teoria unidad 1

1. Instituto Politécnico Santiago Mariño
Extensión Porlamar
Unidad I Análisis Vectorial
Jeiser Barrios
CI: 26.243.024
Sección: 4E
Ing. Eléctrica
Porlamar, enero del 2017

2. 1) Analizar el concepto de Vectores, y de 2 (dos) ejemplos.
En física, el concepto de vector está íntimamente relacionado con el
concepto de magnitud y para poder entender qué es un vector en primer lugar
debemos entender qué es una magnitud.
A grandes rasgos, una magnitud es una propiedad que podemos observar
en cualquier cuerpo y que podemos darle un valor numérico mediante un proceso
de medida. Ejemplos de magnitudes pueden ser la masa de un objeto (m), la
temperatura (T), la velocidad (v), etc.
Podemos decir entonces que un vector es una magnitud física definida en
un sistema de referencia cuya expresión geométrica consiste en segmentos de
recta dirigidos hacia cierto, asemejándose a una flecha y que se caracteriza por
tener:
 Módulo: Longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el
origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del
vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
 Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo
contiene.
 Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del
vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Por ultimo un vector puede representarse en un espacio 𝑅2
𝑜 𝑅3

3. Ejemplos:
Representar de forma gráfica:
1) Una fuerza de 10lb con dirección 30° noreste
N
E
2) Una fuerza de 15 lb con dirección 30° al este del norte
N
E
2) Analizar y de 2 (dos) ejemplo de Suma, resta, multiplicación por escalares de
los vectores.
Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como
representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el
extremo origen del otro vector
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en
común, se trazan rectas paralelas a los vectores obteniéndose
un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los
vectores.
10lb
30°
15lb
30°

4. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Ejemplos:
1) Dado hallar la suma
2) Dado u= (2,6) y v= (3,-2) hallar la suma
u+v= (2+3,6-2)=(5,4)
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se suma con el
opuesto de . Las componentes del vector resta se obtienen
restando las componentes de los vectores.
Ejemplos:
1) Hallar la resta de los siguientes vectores:

5. 2) Dado u= (4,-1) y v= (6,2) hallar la resta
u-v= (4-6,-1-2)= (-2,-3)
Producto de vectores
El producto de un escalar por un vector da por resultado otro
vector, con la misma dirección que el primero. Al hacer la
multiplicación, el escalar cambia el módulo del vector (gráficamente
el largo) y en caso de ser negativo cambia también el sentido. La
dirección del vector resultado es siempre la misma que la del vector
original.
Matemáticamente se realiza multiplicando al escalar por cada
una de las componentes del vector.
El producto de un número k por un vector es otro vector:
1. De igual dirección que el vector .
2. Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
3. De sentido contrario del vector si k es negativo.
4. De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen
multiplicando por K las componentes del vector.

6. Ejemplos:
1) Hallar el producto de k x el vector resultante entre u y v:
2) Dado V= (3,5) y k= 4 Hallar el producto entre ambos:
k.V= 4.(3,5) = (4.3, 4.5)= (12,20)
3) Analizar y ejemplifique con 2 (dos) ejemplos, que son los Sistemas de
Coordenadas rectangulares
Llamado también Sistema Cartesiano (en honor a René
Descartes), es aquel sistema de referencia formado por el corte
perpendicular de dos rectas numéricas en un punto denominado
origen del sistema. El corte de estas rectas determina en el plano
cuatro regiones cada una de las cuales se va a denominar
cuadrante. En el sistema de coordenadas rectangulares, el punto de
intersección de las dos rectas se le llama origen del sistema.
Las rectas numéricas trazadas se van a denominar eje de
abscisas y eje de las ordenadas.

7. Ubicación de un punto
René Descartes creó el plano bidimensional para representar
geométricamente ecuaciones algebraicas de toda índole.
Obviamente con las restricciones del caso; pero con un punto de
partida básico: la ubicación de los puntos y su localización
utilizando pares ordenados.
Para ubicar un punto será necesario conocer los valores
correspondientes a las proyecciones del punto considerado sobre
cada uno de los ejes; así en el gráfico; las coordenadas que
precisan a "P" son "x" e "y", a las cuales se va a denominar.
En el sistema de coordenadas rectangulares, los valores de
las abscisas a la derecha del origen son positivos. Y los valores del
origen a la izquierda, serán negativos.
De la misma manera, en el eje Y, los valores del origen hacia
arriba. Serán considerados positivos, y negativos del origen hacia
abajo.
Ejemplos:
Representar los puntos:
1) X=2,Y=3
2) X=0, Y=0
3) X=-3, Y=1
4) X=-1.5, Y=-2.5

