Introducción al concepto de matriz y a la descripción del método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

1. MATRICES Y SISTEMAS
LINEALES
Método de Gauss para resolver un sistema
de ecuaciones lineales

2. Definición
Si m y n son dos números enteros positivos, una matriz de m x n, es
una estructura ordenada en m filas y n columnas, cuyos elementos se
identifican por el número de fila y columna que ocupa:
푎11 푎12
푎21 푎22
푎13 ⋯
푎23 …
푎1푛−1 푎1푛
푎2푛−1 푎2푛
⋮ ⋮
푎푚1 푎푚2
⋮ ⋱
푎푚3 …
⋮ ⋮
푎푚푛−1 푎푚푛
m filas
n columnas

3. Orden de una matriz
Se entiende por orden de una matriz, el número de filas y de columnas
(en este orden) que componen la matriz.
Ejemplos:
퐴 =
1 0
−3 6
4 2
El orden de esta matriz es 3 x 2 (tres filas por dos columnas)
퐵 =
1 2
1 1 El orden de esta matriz es 2 x 2 (dos filas por dos columnas)
퐶 =
1
3
1
El orden de esta matriz es 3 x 1 (tres filas por una columna)

4. Notación
• Para hacer referencia a una matriz se utilizará una letra mayúscula
• Para indicar un elemento de la matriz de posición la fila i y la columna
j utilizaremos una letra minúscula con dos sub-índices, el primero se
corresponderá con la fila y el segundo con la columna que ocupa el
elemento.
Ejemplo
a11 = 1
a21 = -3
a32 = 2
Cuando deseamos hacer
referencia a un elemento genérico
de la matriz utilizaremos el
elemento aij elemento de la fila i y
de columna j.

5. Matrices y sistemas lineales
• A todo sistema lineal, que se encuentra en forma canónica, le
corresponde una matriz de coeficientes y una matriz ampliada.
• La matriz de coeficientes contendrá tantas filas como ecuaciones
contenga el sistema, y tantas columnas como variables tenga el
sistema.
• La matriz ampliada, se forma añadiendo como última columna a la
matriz de coeficientes, los términos independientes del sistema.

6. Ejemplo: matriz de coeficientes y
ampliada
Sistema lineal de ecuaciones
2푥 − 4푦 + 2푧 = 3
푥 + 3푦 − 푧 = 5
−푥 − 6푧 = 2
Matriz de coeficientes
2 −4 2
1 3 −1
−1 0 −6
Matriz ampliada
2 −4 2 ퟑ
1 3 − 1 ퟓ
−1 0 −6 ퟐ

7. Operaciones elementales por fila
• El método de Gauss para resolver un sistema lineal de ecuaciones se
basa en la creación de un sistema lineal equivalente al inicial,
obtenido mediante las siguientes operaciones elementales:
• Intercambio del orden de dos ecuaciones
• Multiplicación de una ecuación por una constante
• Sustituir una ecuación que intervenga en el resultado de sumar el producto de una
constante por una ecuación y otra ecuación.
• En notación matricial, las anteriores operaciones se
corresponden con operaciones elementales por fila:
• Intercambiar dos filas
• Multiplicar una fila por una constante distinta de cero
• Añadir un “múltiplo” de una fila a otra

8. Comparación del método de Gauss y la
utilización de matrices
푥 − 2푦 + 3푧 = 9
−푥 + 3푦 = −4
2푥 − 5푦 + 5푧 = 17
1 −2 3 ⋮ 9
−1 3 0 ⋮ −4
2 −5 5 ⋮ 17
푥 − 2푦 + 3푧 = 9
푦 + 3푧 = −4
푧 = 2
1 −2 3 ⋮ 9
0 1 3 ⋮ 5
0 0 1 ⋮ 2
El objetivo final de ambos
métodos es disponer de
una ecuación con una
incógnita, para
posteriormente, realizar
un proceso de sustitución
en el resto de ecuaciones.
Nótese como los
coeficientes del sistema
aparecen en la matriz.

9. Matriz en forma escalonada por filas
• Una matriz se encuentra en forma escalonada por filas si cumple las
siguientes condiciones:
• Cualquier fila que se encuentre compuesta totalmente de ceros se
encuentra en las últimas posiciones
• Para cualquier fila que no tenga todos sus elementos 0, el primer
elemento que no es cero será un 1.
• Para dos filas consecutivas, con al menos un número distinto de cero, el
número 1 que debe tener posteriormente a la lista de cero en la fila
superior se encuentra más a la izquierda, que el correspondiente de la fila
inferior.

