Apuntes electro p2007

Cap´ıtulo 1
Electrostática: cargas y campos.
versión final 3.0, 28 de Mayo del 2007
En este cap´ıtulo estudiaremos los conceptos esenciales de la F´ısica de las cargas eléctricas
estacionarias, es decir, la electrostática. Las secciones que veremos:
Algo de historia.
Carga eléctrica; conservación, invariancia y cuantización.
Ley de Coulomb.
Energ´ıa de un sistema de cargas.
Campo eléctrico.
Flujo eléctrico.
Ley de Gauss.
Ejemplo de evaluación del campo eléctrico.
Fuerza sobre una carga superficial.
Energ´ıa asociada a un campo eléctrico.
1.1. Algo de historia.
La electricidad a través de los fenómenos de la electrostática se conoce desde tiempos
muy antiguos. Teofrato (321 AC) y probablemente Tales (600 AC) sab´ıan que el ámbar
al ser frotado con otras substancias secas adquir´ıan la habilidad de atraer cuerpos livianos
como plumas o trozos de paja. Cerca de 2000 años después el médico de la Reina Isabel I
de Inglaterra, William Gilbert (1544-1603) usó la palabra griega para ámbar, elektron, para
describir estas fuerzas que llamó vis electrica.
También se observó que existen dos tipos de electricidad. Por ejemplo, si una barra de
vidrio se frota con seda, estos dos cuerpos quedan cargados con dos tipos distintos de elec-
tricidad. As´ı , dos barras frotadas con seda se repelen. Benjam´ın Franklin (1706-1790) le dio
1

2 CAPÍTULO 1. ELECTROST ÁTICA: CARGAS Y CAMPOS.
el nombre de positiva a la electricidad con que queda la barra de vidrio y negativa a la de
la seda. Ahora se sabe que en este experimento electrones son traspasados de la barra a la
seda. As´ı decimos que los electrones tienen carga negativa.
1.2. Carga eléctrica; conservación, invariancia y cuan-
tización.
Hechos experimentales que se conocen sobre la carga:
Existen dos variedades: Positivas y Negativas.
Las de igual signo se repelen.
Las de distinto tipo se atraen.
1.2.1. Propiedades de la carga.
Se conserva.
La carga total de un sistema aislado, es decir, la suma algebraica de las cargas positivas
y negativas en cierto instante, no var´ıa nunca.
Por un sistema aislado entendemos: aquel en el que no está permitido el flujo de materia
a través de sus paredes. Un ejemplo de la conservación de la carga es la creación de
pares (electrón-positrón.)
La carga es un invariante relativista.
Está cuantizada.
En 1909 Millikan demostró experimentalmente que la carga siempre se presenta como
múltiplo entero de una unidad fundamental de carga que llamaremos e.
Se dice que la carga está cuantizada, es decir
Q = Ne N ∈ Z .
Se ha mostrado experimentalmente que la diferencia en el valor absoluto de las carga
de un protón y de un electrón si existiera ser´ıa menor que 10−20
e
Existen los quark con carga +2e/3 (u), -e/3 (d), -e/3 (s), +2e/3 (c), -e/3 (b), +2e/3
(t). Pero no se detectan quark libres. p(uud) y n(ddu). La cuantización de la carga
escapa del alcance del electromagnetismo clásico. Nosotros lo ignoraremos, usaremos
distribuciones continuas de carga.

1.3. LA LEY DE COULOMB. 3
1.3. La Ley de Coulomb.
12
0
r
r
q
q
1
1
2
2r
La fuerza de interacción entre dos cargas es la Ley de Coulomb
F12 =
kq1q2
r2
12
ˆr12 =
kq1q2
r3
12
r12 (1.1)
donde r12 = r1 − r2, r12 = |r12|, ˆr12 = r12/|r12|, F12, es la fuerza sobre q1 debido a q2. Los
qi, son escalares con sus signos respectivos y finalmente k, tiene en cuenta las unidades. El
vector unitario ˆr12 indica que la fuerza es paralela a la recta que une a las dos cargas.
Sabemos que por acción y reacción: F12 = −F21.
Las unidades: si r12 [cm], F [dinas], qi [ues] k = 1. Si por el contrario r12 [m], F [Newton],
qi [Coulomb] entonces
k =
1
4π 0
= 8.9875 × 109 Nm2
C2 , (1.2)
La constante 0 se conoce como constante dieléctrica o permitividad del vac´ıo, y tiene un
valor:
0 = 8.8542 × 10−12 C2
Nm2 . (1.3)
El factor de conversión entre [Coulomb] y [ues]
1[C] = 2.998 × 109
[ues] , (1.4)
y la carga del electrón en [ues] es
e = 4.803250(21) × 10−10
[ues] (1.5)
Un hecho experimental es que la fuerza con la cual dos cargas interactúan no se modifica
por la presencia de una tercera, es más, sea cual fuere el número de cargas presentes en
nuestro sistema la ley de Coulomb puede utilizarse para calcular la interacción de cada par.
Este hecho es conocido como el Principio de superposición.

Una configuración de cargas {qi}N
i=1 con vectores {ri}N
i=1 ejercen una fuerza F0 sobre una
part´ıcula de carga q0 ubicada en r0 respecto a algún origen común. F0 se puede escribir:
F0 =
N
i=1
q0qiˆr0i
r2
0i
(1.6)
1.3.1. Ejercicios.
1. Encuentre la fuerza resultante sobre q3 considerando que q1 = +e, q3 = +e y q2 = −e.
q1
q3q2
a
a
2. ¿En qué posición la fuerza resultante sobre q2 es cero? ¿Qué tipo de equilibrio es?
q1 q2 q3
d
Teorema de Earnshaw: Ningún sistema puede estar en equilibrio estable bajo la única
acción de fuerzas eléctricas
1.4. Energ´ıa de un sistema de cargas.
Consideremos el trabajo que hay que hacer sobre el sistema para llevar dos cuerpos car-
gados (inicialmente infinitamente distantes) a una distancia dada.
q1
q2
muy
grande
Inicialmente

1.4. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE CARGAS. 5
q1
q2
r12
Después
Estamos omitiendo la energ´ıa necesaria para “crear” las part´ıculas cargadas.
1.4.1. Cálculo del trabajo.
W = F · ds =
r12
+∞
q1q2
r2
ˆr · dr(−ˆr) = +q1q2
r12
+∞
−
dr
r2
=
q1q2
r12
.
El origen está en q1 y traemos q2 desde infinito.
q1
r
ds
q2
F
W =
q1q2
r12
(1.7)
debe ser mayor que cero si las cargas tienen el mismo signo.
Sabemos que si la Fuerza es conservativa el trabajo es el mismo independiente del camino
usado.
cos θds = dr
F ds =−Fdr
q
r
r+dr
θ
dr
ds
Debido a que la fuerza es central los tramos de camino entre r y r+dr requieren el mismo
trabajo, por lo tanto, la Fuerza es conservativa.

Si acercamos una tercer part´ıcula a r31 de q1 y a r32 de q2 el trabajo será
W3 = F3 · ds = (F31 + F32) · ds
= F31 · ds + F32 · ds ,
por lo tanto, es la suma de los trabajos
1.4.2. Energ´ıa de un sistema de cargas.
W3 =
q1q3
r31
+
q2q3
r32
.
El trabajo total efectuado U, para reunir las tres cargas en estas posiciones, será por lo
tanto,
U =
q1q2
r21
+
q1q3
r31
+
q2q3
r32
. (1.8)
U corresponde a la energ´ıa potencial eléctrica del sistema. El cero de U lo elegimos cuando
las cargas están infinitamente separadas.
1.4.3. Propiedades de U.
U es independiente del orden de colocación.
U es independiente del camino.
U sólo depende de la disposición final de las cargas.
En general para un sistema de N cargas {qi}
U =
1
2
N
j=1 k=j
qjqk
rkj
(1.9)

1.4. ENERGÍA DE UN SISTEMA DE CARGAS. 7
1.4.4. Un ejemplo.
−e
−e
−e
−e
+2e
b
b
b
−e
−e
−e
−e
U = 8
−2e2
(
√
3/2)b
+
12e2
b
+
12e2
√
2b
+
4e2
√
3b
=
4.32e2
b
.
1.4.5. U de una red cristalina.
La energ´ıa de una configuración de carga tiene importancia en F´ısica de Sólidos. Un
cristal iónico (NaCl) puede representarse, con gran aproximación, por una distribución de
iones positivos (Na+
) y negativo (Cl−
) alternados en una distribución espacial periódica.
a
A pesar de que los iones NO son puntuales veremos que podemos tratarlos como si lo
fueran.
La energ´ıa electrostática juega un importante papel en la explicación de la estabilidad y
cohesión de un cristal iónico.
¡La suma es enorme! un cristal macroscópico contiene del orden de 1023
átomos. ¿Conver-
gerá la suma?

Lo que se desea hallar es la energ´ıa potencial por unidad de volumen o de masa, la cual
deber´ıa ser independiente del tamaño del cristal. Obviamente 2 gramos de NaCl tiene el doble
de energ´ıa que un gramo.
Cualquier ion positivo está en una posición equivalente a cualquier otro.
La distribución de iones negativos en torno a uno positivo es la misma que la de iones
positivos en torno a uno negativo.
Tomemos un ion cualquiera, elijamoslo como centro y sumemos sus interacciones con
todos los demás y multipliquemos por el número total de iones de ambas clases.
U =
1
2
N
j=1 k=j
qjqk
rkj
=
1
2
N
N
k=2
q1qk
r1k
.
Los términos principales de la suma anterior son
U =
1
2
N
−6e2
a
+
12e2
√
2a
−
8e2
√
3a
+ . . . .
La serie no converge absolutamente. Este cálculo es “delicado”
U = −
0.8738Ne2
a
,
donde N es el número de iones.
1.5. El campo eléctrico.
Un conjunto de cargas {qi}N
i=1 fijas en el espacio y una carga q0 en la posición (x, y, z), la
fuerza sobre q0 es
F0 =
N
j=1
q0qj
r2
0j
ˆr0j .
Dividamos la ecuación anterior por q0 obteniendo una magnitud vectorial que depende de
la estructura del sistema de cargas y de la posición (x, y, z).
A este vector, el cual es función de (x, y, z), lo llamamos el campo eléctrico originado
por las cargas ({qi}) y lo denotamos por E.
E(x, y, z) =
N
j=1
qj ˆr0j
r2
0j
dinas
ues
. (1.10)
La condición de que las cargas sean fijas se puede reemplazar exigiendo que q0 sea infini-
tesimal para no alterar la distribución de carga inicial, i.e.
E(x, y, z) = l´ım
q0→0
F
q0
. (1.11)
No es tan riguroso como parece ya que q < e no se observan.

1.5. EL CAMPO ELÉCTRICO. 9
1.5.1. L´ıneas de Campo
Si tomamos la ecuación (1.10) como la definición de E, sin referencia a una carga de
prueba, no surgen problemas y no necesitamos que las cargas sean fijas.
Una manera de visualizar un campo eléctrico son las l´ıneas de campo. Su relación con el
campo eléctrico es la siguiente
i) La tangente de estas l´ıneas tiene la dirección del campo en ese punto.
ii) Estas l´ıneas convergen cuando nos aproximamos a una región de campo intenso y se
separan en una región de campo débil.
1.5.2. Dibujando l´ıneas de Campo.
+ −
Para el trazado de l´ıneas se debe tener en cuenta:
Las l´ıneas deben partir de las cargas positivas y terminar en las cargas negativas o bien
en el infinito en el caso de un exceso de carga.
El número de l´ıneas que partan de las cargas positiva o lleguen a la negativa es pro-
porcional a la magnitud de la carga.
Dos l´ıneas de campo no pueden cruzarse.
1.5.3. Ejemplos.
L´ıneas de campo de una par de cargas con distinto signo.

L´ıneas de campo de una par de cargas con igual signo.
1.6. Distribuciones de carga
Ahora vamos a generalizar pasando de cargas puntuales a una distribución continua de
carga.
La distribución de carga está caracterizada por una función de la posición ρ(x, y, z) lla-
mada densidad de carga volumétrica y tiene dimensiones de [carga/volumen]
Para evaluar el campo

1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA 11
Punto de
Observación
Origen
r
r − r ’
r ’
( r )= (x’,y’,z’)ρρ
dx’dy’dz’=d3
r’
E(r) =
ρ(r )d3
r
| r − r |3 (r − r ) (1.12)
Habitualmente uno elige el origen en el punto de observación, ρ(r) es una constante o una
función anal´ıtica dentro del volumen de interés y se evalúa el módulo o una componente del
campo
ρ = cte dq
R
R
E =
dq
R2
ˆR = ρ
dv
R2
ˆR (1.13)
1.6.1. Densidades.
Si una carga Q está uniformemente distribuida en un volumen V , la densidad volumétri-
ca de carga es
ρ =
Q
V
. (1.14)
Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una superficie de área A, la den-
sidad superficial de carga es
σ =
Q
A
. (1.15)

Si una carga Q esta uniformemente distribuida sobre una l´ınea de longitud L, la den-
sidad lineal de carga es
λ =
Q
L
. (1.16)
1.6.2. Campo de una l´ınea inﬁnita cargada
R
z
r
dE
θ
θ
dq= dzλ O z
dE =
dq
R2
ˆR =
λdz
R2
cos θˆr +
λdz
R2
sen θˆz
Notemos que
R =
√
r2 + z2 cos θ =
r
√
r2 + z2
sen θ =
z
√
r2 + z2
luego
E =
∞
−∞
λdz
r2 + z2
r
√
r2 + z2
ˆr +
∞
−∞
λdz
r2 + z2
z
√
r2 + z2
ˆz
= λrˆr
∞
−∞
dz
(r2 + z2)3/2
+ λˆz
∞
−∞
z
(r2 + z2)3/2
= λrˆr
∞
−∞
dz
(r2 + z2)3/2
,
por paridad.
Hacemos el cambio de variable
z = r tan φ
dz = r sec2
φ dφ ,
y reemplazamos en la integral
E = λrˆr
π/2
−π/2
r sec2
φ dφ
(r2 + r2 tan2
φ)3/2
= λrˆr
π/2
−π/2
r
r3
sec2
φ
(1 + tan2
φ)3/2
dφ
=
λ
r
ˆr
π/2
−π/2
sec2
φ
sec3 φ
dφ =
λ
r
ˆr
π/2
−π/2
cos φ dφ
=
λ
r
ˆr sen φ
+π/2
−π/2
=
λ
r
ˆr[1 − (−1)] =
2λ
r
ˆr .

1.6. DISTRIBUCIONES DE CARGA 13
Resumiendo
E(r) =
2λ
r
ˆr (1.17)
1.6.3. Campo de una distribución de carga plana e indefinida
dE
x
y
dq= dxdy
R
σ
θ
Por simetr´ıa sólo interesa la componente z (las otras se anulan)
Ez =
dq
R2
cos θ =
∞
−∞
∞
−∞
σdxdy
x2 + y2 + z2
cos θ ,
donde cos θ =
z
(x2 + y2 + z2)1/2
, luego la integral nos queda:
Ez = zσ
∞
−∞
∞
−∞
dxdy
(x2 + y2 + z2)3/2
.
Usemos coordenadas polares planas sobre el plano
r2
= x2
+ y2
,
rdrdφ = dxdy .
La integral nos queda
Ez = zσ
2π
0
dφ
∞
0
r dr
(r2 + z2)3/2
= 2πσz
∞
0
r dr
(r2 + z2)3/2
= 2πσz
−1
(r2 + z2)−1/2
∞
0
= 2πσz 0 −
−1
√
z2
= 2πσ
z
|z|
.
Resumiendo
E(r) = 2πσ sgn(z)ˆz (1.18)

1.7. Flujo Eléctrico.
Consideremos cierto campo vectorial F(r) en el espacio, y en ese espacio cierta superficie
cerrada S arbitraria.
Podemos definir el flujo de F a través de esa superficie como:
Φ =
S
F · da (1.19)
Donde la integral es sobre S, i.e. toda la superficie. Si se trata del campo eléctrico E(r)
entonces el el flujo eléctrico a través de esa superficie S es
Φ =
S
E · da (1.20)
1.7.1. La normal
Definimos el vector normal ˆn a la superficie es aquel que apunta hacia afuera del volumen
definido por la superficie cerrada.
n
da
da = n da

1.7. FLUJO ELÉCTRICO. 15
1.7.2. Analog´ıa con un fluido.
Sea v el campo de velocidades del fluido
a
a
a
60 o
cos 60
o
vaFlujo:Flujo: 0Flujo: va
El flujo es el volumen del fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.
1.7.3. Flujo de una carga puntual.
Evaluemos el flujo a través de una superficie esférica SI centrada en una carga puntual q
SI
ΦI =
I
q
r2
ˆr · ˆr da =
π
0
2π
0
q
r2
r2
sen θ dθdφ = 4πq (1.21)

SI
SIII
Como el resultado anterior (1.21) NO depende de r, el flujo a través de la superficie SIII
será
ΦIII = ΦI = 4πq . (1.22)
SI
SIII
SII
Si no hay más carga no se crea ni se destruye flujo, por lo tanto
ΦII = 4πq . (1.23)
Por superposición puede extenderse este resultado a cualquier número de cargas o a
distribuciones continuas.
1.8. Ley de Gauss.
El flujo del campo eléctrico E a través de una superficie cerrada cualesquiera, es decir, la
integral de E · da extendida a la superficie, es igual a 4π por la carga total encerrada por la
superficie
S
E(r) · da = 4π
i
qi = 4π
∂S
ρdv (1.24)
Este resultado es equivalente a la ley de Coulomb.

1.9. EJEMPLOS DE EVALUACI ÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO. 17
1.9. Ejemplos de evaluación del campo eléctrico.
1.9.1. Cascarón esférico.
SI
SII
r<
r>
Q
R
La densidad superficial σ es
σ =
Q
4πR2
. (1.25)
Existen dos regiones de interés, r > R y r < R.
región r > R
Consideremos la superficie SII para evaluar E en la primera región. Dada la simetr´ıa del
problema postulamos E(r) = E(r)ˆr, claramente para la superficie da = daˆr
E · da = E(r)ˆr · ˆrda = 4πQ
E(r)
SII
da = 4πQ
E(r)4πr2
= 4πQ
E(r) =
Q
r2
.
Luego para r > R
E(r) =
Q
r2
ˆr (1.26)
región r < R
Consideremos la superficie SI para evaluar E en la segunda región. Dada la simetr´ıa del
problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆr, para la superficie da = daˆr

E · da = E(r)ˆr · ˆrda = 0
E(r)
SI
da = 0
E(r)4πr2
= 0
E(r) = 0 .
Luego para r < R
E(r) = 0 (1.27)
Grafiquemos ambos resultados
r2
Q
R r
Ancho del cascarón
E(r)
1.9.2. Esfera cargada con ρ constante.
SI
SII
r<
r>
Q
b
La densidad volumétrica ρ es
ρ =



Q
4π
3
b3
= cte. si r < b
0 si r > b
. (1.28)
Obviamente ρdv = Q. Existen nuevamente dos regiones de interés, r > b y r < b.

región r > b
Consideremos la superficie SII para evaluar E en la primera región. Dada la simetr´ıa del
E · da = E(r)ˆr · ˆrda = 4π ρ dv
E(r)
sII
da = 4π ρ dv
E(r)4πr2
= 4πρ
4π
3
b3
=
Q
r2
.
Luego para r > b
E(r) =
Q
r2
ˆr (1.29)
región r < b
Consideremos la superficie SI para evaluar E en la segunda región. Dada la simetr´ıa del
E(r)
sI
da = 4π ρ dv
E(r)4πr2
= 4πρ
4π
3
r3
=
Q
b3
r .
Luego para r < b
E(r) =
Q
b3
rˆr (1.30)
Grafiquemos ambos resultados
r2
Q
a3
Q
r
r
E(r)
a

1.9.3. Cascarón esférico grueso.
r>
r<
ri
R1
R2
SII
SIII
SI
Q
La densidad ρ es
ρ =
Q
4π
3
R3
2 − 4π
3
R3
1
. (1.31)
Existen tres regiones de interés, r > R2, R1 < r < R2 y r < R1.
Evaluación en la región r > R2.
Consideremos la superficie SI para evaluar E en la primera región. Dada la simetr´ıa del
E · da = E(r)ˆr · ˆrda = 4πQ
E(r)
SI
da = 4πQ
E(r)4πr2
= 4πQ =
Q
r2
.
Luego para r > R
E(r) =
Q
r2
ˆr (1.32)
Evaluación en la región R1 < r < R2.
Consideremos la superficie SII para evaluar E en la segunda región. Dada la simetr´ıa del
problema nuevamente postulamos E(r) = E(r)ˆr y para la superficie da = daˆr

E(r)
SII
da = 4πρ dv
E(r)4πr2
= 4πρ
4π
3
r3
− R3
1 =
Q
r2
r3
− R3
1
R3
2 − R3
1
.
Luego para R1 < r < R2
E(r) =
Q
r2
r3
− R3
1
R3
2 − R3
1
ˆr (1.33)
región r < R1.
Consideremos la superficie SIII para evaluar E en la segunda región. Dada la simetr´ıa
postulamos E(r) = E(r)ˆr, para la superficie da = daˆr
E · da = E(r)ˆr · ˆrda = 0
E(r)
SIII
da = 0
E(r)4πr2
= 0
E(r) = 0 .
Luego para r < R1
E(r) = 0 (1.34)
r2
Q
R1 R2
R1
3
R2
3 _
R1
33
r _
r2
Q
r
E(r)

Caso l´ımite, R1 → 0.
E(r) =



Q
r2
ˆr r > R2
Q
R3
2
rˆr r < R2
(1.35)
Caso l´ımite, R1 → R2.
E(r) =



Q
r2
ˆr r > R2
0 r < R2
(1.36)
1.9.4. Esfera cargada con ρ(r) variable.
r<
r>
SISII
b
Q
La densidad volumétrica ρ es
ρ(r) =



5Q
πb5
r(b − r) si r < b
0 si r > b
. (1.37)
Debemos probar que ρdv = Q y luego encontrar el campo eléctrico en las dos regiones
de interés, r > b y r < b. Integramos la densidad en todo el espacio
ρ(r)dv =
∞
0
π
0
2π
0
ρ(r)r2
sen θdrdθdφ = 4π
b
0
5Q
πb5
r(b − r)r2
dr
=
20Q
b5
b
0
r3
b dr −
b
0
r4
dr =
20Q
b5
b5
4
−
b5
5
=
20Q
b5
b5
20
= Q .

región r > b.
Consideremos la superficie SI para evaluar E en la primera región. Dada la simetr´ıa del
E(r)
sI
da = 4π ρ dv
E(r)4πr2
= 4πQ
=
Q
r2
.
Luego para r > b
E(r) =
Q
r2
ˆr (1.38)
región r < b.
Consideremos la superficie SII para evaluar E en la segunda región. Dada la simetr´ıa del
E(r)
sII
da = 4π ρ dv
E(r)4πr2
= 4π
r
0
π
0
2π
0
ρ(u)u2
sen θdudθdφ
E(r) =
4π
r2
r
0
5Q
πb5
u(b − u)u2
du
E(r) =
20Q
b5r2
r
0
bu3
du −
r
0
u4
du
E(r) =
20Q
b5r2
br4
4
−
r5
5
=
Q
b5
5br2
− 4r3
Luego para r < R
E(r) =
Q
b5
5br2
− 4r3
ˆr (1.39)

1.9.5. L´ınea cargada infinita.
da=−da z
da= da z
L
z
λ
da= da RR
La figura muestra las diferentes normales de la superficie de Gauss elegida.
Cálculo del campo eléctrico.
Suponemos el campo eléctrico con la siguiente forma E(r) = E(R) ˆR con R el radio de
las coordenadas cil´ındricas. La Ley de Gauss nos dice
E · da = 4πQencerrada
La carga encerrada corresponde a λL, luego
2
tapas
E(R) ˆR · (±ˆz) da +
manto
E(R) ˆR · ˆR da = 4πλL
E(R)2πRL = 4πλL
E(R) =
2λ
R
.
Luego
E(r) =
2λ
R
ˆR (1.40)

1.9.6. Plano infinito cargado.
z
A
σ
La figura muestra la sección del plano que define el cilindro al atravesarlo.
Cálculo del campo eléctrico.
Suponemos el campo eléctrico con la siguiente forma
E(r) =
+E(z)ˆz z > 0
−E(z)ˆz z < 0
(1.41)
La Ley de Gauss nos dice
E · da = 4πQencerrada
La carga encerrada, en este caso, corresponde a σA, luego
2
tapas
±E(z)ˆz · (±ˆz) da +
manto
E(z)ˆz · ˆR da = 4πσA
2E(z)A = 4πσA
E(z) = 2πσ .
Luego
E(r) = 2πσ sgn(z)ˆz (1.42)

1.9.7. Problemas de flujo.
Consideremos una carga q situada en el centro de un cubo. ¿Cuánto flujo sale por una de
las caras?
q
Φ =
1
6
× 4πq =
2πq
3
(1.43)
Consideremos una carga q situada en un vértice de un cubo. ¿Cuánto flujo sale por cada
una de las caras?
q
Por las caras que contiene a la carga el flujo es nulo y por las otras tres el flujo es igual.
Agregamos siete cubos en el entorno tal de dejar la carga al centro de un nuevo cubo mas
grande, ahora podemos usar el resultado anterior
q
Φ =
1
4
×
1
6
× 4πq =
πq
6
(1.44)

1.10. FUERZA SOBRE UNA CARGA SUPERFICIAL. 27
1.10. Fuerza sobre una carga superficial.
r0
ues
cm2
σ
dAσ
E= 4πσ
Q=4π σr0
2
E=0
¿A qué se debe y cuál es la fuerza que actúa sobre un elemento superficial de carga σdA?
La fuerza es debida a la repulsión que experimenta por parte de todo el resto de los
elementos de carga de la esfera.
¿Qué valor del campo debemos usar sobre la lámina?
Eext =
Q
r2
0
= 4πσ , Ein = 0 . (1.45)
Usemos el promedio
1
2
(Eext + Ein) = 2πσ (1.46)
Una manera de entender esto es suponer que el espesor NO es nulo. Supongamos que no
es una densidad superficial sino una densidad volumétrica ρ (uniforme) en un ancho ∆r tal
que ρ∆r = σ.
∆ r ∆ r ∆ r∆ r
E= 4πσE= 4πσ E= 4πσ E= 4πσ
∆ r
0
E=0 E=0 E=0 E=0
ρ = cte.
=σρ
La carga superficial real NO se hallará en una capa de espesor cero y densidad volumétrica
infinita, as´ı que nuestra representación es más realista que la del caso l´ımite. Por ejemplo:
una carga de superficie en un metal puede tener varios [˚A] de espesor.

