy
concluimos que el límite lim(x ,y )→(0,0) 2 no existe.
x +y 2
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 21 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

62. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo (Continuación)
Como la función es
xy
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0)
f (x , y ) =
0 si (x , y ) = (0, 0),
los límites iterados coinciden, como puede verse directamente:
0 0
lim lim f (x , y ) = lim =0 y lim lim f (x , y ) = lim =0
x →0 y →0 x →0 x2 y →0 x →0 y →0 y2
Ahora calculemos el límite en la dirección de la curva σ(t ) = (t , t ):
t2 1
lim f (σ(t )) = lim f (t , t ) = lim =
t →0 t →0 t →0 2t 2 2
Como este límite no coincide con el valor de los límites iterados,
xy
concluimos que el límite lim(x ,y )→(0,0) 2 no existe.
x +y 2
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 21 nivel. L
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63. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo (Continuación)
Como la función es
xy
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0)
f (x , y ) =
0 si (x , y ) = (0, 0),
los límites iterados coinciden, como puede verse directamente:
0 0
lim lim f (x , y ) = lim =0 y lim lim f (x , y ) = lim =0
x →0 y →0 x →0 x2 y →0 x →0 y →0 y2
Ahora calculemos el límite en la dirección de la curva σ(t ) = (t , t ):
t2 1
lim f (σ(t )) = lim f (t , t ) = lim =
t →0 t →0 t →0 2t 2 2
Como este límite no coincide con el valor de los límites iterados,
xy
concluimos que el límite lim(x ,y )→(0,0) 2 no existe.
x +y 2
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 21 nivel. L
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64. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo (Continuación)
Como la función es
xy
x 2 +y 2
si (x , y ) = (0, 0)
f (x , y ) =
0 si (x , y ) = (0, 0),
los límites iterados coinciden, como puede verse directamente:
0 0
lim lim f (x , y ) = lim =0 y lim lim f (x , y ) = lim =0
x →0 y →0 x →0 x2 y →0 x →0 y →0 y2
Ahora calculemos el límite en la dirección de la curva σ(t ) = (t , t ):
t2 1
lim f (σ(t )) = lim f (t , t ) = lim =
t →0 t →0 t →0 2t 2 2
Como este límite no coincide con el valor de los límites iterados,
xy
concluimos que el límite lim(x ,y )→(0,0) 2 no existe.
x +y 2
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 21 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

65. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
Consideremos la función,
y si x 0
f (x , y ) =
−y six ≤0
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 22 nivel. L
Semana Curso 2008-2009 de / 24

66. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
La función es y si x 0
f (x , y ) = ,
−y six ≤0
y vamos a demostrar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0.
Dado ε0 tomamos δ = ε.
Constatemos que si 0 ||(x , y )|| = x 2 + y 2 δ,
entonces
|f (x , y ) − 0| = |y | = y2 ≤ x 2 + y 2 δ = ε,
por lo que se concluye que |f (x , y )| ε.
Ahora bien. limx →0 f (x , y ) no existe para y = 0. La razón es que si
y =0 los límites por la derecha y por la izquierda,
lim f (x , y ) = y y lim f (x , y ) = −y
x →0+ x →0−
no coinciden cuando y = 0.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 4 Gráca de una función de varias variables. Curvas y supercies 23 nivel. L
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67. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
La función es y si x 0
f (x , y ) = ,
−y six ≤0
y vamos a demostrar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0.
Dado ε0 tomamos δ = ε.
Constatemos que si 0 ||(x , y )|| = x 2 + y 2 δ,
entonces
|f (x , y ) − 0| = |y | = y2 ≤ x 2 + y 2 δ = ε,
por lo que se concluye que |f (x , y )| ε.
Ahora bien. limx →0 f (x , y ) no existe para y = 0. La razón es que si
y =0 los límites por la derecha y por la izquierda,
lim f (x , y ) = y y lim f (x , y ) = −y
x →0+ x →0−
no coinciden cuando y = 0.
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68. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
La función es y si x 0
f (x , y ) = ,
−y six ≤0
y vamos a demostrar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0.
Dado ε0 tomamos δ = ε.
Constatemos que si 0 ||(x , y )|| = x 2 + y 2 δ,
entonces
|f (x , y ) − 0| = |y | = y2 ≤ x 2 + y 2 δ = ε,
por lo que se concluye que |f (x , y )| ε.
Ahora bien. limx →0 f (x , y ) no existe para y = 0. La razón es que si
y =0 los límites por la derecha y por la izquierda,
lim f (x , y ) = y y lim f (x , y ) = −y
x →0+ x →0−
no coinciden cuando y = 0.
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69. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
La función es y si x 0
f (x , y ) = ,
−y six ≤0
y vamos a demostrar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0.
Dado ε0 tomamos δ = ε.
Constatemos que si 0 ||(x , y )|| = x 2 + y 2 δ,
entonces
|f (x , y ) − 0| = |y | = y2 ≤ x 2 + y 2 δ = ε,
por lo que se concluye que |f (x , y )| ε.
Ahora bien. limx →0 f (x , y ) no existe para y = 0. La razón es que si
y =0 los límites por la derecha y por la izquierda,
lim f (x , y ) = y y lim f (x , y ) = −y
x →0+ x →0−
no coinciden cuando y = 0.
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70. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
La función es y si x 0
f (x , y ) = ,
−y six ≤0
y vamos a demostrar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0.
Dado ε0 tomamos δ = ε.
Constatemos que si 0 ||(x , y )|| = x 2 + y 2 δ,
entonces
|f (x , y ) − 0| = |y | = y2 ≤ x 2 + y 2 δ = ε,
por lo que se concluye que |f (x , y )| ε.
Ahora bien. limx →0 f (x , y ) no existe para y = 0. La razón es que si
y =0 los límites por la derecha y por la izquierda,
lim f (x , y ) = y y lim f (x , y ) = −y
x →0+ x →0−
no coinciden cuando y = 0.
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71. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
La función es y si x 0
f (x , y ) = ,
−y six ≤0
y vamos a demostrar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0.
Dado ε0 tomamos δ = ε.
Constatemos que si 0 ||(x , y )|| = x 2 + y 2 δ,
entonces
|f (x , y ) − 0| = |y | = y2 ≤ x 2 + y 2 δ = ε,
por lo que se concluye que |f (x , y )| ε.
Ahora bien. limx →0 f (x , y ) no existe para y = 0. La razón es que si
y =0 los límites por la derecha y por la izquierda,
lim f (x , y ) = y y lim f (x , y ) = −y
x →0+ x →0−
no coinciden cuando y = 0.
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72. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
La función es y si x 0
f (x , y ) = ,
−y six ≤0
y vamos a demostrar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0.
Dado ε0 tomamos δ = ε.
Constatemos que si 0 ||(x , y )|| = x 2 + y 2 δ,
entonces
|f (x , y ) − 0| = |y | = y2 ≤ x 2 + y 2 δ = ε,
por lo que se concluye que |f (x , y )| ε.
Ahora bien. limx →0 f (x , y ) no existe para y = 0. La razón es que si
y =0 los límites por la derecha y por la izquierda,
lim f (x , y ) = y y lim f (x , y ) = −y
x →0+ x →0−
no coinciden cuando y = 0.
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73. Funciones de Varias Variables Límites
Ejemplo
La función es y si x 0
f (x , y ) = ,
−y six ≤0
y vamos a demostrar que lim(x ,y )→(0,0) f (x , y ) = 0.
Dado ε0 tomamos δ = ε.
Constatemos que si 0 ||(x , y )|| = x 2 + y 2 δ,
entonces
|f (x , y ) − 0| = |y | = y2 ≤ x 2 + y 2 δ = ε,
por lo que se concluye que |f (x , y )| ε.
Ahora bien. limx →0 f (x , y ) no existe para y = 0. La razón es que si
y =0 los límites por la derecha y por la izquierda,
lim f (x , y ) = y y lim f (x , y ) = −y
x →0+ x →0−
no coinciden cuando y = 0.
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74. Funciones de Varias Variables Límites
Teorema (Álgebra de límites)
Consideremos dos funciones f , g : D ⊂ Rn → R y supongamos que
lim f (x ) = L1 , lim g (x ) = L2
x →p x →p
Entonces,
1 limx →p (f (x ) + g (x )) = L1 + L2 .
2 limx →p (f (x ) − g (x )) = L1 − L2 .
3 limx →p f (x )g (x ) = L1 L2 .
4 Si a∈R entonces limx →p af (x ) = aL1 .
5 Si, además, L2 = 0, entonces
f (x ) L1
lim =
x →p g (x ) L2
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75. Funciones de Varias Variables Límites
Teorema (Álgebra de límites)
Consideremos dos funciones f , g : D ⊂ Rn → R y supongamos que
lim f (x ) = L1 , lim g (x ) = L2
x →p x →p
Entonces,
1 limx →p (f (x ) + g (x )) = L1 + L2 .
2 limx →p (f (x ) − g (x )) = L1 − L2 .
3 limx →p f (x )g (x ) = L1 L2 .
4 Si a∈R entonces limx →p af (x ) = aL1 .
5 Si, además, L2 = 0, entonces
f (x ) L1
lim =
x →p g (x ) L2
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76. Funciones de Varias Variables Límites
Teorema (Álgebra de límites)
Consideremos dos funciones f , g : D ⊂ Rn → R y supongamos que
lim f (x ) = L1 , lim g (x ) = L2
x →p x →p
Entonces,
1 limx →p (f (x ) + g (x )) = L1 + L2 .
2 limx →p (f (x ) − g (x )) = L1 − L2 .
3 limx →p f (x )g (x ) = L1 L2 .
4 Si a∈R entonces limx →p af (x ) = aL1 .
5 Si, además, L2 = 0, entonces
f (x ) L1
lim =
x →p g (x ) L2
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