8. 4) Analizar que son Vectores Unitarios y dé 2 (dos) ejemplos.
En álgebra lineal y física, un vector unitario o versor es un vector de módulo
uno y puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para
los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k. En ocasiones se le llama
también vector normalizado.
Un vector unitario se denota frecuentemente con un acento circunflejo sobre
su nombre, como Ĵ (se lee "jota vector" o "vector jota").
Los vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada y no
tienen otro significado físico. Se usan sólo por conveniencia en la descripción de
una dirección en el espacio.
Vectores unitarios para los ejes cartesianos:
Ejemplos:

9. 1) Encuentre un vector unitario u paralelo al vector resultante R de r1= 2i+4j-
5k y r2= -i-2j+3k
R= r1+r2= (2i+4j-5k)+ (-i-2j+3k)= i+2j-2k
Cuya magnitud es R=|R|= |i+2j-2k = √12 + 22
+ (−2)2
= 3
Entonces u = R/|R| = (-i-2j+3k)/3 = (1/3)i+(2/3)j-(2/3)k
2) Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector
unitario de su misma dirección y sentido.
5) Explicar que es campo vectorial y de 2 (dos) ejemplos.
Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar
matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser
multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensional.
Un campo vectorial se corresponde con el segundo tipo de funciones
(rango multidimensional) en donde una magnitud física requiere de un vector
para su descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo de un fluido o un
campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.
Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una
magnitud vectorial.
Matemáticamente se define un campo vectorial como una función
vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no
necesariamente lineal. , en donde representa el espacio vectorial
que hace las veces de dominio y el espacio vectorial que actúa como rango.

10. El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial ,
dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente es una
función de tres variables independientes.
Ejemplos:
1) Campos magnéticos: Las líneas de campo se pueden
revelar usando pequeñas limaduras de hierro.
2) Las ecuaciones de Maxwell: permiten que
utilicemos un conjunto dado de condiciones
iniciales para deducir, para cada punto en el
espacio euclidiano, una magnitud y una dirección
para la fuerza experimentada por una partícula de
prueba cargada en ese punto; el campo vectorial que resulta es el campo
electromagnético.
6) Explique que es el Producto Punto y de 2 (dos) Ejemplos.
El Producto punto de dos vectores será un número escalar y se obtiene de
la siguiente manera:
Teniendo los vectores U = (X1, Y1, Z1) y V = (X2, Y2, Z2)
El producto punto es U.V y sería igual a = X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2 = K
K es el escalar resultante a la multiplicación de los vectores.
Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por
sus respectivas de los vectores. Para sacar la magnitud del producto punto de los
vectores es elevar el resultado al cuadrado y sacar su raíz.
Pero para la dirección si cambia un poco, existen dos maneras de sacar la
dirección de un producto punto:
1) La primera es Θ = Cos^-1 [U.V(Producto Punto) / |U||V|

11. Es decir, para sacar la dirección es el coseno a la menos 1 de la division del
producto punto entre la multiplicación de las magnitudes de los dos vectores.
2) Y la segunda da el mismo resultado pero es primero sacar Beta y después alfa
y restar ambas. En formulas sería:
β = Tan^-1 Y1/X1
Propiedades del producto punto:
1. Conmutati va
2. Asociativa
3. Distributiva
4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo
siempre es positivo.
Ejemplos.
1. Calcular el producto punto de los siguientes vectores.
U = (3,7)
V = (6,3)
U.V = 3.6 + 7.3 = 18 + 21 = 39
|U.V| = √39^2=39
2. Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas son: a= (1,
1/2, 3) y b= (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

12. 7) Explique que es Producto Vectorial Cruz y de 2 (dos) Ejemplos.
El Producto cruz es el determinante de la matriz que se genera por los dos
vectores con la primera línea de i, j y k. Es decir como resultado tendremos un
vector y para poder calcularlo hay que hacer el uso de determinantes.
La manera es la siguiente:
Para el Producto cruz sacar su magnitud es igual la suma de los cuadrados
de sus constantes del vector y su área es de un modo distinto porque se produce
un paralelogramo.
Para el paralelogramo primero se saca su área, pero lo curioso es que su
área es igual que la magnitud solo que añadiendo unidades cuadradas.
Y para la dirección se hace de la siguiente manera Θ = Sen ^-1 [|UxV| / |U||V|].
Es decir, el seno a la menos 1 de la división de la magnitud del producto cruz
sobre la multiplicación de las magnitudes de los vectores.
Ejemplos:
1) Calcular el producto cruz dado a= 2i+3j+4k y b= 3i+j+2k y calcular su
magnitud

13. 2) Dado A= 4i+5j-6k y B= 2i+4j+6k. Calcular el producto cruz entre ambos.