La fuerza sobre un elemento de carga superficial
dF =
1
2
(Eext + Ein) dq = 2πσσdA = 2πσ2
dA . (1.47)
La fuerza por unidad de área vale 2πσ2
. Esta es una fuerza hacia el exterior originada por
la repulsión de las cargas. Naturalmente si las cargas no escapan esta fuerza debe estar equi-
librada con alguna fuerza de origen atómico o molecular, no incluida en nuestras ecuaciones.
Si cargamos un globo de goma, la repulsión calculada tender´ıa a dilatarlo.
1.10.1. El trabajo para comprimir.
Rec´ıprocamente, deber´ıamos efectuar trabajo sobre el sistema para acortar el diámetro
mientras Qtotal =cte.
r0
r0
_ dr
dr
Supongamos que deseamos disminuir el radio de la esfera de r0 a r0 −dr. El trabajo contra
las las fuerzas eléctricas
dW = (2πσ2
)(4πr2
0) dr = 8π2
σ2
r2
0 dr .
En función de la carga total Q = 4πr2
0σ tenemos
dW =
Q2
dr
2r2
0
(1.48)
1.11. Energ´ıa asociada a un campo eléctrico.
Notemos que al disminuir la esfera, en lo que al campo se refiere, es crear la intensidad de
campo 4πσ en una capa entre r0 y r0 − dr donde el campo antes era nulo. En todos los otros
puntos del espacio el campo permanece exactamente igual que antes. Esta parte del campo,
puede decirse, que ha sido creada a costa del trabajo dW.
dW =
Q2
dr
2r2
0
=
Q2
× 4πr2
0 × dr
2 × 4πr2
0 × r2
0
=
Q2
8πr4
0
dv =
E2
8π
dv (1.49)
Este es un ejemplo particular de un teorema mucha más general, que no demostraremos.

1.11. ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO. 29
1.11.1. El teorema.
La energ´ıa potencial U de un sistema de cargas, la cual es el trabajo total requerido para
formar el sistema, puede calcularse a partir del campo eléctrico propio simplemente asignando
una cantidad de energ´ıa (E2
/8π)dv a cada elemento de volumen dv e integrando para todo
el espacio donde existe el campo eléctrico.
U =
1
8π
E
2
dv (1.50)
donde la integral es sobre todo el espacio.
1.11.2. Energ´ıa de la esfera usando el campo.
Usando la ecuación (1.50) podr´ıamos calcular al energ´ıa asociada a nuestra esfera cargada.
El campo en todo el espacio es
E =



Q
r2
ˆr r > r0
0 r < r0
(1.51)
La energ´ıa es
U =
1
8π
E2
dv =
1
8π
∞
r0
Q2
r4
4πr2
dr =
Q2
2
∞
r0
1
r2
dr = −
Q2
2r
∞
r0
,
finalmente
U =
Q2
2r0
(1.52)
1.11.3. Energ´ıa de la esfera calculando el trabajo.
A partir de la ecuación (1.49) considerando una esfera de radio arbitrario r y que la dismi-
nuiremos desde un radio ∞ a un radio r0 dado. (Recordemos que la fuerza y el desplazamiento
son antiparalelos luego debe haber un signo (-)),
U =
r0
∞
−
Q2
dr
2r2
=
∞
r0
Q2
2r2
dr = −
Q2
2r
∞
r0
=
Q2
2r0
. (1.53)
Nuevamente obtenemos el resultado (1.52)
U =
Q2
2r0
(1.54)
Una imagen usual es que la energ´ıa está almacenada en el campo.
Siendo el sistema conservativo, esta cantidad de energ´ıa puede ser recuperada permi-
tiendo a las cargas “separarse”.

La energ´ıa estaba en alguna parte.
Nuestra consideración aparece correcta si imaginamos que la energ´ıa está almacenada
en el espacio con una densidad |E|2
/8π en [erg/cm3
].
Sin embargo, sólo es f´ısicamente medible la energ´ıa total

Cap´ıtulo 2
Potencial eléctrico.
En este cap´ıtulo veremos:
Integral de l´ınea del campo eléctrico.
Diferencia de potencial y función potencial.
Gradiente de una función escalar.
Deducción del campo a partir del potencial.
Potencial de una distribución de cargas.
Disco cargado uniformemente.
Divergencia de una función vectorial.
Teorema de Gauss y forma diferencial de la Ley de Gauss.
La divergencia en coordenadas cartesianas.
El Laplaciano.
La ecuación de Laplace.
Rotacional de una función vectorial.
Teorema de Stokes.
Rotacional en coordenadas cartesianas.
Significado f´ısico del rotacional.
31

32 CAPÍTULO 2. POTENCIAL ELÉCTRICO.
2.1. Integral de l´ınea del campo eléctrico.
Supongamos que una cierta distribución estacionaria de carga produce un campo E,
entonces
P2
P1
E · ds , (2.1)
a través de cierto camino. Significa:
Dividir el camino en pequeños segmentos.
Representar cada segmento por un vector que una sus extremos.
Efectuar el producto escalar del vector asociado al segmento del camino por el campo
E en ese lugar.
Sumar estos productos para todo el camino.
La integral corresponde al l´ımite de esta suma al hacer los segmentos cada vez más
pequeños y numerosos.
1P
2P
camino
1P
2P
1P
2P
ds
E
2.1.1. Un ejemplo.
Consideremos el campo vectorial E = Kyˆx + Kxˆy. Queremos evaluar la integral de l´ınea
a través del camino de la figura
1 2
1
2
x
y
A
B C

2.1. INTEGRAL DE LÍNEA DEL CAMPO ELÉCTRICO. 33
La integral es separable
C
A
E · ds =
B
A
E · ds +
C
B
E · ds . (2.2)
El elemento de camino ds = dxˆx + dyˆy y el campo por componentes E = Kyˆx + Kxˆy
luego
E · ds = Kydx + Kxdy . (2.3)
En la primera parte del camino (de A a B) y = 2x (una recta) lo que implica dy = 2dx,
por lo tanto,
B
A
E · ds = K
B
A
(ydx + xdy)
= K
1
0
2xdx + 2xdx
= 4K
1
0
x dx = 2K . (2.4)
A lo largo del camino de B a C, y = 2 y dy = 0
C
B
E · ds = K
C
B
(ydx + xdy)
= K
2
1
2dx = 2K . (2.5)
La suma de ambos tramos
C
A
E · ds = 2K + 2K = 4K (2.6)
2.1.2. Otro camino.
Consideremos ahora el camino de la figura
x
y
A
C
B
21
1
2
Sobre el camino A → B y = 0 luego dy = 0
B
A
E · ds = 0 , ya que E ⊥ ds. (2.7)

Sobre el camino B → C x = 2 luego dx = 0
C
B
E · ds =
2
0
K2 dy = 2Ky
2
0
= 4K . (2.8)
2.1.3. Independencia del camino.
El campo eléctrico de una carga puntual es radial y depende solamente de r. Si P1 y P2
son dos puntos cualesquiera en el campo de una carga puntual es directo que la integral de
l´ınea de E es la misma para todas las trayectorias que unen P1 y P2.
Lo anterior puede verificarse usando una argumentación equivalente a la usada cuando
evaluamos el trabajo.
Por superposición, la integral de l´ınea de E (debido a todos los manantiales) debe ser
independiente del camino. Es decir, la integral
P2
P1
E · ds (2.9)
Tiene el mismo valor para todos los caminos que unen a P1 y P2 en un campo electrostático.
2.2. Diferencia de potencial y función potencial.
Debido a que la integral de l´ınea en el campo electrostático es independiente del camino,
podemos usarla para definir una magnitud escalar ϕ21 como sigue
ϕ21 = −
P2
P1
E · ds (2.10)
Donde ϕ21 es el trabajo por unidad de carga efectuado al mover una carga positiva desde
P1 a P2 en el campo E.
Además, ϕ21 es una función escalar un´ıvoca de las dos posiciones P1 y P2 que llamaremos
diferencia de potencial entre los dos puntos.
En sistema CGS las unidades de diferencia de potencial son [erg/ues]=[statvolt]. En sis-
tema MKS las unidades de diferencia de potencial son [Joule/Coulomb]=[Volt].
1 [Volt] =
1
299.79
[statvolt] (2.11)
2.2.1. Función potencial.
Supongamos que mantenemos P1 fijo en cierta posición de referencia. Entonces ϕ21 es
función sólo de P2. Podemos escribir
E(x,y,z)ϕ (x,y,z)
Campo escalar
Potencial asociado a
Campo vectorial

2.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL Y FUNCI ÓN POTENCIAL. 35
Dado E se determina ϕ salvo por una constante aditiva debido a la arbitrariedad en la
elección de P1.
Supongamos que tenemos dos definiciones para la función potencial, ϕA y ϕB, que sólo
difieren en el punto P1, es decir
ϕA = −
r
A
E · ds , ϕB = −
r
B
E · ds . (2.12)
A ϕA lo podemos escribir como
ϕA = −
r
A
E · ds
= −
B
A
E · ds −
r
B
E · ds
= cte. + ϕB
ϕA = ϕB + cte.
2.2.2. La carga puntual.
El campo de una carga puntual q es
q
r2
ˆr.
rA rB
r
ds
rds = dr
A
B
q
dr
Evaluemos la diferencia de potencial
ϕAB = −
B
A
q
r2
ˆr · ds = −
B
A
q
r2
dr =
q
r
B
A
= q
1
rB
−
1
rA
Si rA → ∞
ϕ(r) =
q
r
(2.13)

2.2.3. Dos cargas en el plano.
Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano de la configuración de dos cargas
puntuales de la figura
1q 2q
r1 r2
(x,y)y
x0
b a
El potencial es la suma de los potenciales individuales
ϕ(x, y) =
q1
r1
+
q2
r2
=
q1
(x + b)2 + y2
+
q2
(x − a)2 + y2
2.2.4. Otro ejemplo.
Nos interesa encontrar el potencial en todo el plano del campo E(x, y) = Kyˆx + Kxˆy
eligiendo nuestro punto de referencia P1 = (0, 0). Usaremos el camino de integración mostrado
en la figura.
(x,y)y
x(0,0)
ϕ(x, y) = −
(x,y)
(0,0)
E · ds
= −
(x,0)
(0,0)
Exdx −
(x,y)
(x,0)
Eydy
= K(y = 0)
x
0
dx − Kx
y
0
dy = 0 − Kxy
= −Kxy

2.3. GRADIENTE DE UNA FUNCI ÓN ESCALAR. 37
A todos los resultados anteriores le podemos sumar una constante. Esto solamente indi-
car´ıa que el punto de referencia al cual se asigna ϕ = 0 se puso en otra parte.
No hay que confundir Potencial con energ´ıa potencial de un sistema.
La energ´ıa potencial de un sistema de cargas es el trabajo total requerido para reunirlas.
El potencial asociado al campo ser´ıa el trabajo por unidad de carga requerido para
traer una carga de prueba positiva desde el infinito al punto (x, y, z) en el campo E del
sistema de cargas.
2.3. Gradiente de una función escalar.
Sabemos que dado el campo eléctrico podemos hallar la función potencial eléctrico, que
resulta ser una función escalar.
Si quisiéramos proceder en sentido contrario, es decir, a partir del potencial deducir el
campo eléctrico de la ecuación
ϕ21 = −
P2
P1
E · ds , (2.14)
Parecer´ıa que el campo es en algún sentido una derivada de la función potencial. Para
precisar esto presentamos el gradiente de una función escalar:1
grad f = f(x, y, z) =
∂f
∂x
ˆx +
∂f
∂y
ˆy +
∂f
∂z
ˆz . (2.15)
El gradiente de una función escalar es un vector en la dirección de la máxima pendiente
en sentido ascendente y su módulo es la pendiente medida en aquella dirección
1
La derivada parcial respecto a la variable x de una función f(x, y, z), escrita simplemente ∂f/∂x, significa
la razón de variación de la función respecto a x manteniendo constante las otras variable (y, z), i.e.
∂f
∂x
= l´ım
∆x→0
f(x + ∆x, y, z) − f(x, y, z)
∆x
,

Dirección de la
máximo crecimiento
x
y
(x,y)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
exp(−x*x−y*y)
−1
−0.5
0
0.5
1
−1
−0.5
0
0.5
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2.4. Deducción del campo a partir del potencial.
Consideremos la diferencial de la función escalar de tres variables ϕ(x, y, z)
dϕ =
∂ϕ
∂x
dx +
∂ϕ
∂y
dy +
∂ϕ
∂z
dz , (2.16)
además de
ϕ21 = −
P2
P1
E · ds → dϕ = −E · ds , (2.17)
y como
dϕ = ϕ · ds = −E · ds . (2.18)
Identificamos
E = − ϕ (2.19)
El signo menos da cuenta de que el campo eléctrico está dirigido de una región de mayor
potencial hacia una región de menor potencial, mientras que el vector ϕ se define de manera
que se dirija en el sentido creciente de ϕ.
2.4.1. Ejemplos.
Carga puntual.
E = − ϕ = −
q
r
= −
∂
∂r
q
r
ˆr =
q
r2
ˆr .
Dos cargas.
ϕ =
q1
(x + b)2 + y2
+
q2
(x − a)2 + y2
=⇒
E =
q1[(x + b)ˆx + yˆy]
((x + b)2 + y2)3/2
+
q2[(x − a)ˆx + yˆy]
((x − a)2 + y2)3/2
.

2.5. POTENCIAL DE UNA DISTRIBUCI ÓN DE CARGA. 39
Otro ejemplo.
ϕ = −Kxy =⇒
E = −
∂
∂x
(−Kxy)ˆx +
∂
∂y
(−Kxy)ˆy
= Kyˆx + Kxˆy .
2.5. Potencial de una distribución de carga.
Para calcular el potencial debido a una distribución de carga
Punto de
Observación
Origen
r
r − r ’
r ’
( r )= (x’,y’,z’)ρρ
dx’dy’dz’=d3
r’
Distribución de carga
región finita
contenida en una
ϕ(r) =
ρ(r )d3
r
| r − r |
(2.20)
Debe tenerse que el potencial sea nulo en infinito. La distribución de carga debe estar
acotada a una región finita.
En el caso de una distribución constante escribimos el potencial como la suma de los
potenciales debido a los distintos dq de la distribución. La distribución debe ser finita.
ρ = cte
dq
R
ϕ =
dq
R
= ρ
dv
R
(2.21)
En caso que la distribución NO sea constante, la primera expresión sigue siendo válida.

2.5.1. Las l´ıneas equipotenciales.
El lugar geométrico de los puntos con un valor particular de ϕ es una superficie, llamada
equipotencial la cual se representa en dos dimensiones por una curva y en tres por una
superficie.
q
La familia de curvas equipotenciales son ortogonales a las l´ıneas de fuerzas.
2.5.2. Potencial de un hilo largo cargado.
Calculemos el potencial de un hilo infinito cargado con densidad uniforme λ mediante
integración directa.
R
z
r
dq= dzλ O z
dϕ =
dq
R
=
λdz
√
z2 + r2
ϕ =
∞
−∞
λdz
√
z2 + r2
=
∞
−∞
λ
z
r
2
+ 1
dz
r
Usando la paridad del integrando y haciendo el cambio de variable u =
z
r
, tenemos
ϕ = 2λ
∞
0
du
√
u2 + 1
,

2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE. 41
haciendo u = tan θ con du = sec2
θ dθ
ϕ = 2λ
π/2
0
sec2
θ dθ
(tan2
θ + 1)1/2
= 2λ
π/2
0
sec θ dθ
= 2λ log(sec θ + tan θ)
π/2
0
→ ∞ .
La divergencia de la integral se debe a que la distribución de carga no está contenida en
un región finita (hay carga en ∞).
Calculemos la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera usando la expresión
para el campo eléctrico de una l´ınea infinita uniformemente cargada
ϕ21 = −
P2
P1
E · ds = −
r2
r1
2λ
r
dr
= 2λ log(r1) − 2λ log(r2) .
Fijamos arbitrariamente el punto P1 para obtener la función potencial
ϕ = −2λ log(r) + cte. (2.22)
Claramente
− ϕ = −ˆr
∂ϕ
∂r
=
2λ
r
ˆr .
2.6. Disco cargado uniformemente.
Consideremos un disco no conductor cargado con una distribución uniforme σ [ues/cm2
]
de espesor infinitesimal.
La carga total corresponde a Q = πa2
σ. No hay dos capas.
Si el disco fuera conductor habr´ıa redistribución de carga acumulándose hacia los bordes.
P1(0,y,0)
2P
x
z
R
a
dq
y
σ

Evaluemos el potencial en el punto P1 = (0, y, 0)
ϕ(0, y, 0) =
dq
R
=
2π
0
a
0
σrdθdr
y2 + r2
= 2πσ
a
0
r
y2 + r2
dr = 2πσ y2 + r2
a
0
ϕ(0, y, 0) = 2πσ[ y2 + a2 − y] , si y > 0.
Por simetr´ıa debemos tener ± y2
ϕ(0, y, 0) = 2πσ[ y2 + a2 + y] , si y < 0.
El valor en el centro ϕ(0, 0, 0) = 2πσa
singularidad
en la derivada
ya−a
ϕ
0
Estudiemos el comportamiento de ϕ(0, y, 0) para valores grandes de y. Para y a tenemos
y2 + a2 − y = y

 1 −
a2
y2
− 1


= y 1 +
1
2
a2
y2
. . . − 1 ≈
a2
2y
.
De aqu´ı tenemos
ϕ(0, y, 0) =
πa2
σ
y
=
Q
y
, para y a. (2.23)
Donde πa2
σ = Q es la carga total, luego este ser´ıa el potencial de una carga puntual de ese
valor. Desde muy lejos el disco se ve puntual.
El potencial para puntos fuera del eje de simetr´ıa no es f´acil, las integrales resultan ser
el´ıpticas ( dφ/ 1 − k2 sen2 φ)
2.6.1. Potencial en el borde del disco.
Evaluemos el potencial en el punto P2 = (a, 0, 0)

2.6. DISCO CARGADO UNIFORMEMENTE. 43
P2
θ
r
a
2a
dr
σ
ϕ(a, 0, 0) =
dq
r
=
σ2rθdr
r
= 2σθdr .
De la figura r = 2a cos θ luego dr = −2a sen θdθ. Reemplazando en la integral
ϕ(a, 0, 0) =
0
π/2
2σθ(−2a sen θ) dθ
=
π/2
0
4σaθ sen θ dθ
= 4σa [sen θ − θ cos θ]
π/2
0
= 4σa .
Comparando este valor con el del centro del disco (2πσa) el potencial disminuye. Esto
implica que el campo eléctrico tiene componente en el plano del disco y hacia afuera. Por
lo anterior, si la carga pudiese moverse se distribuir´ıa hacia los bordes. Podemos calcular el
campo eléctrico en el eje de simetr´ıa directamente del potencial
Ey = −
∂ϕ
∂y
= −
d
dy
2πσ y2 + a2 − y
= 2πσ 1 −
y
y2 + a2
y > 0 .
Tomemos el l´ımite y → 0 por la derecha y por la izquierda.
Si y tiende a cero+
entonces E → 2πσˆy.
Si y tiende a cero−
entonces E → −2πσˆy.
Este es el campo que corresponde a un lámina indefinida (infinita) con densidad superficial
homogénea σ.
Podemos encontrar el campo cerca del disco usando Gauss. Como superficie de Gauss
usamos la “cajita” de la figura.

El campo no
es al plano
A
Φ = AE+
y − AE−
y + (flujo lateral)
El primer término corresponde al campo inmediatamente por delante, el segundo al campo
por detrás en un caso la normal apunta hacia adelante y en el otro apunta hacia atrás. El flujo
lateral se puede hacer tan pequeño como se quiera aplanando la caja. (Mientras el campo
paralelo sea finito.) La carga encerrada es σA luego la ley de Gauss
AE+
y − AE−
y = 4πσA ,
o bien lo podemos reescribir como
E+
y − E−
y = 4πσ (2.24)
Esto vale para cualquier distribución superficial de carga uniforme o no. Si σ es la densi-
dad local de una capa superficial cargada, existe un cambio brusco o discontinuidad en la
componente perpendicular del campo eléctrico.
2.6.2. La energ´ıa del sistema.
Recordemos la expresión para la energ´ıa total asociada a un campo E
U =
1
8π Todo el espacio
E
2
dv . (2.25)
Escribamos la energ´ıa ahora en términos del potencial. Utilizamos que E = − ϕ, luego
tenemos
U =
1
8π Todo el espacio
ϕ
2
dv . (2.26)
Hay otra forma de calcular la energ´ıa almacenada
U =
1
2
N
j=1 k=j
qjqk
rjk
. (2.27)

2.7. DIVERGENCIA DE UNA FUNCI ÓN VECTORIAL. 45
Si reescribimos la ecuación anterior de la forma
U =
1
2
N
j=1
qj
k=j
qk
rjk
.
El término entre paréntesis corresponde a la contribución de todas las cargas al potencial en
la posición de qj. Podemos sumarlas y llamarles ϕj (potencial en la posición de qj debido a
todas las otras cargas) luego
U =
1
2
N
j=1
qjϕj . (2.28)
Si tenemos una distribución continua
U =
1
2
ρϕ dv (2.29)
2.7. Divergencia de una función vectorial.
Sea F(x, y, z) una función vectorial. Consideremos el flujo total a través de la superficie
S
Φ =
S
F · da .
da
S
V
F
V1
V2
S1 incluye D
S2
incluye D

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
D
Si dividimos V en dos partes, diagrama de la derecha, el flujo es el mismo
Φ =
S1
F · da +
S2
F · da ,
ya que los flujos sobre D se anulan.
Podemos dividir V sucesivamente hasta tener V1, V2, . . . , VN con superficies S1, S2, . . . , SN ,
podemos afirmar
Φ =
S
F · da =
N
i=1 Si
F · dai .

Si consideramos el l´ımite N → ∞ las integrales Si
F · dai → 0. Es decir, se hacen cada vez
más pequeñas, al igual que cada Vi, a medida que N crece. Pero si consideramos la razón
entre ambas magnitudes
Si
F · dai
Vi
,
encontramos que tiene un l´ımite cuando N → ∞. Este l´ımite es una propiedad caracter´ıstica
de la función vectorial (campo vectorial) F en esa región.
Llamaremos divergencia de F a esta propiedad:
div F(x, y, z) = · F ≡ l´ım
V →0
1
V S
F · da (2.30)
donde V es un volumen que incluye al punto (x, y, z) y S es la superficie donde se extiende la
integral, además es la superficie de V . La condición de que el l´ımite exista y sea independiente
del método de subdivisión, lo estamos dando por supuesto.
La div F corresponde al flujo saliente de V por unidad de volumen en el l´ımite en que V
es infinitesimal. Es una magnitud escalar, que depende de la posición y puede variar de un
lugar a otro.
2.8. Teorema de Gauss y forma diferencial de la ley de
Gauss.
Consideremos un volumen V cuya superficie es S. Hagamos una partición en N subvo-
lumenes Vi cuya superficie es Si escribamos el flujo total a través de S en función de la
partición.
Φ =
S
F · da =
N
i=1 Si
F · dai =
N
i=1
Vi
Si
F · dai
Vi
.
En el l´ımite que N → ∞ y Vi → 0, tenemos
S
F · da =
V
div F dv (2.31)
Este resultado es conocido como teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Se
cumple para todo campo vectorial para el cual existan los l´ımites involucrados.
Apliquemos el teorema de la divergencia al campo eléctrico
S
E · da =
V
div E dv . (2.32)
Recordemos la Ley de Gauss que satisfac´ıa el campo eléctrico sobre el mismo volumen y
superficie
S
E · da = 4π
V
ρ dv . (2.33)

2.9. LA DIVERGENCIA EN COORDENADAS CARTESIANAS. 47
Como ambas ecuaciones se cumplen para cualquier volumen
div E = · E = 4πρ (2.34)
Esta última ecuación es conocida como la forma diferencial de la ley de Gauss y
corresponde a la primera ecuación de Maxwell.
2.9. La divergencia en coordenadas cartesianas.
Veamos la forma que tiene el operador divergencia en coordenadas cartesianas
div F = · F =
∂Fx
∂x
+
∂Fy
∂y
+
∂Fz
∂z
(2.35)
La divergencia es un escalar y en coordenadas cartesianas corresponde al producto escalar
entre el operador vectorial y el campo vectorial. Si div F > 0 el flujo es saliente. Si div F < 0
el flujo es entrante.
Consideremos un cilindro infinito de radio a, cargado con densidad uniforme ρ.
yx
z
a
ρ
Usando la ley de Gauss podemos encontrar el campo en todo el espacio,
E(r) =



2πρa2
r
r > a
2πρr r < a
Proyectemos el campo en coordenadas cartesianas
Ex(r) =
x
r
E =
2πρa2
x
x2 + y2
r > a
= 2πρx r < a
Ey(r) =
y
r
E =
2πρa2
y
x2 + y2
r > a
= 2πρy r < a
Ez = 0

En el exterior de la carga cil´ındrica la div E
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
= 2πρa2 1
x2 + y2
−
2x2
(x2 + y2)2
+
1
x2 + y2
−
2y2
(x2 + y2)2
= 0 ,
dentro
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
= 2πρ(1 + 1) = 4πρ .
Contábamos con ambos resultados.
2.9.1. El Laplaciano.
Tenemos
E = − grad ϕ = − ϕ = − ˆx
∂ϕ
∂x
+ ˆy
∂ϕ
∂y
+ ˆz
∂ϕ
∂z
.
Por otra parte
div E = · E =
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
+
∂Ez
∂z
.
Combinándolas
div E = − div grad ϕ = −
∂2
ϕ
∂x2
+
∂2
ϕ
∂y2
+
∂2
ϕ
∂z2
Definamos el operador Laplaciano
2
=
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
(2.36)
La notación 2
se explica como sigue:
= ˆx
∂
∂x
+ ˆy
∂
∂y
+ ˆz
∂
∂z
.
Si lo tratamos como un vector
· =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
.
El Laplaciano en coordenadas cartesianas. En otras coordenadas esto NO es cierto. En ge-
neral, el Laplaciano es
2
≡ div (grad) (2.37)

2.10. LA ECUACI ÓN DE LAPLACE. 49
2.9.2. La ecuación de Poisson.
Utilizando la definición del Laplaciano, y la forma diferencial de la ley de Gauss obtenemos
2
ϕ = −4πρ (2.38)
Esta ecuación es conocida como la ecuación de Poisson. Esta escrita en coordenadas carte-
sianas
∂2
ϕ
∂x2
+
∂2
ϕ
∂y2
+
∂2
ϕ
∂z2
= −4πρ (2.39)
Esta es la forma no homogénea de la ecuación y corresponde al caso en que hay presencia
de densidad de carga.
2.10. La ecuación de Laplace.
Donde quiera que la densidad sea nula, i.e. ρ = 0, el potencial eléctrico satisfacen la
ecuación homogénea, conocida como la ecuación de Laplace
2
ϕ =
∂2
ϕ
∂x2
+
∂2
ϕ
∂y2
+
∂2
ϕ
∂z2
= 0 (2.40)
Esta ecuación la encontramos en muchas ramas de la F´ısica. Las funciones que satisfacen
la ecuación de Laplace se conocen como armónicas.
2.10.1. Propiedades de las funciones armónicas.
Si ϕ(x, y, z) es armónica, es decir, solución de la ecuación de Laplace, entonces el valor
medio de ϕ sobre la superficie de una esfera cualesquiera (NO necesariamente pequeña) es
igual al valor de en el centro.
Demostración: En el caso de un potencial eléctrico en regiones sin carga. El trabajo
para traer Q distribuida sobre una esfera en presencia de q ser´ıa: Q veces el valor medio
sobre la esfera del potencial debido a q.
q
Q distribuída
sobre la esfera
Pero sabemos que este trabajo ser´ıa el mismo que si hubiésemos tenido primero la carga
de prueba y luego traemos a q desde el infinito. En este caso el trabajo ser´ıa el mismo que si
Q estuviera en el centro de la esfera en lugar de estar distribuida sobre la superficie.
Si hay más fuentes usamos el principio de superposición tal de incluir todos los manan-
tiales.

