Contenido de trigonométrica, primera parte

1. Grado 10°
Trigonometría
José David Ojeda

2. Trigonometría
Viene del griego TRIGÓNO que significa
triangulo y METRON que significa medida.
Rama de las matemáticas que estudia las
relaciones entre los lados y ángulos de un
triangulo.
Veamos algunos conceptos iniciales:

3. Ángulos

4. Ángulos
Es la unión de dos semirrectas con el
mismo origen
Notación de un ángulo: Un angulo se nota
con letras mayusculas, para el lado inicial,
el vertice y el lado final.

5. Ángulos
En trigonometría es importante tener en
cuenta el lado del ángulo que se nombra
primero. No es lo mismo ABC que CBA
A
B
C
ABC

6. Angulos
A
B
C
CBA

7. Ángulos
También podemos usar letras griegas para
notar ángulos .( ), , ,α β δ φ
β

8. Ángulos en el plano
cartesiano

9. Ángulos en el plano cartesiano
Un ángulo se
encuentra en posición
canónica o normal
cuando en el plano
cartesiano, el vértice
coincide con el origen
y el lado inicial
coincide con el
semieje horizontal
positivo x.
O
y
x
Lado inicial
Lado final

10. Ángulos en posición normal
Primer cuadrante Segundo cuadrante
Tercer cuadrante Cuarto cuadrante

11. Ángulos en el plano cartesiano
Un Angulo es positivo cuando se genera a
partir de una rotación en sentido
contrario a las manecillas del reloj
Angulo positivo

12. Ángulos en el plano cartesiano
Un ángulo es negativo cuando se genera a
partir de una rotación que tiene el mismo
sentido que las manecillas del reloj.
Angulo negativo

13. Medición de Ángulos

14. Medición de Ángulos
Los ángulos se miden en grados y en
radianes.
El grado es la unidad de medida de los
ángulos en el sistema sexagesimal y el
radián es la unidad de medida en el
sistema cíclico.

15. Medición de Ángulos
MEDIDA DE ANGULOS EN ES
SISTEMA SEXAGESIMAL
•El ángulo generado por la rotación del
ángulo en una vuelta, mide 360 grados y se
denota 360°.
•El grado sexagesimal (1°) se define como
de una vuelta.
1
360

16. Medición de Ángulos
• Un grado sexagesimal equivale a 60
minutos (1° = 60’)
• Un minuto equivale a 60 segundos
(1’ = 60”)

17. Medición de Ángulos
Ejercicio: Expresar el ángulo de 42,225°
en grados, minutos y segundos.
Solución:
Primero determinamos los minutos a los
que equivale la parte decimal:
⋅ =0,225 60 13.5' Se multiplica
por 60

18. Medición de Ángulos
Luego se determinan los segundos a los
que equivale la parte decimal
Por lo anterior: 42,225° = 42° 13’ 30”
⋅ =0,5 60 30" Se multiplica
por 60

19. Medición de Ángulos
MEDIDA DE ANGULOS EN EL
SISTEMA CICLICO
Sobre una circunferencia, un ángulo
central β determina un arco de .
Se dice que la medida del ángulo β es un
radian (1 rad) si la longitud del arco que le
corresponde es igual al radio de la
circunferencia.

20. Medición de Ángulos
A
B
β
r
r =

21. Medición de Ángulos
Un radian es la medida de un ángulo
central de una circunferencia cuyo
arco mide igual que un radio

22. El número pi (π)

23. El número π

24. El numero π
Por lo anterior, la longitud de una
circunferencia es πd, donde d es el
diámetro de la circunferencia, pero
sabemos que el diámetro es dos veces el
radio de la circunferencia. Por tanto…
Longitud de la circunferencia = 2πr
Donde r es el radio de la circunferencia

25. Equivalencia
entre el sistema
sexagesimal y el
cíclico

26. Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico
Dado que la longitud de una circunferencia
de radio r es 2πr, entonces la cantidad de
arcos con longitud igual al radio en
cualquier circunferencia es 2π.
Por lo anterior, la cantidad de radianes en
una circunferencia es de 2π. Entonces…
360° = 2π rad

27. Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico

28. Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico
360°
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
0°0

29. Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico

30. Equivalencia entre el sistema
sexagesimal y el cíclico

31. TRIÁNGULOS

32. Triángulos
Si A, B y C son puntos no coloniales,
entonces el triangulo ABC es la unión de
los segmentos , y .
Los puntos A, B y C son los vértices del
triangulo; , y son los lados;
BAC , ABC y BCA son los
ángulos interiores.
A
B
C

33. Triángulos
De acuerdo con la longitud de sus lados los
triángulos se clasifican en :
•Triangulo equilátero si sus lados son
congruentes
•Triangulo isósceles si dos de sus lados
son congruentes
•Triangulo escaleno si las medidas de sus
lados son diferentes

34. Triángulos
Triangulo equilátero
Triangulo isósceles
Triangulo escaleno

35. Triángulos
De acuerdo a la medida de sus ángulos, los
triángulos se clasifican en:
•Triangulo acutángulo si todos sus ángulos
internos miden menos de 90°
•Triangulo obtusángulo si uno de sus
ángulos mide mas de 90° (Angulo obtuso)
•Triangulo rectángulo si uno de sus ángulos
mide exactamente 90° (Angulo recto)

36. Triángulos
Triangulo acutángulo
Triangulo obtusángulo
Triangulo rectángulo

37. Triángulos
Nota: En un triangulo rectángulo, las
rectas que forman el Angulo recto se
llaman catetos y el lado opuesto a
dicho ángulo es denominado
hipotenusa
Hipotenusa
Cateto
Cateto

38. Propiedades de los triángulos

39. Propiedades de los triángulos
De acuerdo con la medida de sus ángulos,
los triángulos cumplen las siguientes
propiedades:
•Todo triangulo equilátero es equiángulo,
es decir, las medidas de los ángulos son
iguales.
•Si dos lados de un triangulo son
congruentes, entonces los ángulos
opuestos a estos lados son congruentes

40. Propiedades de los triangulos
• Si dos ángulos de un triangulo son
congruentes, entonces los lados
opuestos a estos ángulos son
congruentes.
• La medida de los ángulos
internos de cualquier
triangulo, suman 180°.

41. Propiedades de los triángulos

42. Teorema de Pitágoras

43. Teorema de Pitágoras
• En un triangulo rectángulo el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos.
• h: Hipotenusa, a: y b: Catetos

44. Teorema de Pitágoras
• Ejemplo: Camilo viaja 4 kilómetros al
norte y 3 kilómetros al oeste desde su
casa para llegar a su trabajo, ¿Cuál será
la distancia mínima entre su casa y su
lugar de trabajo?
N
S
EO
4
3
x
4
3
x
2 2 2
2
2
4 3
16 9
25
25
5
x
x
x
x
x
= +
= +
=
=
=

45. Teorema de Pitágoras
Ejercicios: Una escalera de 10 m de
longitud está apoyada sobre la pared. El pie
de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué
altura alcanza la escalera sobre la pared?
Andrés desea comprar un televisor de 42
pulgadas, al llegar a la tienda de
electrodomésticos, nota que las TV’s no
indican sus tamaños, pero un vendedor sabe
que la altura y ancho son de 26 y 33
pulgadas respectivamente, ¿según esto se
trata de una TV de 42 pulgadas o no?