Este documento presenta una serie de problemas relacionados con el álgebra lineal. Introduce conceptos como vectores, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal, subespacios vectoriales y bases. Contiene 12 problemas que abarcan diferentes temas como estudiar si un conjunto forma un espacio vectorial, expresar vectores como combinaciones lineales, determinar la dependencia de conjuntos de vectores, hallar bases y subespacios vectoriales.

1. UNIDAD 2: Álgebra lineal.
Tema 5. Introducción al Álgebra lineal.
Problemas
1. En IR2 se definen:
a1 , a 2   b1 , b2   a1  b1 , a 2  b2 
  a1 , a 2    a12 ,  a 2 
Estudiar si le dotan de la estructura de espacio vectorial.
2. Escribir el vector u  (3,5) como combinación lineal de u1  (1,2) , u 2  (1,1), u 3  (0,1) de
dos formas diferentes y en ambos casos con todos los coeficientes no nulos.
3. Comprobar que los vectores u1 y u 2 del ejercicio anterior son linealmente independientes y
hallar todas las combinaciones lineales posibles de estos vectores que dan lugar al vector u .
4. Demostrar que el conjunto S 2  (1,2), (1,1), (0,1) es sistema generador de IR2.
5. Hallar las coordenadas del vector 3+1i respecto de las bases canónica y B  3  2i,  1  i 
del espacio vectorial de los números complejos.
6. Estudiar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:
a) S1  (2,1,1).
b) S 2  (0,0,0).
c) S3  (1,0,2,1), (3,2,1,0), (0,0,0,0) .
d) S 4  (2,0,1,0), (0,1,0,1), (2,1,1,0), (0,2,0,1).
e) S5  (2,0,1,0), (0,1,0,1) .
f) S6  (2,0,1,0), (2,1,1,0), (0,2,0,1) .
g) S7  (1,0,3), (1 3 ,0,1) .
h) S 8  (1,0,3), (1 3 ,0,1), (0,1,0).
7. Demostrar:
a) S1  u  con u  0 es un conjunto de vectores linealmente independientes.
b) S 2  0 es un conjunto de vectores linealmente dependientes.
c) Cualquier conjunto de vectores que contenga al vector 0 , es un conjunto de vectores line-
almente dependientes.
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2. d) Si u1 , u 2 ,..., u p  son linealmente dependientes, uno de ellos se puede expresar como com-
binación lineal del resto.
e) Si x depende linealmente de u1 , u 2 ,..., u p , y a su vez cada u i depende linealmente de
 w1 , w2 ,..., wr , entonces x depende linealmente de estos últimos.
f) Si  u1 , u 2 ,..., u n  son linealmente independientes, también lo son los vectores
 v1 , v 2 ,..., v n  , siendo: v1  u1 ; v 2  u1  u 2 ; ....; v n  u1  u 2  ...  u n .
g) Si v1 , v 2 ,..., v n  son linealmente independientes, también lo son los vectores
v1 , v 2 ,..., v n 1 , w, donde w  b1v1  b2 v 2  ...  bn v n , con bn  0 .
8. Encontrar tres bases distintas de IR2.
9. Calcular k para que los vectores 1,1,2 , 2,1,3, 3, k ,2  sean linealmente dependientes y
encontrar la dependencia (combinación lineal) que hay entre ellos.
10.  
Demostrar que B  1,  x  2, x  2 ,  x  2  forman una base del espacio vectorial IP3(x) y
2 3
hallar las coordenadas del polinomio x 3  3 respecto de B.
11. Determinar cuáles de los siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales de los espacios
vectoriales que se indican y en caso afirmativo hallar su dimensión y una base.
a) A   x, y, z  / 2 x  3 y  z  0 en IR3.
b) B   x, y, z  / x  y  z  5 en IR3.
c) C   x,2 x,3 x  / x  IR en IR3.
d) D  a  2b, a  b, b  / a, b  IR en IR3.

e) E  a 0  a1 x  a 2 x 2 / a i  IR, 2a1  3a 2  4 en IP2(x). 
f) F  a 0  a 2 x 2  a 4 x 4 / a i  IR en IP4(x).
12. Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas del subespacio engendrado por los siguientes
conjuntos de vectores:
a) A  2,1,2 , 1,3,1.
b) B   1,0,1,2 , 2,1,3,3,  7,2,3,12  .
A. de la Villa, “Problemas de Álgebra con esquemas teóricos”, Ed. CLAGSA, 1998. (Tema 1)
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