2.10.2. Equilibrio estable.
Lo anterior está estrechamente relacionado con el teorema de imposibilidad de equilibrio
estable en un campo electrostático.
Supongamos que tenemos un campo en que existe un punto P en el cual una part´ıcula
cargada estuviese en equilibrio estable. Esto implica que cualquier desplazamiento pequeño
a partir de P debe llevarla a un lugar donde actúe un campo que empuje hacia P. Pero lo
anterior significa que una pequeña esfera alrededor de P debe estar dirigido hacia el interior
en todos los puntos de la superficie. Lo anterior contradice la Ley de Gauss, ya que no hay
carga negativa dentro de la región.
En otras palabras, no se puede tener una región vac´ıa donde el campo eléctrico esté dirigido
todo hacia el interior o todo hacia el exterior y esto es es necesario para un equilibro estable
considerando ambos signos de la carga.
Para expresar lo anterior en función del potencial una posición estable debe ser tal que
ϕ sea menor que el de todos los puntos próximos (si la carga es positiva) o mayor (si es
negativa).
Evidentemente ninguno de los dos es posible para una función cuyo valor medio sobre la
esfera es igual al valor en el centro. Es posible atrapar y mantener estable una carga con un
campo eléctrico tiempo dependiente.
2.11. Rotacional de una función vectorial.
Desarrollamos el concepto de divergencia, una propiedad local de un campo vectorial,
partiendo de la integral de superficie sobre una superficie cerrada. En el mismo esp´ıritu
consideremos la integral de l´ınea de un cierto campo vectorial F(x, y, z) sobre un camino
cerrado C el cual es el contorno de una superficie S (La curva podr´ıa no estar contenida en
el plano). Definimos la circulación como
Γ =
C
F · ds. (2.41)
ds
F
C
C1 C2
B
Dividamos el circuito en dos, claramente la circulación inicial es la misma que la suma de
las circulaciones a través de ambos circuitos, debido a que el tramo B se cancela entre ambos
circuitos.
Γ =
C
F · ds =
C1
F · ds +
C2
F · ds ,

2.12. TEOREMA DE STOKES. 51
Si consideramos una partición en N circuitos Ci cada uno con circulación Γi y área
delimitada ai y normal ˆni podemos escribir
Γ =
N
i=1
Γi =
C
F · ds =
N
i=1 Ci
F · ds .
Definamos una cantidad cuyo l´ımite exista y sea independiente de la partición
l´ım
ai→0
Γi
ai
= l´ım
ai→0
Ci
F · ds
ai
n
ai
i
Asociamos a cada superficie ai su vector normal ˆni mediante la regla de la mano derecha
para su sentido. De esta manera nuestro l´ımite lo interpretamos como una magnitud vectorial,
que llamaremos rotor de F, en la dirección de ˆni.
(rot F) · ˆni = l´ım
ai→0
Γi
ai
= l´ım
ai→0
Ci
F · ds
ai
(2.42)
2.12. Teorema de Stokes.
Consideremos una partición de un circuito C en N circuitos Ci con circulación Γi, área ai
y normal ˆni. Escribamos la circulación total sobre C como una suma de las circulaciones Γi
Γ =
C
F · ds = l´ım
N→∞
N
i=1
Γi
= l´ım
N→∞,ai→0
N
i=1
ai
Γ
ai
= l´ım
N→∞,ai→0
N
i=1
ai rot F · ˆni =
S
da · rot F .
As´ı podemos resumir el anterior resultado en lo que se conoce como el Teorema de Stokes.
C
F · ds =
S
rot F · da (2.43)

2.13. Rotacional en coordenadas cartesianas.
Sea F = F(x, y, z) entonces
rot F = ˆx
∂Fz
∂y
−
∂Fy
∂z
+ ˆy
∂Fx
∂z
−
∂Fz
∂x
+ ˆz
∂Fy
∂x
−
∂Fx
∂y
. (2.44)
También lo podemos escribir en coordenadas cartesianas como el determinante siguiente
rot F =
ˆx ˆy ˆz
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
Fx Fy Fz
(2.45)
Si consideramos al operador nabla como
= ˆx
∂
∂x
+ ˆy
∂
∂y
+ ˆz
∂
∂z
,
podemos escribir el rot F en coordenadas cartesianas como
rot F = × F (2.46)
2.14. Significado f´ısico del rotacional.
Un campo con rotacional distinta de cero tiene circulación o turbulencia.
Supongamos un campo de velocidades G y tal que rot G = 0. Entonces las velocidades en
este campo tiene superpuestas
<
· o <
· superpuesto a la circulación general en una dirección.
Por ejemplo: el campo de velocidades del agua al vaciar una bañera adquiere circulación, de
hecho lo que flota gira mientras avanza.
Un “Rotacionalimetro” imaginario para el campo eléctrico.

2.14. SIGNIFICADO FÍSICO DEL ROTACIONAL. 53
q
q
q
q
Como funcionar´ıa este dispositivo:
Si rot E = 0 el aparato tender´ıa a girar, un resorte podr´ıa usarse para frenar la rotación
y as´ı el valor de la torsión será proporcional al rot E.
Si podemos hallar la dirección del eje para la cual el torque (en sentido horario) es
máximo, ésta es la dirección del vector rot E.
¿Qué podemos decir para el campo electrostático E? El “rotacionalimetro” siempre mar-
car´ıa cero. Esto se deduce a partir que E · ds = 0, si el camino es cerrado y por el Teorema
de Stokes
rot E = 0 (2.47)
en todos los puntos. Esta condición es suficiente para que el campo sea “conservativo”, es
decir, para que pueda escribirse como gradiente de una función escalar (el potencial).
2.14.1. Ejemplo.
Recordemos el campo
E = Kyˆx + Kxˆy . (2.48)

Calculemos las componentes del rotor de E
(rot E)x =
∂Ez
∂y
−
∂Ey
∂z
= 0
(rot E)y =
∂Ex
∂z
−
∂Ez
∂x
= 0
(rot E)z =
∂Ey
∂x
−
∂Ex
∂y
= K − K = 0 .
Esto nos dice que este campo (2.43) es el gradiente de un potencial escalar. Este campo
casualmente tiene también divergencia nula
div E =
∂Ex
∂x
+
∂Ey
∂y
+
∂Ez
∂z
= 0 .
Por lo tanto, representa un campo electrostático en una región libre de carga. Si definimos
un campo
F = Kyˆx − Kxˆy
luego
(rot F)z = −2K
no podr´ıa ser un campo electrostático.

Cap´ıtulo 3
Campo eléctrico en conductores.
Conductores y aisladores.
Conductores en el campo electrostático.
Problema electrostático general: Teorema de unicidad.
Algunos sistemas simples de conductores.
Condensadores y capacidad.
Potenciales y cargas en varios condensadores.
Energ´ıa almacenada en un condensador.
Otros puntos de vista de los problemas de contorno.
3.1. Conductores y aisladores.
Dos tipos de materiales: Conductores y aisladores.
Los conductores: son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con bastante
libertad. Los buenos conductores son t´ıpicamente metales.
Los aisladores: son materiales en que las cargas se mueven con mucha dificultad. El vidrio,
el caucho y los plásticos son buenos aisladores.
Los conductores difieren de los aisladores en su conductividad del orden de 1020
.
Diferencia entre un conductor y un aislador es tan grande como entre un sólido y un
l´ıquido. Ambas propiedades dependen de la movilidad de las part´ıculas. En un caso los
portadores de carga y en otro caso los átomos mismos. Sustancias con fluidez entre el l´ıquido
y el sólido, (en electricidad son los semiconductores).
Los semiconductores: son una tercera clase de materiales. Sus propiedades eléctricas se
encuentran entre las de los aisladores y las de los conductores. El Silicio y el Germanio son
ejemplos bien conocidos de semiconductores utilizados comúnmente en electrónica actual.
Las propiedades eléctricas de los semiconductores pueden cambiarse en varios ordenes de
magnitud añadiendo a los materiales pequeñas cantidades de otros elementos (dopaje).
55

56 CAPÍTULO 3. CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES.
3.2. Conductores en el campo electrostático.
Estudiemos sistemas en que intervienen conductores. Nos interesa el estado estacionario,
es decir, cuando ya se han producido todas las redistribuciones de carga en el conductor.
Todos los aisladores presentes los supondremos perfectos.
Cuando la carga se ha reacomodado: ¿Qué podemos decir sobre el campo eléctrico dentro
de la materia conductora?.
El campo es NULO, de no ser as´ı los portadores de carga sentir´ıan una fuerza y se
mover´ıan, luego, la situación no ser´ıa estacionaria. (en ausencia de f externas)
Nos estamos refiriendo al campo medio promediado en una región grande comparada con
los detalles de la estructura atómica.
El potencial es el mismo en todo el conductor. La superficie del conductor es una equipo-
tencial del campo.
E=0
No conductor
neutro
Portadores de
carga moviles
Conductor con
reordenamiento
de carga
Consideremos un sistema de conductores cargados.
ϕ1
ϕ3
ϕ2Q1
Q2
Q3
El conductor k-ésimo tiene una carga Qk.
El conductor k-ésimo puede caracterizarse por un valor de ϕk.
Elegimos ϕ = 0 en infinito.
Debido a que la superficie de los conductores debe ser equipotenciales y E = − ϕ, el
campo eléctrico debe ser perpendicular a las superficies en todos los puntos de la misma.
Existe una discontinuidad del campo en la superficie:

3.3. PROBLEMA ELECTROST ÁTICO GENERAL: TEOREMA DE UNICIDAD. 57
E = 0 adentro
E = 0 afuera
=⇒
Densidad de carga
en la superficie σ
Aplicamos la Ley de Gauss

¡ ¡ ¡ ¡ ¡
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¡ ¡ ¡ ¡ ¡
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¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡
A
Conductor
Caja
E · da = 4πσA
EnA + 0A = 4πσA
En = 4πσ
la componente normal del campo. La carga superficial debe dar cuenta de las carga total Qk,
es decir, la integral de σ sobre toda la superficie debe dar cuenta de Qk
En general para un sistema de conductores
ϕ = ϕk en todos los puntos de la superficie del conductor k-ésimo.
En todo punto exterior junto al conductor, E es perpendicular a la superficie, el módulo
es E = 4πσ donde σ es la densidad local de carga superficial
Qk =
Sk
σda =
1
4π Sk
E · da (3.1)
No hay que pensar σ como la fuente de E. El campo total es debido a todas las cargas
del sistema, próximas y lejanas, de las cuales la carga superficial es sólo una parte. La carga
superficial está obligada a un reajuste propio hasta que cumpla E = 4πσ
3.3. Problema electrostático general: Teorema de uni-
cidad.
Podemos plantear el problema desde el punto de vista del potencial ϕ, pues si hallamos ϕ
podemos deducir E. En cualquier punto (x, y, z), exterior a los conductores, ϕ debe satisfacer
la ecuación de Laplace
2
ϕ = 0 ,
∂2
ϕ
∂x2
+
∂2
ϕ
∂y2
+
∂2
ϕ
∂z2
= 0 (3.2)

El problema es hallar un ϕ que satisfaga (3.2) y también las condiciones especificadas en
las superficie de los conductores. Las condiciones pueden ser establecidas de diferentes formas
Los potenciales ϕk son fijados.
Pueden fijarse las cargas Qk.
En un sistema real los potenciales pueden fijarse mediante conexiones permanentes a
bater´ıas a ϕ cte. Entonces ϕ(x, y, z) debe tomar el valor correcto en todos los puntos de cada
una de las superficies.
3.3.1. Condiciones de borde.
Estas superficies en su totalidad limitan la región en la cual está definida ϕ, si incluimos
una superficie grande (en el infinito, por ejemplo) donde se exige que ϕ tienda a cero. Tenemos
un caso de condiciones de borde tipo Dirichlet, (Dirichlet boundary condition).
Por otra parte podemos especificar las Qk (no además los ϕk esto sobre-determinar´ıa el
problema), con las cargas dadas tenemos fijado el valor de grad ϕ sobre la superficie de cada
conductor. Tenemos un caso de condiciones de borde tipo Neumann, (Neumann boundary
condition).
Los dos casos son distintos desde el punto de vista matemático. Además, podemos com-
binar los dos tipos de condiciones del contorno. Condiciones de borde mixta.
Un problema general de interés es éste: con las condiciones de contorno dadas de alguna
manera, el problema: tiene o no solución, tiene una solución o tiene más de una solución.
3.3.2. Unicidad.
No se intenta responder la pregunta de todas las formas que puede presentarse, pero un
caso importante puede ser ilustrativo.
Supongamos que se ha fijado el potencial ϕk de cada conductor, junto con la condición
de que ϕ tienda a cero a distancia infinita.
Demostremos que tiene solución única.
Como problema f´ısico es evidente que tiene una solución. Desde el punto de vista
matemático supondremos que existe una solución ϕ(x, y, z) y demostraremos que es
única.
Supongamos que existe otra función ψ(x, y, z) que es también solución de la ecuación
de Laplace y satisface las condiciones de contorno.
La ecuación de Laplace es lineal, es decir, si ϕ y ψ la satisfacen c1ϕ + c2ψ también lo
es. En particular
W(x, y, z) = ϕ(x, y, z) − ψ(x, y, z) .

