Guia modularmatematicas iv(a)

Guías Modulares de Estudio
Matemáticas IV
Parte A

Semana 1:
Relaciones y funciones

• Objetivo:
Resolver problemas sobre relaciones y funciones, teóricos o prácticos, mediante el
manejo de la relación funcional entre dos variables, la realización de operaciones
entre funciones, el uso de funciones inversas, funciones especiales, y las
transformaciones de gráficas, en un ambiente escolar que favorezca la reflexión y
razonamiento abstracto, lógico, analógico y el desarrollo de actitudes de
responsabilidad, cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el cual se
desenvuelve.

Formas de representación de una función
 Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto
específico de números.
 Una constante es un símbolo al que sólo se le puede asignar un valor.
Dominio, codominio y rango
 Una relación es una regla de correspondencia que se establece entre los elementos de
un primer conjunto –llamado dominio– con los elementos de un segundo conjunto –
denominado contradominio (codominio)– de tal manera que a cada elemento del
dominio corresponde uno o más elementos en el contradominio.
 Una función es una relación en que a cada elemento del dominio corresponde uno y
sólo un elemento del contradominio.
 Cada elemento del contradominio que está relacionado con algún elemento del dominio
recibe el nombre de imagen de éste. El conjunto de imágenes se llama rango o
dominio de imágenes. El rango es un subconjunto, propio o impropio, del
contradominio.
 En consecuencia toda función es una relación, pero algunas relaciones no son
funciones.

Clasificación de funciones
 De manera general, las funciones se pueden clasificar en algebraicas y trascendentes.
 Una función algebraica es aquella cuyo valor se puede obtener mediante un número
finito de operaciones algebraicas.
Ejemplo: f(x) = x2
+ 2x – 3
Las funciones algebraicas pueden ser racionales o irracionales.
Una función racional es aquella en que las variables no figuran con exponentes
fraccionarios.
Ejemplo: f(x) = 1/x
Una función irracional es aquella que contiene variables con exponentes fraccionarios.
Ejemplo: f(x) = x1/2
 Las funciones trascendentes son las funciones trigonométricas, las funciones
logarítmicas y las funciones exponenciales.
Ejemplos: f(x) = sen x; f(x) = log2 x; f(x) = 3x

Continuas y discontinuas
 De manera intuitiva se dice que una función es continua cuando su gráfica se puede
hacer de un solo trazo sin despegar el lápiz del papel. En caso contrario se dice que
la función es discontinua. Esto se puede observar, por ejemplo, en las gráficas de
las funciones seno y tangente respectivamente.
FUNCIÓN SENO (CONTINUA) FUNCIÓN TANGENTE (DISCONTINUA)

Crecientes y decrecientes
 Si los puntos x1 y x2 son tales que x1 < x2 y se obtienen sus imágenes respectivas que
mantienen la siguiente relación f(x1) < f(x2), entonces la representación geométrica
corresponde a una función creciente.
 Si los puntos x1 y x2 son tales que x1 < x2 y se obtienen sus imágenes respectivas que
mantienen la siguiente relación f(x1) > f(x2), entonces la representación geométrica
corresponde a una función decreciente.
FUNCIÓN
CRECIENTE
FUNCIÓN
DECRECIENTE

Propiedades de las funciones
a) En algunas funciones, a elementos diferentes del dominio corresponden distintas
imágenes.
b) En otras funciones cada elemento del contradominio es imagen de por lo menos un
elemento del dominio.
c) En otras funciones se cumplen las condiciones de los incisos a) y b); es decir, a
elementos diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes; además cada
elemento del contradominio es imagen de algún elemento del dominio.
Función inyectiva (uno a uno)
 Las funciones descritas en el inciso a) tienen la propiedad de que a elementos
diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes. Estos casos se conocen
como funciones inyectivas.
 Dicho en otras palabras, una función es inyectiva si cada elemento del contradominio
es imagen de, cuando más, un elemento del dominio. A la función inyectiva también
se le conoce como función “uno a uno”.

