Chapitre: Traitement du signal 1

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Traitement du Signal Avancé
Représentation temps- fréquence
Jamila BAKKOURY

2. Plan
1. Rappel : Transformée de Fourier
2. Exemples
3. Limitations de la TF
4. Transformée de Fourier a court terme
5. Transformée en ondelettes
2

3. Analyse de Fourier
Rappel :
voir cours TS de base : outils mathématiques pour le TS
Page 3

4. Représentations d’un signal - Exemple
Représentation temporelle :
• Ne renseigne pas sur le contenu
fréquentiel.
Page 4
Représentation fréquentielle :
• Décomposition sur des exponentielles
complexes.
• Ne renseigne pas sur la localisation
(temporelle) des fréquences.
Rappel

5. Page 5
Signal stationnaire :
Ses caractéristiques (spectrales) ne varient pas dans le temps.
L’analyse spectrale (de Fourier) est bien adaptée.
Exemples
• Onde pure
• Combinaison linéaire d’ondes pures (harmoniques)
Signal non stationnaire :
 Ses caractéristiques (spectrales) varient au cours du temps.
Exemple :
Morceau de musique :
chaque note a un temps d’émission,
une durée, une hauteur (fréquence)
et une intensité.
Rappel

6. Page 6
 Exemple 1 :
Sinusoïde pure x(t)=sin(2πf0t)
porte rectangulaire w(t)=πT(t)
1- Rappeler le spectre de x(t)
2- Déterminer TF(wT)
3- Déterminer TF(x.wT)
4- Que devient ce spectre si w est décalée de τ ?
5- Représenter les spectres pour différentes valeurs de T.
6- Commenter.
Analyse de Fourier standard

7. Page 7
 Exemple 2 :
x(t)=sin(2πf0t) pour t<t0
x(t)=sin(2πf1t) pour t0<t<t1
x(t)=sin(2πf2t) pour t>t!
porte rectangulaire w(t)=πT(t)
1- Effectuer une analyse spectrale, par tranche, de x(t).
2- Représenter le spectre en fonction du temps.
6- Commenter.
Analyse de Fourier standard

8. Page 8
Pour une sinusoïde infinie, toute l’énergie du spectre est concentrée à
une fréquence donnée, c’est à dire la fréquence de la sinusoïde.
Exemple 1
Analyse de Fourier

9. Page 9
Exemple1
Analyse temps-fréquence

10. Page 10
 La TF du signal A stationnaire est identique à la TF du signal B non stationnaire
 Dans le spectre de B, on ne peut dire dans quel l'ordre ont été placées les trois
sinusoïdes.
Limites de l’analyse de Fourier standard

11. Page 11
Limites de l’analyse de Fourier standard

12. • L’analyse spectrale standard perd l’information temporelle
puisqu’elle moyenne sur tous les temps.
• Cette analyse convient pour les signaux stationnaires où chaque
composante de fréquence existe à tout instant, mais ne convient
pas aux signaux non stationnaires.
 Si l'on recherche une localisation temporelle des composantes
spectrales, on a besoin d'une autre transformation qui permette
de donner une représentation temps - fréquences du signal.
 Analyse par morceaux : adapte les outils L’analyse spectrale
standard aux variations dans le temps.
Page 12
Limites de l’analyse de Fourier standard

13. Page 13
Le but de l'analyse temps-fréquence est d'offrir une description plus
informative du signal révélant la variation temporelle de son contenu
fréquentiel.
Une solution, la plus intuitive, consiste à associer à un signal non
stationnaire une suite de transformées de Fourier à court terme
( STFT: Short Time Fourier Transform) en essayant d'adapter les
fenêtres d'observation successives aux variations de structure du
signal de telle sorte que les hypothèses de stationnarité́, soient
localement satisfaites.
Analyse temps-fréquence

14. Page 14
conséquence d'un fenêtrage sur la TF d'une sinusoïde
Analyse temps-fréquence

15. Page 15
Conséquence d'un fenêtrage sur la TF d'une sinusoïde :
Le fenêtrage consiste a multiplier le signal par une fenêtre
rectangulaire (de hamming, ...).
Le fenêtrage correspond dans le domaine fréquentiel à un produit de
convolution de leurs transformées de Fourrier. D’ou :
• Perte de résolution dans le domaine fréquentiel puisque "le pic
s'est élargit".
• Apparition de bandes de fréquence.
La fenêtre ne doit pas être trop grande pour que le signal fenêtré soit
stationnaire et que la résolution temporelle soit correcte.
Mais elle ne doit pas être trop petite non plus pour que les lobes
correspondant à la TF de la fenêtre ne soient pas trop larges et pour
que la résolution fréquentielle soit correcte.
Analyse temps-fréquence