10. Ejemplo de matrices escalonadas por fila
1 2 −1 4
0 1 0 3
0 0 1 7
1 0 0 4
0 1 0 3
0 0 1 3
0 0 0 0
1 2 3 4 5
0 0 1 3 1
0 0 0 1 9
0 0 0 0 1
Utilizando las operaciones elementales por fila
es posible construir una matriz equivalente a
una dada, que sea escalonada por filas.
Esto hace posible, que el algoritmo de Gauss
para la solución de sistemas lineales de
ecuaciones pueda utilizarse como guía para
conseguir una matriz escalonada.

11. Notación de las operaciones elementales
Para indicar las transformaciones que se realizarán en las
matrices utilizando las operaciones elementales, se utilizará la
siguiente notación
Intercambiar dos filas Fn Fm
Multiplicar una fila por una constante
distinta de cero
Añadir un “múltiplo” de una fila a otra
K·Fn Fn
K·Fn+Fm Fm

12. Ejemplos I
Sistema a resolver
3푥 − 2푦 + 3푧 = 2
4푥 − 3푦 + 푧 = −1
푥 + 5푦 − 6푧 = 5
Representación del
sistema en forma
de matriz
3 −2 3 2
4 −3 1 −1
1 5 −6 5
Se ha obtenido cambiando
la primera y la tercera fila
F1 F3
1 5 −6 5
4 −3 1 −1
3 −2 3 2
1 5 −6 5
0 −23 25 −21
0 0 −58 −58
-4·F1+F2 F2
-3·F1+F3 F3
1 5 −6 5
0 −23 25 −21
0 −17 21 −13
17·F2 - 23·F3 F3
(1/(-58))·F3 F3
1 5 −6 5
0 −23 25 −21
0 0 1 1
En este punto, podemos ya calcular el valor de la variable z, utilizando la
tercera fila y sustituir de forma escalonada en cada una de las filas:
풛 = ퟏ;
Interpretando la 3ª fila
−23푦 + 25 · 1 = −21; −23푦 = −46; 풚 = ퟐ
Sustituyendo el valor de z en la segunda fila
푥 + 5푦 − 6푧 = 5; 푥 + 10 − 6 = 5; 푥 + 4 = 5; 풙 = ퟏ
Sustituyendo el valor de z e y en la primera fila

13. Ejemplos II
Sistema a resolver
푥 + 2푦 − 푧 = 10
6푦 − 30푧 = 9
4푥 + 14푦 − 34푧 = 49
Representación del
sistema en forma
de matriz
1 2 −1 10
0 6 −30 9
4 14 −34 49
- 4·F1 + F3 F3
1 2 −1 10
0 6 −30 9
0 6 −30 9
F2 - F3 F3
1 2 −1 10
0 6 −30 9
0 0 0 0
Como se observa, hay dos filas iguales, lo que
produce con una operación elemental que
aparezca una fila de ceros. En este caso el
sistema es compatible indeterminado (tiene
solución y no es única), cuando el número de
variables supera el número de ecuaciones. El
conjunto de soluciones puede caracterizarse
utilizando parámetros.

14. Parametrización de soluciones
Cuando tratamos con un sistema lineal compatible indeterminado, esto es, un
sistema con infinitas soluciones, es posible caracterizar el conjunto de
soluciones.
Basta con tomar tantos parámetros como filas de ceros aparezcan en la matriz
tras aplicar el método de Gauss. Estos parámetros, serán asignados a las
variables que correspondan. Posteriormente, se despejarán el resto de
variables, que estarán expresadas en función de aquellos.
Una vez parametrizado el conjunto de soluciones es posible decidir si un
conjunto de valores es una solución, o bien, conocido un valor de una variable,
determinar el resto de valores de las variables y que son una de las soluciones
del sistema.