Función suprayectiva
 Las funciones descritas en el inciso b) tienen la propiedad de que todo elemento del
contradominio es imagen, bajo la función, de algún elemento del dominio.
 Dicho en otras palabras, una función es suprayectiva si cada elemento del
contradominio es imagen de cuando menos un elemento del dominio. A la función
suprayectiva también se le llama función sobre.
Función biyectiva
 Las funciones en que a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes
distintas y, además, cada elemento del contradominio es imagen de algún elemento
del dominio, son inyectivas y suprayectivas a la vez, por lo que se llaman funciones
biyectivas.
 A la función biyectiva también se le llama función biunívoca.

A continuación se muestran esquemas de:
Función inyectiva Función suprayectiva Función biyectiva

Operaciones con funciones

Operaciones con funciones (continuación)

Semana 2:

Función compuesta

Propiedades de la composición

Definición de función inversa
Características de la función inversa

Método para hallar la inversa de una función

Ejemplos de inversa de una función

FUNCIÓN CONSTANTE
Sea: f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = k con k, x ∈ ℝ
Ejemplos:
Sea f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = 3
Gráfica de la función constante
 Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la
función, donde su primera componente es un número real y su segunda componente
es el valor constante; en este caso el número 3.
f(x) = 3

Propiedades de la función constante
a) Inyectividad.
A cada elemento del dominio corresponde el 3 como imagen, de manera que
diferentes elementos del dominio tienen la misma imagen; por tanto, la función
constante no es inyectiva.
b) Suprayectividad.
Como el dominio y el contradominio de la función son los números reales y a
cualquier x ∈ A le corresponde el número 3, entonces el conjunto imagen es C
= {3} y {3} ≠ ℝ; por consiguiente, la función constante no es suprayectiva.
c) Biyectividad.
La función constante no es inyectiva ni suprayectiva; en consecuencia, tampoco es
biyectiva.

Función identidad
Sea: f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = x
Gráfica de la función identidad
 Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la
función, cuyas primeras y segundas componentes son el mismo número real.
f(x) = x

Propiedades de la función identidad
a) Inyectividad.
Dados dos número reales diferentes, las imágenes que les corresponden también
son diferentes; es decir, x1, x2 ∈ ℝ, x1 ≠ x2 son significa que f(x1) ≠ f(x2); por
consiguiente, la función identidad es inyectiva.
b) Suprayectividad.
La imagen de la función identidad es igual al codominio, B = C = ℝ; en consecuencia,
la función identidad es suprayectiva.
c) Biyectividad.
La función identidad es inyectiva y suprayectiva a la vez, por lo que también es
inyectiva.

• Función valor absoluto
Sea: f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = |x|
Gráfica de la función constante
 Es el conjunto de puntos del plano que representan a los

Semana 3:
Funciones Polinomiales

• Objetivo:
Resolver problemas de funciones polinomiales, teóricos o prácticos,
utilizando sus propiedades algebraicas y geométricas, en un ambiente
escolar que favorezca la reflexión sobre el análisis y razonamiento práctico,
así como el desarrollo de actitudes de responsabilidad, cooperación,
iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve.

Concepto de función polinomial
• Una expresión de orden decreciente de los exponentes de x de
la forma
anxn
+ an-1 xn-1
+ an-2 xn-2
+ … + a2x2
+ a1x + a
• Donde an , an-1, an-2, …, a2, a1, a0 son números reales, an = 0, se
llama polinomio de grado n.
• Cada término está separado del siguiente por medio del signo
de la suma. El grado de un término lo determina el grado de x
en dicho término. El término de mayor grado define el grado
del polinomio. El término que no contiene a x es de grado 0 y
se llama término independiente o término constante.

