1. Números
reales
José David Ojeda M.
Matemáticas - 11º

2. 1. Desigualdades
Matemáticas - 11º

3. 1. Desigualdades
Entre dos números reales a y b, se cumple
solo una de las siguientes proposiciones:
Entonces R es un conjunto ordenado
Matemáticas - 11º
a b
a b
a b

4. 1. Desigualdades
• Una desigualdad es una expresión de la
forma
donde a y b son números reales.
• Ejemplos:
Matemáticas - 11º
, , ,a b a b a b a b
2 1
2 5 2 3 6 6
3 2

5. 2. Intervalos
Matemáticas - 11º

6. 2. Intervalos
• Un intervalo es un subconjunto (no
vacio) de los números reales.
Es el espacio que se da de un punto a
otro (en la recta numérica) en el cual se
toman en cuenta todos los puntos
intermedios.
Se representan usando los puntos
externos del intervalo.
Matemáticas - 11º

7. 2. Intervalos
• Clasificación de intervalos:
Matemáticas - 11º
(a, b)
( , ) /a b x R a x b
a b

8. 2. Intervalos
Matemáticas - 11º
[a, b) (a, b]
[ , ) /a b x R a x b
a b
( , ] /a b x R a x b
a b

9. 2. Intervalos
Matemáticas - 11º
[a, b]
[ , ] /a b x R a x b
a b

10. 2. Intervalos
Matemáticas - 11º
Infinitos
a
( , ) /a x R x a [ , ) /a x R x a
a
a
( , ) /a x R x a ( , ] /a x R x a
a

11. 2. Intervalos
• Operaciones entre Intervalos:
Dados dos intervalos A y B es posible
realizar las operaciones:
• Ejemplo:
Dados los intervalos A = (-4, 2],
B = [2, ∞), C = (-1, 3) Hallar:
Matemáticas - 11º
, , AyA B A B A B
a) b) c) d)A B B C B B C

12. 2. Intervalos
• Solución:
a)
b)
Matemáticas - 11º
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A
B
2A B
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A B
B C
B
( 1, )B CC

13. 2. Intervalos
• c)
• d)
Matemáticas - 11º
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6B
B
( , 2)B
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
B
C [3, )B C
B C

14. 3. Inecuaciones
Matemáticas - 11º

15. 3. Inecuaciones
• Propiedades de las desigualdades:
Sean a, b y c números reales
Matemáticas - 11º
1)
2)
3) 0
4) y 0
Si y , entondes
Si , Entonces ,
Si y , Entonces y
Si , Entonces y
a b b c a c
a b a c b c a c b c
a b
a b c ac bc
c c
a b
a b c ac bc
c c

16. 3. Inecuaciones
Una Inecuación es una desigualdad en la
cual intervienen una o mas variables.
• Resolver una Inecuación es hallar los
valores de la variables que hacen
verdadera la desigualdad. A estos
valores se les llama conjunto solución.
• Ejemplo: Hallar el conjunto solución de
la siguiente inecuación
Matemáticas - 11º
3 4 2x x

17. 3. Inecuaciones
• Solución: Utilizando las propiedades de
las desigualdades.
Matemáticas - 11º
3 4 2
3 4 2
2 6
3
x x
x x
x
x
El conjunto solucion /es 3S x R x

18. 3. Inecuaciones
• Ejemplo 2: Hallar el conjunto solución de
cada inecuación
• Solución:
a) Método Analítico:
Matemáticas - 11º
2
2
2
2 7 4
2 5 3 0a 0
2
b
3
) )
x x
x x
x x
2
Se consider
2 5
an
3 0
2 1 3 0 dos casos
x x
x x

19. 3. Inecuaciones
• Caso 1: • Caso 2:
Uniendo las soluciones de ambos casos el
conjunto solución es
2 1 0 3 0
2 1 3
1
3
2
1
, 3 , 3
2
1
, 3
2
x x
x x
x x
2 1 0 0
2 1 3
1
3
2
1
, 3,
2
x
x x
x x
1
, 3
2 Matemáticas - 11º

20. 3. Inecuaciones
• a) Método Gráfico:
Se hallan las raíces de los factores de la
expresión factorizada y se ubica en la
recta real:
Antes de cada una de las raíces las
expresiones son
negativas. Después son positivas.
.
Nota: Las raíz de un polinomio es el valor o los valores
de x para el cual el polinomio se hace cero P(x) = 0
Matemáticas - 11º
y2 1 3x x

