1. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Diferencial total:
Si es una función diferenciable en entonces la diferencial total de es
la función , cuyo valor está dado por:
Diferencial Exacta:
Una expresión de la forma , se denomina exacta si existe una
función tal que:
Esto quiere decir, que toda expresión que es la diferencial total de alguna función de e se
llama diferencial exacta.
Definición:
Consideremos la ecuación diferencial.
si existe una función tal que:
diremos que la ecuación es una ecuación diferencial exacta.
Teorema:
La condición necesaria y suficiente para que una ecuación diferencial:
sea exacta, es que:
Solución de una Ecuación Diferencial Exacta:
Consideremos la ecuación diferencial exacta:
Entonces existe una función tal que:
Entonces al reemplazarlo en tendríamos:

2. por otra parte, si entonces su diferencial total es:
Luego al comprobar y tenemos , es decir ; que vendría
a ser la solución de la ecuación diferencial.
Como
integramos con respecto a
donde es la constante de integración, que es una función que depende sólo de la variable
, puesto que la integración es con respecto a , derivando la ecuación con respeto a es
decir:
Como:
entonces se tiene:
de donde
integrando:
Reemplazando se tiene la solución general de la ecuación diferencial (1); en forma
análoga se hace para el otro caso cuando tomamos:
y se integre con respecto a la variable y.
Ejemplo: Indicar si es ED Exacta.
Solución:
Derivando respecto a
La derivada de respecto a por que es una constante
Por otra parte la derivada de respecto a es igual a 1

3. Derivando respecto a
La derivada de respecto a por que es una constante
Por otra parte la derivada de respecto a es igual a
Como observamos el resultado nos dio 1 entonces es una ED Exacta.
Una ED Exacta tiene una función de la forma que hemos visto y sabemos que:
Integrando la parte amarilla, tenemos:
Ahora:
Como vemos , por que ambos son la derivada de la función respecto a
Igualando ambas expresiones:
Integrando, tenemos:
reemplazando esta expresión en: