1. ´ ´ ´
METODOS CLASICOS DE RESOLUCION DE
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
• ECUACIONES EXPL´ ICITAS DE PRIMER ORDEN.
Es decir, de la forma
y ′ = f (x, y).
1. Variables separadas.
Son de la forma
g(x) = h(y)y ′ .
dy
Formalmente, se separa g(x) = h(y) dx en g(x) dx = h(y) dy y se integra.
2. Ecuaci´n de la forma y ′ = f (ax + by).
o
El cambio de funci´n y(x) por z(x) dado por z = ax + by la transforma en una de
o
variables separadas.
3. Homog´neas.
e
Son de la forma
y
y′ = f.
x
Se hace el cambio de funci´n y(x) por u(x) mediante y = ux, transform´ndose as´ la E. D.
o a ı
en una de variables separadas.
3′ . Reducibles a homog´neas.
e
Son de la forma
a1 x + b1 y + c1
y′ = f .
ax + by + c
3′ .1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 se cortan en (x0 , y0 ), se hace
el cambio de variable y de funci´n X = x − x0 , Y = y − y0 . La ecuaci´n se reduce a una
o o
homog´nea.
e
′
3 .2. Si ax + by + c = 0 y a1 x + b1 y + c1 = 0 son rectas paralelas, se hace el cambio
de funci´n z = ax + by. La nueva ecuaci´n que aparece es de variables separadas.
o o
3′′ . Homog´neas impl´
e ıcitas.
Son de la forma
y ′
F , y = 0.
x
Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representaci´n param´trica
o e
α = ϕ(t), β = ψ(t), F (ϕ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de funci´n y por t mediante
o
y
x
= ϕ(t), y ′ = ψ(t). As´ derivando y = xϕ(t) respecto de x, aparece una ecuaci´n en
ı, o
variables separadas.
3′′′ . Si la ecuaci´n y ′ = f (x, y)
o
es tal que, para alg´n α = 0 fijo, f satisface
u
f (λx, λα y) = λα−1 f (x, y),
entonces el cambio de funci´n y = z α transforma la ecuaci´n en una homog´nea. (Si α = 1,
o o e
la E. D. ya es homog´nea; y si f cumple la relaci´n anterior con α = 0, la E. D. es de
e o
variables separadas.)
1

2. 4. Ecuaciones exactas.
Son las de la forma
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
dy P (x,y)
es decir, y ′ = dx = − Q(x,y) , que cumplen Py = Qx . Se busca una funci´n F (x, y) tal que
o
dF = ω = P dx + Q dy, y la soluci´n de la E. D. es F (x, y) = C (siendo C constante).
o
4′ . Reducibles a exactas: Factores integrantes.
Si P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar encontrar µ(x, y) tal
que
µ(x, y)P (x, y) dx + µ(x, y)Q(x, y) dy = 0
sea exacta.
Py −Qx
4′ .1. Existencia de factor integrante de la forma µ(x). Ocurre cuando Q = h(x),
tom´ndose µ(x) = exp( h(x) dx).
a
Qx −Py
4′ .2. Existencia de factor integrante de la forma µ(y). Ocurre cuando P = h(y),
tom´ndose µ(y) = exp( h(y) dy).
a
4′ .3. Otras expresiones restrictivas para µ(x, y).
5. Ecuaciones lineales de primer orden.
Son de la forma
y ′ + a(x)y = b(x).
Hay tres m´todos de resoluci´n: (i) Encontrar un factor integrante de la forma µ(x).
e o
(ii) Resolver la ecuaci´n lineal homog´nea asociada y ′ + a(x)y = 0 (que es de variables
o e
separadas), cuya soluci´n es y = C exp(− a(x) dx), y usar el m´todo de variaci´n de
o e o
las constantes (esto es, cambiar C por C(x) en la expresi´n anterior y sustituir en la
o
ecuaci´n lineal). (iii) Encontrar de alguna forma una soluci´n particular yp (x), con lo cual
o o
la soluci´n general de la lineal es yp m´s la soluci´n general de la homog´nea asociada.
o a o e
(iv) Descomponer y(x) = u(x)v(x), sustituir en la lineal, e igualar a 0 el coeficiente de u,
resolviendo la ecuaci´n que aparece (v ′ + a(x)v = 0, que es de variables separadas); tras
o
esto, queda una ecuaci´n en u(x) de variables separadas.
o
De cualquier modo se obtiene que la soluci´n general de la E. D. lineal es
o
y = exp − a(x) dx b(x) exp a(x) dx dx + C .
5′ . Ecuaci´n de Bernoulli.
o
Es de la forma
y ′ + a(x)y + b(x)y α = 0.
Si α = 0 es lineal, y si α = 1, de variables separadas. En otro caso, se hace el cambio de
funci´n y 1−α = z, con lo que la E. D. de Bernoulli se transforma en una lineal. Un segundo
o
m´todo de resoluci´n es el siguiente: se descompone y(x) = u(x)v(x) y se sustituye en
e o
la E. D., se iguala a 0 el coeficiente de u (queda v ′ + a(x)v = 0, que es de variables
separadas), lo que nos lleva a determinar v, apareciendo ahora una ecuaci´n en u(x) de
o
variables separadas.
2