21. 3. Inecuaciones
• Se multiplican los signos en ambas
rectas, teniendo en cuenta las raíces
Matemáticas - 11º
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + +
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2 1x
3x
2 1 3x x
- - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + + - - - - - - - - + + + + + +
• Se requiere que (2x + 1)(x – 3) < 0, lo
cual sucede en: 1
, 3
2

22. 3. Inecuaciones
• b) Método Analítico:
Factorizando:
Por tratarse de una fracción
Entonces
Para que la fracción sea mayor o igual a
cero se presentan dos casos
Matemáticas - 11º
2
2
2 7 4
0
2 3
x x
x x
2 1 4
0
3 1
x x
x x
3 1 0x x
3 y 1x x

23. 3. Inecuaciones
Matemáticas - 11º
2 1 4 30 01xx xx
2 1 0 4 0 2 1 0 4 0
1 1
x 4 x 4
2 2
1
x 4
2
1
, 4 ,
2
x x x x
x x
x
3 0 1 0 3 0 1 0
3 x 1 3 1
3 1
, 3 1,
x x x x
x x x
x x
Caso 1:

24. 3. Inecuaciones
Matemáticas - 11º
2 1 4 3 10 0x xx x
2 1 0 4 0 2 1 0 4 0
1 1
4 4
2 2
1
4,
2
x x x x
x x x x
Caso 2:
3 0 1 0 3 0 1 0
3 1 3 1
3, 1
x x x x
x x x x

25. 3. Inecuaciones
• Resolvemos la intersección para cada
uno de los casos:
Conjunto solución
Matemáticas - 11º
,
1
, 4 3
2
1,,
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
, 4 1,

26. 3. Inecuaciones
Conjunto solución:
Matemáticas - 11º
1
4,
2
3, 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1
3,
2
El conjunto solución final es la unión de las
soluciones para cada caso
1
1, 3, ,
2
4

27. 3. Inecuaciones
• b) Método gráfico
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
2 1 4
3 1
x x
x x
2 1x
3x
1x
4x -5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + +
- - - - - + + + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + +
+ + + + - - - + + + + + + + + + + +- - + + +

28. 3. Inecuaciones
• Ejercicios: Usando los métodos analítico
y grafico, hallar los valores de x para los
cuales se cumplen las siguientes
desigualdades:
2
2
2 2
7 8 2 7 x 12 0
6 2 4 1
1) 4)
5)
3)
3 13 10 0
x 6 5 0 4x 13
2)
36) 0
x x x
x x x x
x
Solo
Analítico

29. 4. Valor absoluto
El valor absoluto de un número real es su
valor numérico sin tener en cuenta su
signo.
Por ejemplo 3 es el valor absoluto de 3 y
de -3.
• De manera genérica
0, donde,1) x a a x a x a
2) x a x a x a

30. 4. Valor absoluto
• Otras propiedades del valor absoluto
2
3
0
) 4)
5)
6) 7)
a a ab a b
aa
b
b b
a b a b a a

31. 4. Valor absoluto
• Ejemplo: Hallar los valores de x que
satisfacen la siguiente ecuación:
• Como se aplica la primera
propiedad:
• Por tanto el conjunto solución es
3 8 14x
14 0
3 8 14 o 3 8 14x x
22
2 o
3
x x
22
2,
3

32. 4.1 Inecuaciones con valor
absoluto
• Para resolver inecuaciones con valor
absoluto, se tienen en cuenta las
siguientes propiedades:
2 2
con 01.
2. o
3.
x a a x a a
x a x a x a
x a x a

33. 4.1 Inecuaciones con valor
absoluto
• Ejercicios: Hallar los valores de x para
los cuales se cumplen las siguientes
inecuaciones con valor absoluto
• Aplicando la primera propiedad:
) 2 9a x
9 7 9x
9 7 9 7x
2 16x

34. 4.1 Inecuaciones con valor
absoluto
• Entonces el conjunto solución esta dado
por el intervalo:
• Aplicando la segunda propiedad:
• Por tanto el conjunto solución es:
2, 16
b) 2 5x
2 5 2 5ox x
3 x 7x
, 7 3,