3.4. ALGUNOS SISTEMAS SIMPLES DE CONDUCTORES. 59
Por supuesto W no satisface las condiciones de contorno, de hecho en cada superficie
W = 0 porque ϕ y ψ tienen el mismo valor ϕk sobre cada Sk. As´ı que W es solución de
otro problema electrostático, uno con los mismos conductores mantenidos a potencial
cero.
Podemos afirmar que W es nula en todo el espacio pues si no lo fuera debe existir un
máximo o un m´ınimo en alguna parte recordemos que W = 0 en infinito.
Si W tiene un extremo en cierto punto p, consideremos una esfera centrada en p. Como
ya vimos en el cap´ıtulo anterior una función que satisface la ecuación de Laplace su
valor medio es igual a su valor en el centro.
W no tiene máximos ni m´ınimos, entonces ϕ = ψ, es decir, solamente puede existir una
solución que satisfaga las condiciones de borde prescritas.
Ahora podemos demostrar otro hecho notable. En el espacio interior a un conductor hueco
de cualquier forma, si asimismo este espacio está libre de cargas, el campo eléctrico es nulo.
Esto es cierto cualquiera sea el campo exterior.
E=0
El potencial ϕ dentro de la caja debe satisfacer Laplace el contorno está a ϕ = ϕ0, luego la
solución es ϕ = ϕ0 en todo el volumen. E = − ϕ = 0 en todo el volumen, ya que ϕ = cte.
Apantallamiento, parece sorprendente el reacomodo “inteligente” de carga, tal de anular E
en el interior.
3.4. Algunos sistemas simples de conductores.
3.4.1. Esferas conductoras.
Dos esferas metálicas concéntricas de radios R1 y R2 que contienen cargas totales Q1 y
Q2.

R1
Q2Q1
R2
El potencial en la esfera exterior es ϕe =
Q1 + Q2
R1
. El potencial en la esfera interior es
ϕi =
Q1
R1
+
Q2
R2
.
Si las dos esferas contienen la misma cantidad de carga pero de signos contrarios Q1 =
−Q2, el campo eléctrico es distinto de cero solamente en el espacio entre ellas.
3.4.2. Carga cerca de un plano conductor.
El sistema, más simple, en el cual queda en evidencia la movilidad de las cargas en un
conductor, es la una carga puntual próxima a un conductor plano.
Q
h
x
y
z
ϕ=0
¿Qué tipo de campo y qué distribución de carga debemos esperar?

3.4. ALGUNOS SISTEMAS SIMPLES DE CONDUCTORES. 61

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡
Q
Conductor
3.4.3. Método de imagen.
Consideremos un sistema de dos cargas puntuales equidistantes del plano x − y. Sobre el
plano el potencial es cero. Calculemos el campo
ϕ=0 el plano
z
h
r
A A
−Q
Q
h
Carga imagen
θ
Evaluemos el campo sobre el plano sumando la contribución de la carga y de la carga
imagen:
E =
Q
r2 + h2
cos θ(−ˆz) +
−Q
r2 + h2
cos θ(ˆz)
=
−2Q
r2 + h2
h
(r2 + h2)1/2
ˆz
Luego la componente z del campo
Ez =
−2Qh
(r2 + h2)3/2
(3.3)
La densidad superficial de carga σ
σ =
Ez
4π
=
−Qh
2π(r2 + h2)3/2
(3.4)

La carga superficial total qT debe valer −Q. Como comprobación podr´ıamos integrar para
toda la superficie y ver que ocurre.
qT =
2π
0
∞
0
σ rdrdφ = 2π
∞
0
−Qhr
2π(r2 + h2)3/2
dr
=
∞
0
−Qhr dr
(r2 + h2)3/2
= −Qh
−1
(r2 + h2)1/2
∞
0
= −Qh
−1
∞
−
−1
h
= −Q
El método de imagen podr´ıa llamarse “ajuste del contorno de la solución”.
3.5. Condensadores y capacidad.
Consideremos un sistema de dos placas planas conductoras cargadas separadas por una
distancia s
ϕ1
ϕ2
Aárea
Carga Q
Carga −Q
s
Sea A el área de cada placa y supongamos que una placa contiene la carga Q y la otra
−Q. Los potenciales en cada una de las placas son ϕ1 y ϕ2. Excepto en los bordes el campo
es casi uniforme en la región entre las placas.
Líneas de fuerza
Si consideramos uniforme el valor del campo tenemos
ϕ1 − ϕ2 = −
1
2
E · ds = E
1
2
ds = Es .
Podemos escribir el campo como
E =
ϕ1 − ϕ2
s
(3.5)

3.5. CONDENSADORES Y CAPACIDAD. 63
La densidad de carga superficial de la superficie interior de las placas es
σ =
E
4π
=
ϕ1 − ϕ2
4πs
(3.6)
Si despreciamos la variación real de E y de σ en los bordes de al placa, podemos escribir
una expresión simple para la carga total en la placa
Q =
A(ϕ1 − ϕ2)
4πs
(3.7)
despreciando efectos de borde
La ecuación (3.7) será más precisa cuanto menor sea la relación entre s y las dimensiones
laterales de la placa.
ϕ1
ϕ2
R
s
Consideremos una expresión que incluye un factor de corrección f.
Q =
A(ϕ1 − ϕ2)
4πs
· f (3.8)
Veamos para diferentes razones entre s/R cuanto vale f
s/R f
0.20 1.286
0.10 1.167
0.05 1.094
0.02 1.042
0.01 1.023
Nuestro sistema es un ejemplo del sistema eléctrico conocido como condensador. Un con-
densador es simplemente dos conductores próximos a diferentes potenciales y que contiene
cargas distintas.
3.5.1. Capacidad.
Nos interesa la relación entre la carga Q de una de las placas y la diferencia de potencial
entre ellas. Definimos capacidad C como la razón entre la carga y la diferencia de potencial
Q = C(ϕ1 − ϕ2) −→ C =
Q
(ϕ1 − ϕ2)
(3.9)

para nuestro particular sistema, ecuación (3.7)
C =
A
4πs
[cm2
]
[cm]
(3.10)
Depende sólo de aspectos geométricos del sistema. La unidad de capacitancia en CGS es
el [cm]. Cuando uno se enfrenta a circuitos no usa estas unidades sino las del sistema práctico.
Usando unidades MKS tenemos para la capacidad,
C =
Q
∆ϕ
[coulomb]
[volts]
= [farad] (3.11)
1[farad] =
[coulomb]
[volts]
=
3 × 109
1/300
[ues]
[statvolt]
= 9 × 1011 [ues]
[statvolt]
1[farad] = 9 × 1011
[cm]
Un condensador de 1 [farad] ser´ıa gigantesco: dos placas separadas 1 [mm] deber´ıan tener
una área de 100 [km2
]. Lo usual es [µF].
Todo par de conductores, prescindiendo de la forma y disposición, pueden considerarse
un condensador.
ϕ1
Q2
(i)
Q1
Q2
(e)
ϕ2 S
Luego Q
(i)
2 = −Q1, ya que el flujo es nulo sobre al superficie S. El campo es nulo en el
interior de un conductor. Es decir, Q
(e)
2 no interviene.
C =
Q
ϕ1 − ϕ2
3.6. Potenciales y cargas en varios condensadores.
Estudiemos la relación entre las cargas y los potenciales de un cierto número de conduc-
tores. Para fijar ideas consideremos 3 conductores separados rodeados todos por una capa
conductora.

3.6. POTENCIALES Y CARGAS EN VARIOS CONDENSADORES. 65
ϕ=0
2ϕ
1ϕ
3ϕ
Los potenciales en los tres conductores son ϕ1, ϕ2 y ϕ3. El teorema de unicidad garantiza
que dados ϕ1, ϕ2 y ϕ3 el campo eléctrico está determinado en todo el sistema Se deduce que
las cargas Q1, Q2 y Q3 en los conductores están asimismo determinados un´ıvocamente. La
carga en la superficie interna de la capa que rodea es −(Q1 + Q2 + Q3).
ϕ=0
2ϕ
1ϕ
3ϕ
Q1 Q2 Q3+ +( )_
Los potenciales ϕ2 = ϕ3 = 0
ϕ=0
1ϕ
2ϕ =0
3ϕ =0
Los valores para las cargas
Q1 = C11ϕ1 , Q2 = C21ϕ1 , Q3 = C31ϕ1 . (3.12)
Las constantes sólo dependen de la forma y disposición de los conductores.
ϕ=0
3ϕ =0
1ϕ =0
2ϕ

Q1 = C12ϕ2 , Q2 = C22ϕ2 , Q3 = C32ϕ2 . (3.13)
ϕ=0
1ϕ =0
3ϕ
2ϕ =0
Q1 = C13ϕ3 , Q2 = C23ϕ3 , Q3 = C33ϕ3 . (3.14)
La superposición de los tres estados posibles donde ni ϕ1, ni ϕ2 ni ϕ3 son necesariamente
nulos.
La expresión que relaciona las cargas y los potenciales se obtiene sumando las ecuaciones
(3.12), (3.13) y (3.14) tenemos
Q1 = C11ϕ1 + C12ϕ2 + C13ϕ3
Q2 = C21ϕ1 + C22ϕ2 + C23ϕ3 (3.15)
Q3 = C31ϕ1 + C32ϕ2 + C33ϕ3
Sólo se necesitan seis de las nueve constantes ya que C12 = C21, C13 = C31 y C23 = C32.
Esto NO es evidente y puede probarse por conservación de energ´ıa. Las constantes Cij de la
ecuación (3.15) se les conoce como coeficientes de capacidad.
Puede resolverse el sistema para hallar los ϕi en función de las Qj.
ϕ1 = P11Q1 + P12Q2 + P13Q3
ϕ2 = P21Q1 + P22Q2 + P23Q3 (3.16)
ϕ3 = P31Q1 + P32Q2 + P33Q3
Los Pij se le conocen como coeficientes de potencial y pueden calcularse a partir de los Cij.
También se puede escribir la ecuación en forma matricial


ϕ1
ϕ2
ϕ3

 =


P11 P12 P13
P21 P22 P23
P31 P32 P33




Q1
Q2
Q3


Donde ˇP es un tensor simétrico.

3.7. ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR. 67
3.7. Energ´ıa almacenada en un condensador.
Consideremos un condensador de capacidad C con una diferencia de potencial ϕ12 entre
las placas. La carga Q es igual a Cϕ12. Hay carga Q en una placa y −Q en la otra.
Supongamos que aumentamos la carga de Q a Q + dQ transportando una carga positiva
dQ de la placa negativa a la positiva contra la diferencia de potencial ϕ12.
dW = ϕ12dQ =
QdQ
C
.
Para cargar un condensador partiendo del estado descargado a un estado con carga Qf
W =
1
C
Q=Qf
Q=0
Q dQ =
Q2
f
2C
. (3.17)
Usando que Q = Cϕ la energ´ıa U almacenada en el condensador es
U =
Q2
2C
=
1
2
Cϕ2
12 (3.18)
Para el condensador de placas planas con área A y separación entre las placas s tenemos que
C =
A
4πs
, E =
ϕ12
s
.
Luego
U =
1
2
Cϕ2
12 =
1
2
A
4πs
(Es)2
=
E2
8π
As =
E2
8π
volumen
3.8. Otros puntos de vista de los problemas de con-
torno.
Existen algunos métodos generales para tratar los problemas de contorno. Nosotros con-
sideraremos tres métodos distintos para atacar este problema:
Representación conforme. Método anal´ıtico en dos dimensiones.
Métodos de relajación. Un tipo de método numérico.
Método de m´ınima energ´ıa. Un método variacional.
Estos no son los únicos métodos de solución, tanto anal´ıticos como numéricos, por ejemplo:
expansión en funciones ortogonales y diferencia finita respectivamente.

3.8.1. Mapeo conforme.
Este método esta basado en la teor´ıa de funciones complejas. Lamentablemente sólo es
aplicable a dos dimensiones, es decir, ϕ(x, y) en ese caso la ecuación de Laplace se reduce a
∂2
ϕ
∂x2
+
∂2
ϕ
∂y2
= 0 . (3.19)
Hay sistemas que pueden ser reducido a dos dimensiones, por ejemplo, los sistemas cil´ındricos
en los cuales no hay variación en el eje z o sistemas rectangulares como planos infinitos a
diferente potencial. Tanto la parte real como la parte imaginaria de cualquier función anal´ıtica
en el plano complejo son armónicas. Una aplicación f es conforme si mantiene los ángulos
orientados. Es decir, si dos curvas C1, C2 formaban un ángulo φ1 en el punto z entonces
sus respectivas imágenes bajo f, digamos C1 y C2 forman el mismo ángulo en z . La idea es
encontrar una aplicación conforme que me permita transformar las condiciones de borde a
unas más fáciles para resolver el problema.
3.8.2. Método de relajación.
Es un tipo de método numérico para encontrar en forma aproximada el potencial elec-
trostático con ciertos valores de contorno dados. El método es simple y casi universalmente
aplicable y está basado en el hecho de que todas las funciones armónicas en un punto son
iguales al valor medio en las proximidades del punto. En este método se discretiza el espacio
ϕ(xi) y todos los valores (salvo el contorno) se ajustan tal que cumplan con el promedio de
los valores vecinos. Repetimos este proceso hasta que los cambios sean despreciables (o tan
pequeños como se quiera teniendo en cuenta la precisión numérica).
3.8.3. Método de m´ınima energ´ıa.
Si consideramos la energ´ıa del sistema como un funcional del potencial:
U =
1
8π
ϕ
2
dv (3.20)
Enunciado como principio variacional: el funcional de la energ´ıa será m´ınimo cuando ϕ sea
la solución al problema f´ısico. Entre más se aproximan la función de prueba a la solución del
problema menor será U. Luego podemos elegir una familia paramétrica de funciones de prueba
y variar los parámetros hasta encontrar el m´ınimo. Si la familia de prueba elegida incluye
entre sus miembros la solución del problema f´ısico, cuando minimicemos la encontraremos.
3.8.4. Ejemplo de mapeo conforme.
Consideremos el siguiente problema en el plano con las condiciones de contorno especifi-
cadas.

