1. Republica bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la
educación.
Bna.edo-Anzoátegui
I.U.P Santiago Mariño.
Transformaciones lineales
Profesora: alumno:
Milagros maita Jesus abreu
25426638
2. Teoria de transformacionesTeoria de transformaciones
linealeslineales
• Las transformaciones lineales son las funciones
con las que trabajaremos en Algebra Lineal. Se
trata de funciones entre K-espacios vectoriales
que son compatibles con la estructura (es decir,
con la operación y la acción) de estos espacios.
• Sean (V, +V , ·V ) y (W, +W , ·W ) dos K-
espacios vectoriales. Una función f : V → W se
llama una transformación lineal (u
homomorfismo, o simplemente morfismo) de V
en W si cumple: i) f(v +V v 0 ) = f(v) +W f(v 0 ) ∀
v, v0 V. ii) f(λ ·V v) = λ ·W f(v) λ K, v V.∈ ∀ ∈ ∀ ∈
3. Ejemplos:
• Sean V y W dos K-espacios vectoriales.
Entonces 0 : V → W, definida por 0(x) =
0W A x pertenece V , es una
transformación lineal.
• Si V es un K-espacio vectorial, id : V → V
definida por id(x) = x es una
transformación lineal.
4. Como hemos mencionado al comienzo, las
transformaciones lineales respetan la
estructura de K-espacio vectorial. Esto
hace que en algunos casos se respete la
estructura de subespacio, por ejemplo en
las imágenes y pre-imágenes de
subespacios por transformaciones lineales
Si S es un subespacio de V , entonces f(S)
es un subespacio de W. 2. Si T es un
subespacio de W, entonces f −1 (W) es un
subespacio de V .
5. • 1. Sea S pertenecer V un subespacio y
consideremos f(S) = {w pertenece W /
pertenece s pertenece S, f(s) = w}. (a) 0W
pertenece f(S), puesto que f(0V ) = 0W y
0V pertenece S. (b) Sean w, w0 pertenece
f(S). Entonces existen s, s0 pertenece S
tales que w = f(s) y w 0 = f(s 0 ). Luego w
+ w 0 = f(s) + f(s 0 ) = f(s + s 0 ) pertenece
f(S), puesto que s + s 0 pertenece S. (c)
Sean λ pertenece K y w pertenece f(S).
Existe s pertenece S tal que w = f(s).
Entonces λ·w = λ·f(s) = f(λ · s) pertenece
f(S), puesto que λ · s pertenece S.
6. • 2. Sea T un subespacio de W y
consideremos f −1 (T) = {v pertenece V /
f(v) pertenece T}. (a) 0V pertenece f −1
(T), puesto que f(0V ) = 0W pertenece T.
(b) Sean v, v0 pertenece f −1 (T).
Entonces f(v), f(v 0 ) pertenece T y, por lo
tanto, f(v + v 0 ) = f(v) + f(v 0 ) pertenece
T. Luego v + v 0 pertenece f −1 (T). (c)
Sean λ pertenece K, v pertenece f −1 (T).
Entonces f(v) pertenece T y, en
consecuencia, f(λ·v) = λ·f(v) pertenece T.
Luego λ · v pertenece f −1 (T).
7. Teoremas básicos de las transformaciones.
• Sea B = {vi: i pertenece J} base de V y C = {wi: i
pertenece J} una colección de vectores de W no
necesariamente distintos, entonces existe una
única transformación lineal T: V → Wque
satisface:
–
• Sea una transformación lineal.
– Entonces
• Como corolario básico de este teorema,
obtenemos que una transformación lineal de
unespacio vectorial de dimensión finita en sí
mismo es un isomorfismo si y sólo si es
unepimorfismo si y solo si es un monomorfismo.
10. Método de Gauss Jordan. Método de Gauss Jordan.
• En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan,
llamada así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm
Jordan, es un algoritmo del álgebra lineal para
determinar las soluciones de un sistema de
ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas.
Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método
de Gauss cuando se obtienen sus soluciones
mediante la reducción del sistema dado a otro
equivalente en el que cada ecuación tiene una
incógnita menos que la anterior. El método de
Gauss transforma la matriz de coeficientes en una
matriz triangular superior. El método de Gauss-
Jordan continúa el proceso de transformación hasta
obtener una matriz diagonal.
11. Algoritmo de eliminación de Gauss-Algoritmo de eliminación de Gauss-
JordanJordan
• Ir a la columna no cero extrema izquierda
• Si la primera fila tiene un cero en esta columna,
intercambiarlo con otra que no lo tenga.
• Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero,
sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los
renglones debajo de él.
• Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con
la submatriz restante. Repetir con el resto de los renglones
(en este punto la matriz se encuentra en forma escalonada).
• Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia
arriba: para cada renglón obtener un 1 delantero e introducir
ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a
los renglones correspondientes.
12. Una variante interesante de la
eliminación.
de Gauss es la que llamamos eliminación
de Gauss-Jordan, (debido al mencionado
Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste
en ir obteniendo los 1 delanteros durante
los pasos uno al cuatro (llamados paso
directo) así para cuando estos finalicen
ya se obtendrá la matriz en forma
escalonada reducida.
13. ejemploejemplo
• Supongamos que es necesario encontrar
los números "x", "y", "z", que satisfacen
simultáneamente estas ecuaciones:
• 2x+y-z=8
• -3x-y+2z=-11
• -2x+y+2z=-3
14. • Esto es llamado un sistema lineal de
ecuaciones. El objetivo es reducir el
sistema a otro equivalente, que tenga las
mismas soluciones. Las operaciones
(llamadas elementales) son estas:
• Multiplicar una ecuación por un escalar no
nulo.
• Intercambiar de posición dos ecuaciones
• Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
15. Núcleo de una transformaciónNúcleo de una transformación
lineal.lineal.
• Sea T : V → W una transformación lineal.
El núcleo T es el subconjunto formado por
todos los vectores en V que se mapean a
cero en W. Ker(T) = {v pertenece V | T(v)
= 0 pertenece W}
16. Nulidad.Nulidad.
Sea T : V → W una transformación lineal.
La nulidad de T es la dimensión de Ker(T)
17. Imagen.Imagen.
• Sean w1 y w2 elementos de la imagen de
T y c un escalar cualquiera. As´ı T(v1) =
w1 y T(v2) = w2 para algunos v1 y v2 en V
, y por tanto: T(c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) +
c2 T(v2) = c1 w1 + c2 w2 probando que
c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2
y por consiguiente c1 w1 + c2 w2 est´a
tambi´en en la imagen de T. Lo cual a su
vez prueba que la imagen de T es un
subespacio de W
18. Rango.Rango.
• Sea T : V → W una transformación lineal.
• El rango de T es la dimensión de R(T).
19. Relacionar las matrices con lasRelacionar las matrices con las
transformaciones lineales.transformaciones lineales.
• Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene
elegidas bases en cada uno de los espacios,
entonces todo mapa lineal de V en W puede
representarse por una matriz. Recíprocamente, toda
matriz representa una transformación lineal.
• Sean T:V→W una transformación
lineal, B={v1, ..., vn} una base de V, C={w1, ..., wm}
base de W. Para calcular la matriz asociada a T en
las bases B y C debemos calcular T(vi) para
cada i=1,...,n y escribirlo como combinación lineal de
la base C:
• T(v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ..., T(vn)=a1nw1+ ...
+amn wm.
20. • La matriz asociada se nota C[T]B y es la
siguiente:
• C(T)B=
• A11 … A1n
• … … …
• Am1 … Amn
21. • Como un vector de W se escribe de forma única
como combinación lineal de elementos de C, la
matriz es única.
• Gracias al teorema mencionado en la
sección Teoremas básicos de las transformaciones
lineales en espacios con dimensión finita, sabemos
que dada cualquier elección de u1, ..., un existe y es
única la transformación lineal que envía vi en ui. Por
lo tanto, dada A cualquier matriz m × n, existe y es
única la transformación linealT:V→W tal
que C [T] B=A.
• Además, las matrices asociadas cumplen
que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para
cualquier a,b ,∈ℝ T,S∈ L(V,W). Por esto es que la
aplicación que hace corresponder cada
transformación lineal con su matriz asociada es un
isomorfismo entre L(V,W) y Mn×mC (K).
• Si nos restringimos al caso V=W, C=B, tenemos
además que esta aplicación es un isomorfismo
entre álgebras.
23. Conclusión.Conclusión.
• Puedo decir que una transformación lineal
son las funciones con la que se trabaja en
algebra lineal, que las matrices es un
arreglo bidimensional o tabla
bidimensional de números consistente en
cantidades abstractas que pueden
sumarse y multiplicarse entre sí.
• Y que tienen correlación entre si dichos
temas en tal punto que se necesite.