3. 5′′ . Ecuaci´n de Riccati.
o
Es de la forma
y ′ + a(x)y + b(x)y 2 = c(x).
El m´todo requiere haber encontrado previamente una soluci´n particular yp (x). Si este es
e o
el caso, haciendo el cambio de funci´n y = yp + z, la E. D. de Riccati se reduce a una de
o
Bernoulli con α = 2.
6. Sustituciones.
Cuando tenemos una E. D.
y ′ = f (x, y)
que no responde a alguno de los tipos estudiados hasta ahora, a veces una sustituci´no
(en esencia, un cambio de variable) m´s o menos ingeniosa transforma la ecuaci´n en una
a o
reconocible. L´gicamente, no puede darse una regla general pero, en todo caso, merece la
o
pena intentar algo.
• ECUACIONES EN LAS QUE LA DERIVADA APARECE IMPL´
ICITAMENTE.
Es decir, de la forma
F (x, y, y ′) = 0.
7. F algebraica en y ′ de grado n.
Tenemos
(y ′ )n + a1 (x, y)(y ′)n−1 + · · · + an−1 (x, y)y ′ + an (x, y) = 0.
Resolvi´ndolo como un polinomio en y ′ de grado n igualado a cero obtenemos
e
(y ′ − f1 (x, y))(y ′ − f2 (x, y)) · · · (y ′ − fn (x, y)) = 0.
Por tanto, las soluciones de la E. D. de partida ser´n las soluciones de cada una de las
a
′
ecuaciones y − fi (x, y) = 0, i = 1, 2, . . . , n.
8. Ecuaci´n de la forma y = f (x, y ′ ).
o
En general, se toma y ′ = p y se deriva la ecuaci´n y = f (x, y ′ ) respecto de x. Si f
o
tiene la forma adecuada, a la nueva E. D. se le puede aplicar alguno de los m´todos ya
e
estudiados, procedi´ndose as´ a su resoluci´n.
e ı o
8.1. Cuando
y = f (y ′ ),
la ecuaci´n que se obtiene mediante el proceso anterior es de variables separadas.
o
8.2. Ecuaci´n de Lagrange:
o
y + xϕ(y ′ ) + ψ(y ′ ) = 0.
Se reduce a una ecuaci´n lineal con x como funci´n y p como variable. Adem´s, para los
o o a
λ tales que λ + ϕ(λ) = 0 se obtienen como soluciones las rectas y = λx − ψ(λ).
8.3. Ecuaci´n de Clairaut:
o
y − xy ′ + ψ(y ′ ) = 0.
Es un caso particular de ecuaci´n de Lagrange en el que s´lo aparecen rectas (y su
o o
envolvente).
3

4. 9. Ecuaci´n de la forma x = f (y, y ′).
o
En general, se toma y ′ = p y se deriva la ecuaci´n x = f (y, y ′) respecto de y. Seg´n
o u
como sea f , la nueva E. D. que as´ se obtiene es ya conocida, procedi´ndose a su resoluci´n.
ı e o
Se pueden estudiar casos similares a los de la forma y = f (x, y ′).
10. Ecuaci´n de la forma F (y, y ′ ) = 0.
o
Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representaci´n param´trica
o e
α = ϕ(t), β = ψ(t), F (ϕ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de funci´n y por t mediante
o
y = ϕ(t), y ′ = ψ(t). As´ derivando y = ϕ(t) respecto de x, aparece una ecuaci´n en
ı, o
variables separadas.
• ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE SE PUEDE REDUCIR EL ORDEN.
Supongamos que tenemos la E. D.
F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0 con n > 1.
11. Ecuaci´n de la forma F (x, y (k) , . . . , y (n) ) = 0.
o
Mediante el cambio y (k) = z se convierte en una ecuaci´n de orden n − k.
o
11′ . Ecuaciones lineales de orden superior.
Son de la forma
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = g(x).
Si logramos encontrar alguna soluci´n yn (x) de la lineal homog´nea asociada, el cambio
o e
de funci´n y = yn z hace que la lineal se transforme en una del tipo anterior, cuyo orden
o
se puede reducir. As´ aparece una nueva ecuaci´n lineal, esta vez de orden n − 1.
ı, o
12. Ecuaci´n de la forma F (y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0.
o
Hacemos el cambio y ′ = p y transformamos la E. D. en una nueva dependiendo de y,
p y las derivadas de p respecto de y. Esta es de orden n − 1.
12′ . Si la ecuaci´n F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0
o
es tal que, para α y m fijos, F cumple
F (λx, λm u0 , λm−1 u1 , . . . , λm−n un ) = λα F (x, u0 , u1 , . . . , un ),
haciendo el cambio x = et , y = emt z la E. D. se transforma en una de la forma
G(z, z ′ , . . . , z (n) ) = 0, a la que se puede aplicar el m´todo anterior.
e
13. Si la ecuaci´n F (x, y, y ′, . . . , y (n) ) = 0
o
es tal que, para α fijo, F cumple
F (x, λu0 , λu1 , . . . , λun ) = λα F (x, u0 , u1 , . . . , un ),
entonces el cambio de funci´n dado por y ′ = yz (es decir, y = exp( z dx)) hace que el
o
orden se reduzca en uno.
c Juan Luis Varona, 1995
Dpto. de Matem´ticas y Computaci´n
a o
Universidad de La Rioja
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