3.8. OTROS PUNTOS DE VISTA DE LOS PROBLEMAS DE CONTORNO. 69
Voϕ= ϕ=0
Aislador
x
y
Escribimos un punto x, y en el plano por un complejo z = x + iy o bien en su forma polar
z = reiθ
. Usamos el mapeo conforme
w = u + iv = Log z = Log reiθ
= Log r + iθ .
Entonces el problema se mapea en
ϕ=0
Voϕ=
Voϕ= ϕ=0
Aislador
x
y
w= Log z
z w
u
v
π
La primera semi-recta θ = 0 −→ v = 0. La segunda semi-recta θ = π −→ v = π.
La solución en el plano w es ϕ(u, v) =
Vo
π
v =
Vo
π
θ, con 0 ≤ θ ≤ π. En términos de las
coordenadas cartesianas
ϕ(x, y) =
Vo
π
arctan
y
x
.
3.8.5. Relajación
Consideremos el siguiente problema
ϕ=0 ϕ=10
x=10x=0
Con solución
ϕ(x) = x .
La solución numérica, en la primera columna el número de iteraciones y en las siguientes los
valores del potencial ϕ(x) para x = 0, 1, 2, 3, . . . , 9, 10.

0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 5.00 10.00 10.00 10.00 10.00 10.00
10 0.00 0.81 1.61 2.69 3.76 5.00 6.24 7.31 8.39 9.19 10.00
20 0.00 0.98 1.95 2.96 3.97 5.00 6.03 7.04 8.05 9.02 10.00
30 0.00 0.99 1.99 2.99 4.00 5.00 6.00 7.00 8.01 9.00 10.00
40 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
"phi-00.txt"
x
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
"phi-10.txt"
x
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
"phi-20.txt"
x
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
"phi-30.txt"
x
3.8.6. Variacional.
Consideremos el siguiente problema
Voϕ=0
x=0 x=d
ϕ=
Con soluci´on
ϕ(x) = Vo
x
d
.
Consideremos la siguiente familia de funciones de prueba
ψ(x) = Vo
x2
d2
+ αx(x − d) .

3.8. OTROS PUNTOS DE VISTA DE LOS PROBLEMAS DE CONTORNO. 71
Donde α es un parámetro. Las condiciones de borde son satisfechas ψ(0) = 0 y ψ(d) = Vo.
ψ(x) = Vo
x2
d2
+ αx2
− αdx
ψ =
∂ψ
∂x
ˆx = 2Vo
x
d2
+ 2αx − αd ˆx
ψ
2
= 4
Vo
d2
+ α
2
x2
− 4
Vo
d2
+ α αdx + α2
d2
Luego en la funcional
U =
1
8π
ψ
2
dv
U =
1
8π
d
0
4
Vo
d2
+ α
2
x2
− 4
Vo
d2
+ α αdx + α2
d2
dx
=
1
8π
4
3
Vo
d2
+ α
2
d3
− 2
Vo
d2
+ α αd3
+ α2
d3
=
1
8π
4
3
V 2
o
d
+
2
3
Vodα +
1
3
d3
α2
Derivamos el funcional respecto al parámetro α e igualamos a cero.
∂U
∂α
=
1
8π
2
3
Vod +
2
3
d3
α = 0
Al resolver para α.
Vod + d3
α = 0 =⇒ α = −
Vo
d2
.
Al reemplazar en la solución
ψ(x) = Vo
x2
d2
+ αx(x − d)
= Vo
x2
d2
− Vo
x2
d2
+ Vo
xd
d2
= Vo
x
d
= ϕ(x) .

Cap´ıtulo 4
Corriente eléctricas.
Lo que veremos en este cap´ıtulo será:
Transporte de carga y densidad de corriente.
Corrientes estacionarias.
Conductividad eléctrica y ley de Ohm.
Un modelo para la conducción eléctrica.
Dónde falla la ley de Ohm.
Conductividad eléctrica de los metales.
Resistencia de los conductores.
Circuitos y elementos de circuitos.
Disipación de energ´ıa en la circulación de corriente.
Fuerza electromotriz y pilas voltaicas.
Corriente variables en condensadores y resistencia.
4.1. Transporte de carga y densidad de corriente.
Las corrientes eléctricas se deben al movimiento de los portadores de carga. La corriente
eléctrica en un hilo es la medida de la cantidad de carga que pasa por un punto del hilo por
unidad de tiempo. La unidad de corriente eléctrica en sistema CGS es [ues/s]. La unidad
de corriente eléctrica en sistema MKS es [Ampère]=[Coulomb/s]. La conversión entre ambas
unidades es:
1 [A] = 3 × 109 ues
s
= 6.2 × 1018 e−
s
.
Por supuesto que lo que cuenta es el transporte de carga neta, es decir, con la debida
consideración de signo. El movimiento de un cuerpo neutro podr´ıa decirse que supone el
73

74 CAPÍTULO 4. CORRIENTE ELÉCTRICAS.
transporte de gran cantidad de carga (∼ 105
Coulomb por gr. de materia), pero no hay
corriente debido a que se mueve exactamente el mismo número de part´ıculas elementales
positivas y negativas con la misma velocidad media.
4.1.1. Densidad de corriente.
Un tipo de corriente más general, o transporte de carga, supone portadores de carga que se
mueven en un volumen tridimensional. Para describirlo necesitamos el concepto de densidad
de corriente.
Consideremos un caso particular en el cual, en promedio hay η part´ıculas por cm3
mo-
viéndose con el mismo vector velocidad u y transportando la misma carga q.
Imaginemonos un pequeño rectángulo de área a, fijo con cierta orientación.
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q u
q
u
q
u
q a
¿Cuantas part´ıculas atraviesan el rectángulo en un intervalo ∆t?.
u
q
u
q
u
q
u
q
u
q
a
u
q
u
q
u
q
∆u
t
∆u t cos θ
θ
Las part´ıculas fuera del prisma no alcanzan la ventana.
¿Cuántas part´ıculas hay en el prisma?
N =
Densidad de
part´ıculas
×
volumen
del prisma
N = ηu∆t cos θa = η∆tu · a

4.2. CORRIENTES ESTACIONARIAS Y CONSERVACI ÓN DE LA CARGA. 75
Calculemos la corriente I(a) a través de a,
I(a) =
qN
∆t
=
qηu · a∆t
∆t
= ηqu · a . (4.1)
Supongamos que tenemos distintas part´ıculas en el conjunto que difieren en la carga y en
el vector velocidad. Denotemos cada clase por el sub´ındice k, teniendo
I(a) = η1q1a · u1 + η2q2a · u2 + . . . = a ·
k
ηkqkuk . (4.2)
La magnitud vectorial que multiplica a a la llamamos la densidad de corriente.
J =
k
ηkqkuk (4.3)
En sistema CGS la unidad para la densidad de corriente es [ues/s cm2
] y en el sistema
MKS la unidad es [A/m2
].
Consideremos la contribución a la densidad de corriente de los e−
, los cuales pueden
estar presentes con distintas velocidades (casi al azar en un conductor). Sea Ne el número
total de electrones por unidad de volumen, considerando todas las velocidades. Evaluemos la
velocidad media
u =
1
Ne
k
ηkuk . (4.4)
Podemos escribir el aporte de los electrones a la densidad de corriente
Je = eNe u qk = −e ∀k . (4.5)
La densidad de corriente depende de la velocidad media de los portadores. Al describir ue
un vector promedio; para una distribución isotrópica de velocidades, será nulo independiente
de cual fueran los módulos.
4.2. Corrientes estacionarias y conservación de la car-
ga.
La corriente transportada por un conductor largo como un hilo, por supuesto, es la integral
de la densidad de corriente J extendida a la sección recta del hilo. En realidad, la corriente
I que circula a través de cualquier superficie S es precisamente la integral de la superficie.
I =
S
J · da (4.6)
Donde I es el “flujo” asociado al vector J, en este caso el nombre es adecuado. Consi-
deremos el caso de corrientes estacionarias, es decir, cuando J permanece constante con el
tiempo en todo punto. Se debe satisfacer la conservación de la carga.
Consideremos una región del espacio limitada por una superficie cerrada S. La integral de
superficie de J extendida sobre S da la velocidad con que la carga sale del volumen encerrado.

u u
n1 n2
u n1
Neq . u n2
Neq .
q q
S
Las cargas que atraviesan no contribuyen a la J · da. Ya que u · ˆn1 = −u · ˆn2. Como no
se puede crear carga
No se puede dar
4.2.1. Divergencia de J.
Por lo tanto
S
J · da = 0 =⇒ div J = 0 , (4.7)
si las distribuciones de carga son independientes del tiempo.
Supongamos que la corriente NO es estacionaria ya que s
J·da es la velocidad instantánea
con que la carga total abandona el volumen cerrado, mientras que V (S)
ρdv es la carga en el
interior del volumen, en un instante cualquiera tenemos
S
J · da = −
d
dt V (S)
ρ dv . (4.8)
Usando el teorema de la divergencia
div J = −
∂ρ
∂t
,
En el caso que las distribución de carga dependa del tiempo.
4.2.2. Ecuación de continuidad.
La relación anterior la podemos reescribir
· J +
∂ρ
∂t
= 0 (4.9)
Esta ecuación es conocida como la ecuación de continuidad y expresa la conservación de
la carga.

4.3. CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA Y LEY DE OHM. 77
4.3. Conductividad eléctrica y ley de Ohm.
Existen varias maneras de producir el movimiento de las cargas:
En un generador electrostático Van der Graaff se da una carga superficial a una correa
aislada que la conduce a otro electrodo por transporte (como una escalera mecánica).
En la atmósfera pequeñas gotas de agua cargadas que caen a causa de su peso, consti-
tuyen un componente del sistema de corriente de la Tierra.
Sin embargo, el agente más común del transporte de carga es la fuerza ejercida por un
campo eléctrico sobre un portador de carga.
Un campo eléctrico tiende a mover los portadores de carga y as´ı tiende a producir una
corriente eléctrica. El que esto ocurra o no, depende de la naturaleza f´ısica del sistema en el
cual actúa el campo, es decir, el medio.
Uno de los primeros descubrimientos experimentales acerca de las corrientes eléctricas en
la materia se resume en la Ley de Ohm:
I =
V
R
(4.10)
Donde I es la corriente que circula por un hilo.
V = ϕ12 es la diferencia de potencial entre sus extremos.
R La resistencia.
Para un trozo de hilo mantenido a la misma temperatura, la resistencia R, no depende
de la corriente que circula.
La resistencia depende de la geometr´ıa, siendo directamente proporcional a la longitud L
e inversamente proporcional al área de la sección recta A.
R = ρ
L
A
, (4.11)
donde ρ la resistividad de la substancia, depende del material. La resistencia R se mide en
Ohm [Ω](con Ampere y Volt). La resistividad se da en [Ω cm].
El hecho fundamental que refleja las ecuaciones (4.11) es esté: En los materiales sólidos
homogéneos la densidad de corriente en un punto es proporcional al campo eléctrico y la
constante de proporcionalidad depende sólo de la substancia (y no de la forma del conductor
por ejemplo.)
J = σE , (4.12)
donde σ es una constante caracter´ıstica de la substancia. La conductividad σ podr´ıa, y de
hecho en algunos casos lo es, ser un tensor.
En el interior de la mayor´ıa de los conductores son equivalente f´ısicamente tres direcciones
perpendiculares. Por ejemplo, el cobre (fcc) sin embargo, es policristalino la cual hace todas
las direcciones equivalentes a gran escala.
Al no existir una dirección privilegiada J tiene la misma que E y la constante es escalar.

V1
V2
EJ
Densidad de
corriente
L
Corriente I
área A
resistividad ρIntensidad del
campo eléctrico
J = σE
I
A
= σ
V
L
I =
σA
L
V , Ley de Ohm
R =
1
σ
L
A
=⇒
1
σ
= ρ
El cobre puro a temperatura ambiente tiene una resistividad ρ = 1.7 × 10−6
[Ω cm] y una
conductividad σ = 5.8 × 10−5
[Ω cm]−1
.
En CGS no existe nombre especial para la unidad de conductividad o resistividad.
Resistividad =
Intensidad de campo
Densidad de corriente
=
carga
cm2
carga/s
cm2
(4.13)
La cual se reduce a segundos. Es decir, en el sistema CGS la unidad de la resistividad es
el [s] y la de la conductividad es 1/[s]. En estas unidades el cobre tiene una resistividad de
ρ = 10−18
[s] y la del vidrio es ρ = 103
[s].
4.3.1. Un modelo para la conducción eléctrica
Intentaremos describir el proceso de conducción eléctrica mediante un sistema modelo.
Será razonablemente para un gran número de conductores, pero no en todos.
Necesitamos portadores de carga, imaginemos un medio que consista en portadores de
carga positivos y negativos en igual número, N de cada clase por cent´ımetro cúbico.
Los portadores positivos son iones de masa M+ y conducen carga +e.
Los portadores negativos son iones de masa M− y conducen carga −e.
La densidad de corriente J está determinada por la velocidad media de los portadores.
Se aplica un campo eléctrico E, constante con el tiempo, que ejerce una fuerza, sobre
cada uno de los portadores de carga qE (Como si la carga estuviera en reposo).