16. Page 16
Utilisation d’une fenêtre rectangulaire :
La troncature du sinus, implique :
• Une répartition de l’énergie autour de la fréquence du sinus (étalement)
• Une apparition d’énergie dans toutes les fréquences (fuite spectrale).
Analyse temps-fréquence

17. Page 17
Utilisation une fenêtre non rectangulaire :
La troncature au moyen d’une fenêtre non rectangulaire, implique :
• Des transitions du signal plus douces.
• Une limitation des fuites spectrales
• Une augmentation de l’étalement fréquentiel
Analyse temps-fréquence

18. Page 18
Transformée de Fourier à court terme
(STFT)
• Analyse le signal segment par segment (ou fenêtre par fenêtre).
• La longueur de ce segment est constante et doit être telle que la portion de
signal fenêtré soit stationnaire.
• La TF de chaque portion de signal fenêtré est calculée comme suit (le centre de
la fenêtre étant placée au temps τ) :
•La fenêtre de largeur T et centrée en τ permet d'extraire une portion de signal.
w*
designe le complexe conjugué de w
•Cette analyse fournit une représentation temps-fréquence du signal.
∫
−
×−×=
t
f tjw
x d tetwtxfS T F T π
ττ 2*
)()(),(

19. Page 19
STFT – Exemple2

20. Page 20
STFT – Exemple2
• Les deux signaux B et C sont constitués de sinusoïdes se succédant dans
un ordre différent.
• Leurs TF sont identiques.
• Leur STFT permettent de les distinguer puisqu'elles mettent en évidence
les fréquences dominantes relatives à chaque période d’observation.

21. Page 21

22. Page 22
Principe d'incertitude d'Heisenberg :
Les résolutions en temps et en fréquence ne peuvent pas être
arbitrairement petites en même temps. Si represente la fenetre
d’analyse, alors :
Analyse temps-fréquence
π4
1
≥∆×∆ ft









=∆
=∆
∫
∫
∫
∫
d ffW
d ffWf
f
d ttw
d ttwt
t
2
22
2
2
22
2
)(
)(
)(
)(
w
La limite inférieure de cette inégalité est atteinte seulement pour une fenêtre d’analyse de forme
gaussienne.

23. Page 23
STFT-Exemple
Signal vocal - Utilisation d’une fenêtre de Hanning

24. Page 24
STFT-Exemple
Signal vocal- Utilisation d’une fenêtre rectangulaire

25. Page 25
STFT-Exemple
Signal vocal - comparaison fenêtre rectangulaire/ hanning :
Avec la fenêtre rectangulaire au lieu de la fenêtre de Hanning, l’étalement
spectral est plus faible et les lignes sur le spectrogramme plus fines, mais
les fuites spectrales sont plus importantes ce qui se traduit par par un
manque de contraste dans spectrogramme.

26. Page 26
• La STFT considère implicitement un signal non stationnaire comme une
succession de situations quasi-stationnaires, à l’échelle de la fenêtre
d’analyse.
• La résolution temporelle d’une telle analyse est fixée par la largeur de la
fenêtre, la résolution fréquentielle étant fixée par la largeur de sa transformée
de Fourier. Pour un signal fortement non-stationnaire, une bonne résolution
temporelle est requise, ce qui impose de travailler avec une fenêtre courte,
limitant la résolution fréquentielle.
• Une analyse fréquentielle fine nécessite, une fenêtre large, ce qui a pour
consequence de moyenner les contributions fréquentielles sur la durée de la
fenêtre et de dégrader la résolution temporelle.
STFT- Compromis

27. Page 27
STFT-Compromis
Eléments importants dans l’utilisation du spectrogramme :
•la longueur de fenêtre pour ajuster la précision temporelle,
au prix d’un étalement spectral qui peut devenir important
•le choix de la fenêtre qui va conditionner le contraste du
spectrogramme, pour une longueur de fenêtre donnée.
•Compromis entre les résolutions temporelle et fréquentielle.

28. Page 28
Transformation en ondelettes
Le problème de la STFT est d'utiliser une fenêtre de taille fixe couvrant le
domaine temps-fréquence. Son inconvénient majeur est la résolution temporelle
et fréquentielle fixe.
La Transformation en Ondelettes offre la possibilité d’avoir une fenêtre qui
s'adapte en fonction des irrégularités du signal.
Les ondelettes sont une famille de fonctions localisées en temps et en fréquence
et formant une base orthonormale. Elles sont engendrées les unes à partir des
autres par translation et dilatation.