Funciones reales especiales
• Se analizarán las propiedades de algunas funciones reales
especiales de uso frecuente:
– Función de identidad f : R R, f (x) = x
– Función lineal f : R R, f (x) = ax + b
– Función cuadrática f : R R, f (x) = ax2
+ bx + c, a = 0
– Función cúbica f : R R, f (x) = ax3
+ bx2
+ cx + d, a = 0

Función lineal
• La función lineal como caso particular de la función polinimal
• Sea f : R R, tal que f (x) = 2x + 1
• La expresión algebraica de esta función es de la forma f(x) = mx = b,
donde los parámetros m y b corresponden respectivamente a su
pendiente y ordenada al origen.

Propiedades de la función lineal
• a) Inyectividad: Existen dos números reales diferentes, x1 = x2, tales que
las imágenes correspondientes también son distintas, f (x1) = f (x2); así
pues, la función lineal es inyectiva.
• b) Suprayectividad: La imagen de la función lineal es igual al
contradominio, B = C = R ; por tanto, la función lineal es suprayectiva.
• c) Biyectividad: La función lineal es inyectiva y suprayectiva; entonces
también es biyectia.
• Las funciones constante, identidad y lineal se representan en forma
geométrica por medio de una línea recta; por ello, comúnmente se les
llama funciones lineales.
• En general, una función lineal es una función real de la forma,
f (x) = mx + b
donde m, b, x son números reales, de los cuales m y b son constantes.

Semana 4:

Función cuadrática
• La función cuadrática como caso particular de la función
polinomial:
• Forma estándar de una función cuadrática
f: R R, con f (x) = x2
• Gráfica de la función cuadrática: es el conjunto de los puntos
del plano que representa a los pares ordenados de la función.
La primera componente es un número real y la segunda
componente es el cuadrado de la primera.
f = ( x, f (x)) | f (x) = x2
, x E R

Propiedades de la función cuadrática
• a) Inyectividad: Existen dos números reales diferentes – por
ejemplo, dos números simétricos – tales que su imagen bajo la
función es la misma. Al trazar paralelas al eje x, cada una de
ellas corta en dos puntos a la representación geométrica de la
gráfica de la función, por ello, la función cuadrática no es
inyectiva.
• b) Suprayectividad: La función cuadrática tiene dominio y
contradominio real, pero su imagen es el conjunto de los
números reales no negativos y como
R = R+
U 0 ,
entonces la función cuadrática no es suprayectiva.

Propiedades de la función cuadrática
• c) Biyectividad: Dado que la función cuadrática no es inyectiva
ni suprayectiva, tampoco es biyectiva.
Ejemplo:
f: R R, con f (x) = x2
– x – 2

Funciones polinomiales
de grado tres y cuatro
• En esta sección se exponen los procedimientos que se utilizan
para determinar las soluciones de una ecuación polinomial de
grado mayor que dos y se aplican para el trazo de la gráfica de
la función polinomial correspondiente
• Función cúbica
Sea: f: R R, tal que f (x) = x3
• Gráfica de la función cúbica: Es el conjunto de los puntos de
un plano que representa a los pares ordenados de la función.
La primera componente es un número real y la segunda
componente es el cubo de la primera.
f = ( x, f (x)) | f (x) = x3
, x E R

Propiedades de la función cúbica
• a) Inyectividad: Dados dos números reales distintos, x1 x2, las
imágenes que les corresponden también son diferentes,
f (x1) f (x2)
por tanto, la función cúbica es inyectiva. Esto se puede
observar en la figura al trazar rectas paralelas al eje x que
intersecan la representación de f en un solo punto
• b) Suprayectividad: La imagen de la función cúbica es igual al
contradominio, C = B = R ; por consiguiente, la función
cúbica es suprayectiva

• c) Biyectividad: La función cúbica es inyectiva y suprayectiva, al
mismo tiempo, entonces también es biyectiva.
Sea, f: R R, tal que f (x) = x3
– 1
Propiedades de la función cúbica

Ceros y raíces reales
• Al trazar la gráfica de una función polinomial, es importante
encontrar los puntos de intersección de la gráfica con el eje x.
En estos puntos la ordenada es cero y corresponden a las
raíces o soluciones reales de una ecuación – también
conocidas como ceros de la función – . Cuando la gráfica de la
función no interseca al eje x se obtienen raíces que no son
reales sino complejas.

