Este documento presenta cuatro objetivos sobre elipse y hipérbola. El primer objetivo explica la definición y ecuación de la elipse. El segundo objetivo explica la definición y ecuación de la hipérbola. El tercer objetivo cubre la forma general de las ecuaciones de segundo grado que representan elipses e hipérbolas. Cada objetivo incluye ejercicios resueltos como ejemplos.

1. LA ELIPSE
Y
LA HIPÉRBOLA
EJERCICIOS RESUELTOS

2. Ejercicios Resueltos
OBJETIVO 1
OBJETIVO 2
OBJETIVO 3

3. Objetivo 1. Recordarás y aplicarás la
definición de la elipse como un lugar
geométrico y su ecuación en la forma
canónica y en la forma general.

4. Como los focos tienen la misma abscisa, el eje focal
es el eje y. El centro se encuentra en el punto medio
entre ellos: C(0, 0).
• La distancia c es:
• El lado recto es:
c  0  3  3
b2
 a2
 c2
 a2
 9
b2
1) Encuentra la ecuación de la elipse con focos F(0,
3,
) y F’(0, – 3), y cada uno de sus lados rectos igual a
9.
 9
a
2b2
LR 

5. • Sustituyendo:
• El valor negativo de a no se considera puesto que
a es una longitud. Por tanto a = 6.
9
a
2a2
 9
2a2
 9a 18  0  92
 4218
22
  9
a 
81 144

9 15
4 4
a 
9 
4
1
a 
24
 6
4 2
2
a  
6
 
3

6. • La ecuación de la elipse es:
 a2
 9
b2
 36  9  27
b2
27 36
 1
2
 y
x2

7. 2) Los focos de una elipse son los puntos
F(3, 8) y F’(3, 2) y la longitud de su eje
menor es 8. Encuentra la ecuación de la
elipse, las coordenadas de sus vértices y su
excentricidad.
• El eje focal es paralelo al eje y.
• El centro tiene la misma abscisa que los focos:
h = 3.
La distancia entre los focos es:
k = 2 + c = 2 + 3 = 5 → C(3, 5)
2b = 8 b = 4
2
8  2
c   3
a2
 b2
 c2
 16  9  25
a2

8. • Ecuación de la elipse:
• Excentricidad:
16 25
• Vértices: V(h, k + a) = (3, 5 + 5) = (3, 10);
V’(h, k – a) = (3, 5 – 5) = (3, 0)
  1
y  52
x  32
c
a
e  
5
3

9. 3) Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es
igual a la mitad de su distancia a la recta x –
16 = 0 e interpreta el resultado.
• Distancia de un punto (x, y) al punto (4, 0):
• Distancia del mismo punto (x, y) a la recta x – 16
= 0:
d1  x  42
 y  02
2
d
12

 x 16

10. El lugar geométrico descrito es una elipse horizontal con
centro en el origen, eje mayor igual a 2(8) = 16 y eje
menor igual a
1 2
2
d 
1
d x  42
 y2
 2
1
x 16
4
x  42
 y2

1
x 162
4
 8x 16  y2

1
x2
 32x  256
x2 
1
x2
8x  64
4
3
4
x2
 y2
 48 3x2
448 48
y2
 1
64 48
  1
x2
y2
2 48

11. 4) Un arco con forma de semi-elipse tiene una
altura máxima de 45m y un claro de 150m.
Encuentra la longitud de dos soportes verticales
situados de manera que dividan en claro en tres
espacios iguales.
Si el eje x es la base del arco (el eje focal de la
elipse) y el origen es su punto medio, la ecuación
semieje mayor, a = 75 y el semieje menor, b = 45.
Para que el claro se divida en tres partes iguales,
la distancia de los soportes a cada vértice y entre
ellos debe ser de 50m.
  1
a2
b2
es del tipo x,
2
co
yn
2
el

12. • La ecuación es:
5625 2025
  1
y2
x2

13. Para determinar la altura de los soportes, se hace
x = 25 en la ecuación y se despeja el valor de y:
Puesto que y es una longitud (la altura de los
postes), se toma sólo la raíz positiva.
5625 2025
y2
252
  1
5625 2025
625
  1
y2
 1
1

9 2025
y2
8

2025 9
y2
9

16200
 1800
y2 y  30 2

14. Objetivo 2. Recordarás y aplicarás la
definición de la hipérbola como un
lugar geométrico y su ecuación en la
forma canónica.

15. 1) Encuentra los elementos de la
hipérbola 9 16
 1
y2

x2
 9
a2
a = 3; b = 4
b2
16  c2
 a2
 b2  9 16  25
c2
c  5 (la raíz negativa se descarta)
Centro C(0, 0)
Eje focal El eje y
Vértices V(0, 3), V’(0, –3)
Focos F(0, 5), F’(0, –5)
Distancia focal 10
Longitud del eje transverso 6
Longitud del eje conjugado 8
Longitud de cada lado recto 2b2 32
a 3
Excentricidad
e 
c

5
a 3
Asíntotas y 
3
x y  
3
x
4 4

16. 2)Encuentra la ecuación de la hipérbola horizontal
que tiene su centro en (0, 0), su lado recto mide 6
unidades y su excentricidad es 7
2
2b2
a
LR   6  b2
a2
c  b2
7
e    
a a 2 4
a2
 b2