29. Page 29
Transformation en ondelettes
Chaque ondelette est utilisée pour décomposer le signal comme on
utilise chaque fonction exponentielles dans la transformée de Fourier.
La différence est que les fonctions ondelettes sont bien localisées dans
le temps contrairement aux exponentielles.
STFT

30. Page 30
Transformation en ondelettes
La transformée en ondelettes continue est définie par :
τ est le coefficient de translation. Il s'agit d'un nombre réel.
s-1
est le coefficient d'échelle. s est un nombre réel.
ψ(t) est l'ondelette mère. C’est une fonction oscillante de moyenne
nulle.
Ψ*
dénote le complexe conjugué de ψ
Les sont les coefficients d'ondelettes
CWTx
ψ
(τ,s) =
1
s
× x(t)×ψ* t −τ
s





÷
t
∫ dt
CWTx
ψ
(τ,s)

31. Page 31
Transformation en ondelettes
Une fonction ondelette est générée, par dilatation (ou contraction) et translation
(selon l'axe temporel).
La TOC est définie comme la projection d'un signal sur toute la famille des
fonctions ondelettes.
A chaque point (τ ,s) dans le plan temps-échelle, l'amplitude de la transformée
ondellete fournit une information sur le degré de ressemblance entre le signal
analysé et la version de l’ondelette mère décalée de τ , à l'échelle s.
La CWT (TOC) est conçue pour donner une bonne résolution temporelle avec une
pauvre résolution fréquentielle dans les hautes fréquences (s petit ) et une bonne
résolution fréquentielle avec une pauvre résolution temporelle dans les basses
fréquences (s grand).

32. Page 32
Rappel :
Principe d'incertitude d'Heisenberg :
Analyse temps-fréquence
π4
1
≥∆×∆ ft
La limite inférieure de cette inégalité est atteinte seulement
pour une fenêtre d’analyse de forme gaussienne.

33. 33
Domaine fréquentiel
FT
support infini
Résolution
temps-fréquence
Cosinus
T=2π/f
Domaine Temps-Fréquence
STFT
Fenêtre de largeur fixe
Domaine Temps-Echelle
WT
Fenêtre avec un nombre d’oscillations fixe
Fréquencecroissante
Echellecroissante
Analyse temps-fréquence

37. Page 37
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
200 400 600 800 1000
10
20
30
40
50
60
70
Exemple de représentations Temps-Echelles :
Une seule fréquence est présente
sur tout l’intervalle avec la même intensité

38. Page 38
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Exemple de représentations Temps-Echelles :

39. Page 39
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
200 400 600 800 1000
10
20
30
40
50
60
70
Exemple de représentations Temps-Echelles :

40. 40
Exemple de représentations Temps-Echelles :

41. Page 41
L’utilisation de la TFCT ou la TOC nécessite de trouver un compromis entre
les résolutions temporelle et fréquentielle.
Pour la TFCT, une fenêtre d’analyse plus étroite fournira une meilleure
résolution temporelle, mais la concentration autour de l’origine de sa
transformée de Fourier sera nécessairement moindre, ce qui implique une
plus mauvaise résolution fréquentielle.
Pour la TOC, le compromis est similaire, mais il dépend de la fréquence
d’analyse : plus la fréquence d’analyse augmente, plus la résolution
temporelle s’améliore, mais aux dépens d’une moindre résolution
fréquentielle.
TFCT/TOC

42. Page 42
Analyse de Fourier standard : bien adaptée aux signaux stationnaires. Mais ne
permet pas d’obtenir d’information temporelle.
Solution : transformée de Fourier a court terme. Fenêtre d’analyse fixe.
Compromis STFT : précision temporelle / fréquentielle.
Solution : transformée en ondelettes.
Les ondelettes permettent une décomposition multi-échelle.
Inconvénient majeur de la WT : critère de choix sur le type d’ondelette
mère à utiliser.
Conclusion

43. Page 43
Références :
•Patrick Flandrin - Temps-frequence. Editions Hermes - 1998.
•Claude Gasquet et Patrivk Witomski - Analyse de Fourier et applications - Dunod.2004
•Stephane Mallat - Une exploration des signaux en ondelettes. Les éditions de l’école
polytechnique – 2000.
•Yves Meyer. Les ondelettes, algorithmes et applications. Editions Armand Colin.1992.
•Ingrid Daubechies, 1992, Ten lectures on wavelets, Regional conference series in
•applied mathematics No 61, Society for Industrial & Applied Mathematics.
•http://fourierandwavelets.org
•http://www.wavelet.org