15. Ejemplo (parametrización)
Primer paso: asignar el parámetro a la variable z
(únicamente hay una fila de ceros)
1 2 −1 10
0 6 −30 9
0 0 0 0 푧 = 훼
Segundo paso: despejar las variables x
e y en función del parámetro, primero
de la segunda fila y posteriormente de
la primera
6푦 − 30훼 = 9 ⇒ 푦 =
9 + 30훼
6
=
3 + 10훼
2
푥 + 2
3 + 10훼
2
− 2훼 = 10 ⇒ 푥 + 3 + 8훼 = 10
⇒ x = 7 − 8훼
Tras aplicar el método de Gauss
se ha obtenido la siguiente matriz
Tercer paso: expresar el conjunto de
soluciones
7 − 8훼,
3 + 10훼
2
, 훼 , ∀훼 ∈ ℝ

16. Ejemplos III
Sistema a resolver
푥 + 2푦 + 푧 = 4
2푥 + 5푦 + 푧 = −3
4푥 + 9푦 + 3푧 = 2
Representación del
sistema en forma
de matriz
1 2 1 4
2 5 1 −3
4 9 3 2
- 2·F1 + F2 F2
- 4·F1 + F3 F3
1 2 1 4
0 1 −1 −11
0 1 −1 −12
F2 - F3 F3
1 2 1 4
0 1 −1 −11
0 0 0 1
La última fila de esta matriz viene a decir 0=1,
en este caso estamos ante un sistema
incompatible, es decir, no tiene solución.
La forma de identificar estos sistemas consiste
en aplicar el método de Gauss, si en una de las
filas aparecen todos los elementos igual a cero,
salvo el último, nos encontramos ante un
sistema incompatible.

17. Cuadro sinóptico
Sistemas de ecuaciones
lineales
Compatibles (tienen solución)
Determinados
(solución única)
Indeterminados
(infinitas soluciones)
Incompatibles
(no tienen solución)

18. EJERCICIOS RESUELTOS

19. EJERCICIO 1
Sistema a resolver
푥 + 푦 − 5푧 = 3
푥 − 2푧 = −3
2푥 − 푦 − 푧 = 1
Representación del
sistema en forma
de matriz
1 1 −5 3
1 0 −2 1
2 −1 −1 1
F1 - F2 F2
-2·F1+F3 F3
1 1 −5 3
0 1 −3 2
0 −3 9 −5
3·F2 + F3 F3
1 1 −5 3
0 1 −3 2
0 0 0 1
La última fila de esta matriz tiene todos sus
elementos salvo el que se corresponde con el
término independiente a 0, por tanto es un
sistema incompatible, es decir, no tiene
solución.

20. EJERCICIO 2
Sistema a resolver
푥 + 푦 + 4푧 = 5
2푥 + 푦 − 푧 = 9
Representación del
sistema en forma de
matriz
1 1 4 5
2 1 −1 9
2F1 - F2 F2
1 1 4 5
0 1 9 1
Sistema compatible indeterminado, parametrizamos el conjunto de soluciones (el
resultado es similar a tener una matriz de 3x4 con una fila de ceros)
푧 = 훼
Asignamos un parámetro a la variable z
De la segunda ecuación: 푦 + 9훼 = 1 ⇒ 푦 = 1 − 9훼
De la primera ecuación: 푥 + 1 − 9훼 + 4훼 = 5 ⇒ 푥 = 4 + 5훼
Conjunto de soluciones: 4 + 5훼 , 1 − 9훼 , 훼 , ∀훼 ∈ ℝ

21. Ejercicio 3
Sistema a resolver
푥 + 2푦 = 0
푥 + 푦 = 6
3푥 − 2푦 = 8
Representación del
sistema en forma de
matriz
1 2 0
1 1 6
3 −2 8
8F2 – F3 F3
F1 - F2 F2
3F1 – F3 F3
1 2 0
0 1 −6
0 8 −8
1 2 0
0 1 −6
0 0 40
La última fila de esta matriz tiene todos sus
elementos salvo el que se corresponde con el
término independiente a 0, por tanto es un
sistema incompatible, es decir, no tiene
solución.

22. Ejercicio 4
Sistema a resolver
−3푥 + 5푦 = −22
3푥 + 4푦 = 4
4푥 − 8푦 = 32
Representación del
sistema en forma de
matriz
−3 5 −22
3 4 4
4 −8 32
4F2 +9 F3 F3
F1 + F2 F2
4F1 + 3F3 F3
−3 5 −22
0 9 −18
0 −4 8
−3 5 −22
0 9 −18
0 0 0
Los elementos de la última fila de esta matriz son 0,
al ser el número de filas distintas de cero igual al
número de variables del sistema, éste es
compatible determinado.
De la segunda fila: 9푦 = −18 ⇒ 풚 = −ퟐ
De la primera fila: −3푥 + 5 · −2 = −22 ⇒ 풙 = ퟒ