División de polinomios
El teorema del residuo y el teorema del factor
• Teorema del residuo: Si r es una constante y se divide la función
polinomial f entre x – r, el residuo que se obtiene es f (r).
• Ejemplo:
Si f (x) = x3
+ 2x2
– 5x – 15 halla f (2) en dos formas distintas.
• Solución:
a) Al evaluar la función f (x) para x = 2 se obtiene:
F (2) = 23 + 2(2) – 5(2) – 15
= 8 + 8 – 10 – 15
= 16 – 15 .
= – 9 .

Teorema del residuo
b) La función f (x) se divide entre x – 2:
x2
+ 4x + 3
x – 2 ) x3
+ 2x2
– 5x – 15
x2
– 2x2
4x2
– 5x
4x2
– 8x
3x – 15
3x – 6
– 9
Como puedes observar, al dividir la función f (x) entre x – 2 se obtiene
como residuo – 9, que es igual a f (2)

Teorema del factor
• Si r es una raíz de la ecuación polinomial f (x) = 0; es decir,
f (r) = 0, entonces x – r es un factor de f (x). Recíprocamente, si
x – r es un factor de la ecuación polinomial f (x) = 0, entonces r
es una raíz de la ecuación, o sea que f (r) = 0
Ejemplo:
Demuestra que x + 3 es un factor (divisor) de x3
+ 2x2
– 5x – 6
Solución:
Para demostrar que x + 3 es un factor, lo expresamos como x + 3 = x – (–3); es decir,
necesitamos averiguar si –3 es una raíz de la ecuación; por tanto:
f (x) = x3
+ 2x2
– 5x – 6 = 0 .
f (–3) = (–3)3
+ 2 (–3)2
– 5 (–3) – 6
= – 27 + 18 + 15 – 6 .
= – 33 + 33 .
= 0 .

División sintética
• En el proceso de determinación de las raíces de un polinomio
se recurre al teorema del residuo; es decir, se requiere dividir
el polinomio entre una expresión lineal de la forma x – r. La
división se puede efectuar con mayor rapidez mediante un
proceso abreviado que se conoce como división sintética.
Si dividimos 3x3
– 4x2
– 9x + 7 entre x – 3 en la forma usual
3x2
+ 5x + 6
x – 3 ) 3x3
– 4x2
– 9x + 7
3x3
– 9x2
5x2
– 15x
5x2
– 15x
6x + 7
6x – 18
25

Desigualdades lineales
Concepto de desigualdad lineal con una incógnita
• Una desigualdad expresa que una cantidad real o una
expresión, es mayor o menor que otra.
• Una desigualdad absoluta es cierta para todos los valores
reales de las variables que intervienen en ella; por ejemplo,
(x – y)2
> – 1 es cierta para todos los valores de x y y, pues el
cuadrado de todo número real es un número positivo o cero.
• Una desigualdad condicional sólo es cierta para determinados
valores de las variables; por ejemplo, x – 5 > 3 sólo es cierta
para x > 8.
• Una desigualdad lineal con una incógnita es aquella en que el
mayor grado de su única incógnita es uno.

Desigualdades lineales
• Ejemplo:
Resuelve 2x + 7 < 5x – 8
– 5x + (2x + 7) < (5x – 8) – 5x
– 3x + 7 < – 8
– 3x + 7 – 7 < – 8 – 7 .
– 3x < – 15
– 1/3 (– 3x) > – 1/3(– 15) .
X > 5
• Observa que al multiplicar por un número negativo se cambió
de < a > ; por lo tanto, la solución es: x E R | x > 5

Bibliografía
• Francisco J. Ortíz Campos. Matemáticas IV. Editorial: Publicaciones
cultural, 2006.

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