7
 3a
a2
4a2
 3a 7a2
 7a2
 4a2
12a  0 3a 12  0
a 
12
 4
3
 16
a2
 3(4)  12
b2
16 12
 1
2
 y
x2
  1
a2
b2
x2
y2

18. 3) Determina la ecuación de la hipérbola con
C(0, 0), eje focal sobre el eje y, y que pasa
por los puntos (4, 6) y (1, –3)
Hipérbola vertical:
Se sustituyen las coordenadas de los puntos por
los que pasa:
 1
y2

x2
a2
b2
a2
b2
(6)2

(4)2
1 
36 16
  1
a2
b2
36b2
16a2
 a2
b2 (3)2

(1)2
1 
9

1
 1
a2
b2
 a2
b2
a2
b2
9b2
 a2

19. Se despeja a2 en la segunda ecuación:
y se sustituye en la primera:
a2
b2
 a2
 9b2
a2
b2
1 9b2
2
1
b2
9b2
a 
2
2
2
2
b


 9b2
b 1
  


  
 9b2
b 1
36b 16
1

1 b2

9b4
b2
39b2
b2
1144b2
36b4
 36b2
144b2
 9b4
27b4
108b2
 0

20. Se resuelve para b y se sustituye
para calcular a:
La ecuación de la hipérbola es:
27b2
 108
27

108
 4
b2

9(4)

36
4 1 5
a2
4
5
36
 1
y2

x2

21. 4) Los vértices de una hipérbola son los puntos (–3,
2) y (–3, –2) y la longitud de su eje conjugado es 6.
Encuentra la ecuación de la hipérbola, las
coordenadas de sus focos y su excentricidad.
V(–3, 2) y V’(–3, –2) → la hipérbola es
vertical:
Centro de la hipérbola:
h = –3,
  1
b2
a2
y  k2
x  h2
2
4
2
2  2
k    2  C(3,0)

22. Semieje transverso:
Eje conjugado 2b = 6 → semieje conjugado: b = 3
Ecuación de la hipérbola:
Excentricidad:
a = 02  2
4 9
  1
y  02
x  32
c  a2
b2
 4  9  13
Focos:  3,
2
13   3, 13 
13
e 

23. Objetivo 3. Recordarás y aplicarás la forma
general de la ecuación de una elipse o de
una hipérbola y las características de los
coeficientes de una ecuación de segundo
grado que representa a una elipse o a una
hipérbola.

24. 1) Comprueba que el lugar geométrico de la
ecuación 2x2
 4y2
 3x 12 y  6  0
es una elipse y encuentra las coordenadas del
centro, de los vértices y focos.
A = 2, C = 4, 2 ≠ 4, ambos son positivos.
D = 3, E = –12, F = 6;
CD2
 AE2
 4ACF  432
 2122
 4246
= 36 + 288 - 192 = 132 > 0
la ecuación sí representa una elipse. Por los
valores de A y de C, tiene su eje focal paralelo
al eje x.

25. Por lo tanto:
A  b2
C  a2
D  2b2
h E  2a2
k F  b2
h2
 a2
k 2
 a2
b2
2
c2
 a2
b2
b2 = 2; b =
 4  2  2
a2 = 4; a = 2;
 c2
h  
2b2
3
 
4
2
2a
E
k  
12 3 D
  
8 2 

 4 2

C
3
,
3 

 2,
V 

3 3 
4 2   
 
4 2

 5
,
3 
4
V ' 
11
,
3 
 2 
 
4
2,
3 
F 
3

 2 
  2
2,
3 
F ' 
3

 
 2 

26. 2) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el
producto de las pendientes de las rectas que los unen con los
puntos fijos (–2, 1) y (4, 5) es igual a 3
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (–2, 1):
Pendiente de las rectas que pasan por los puntos (x, y) y (4, 5):
El lugar geométrico es una hipérbola.
1
m =
y 1
x 2
2
m =
y 5
x  4
1 2
 y 1  y 5 
m m =  3
 x  2  x  4 
  
3
 2x  4x 8
x2
 5y  y  5

y2
 6y  5  3x2
 2x  8
y2 3x2
 y2
 6x  6y  29  0

27. 3) Encuentra el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tal que el
producto de las pendientes de las rectas que unen el punto P con los
puntos fijos (3, –2) y (–2, 1) es igual a .
Pendiente de la recta que une a P con (3, –2):
Pendiente de la recta que une a P con (–2, 1):
m1 
y  2
x  3
y 1
m2  x  2
1 2




x  3

x  2

m m 
 y  2  y 1   6
6
 x  6
x2
 y  2
 
y2
 y  2  6x2
 x  6
y2
6x2
 y2
 6x  y  38  0
Es una elipse.

28. 2 ≠ 9,
ambos son positivos y C > A. La ecuación no
tiene términos en x ni en y por lo que el centro
está en el origen.
C(0, 0), V(3, 0), V’(-3, 0);
 9y2
18  0
4) Encuentra todos los elemento de la elipse 2x2
• A = 2, C = 9, D = 0, E = 0, F = -18;
2x2
 9y2
18  0
9 2
 1
2x2
 9y2
 18
x2

y2
 9  2  7
c2
F( 7,0) 7,0)
F '(
LR 
4
3 3
7
e  2a = 6 2b = 2 2