El documento trata sobre la integral definida y su relación con la derivada. Explica cómo determinar la antiderivada más general de una función, y cómo calcular áreas de regiones limitadas en el plano mediante la integral definida. Define la integral definida y describe su interpretación geométrica como el límite de sumas de áreas de rectángulos de aproximación.

1. La integral




Determina la
antiderivada más
general.
Interpreta la integral y
su relación con la
derivada.
Define la integral
definida.
Calcula áreas de
regiones limitadas en el
plano.
1

2. Antiderivadas
Definición: Una función F se llama
antiderivada de una función f en un
intervalo I si la derivada de F es f,
esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.
Observación:
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser
continua.
continua.
2

3. Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un
intervalo I, la antiderivada más
general de f en I es F(x)+c, donde c es
una constante arbitraria.
Teorema:
Si dos funciones P y Q son antiderivadas
de una función f en un intervalo I ,
entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante)
para todo x en I.
3

4. INTERPRETACION GEOMETRICA
4

5. INTERPRETACION GEOMETRICA
5

6. INTERPRETACION GEOMETRICA
6

7. INTERPRETACION GEOMETRICA
7

8. Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general
de cada una de las siguientes
funciones.
a) f ( x) = e
1
b) f(x) =
x
c) f ( x) = x n
x
8

9. Funció
n
c f ( x)
f ( x) + g ( x)
x n ( n ≠ −1)
1
x
ex
cos x
sen x
Antiderivada
particular
cF ( x)
F ( x) + G ( x)
x n +1 ( n + 1)
ln x
ex
sen x
− cos x
9

10. INTEGRAL DEFINIDA Y
CALCULO DE
ÁREAS
¿Área?
A3
A4
A2
A1
10

11. 11

12. f (x) = e + 1
x
∆x
Definición : El área de la región S que se
encuentra debajo de la gráfica de la función
continua f es el límite de la suma de las áreas
de los rectángulos de aproximación:
n
[( )
( )
( ) ]
A = lim ∑ Ai = lim f x ∆ x + f x2 ∆ x + ... + f xn ∆ x
n→ ∞
i =1
n→ ∞
*
1
*
*
12

13. b
n
f ( x )dx = lim ∑ f ( x *i )∆x i
∫
n →∞
a
Limite
superior
i =1
b
f ( x )dx
∫
a
Limite Inferior
No tiene
significado,
indica respecto a
que variable se
integra.
Integrando
El procedimiento para calcular
integrales se llama por si mismo
integración.
13

14. 2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función continua en [a, b]
y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:
∫
b
a
b
f ( x) dx = F ( x) = F (b) − F (a)
a
Esta regla convierte al cálculo de integrales
definidas en un problema de búsqueda de
antiderivadas y evaluación.
14

15. PROPIEDADES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f y g son funciones integrables
en [a, b] y α y β son constantes, se
tiene:
∫
b
a
(α f (x ) + β g ( x )) dx = α
∫
b
a
f (x ) dx + β
∫
b
a
g (x ) dx
Propiedad de linealidad
15

16. Si existen las integrales de la
izquierda, también existe la integral de
c ∈ a, b
la derecha:
2.
∫
c
a
f (x ) dx +
∫
b
c
f (x ) dx =
∫
b
a
f (x ) dx
Propiedad aditiva respecto
al intervalo de integración
16

17. La propiedad anterior es aplicada cuando la
función está definida por partes y cuando es
seccionalmente continua.
Ejemplo:
Si
x 2
f ( x) = 
x - 1
0 ≤ x ≤1
1< x ≤ 3
y se quiere hallar:
3
∫ f ( x ) dx
0
3
∫ f (x)dx
0
1
=
∫ x dx
2
0
3
+
∫ (x − 1) dx
1
17

18. 3.
∫
b
a
h dx = h ( b − a )
Y representa el área de un rectángulo de altura
h y longitud de base (b – a).
18

19. DEFINICIONES:
Sea f una función integrable en
[a, b], entonces:
1.
2.
∫
a
∫
b
a
a
f (x ) dx = 0
f (x ) dx = −
∫
a
b
f (x ) dx
19

20. Definición:
Sea f una función contínua tal que:
• f(x) ≥0 en [a, b] y
• S={(x, y)/ a≤x≤b, 0≤y≤f(x)}
Se denota por A(S) y se llama área de
la región definida por S al número
dado por:
A(S) =
b
∫ f (x) dx
a
20

21. y
f(x)
y = f(x)
dx
dA = f(x)dx
0
a
dx ∆x
b
b
x
A = ∫ f(x)dx
a
21

22. Ejemplo 1:
Calcular el área de la región:
S={(x, y)/ 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x2 +
1}
22

23. y
d
g(y)
dy
dy
x = g(y)
dA = g(y)dy
c
0
d
x
∫
A = g(y)dy
c
23

24. Ejemplo 2:
Hallar el área de la región limitada
por y = 2x, y = (x-2)2 + 1, x = 3 y el
eje X, tal como lo muestra la figura.
24

25. f(x)
y
- g(x)
y = f(x)
dx
0
a
dx
b
x
dA =[f(x) - g(x)]dx
b
y = g(x)
A=
[ f(x) - g(x)]dx
∫
a
25

26. 3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x 3 ;
y = x 1− x2
y
1
x
-1
1
-1
26

27. 4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;
y2 = 1 − x
27