2. Objetivos
Conocer y comprender el concepto de número
complejo como parte del sistema numérico.
Conocer y comprender Reglas básicas para efectuar
operaciones con números complejos .
Desarrollar operaciones con números complejos.
3. Número Imaginario
Un número imaginario es un
número cuyo cuadrado es
negativo. Fue en el año 1777
cuando Leonhard Euler le
dio a el nombre de i, por
imaginario de manera
despectiva dando a entender
que no tenían una existencia
real.
Leonhard Euler
(Basilea, Suiza, 1707 - San Petersburgo, 1783)
4. ¿Qué es un número complejo?
A través de la exposición de estos videos, conoceremos como se conceptualiza y se
dimensiona un número complejo.
1 2
http://www.youtube.com/watch?v=eS6uMKx0XP0 http://www.youtube.com/watch?v=WE7wfJU6RV4
5. Número Complejo Z=a+ib
En matemáticas, los números
reales son aquellos que poseen
una expresión decimal e incluyen
tanto a los números racionales
(como: 31, 37/22, 25,4) como a
los números irracionales, que no
se pueden expresar de manera
fraccionaria y tienen infinitas
cifras decimales no periódicas,
tales como: π
Expresión de la forma a + bi, en donde a y
b son números reales e i es imaginario
Z
7. Ejemplo de Ecuación de Segundo Grado
ax2+bx+c =0
x x
-
b b ac
- -
- - - -
( 4) ( 4) 4(1)(5)
4 16 20
4 4
2
2
2(1)
2
4
4 5 0
2
2
2
-
-
x
x
x
a
x
x
x
x
4 (4)( 1)
4 4 1
2
4 2 1
4 2
x 2
i
Raíces Complejas 1
x i
i
i
x
-
-
-
-
2
2 1
2
2
2
2
Conjugadas
8. Ejemplos de Números Complejos en el
Plano Complejo
Plano complejo. Un número complejo z se puede representar
Z
Imaginario
Real
Z1= 3; Z2= 3 +4i; Z3 = 4i ; Z4= -4 +2i; ; Z5= 2 -3i
Z=a+ib
Z2
Z1
Z3
Z4
Z5
Real
Imaginario
como un punto en un plano x,y. El punto del plano (a,b)
representara el número complejo z= a+bi , es decir el
número cuya parte real es a y cuya parte imaginaria es b.
10. Operaciones de Multiplicación con Números Complejos
3 2i5 - 4i
3 2 i 5 - 4 i 3 5 3 - 4 i 2 i 5 2 i -
4
i
- -
15 12 10 8
i
i i i
- - -
15 2 8( 1)
2
i i
- -
15 2 8 23 2
Z1 = 1+2i ; Z2= 3+3i ; Obtener: Z1Z2
Z1Z2 = (1+2i) (3+3i) = (1)(3)+(1)(3i)+(2i)(3)+(2i)(3i)
Z1Z2 = 3 + 3i + 6i + 6i2
Z1Z2 = 3 + 3i + 6i + 6(-1) = 3 +9i -6 = -3+9i
Z1Z2
Z1
Z2
11. División de Números Complejos
d)
i
3 2
2 3
i
a bi
a
bi
2 -
3
-
3
2
3
2
i
i
i
i
i
i
2 3
2 3
2 3
i
i i
c -
di
c di
i i i i 6 9i 4i 6i
2
-
-
- -
- -
2 2 2 2 -
4 i
3 2 3 3 2 2 2 3
i
5
13
12
13
12 5
4 9
6 5 6
4 9( 1)
2 (3 ) 3
- -
-
-
(a+b)(a-b) Se multiplica por el
conjugado del denominador
=a2-b2
c di
c di
-
Z/Z =
12. Conversión de números complejos de la forma cartesiana a polar
Z = 2cos (120° )+ 2sen (120°) i
r = Módulo de número complejo
α = Ángulo de número complejo
Z = r cos α + r sen α
Z = 2cos (120° )+2sen (120°) i
13. Z = r cos α + r sen α
Z = 2cos (240° )+ 2sen (240°) i
Z = 2cos (300° )+ 2sen (300°) i
16. REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):
•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA
SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.
•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN,
ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.
•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN,
ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.
•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.
•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.
•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc
Graw Hill