4.3. CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA Y LEY DE OHM. 79
Una fuerza constante sobre un portador de carga libre debe producir una aceleración
constante. Pero la densidad de corriente constante está asociada a una velocidad constante,
no a una aceleración constante. Si nuestro sistema obedece la Ley de Ohm debe ser debido a
que la velocidad media es proporcional a la fuerza en nuestros portadores.
Lo anterior nos advierte que los portadores de carga no pueden moverse libremente;
debe haber algo que se oponga al movimiento que produce e campo eléctrico. No hay que
esforzarse demasiado para hallar una fuente de impedimento friccional. Surge de las colisiones
que experimentan los portadores de carga al moverse por entre los demás y entre todas las
otras part´ıculas que puedan ocupar el medio.
El cómo esto tenga lugar dependerá de los detalles de nuestro modelo. Particularicemos
y consideremos un gas consistente de átomos neutros, iones positivos y iones negativos con
una densidad algo parecida a la de un gas normal, es decir, de unos 1019
[átomos/cm3
].
Supongamos que hay preponderancia de átomos neutros, con iones + y − entre ellos.
La distancia entre part´ıculas, neutras o cargadas, es mucho mayor que los radios atómicos o
iónicos de manera tal que la mayor´ıa del tiempo el ion no interviene en colisiones. En ausencia
de campo eléctrico los átomos y iones se mueven en direcciones al azar, con velocidades
determinadas por la temperatura. La relación entre la temperatura y el valor medio de la
energ´ıa cinética, nos la da la teor´ıa cinética de los gases.
En un instante determinado (t = 0) un ion se mueve con velocidad u, ¿qué ocurre después?.
El ion se moverá en l´ınea recta con velocidad constante hasta colisionar (K y p se conservan)
pero la velocidad variará u −→ u y luego de otra colisión a u y as´ı sucesivamente. En efecto
es que el ion se olvida de su velocidad u a t = 0. Digamos después de un tiempo τ esto ocurre.
Este tiempo τ es caracter´ıstico del sistema y es el lapso de tiempo que conducen a una
pérdida de correlación entre la velocidad inicial y final del sistema. Ahora podemos aplicarle
E, haremos más simple la discusión si suponemos que la perdida de memoria ocurre en una
sola colisión (por ej.esferas elásticas). Nuestra conclusión es independiente de esta suposición.
Después de una colisión el ion parte en una dirección al azar denotemosla por uc
.
Al cabo de un tiempo ∆t el efecto de campo es aportarle un ∆p = Ee∆t, el cual se suma
a pinicial = Muc
+ Ee∆t. Si el incremento es pequeño podemos esperar que la otra colisión
ocurra como si no hubiera E. En otras palabras, el valor medio del tiempo entre colisiones
t es independiente del campo E. Si esto no es muy intenso. El ∆p por efecto del campo es
siempre en la misma dirección. Pero se desorienta en cada colisión.
¿Cuál es el promedio de las cantidades de movimiento de todos los iones positivos, en un
instante dado?
M+ u+ =
1
N j
M+uc
j + eE∆tj , (4.14)
donde uc
j es la velocidad del j-ésimo ion precisamente después de su última colisión que
ocurrió hace ∆tj segundos. Como uc
j están distribuidos al azar su contribución es nula. El
valor medio de la velocidad de un ion positivo en presencia del campo estacionario E es.
u+ =
eE t+
M+
. (4.15)
Esto muestra que el valor medio de la velocidad de un portador de carga es proporcional a
la fuerza a él aplicada. Si observamos solamente la velocidad media, parece como si el medio
ofreciese una resistencia al movimiento con una fuerza proporcional a la velocidad.

Es una especie de resistencia viscosa, siempre que los portadores de carga se comporten
de este modo podemos esperar algo parecido a la ley de Ohm.
La expresión para J
J = Ne
eE t+
M+
− Ne
−eE t−
M−
Factorizando la expresión para J tenemos:
J = Ne2 t+
M+
+
t−
M−
E (4.16)
Nuestra teor´ıa predice que el sistema obedecerá a la ley de Ohm. La ecuación (4.16)
expresa una relación lineal entre J y E siendo las demás caracter´ısticas del medio.
La constante
Ne2 t+
M+
+
t−
M−
,
se presenta en el papel de la conductividad σ. En general
σ ≈ e2 N+ t+
M+
+
N− t−
M−
, (4.17)
donde τ± corresponde al tiempo de perdida de la correlación, los N± corresponden al número
de portadores de cambos signos de carga.
Todo sistema que sus portadores de carga libre sean frecuentemente desorientados por
colisiones u otra interacción con el sistema debe cumplir la ley de Ohm. Si E no es demasiado
intenso.
4.3.2. Donde falla la ley de Ohm.
Si el campo E es lo suficientemente intenso para que un ion adquiera, entre colisiones, una
velocidad adicional comparable a su velocidad térmica. Lo anterior afectar´ıa notablemente el
tiempo entre colisiones t± , estos tiempos como función de E. =⇒
−→
J ∝
−→
E 2
.
En gases a baja presión y campos muy débiles pueden presentarse discrepancias con la
ley de Ohm.
Otro efecto del campo muy intenso es producir variaciones en el número de portadores.
Los portadores adquieren suficiente energ´ıa con el campo para que sus colisiones con los
otros átomos sean lo suficientemente violentas para ionizarlos produciendo más portadores.
La avalancha resultante es un derrumbamiento de la ley de Ohm.
Si el campo se aplica por un tiempo muy corto, inferior a τ deberemos revisar nuestra
deducción. Al aplicar un campo alterno de per´ıodo muy corto comparado con la respuesta
de los portadores estará determinada en gran parte por su inercia.
Existen dispositivos no-óhmicos diodo (deja pasar la corriente en un sentido) uniones de
dos materiales semiconductores, etc. Si todos los dispositivos fueran óhmicos la tecnolog´ıa
electrónica moderna desaparecer´ıa.

4.4. CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA EN METALES. 81
4.4. Conductividad eléctrica en metales.
Los metales son los mejores conductores que se conocen. No hay duda que su elevada
conductividad se debe a los electrones libre, libres en el sentido que no están ligados a ningún
átomo en espec´ıfico. Evaluemos el tiempo entre colisiones τ− para un metal como el sodio
(Na), 2.5 × 1022
átomos por cm3
, notemos que cada átomo aporta con un electrón.
τ− =
σme−
N−e2
=
(1.9 × 1017
) × (9.0 × 10−28
)
(2.5 × 1022) × (2.3 × 10−20)
τ− ≈ 3 × 10−14
[s] (4.18)
Parece un tiempo sumamente largo para un electrón que se mueve en una red cristalina
sin sufrir desviaciones importantes. La velocidad térmica de un e−
a temperatura ambiente
es de unos 107
[cm
s
] a si que en 3 × 10−14
[s] un e−
recorre unos 30 [˚A], más de diez veces el
espaciado de la red.
¿Por qué la red e iones es tan transparente a los electrones? La explicación esta en la
naturaleza ondulatoria (cuántica) de los electrones, no deben verse como pequeñas part´ıculas
cargadas desviadas por cada ion en la red. La resistividad se debe a scattering con los defectos
cristalinos. A medida que aumenta la temperatura las vibraciones aumentan haciendo que la
conductividad decrezca con la temperatura. En la mayor´ıa de los metales se cumple la ley de
Ohm incluso para densidades de corrientes muy elevadas.
4.5. Semiconductores.
Un cristal de Silicio (Si) tiene 4 electrones de valencia y 4 átomos cerca con los que forma
cuatro enlaces covalentes. este tipo de enlace son muy r´ıgidos (C formando diamante por
ejemplo). Una estructura de Si es un aislador, no hay electrones móviles.
Supongamos que logramos sacar un electrón de uno de los enlaces y lo movemos, realmente
tenemos dos cargas: el electrón y el hueco. El electrón va a la banda de conducción que tiene
un gap de 1.12 [eV].
T=0 K
2 1023e−
por cm3
2 1015
por cm3
2 1023e−
por cm3
Banda de
conducción
Banda de
valencia
gap 1.12 [eV]
T=500 K
huecos
moviles
conducciónNinguno
[ohm cm]−1
σ=0 σ=0.3

Tenemos una probabilidad térmica de ocupación
p2
p1
= e−∆E/kBT
. Existen otros semicon-
ductores el germanio Ge con un gap de 0.7 [eV], incluso el diamante (C) pero con un gap
de 5.5 [eV]. Si se reemplaza 1 de cada 107
átomos de Si por otro de Fósforo (P) el cual
tiene como 5 electrones de valencia, con una energ´ıa de 0.044 [eV] podemos mover el electrón
sobrante. Estos semiconductores son conocidos como de tipo n (negativa la carga móvil). Si
dopamos con Al y este nos aporten sólo tres electrones. En este caso lo que tenemos es un
semiconductor tipo p.
4.6. Circuitos y elementos de circuitos.
Los dispositivos eléctricos, ordinariamente, tienen terminales bien definidos a los cuales
pueden conectarse los hilos. La carga puede circular hacia el interior o el exterior por estos
caminos. Si se conectan dos terminales, y sólo dos por medio de hilos a cualquier cosa exterior
y si la corriente es estacionaria, la velocidad será constante en todas partes, la corriente debe
ser igual y opuesta en los dos terminales. Si hubiera diferencias entre las corrientes de los dos
terminales habr´ıa un objeto que acumula carga =⇒ su potencia var´ıa rápidamente y esto no
puede durar mucho =⇒ la corriente NO es estacionaria. En el caso anterior podemos hablar
de la:
Corriente I que circula por el dispositivo.
Del voltaje V entre los terminales.
Donde V/I es la resistencia, un número en unidades de resistencia.
Si la ley de Ohm se cumple en todo lugar del objeto a través del cual circula la corriente,
este número será constante e independiente de la corriente. Este número define completa-
mente el comportamiento eléctrico del objeto para el flujo estacionario de corriente (cc)(dc
ingles) entre los terminales dados. Supongamos varias cajas conteniendo diferentes objetos:
un pedazo de cable, una ampolleta, una bobina, un vaso con solución de KCl, un par de
resistencias.
KCl
Si a cualquiera de estas cajas se la hace formar parte de un circuito eléctrico, conectando
hilos a los terminales, la relación de la diferencia de potencial entre los terminales a la
corriente que circula en el hilo resulta ser, digamos 65 [Ω] en todos los casos. Decimos que la
resistencia entre los terminales en cada caja es de 65 [Ω]. Esta afirmación no será cierta para
todos los valores de corriente y voltaje, sin embargo, existen ciertos l´ımites en que todas se
comportan linealmente, dentro de este margen, para corrientes estacionarias, todas las cajas

4.6. CIRCUITOS Y ELEMENTOS DE CIRCUITOS. 83
son equivalentes. Equivalentes en el sentido de que si un circuito contiene una de estas cajas,
el comportamiento del circuito no difiere según cuál sea la caja.
La representamos por el s´ımbolo: reemplaza a la caja en el diseño del circuito del
cual es uno de los componentes. Un circuito eléctrico o una red es una agrupación de tales
elementos, unidos uno a otro por conductores de resistencia despreciable.
Tomando una red constituida por algunos elementos conectados entre s´ı y eligiendo dos
puntos como terminales, podemos considerar que el conjunto es equivalente, en lo que se
refiere a los terminales, a una sola resistencia.
4.6.1. Resistencias en serie.
Dos o más resistencias conectadas de modo que la misma carga fluye a través de cada
una de ellas; se dice que están conectadas en serie.
R1
R2
a b c
I
(Fig 1)
Por ambas resistencias debe circular la misma corriente. La ca´ıda de potencial entre los
extremos de ambas resistencias (desde el punto a al c) es
V = IR1 + IR2 = I(R1 + R2)
Definimos la resistencia equivalente Re en serie como
Re =
V
I
= R1 + R2 (4.19)
El circuito equivalente al de la Figura es
R =e R +1
R2
c
I
a
Cuando existen más de dos resistencias en serie la resistencia equivalente es
Re = R1 + R2 + R3 + . . . .
4.6.2. Resistencias en paralelo
Dos o más resistencias conectadas de modo de que la diferencia de potencial entre sus
extremos sea la misma; se dice que están conectadas en paralelo.

R1
R2
I1
I2
a
(Fig 2)
I I
V
a’
b
Sea I la corriente que va de a a b. En el punto a la corriente se divide en dos: I1 que pasa
por R1 e I2 que pasa por R2.
La corriente total es la suma de las corrientes parciales
I = I1 + I2 .
Sea V = Va − Vb la ca´ıda de potencial a través de cada resistencia:
V = I1R1 = I2R2 =⇒
I1
I2
=
R2
R1
.
La resistencia equivalente Re de una combinación de resistencias en paralelo se define de
modo que la misma corriente total I circule para la diferencia de potencial V .
Re =
V
I
=⇒ I =
V
Re
= I1 + I2 =
V
R1
+
V
R2
es decir
1
Re
=
1
R1
+
1
R2
=⇒ Re =
R1R2
R1 + R2
(4.20)
El circuito equivalente al de la figura (2) es
R =e
R2R1
R +1 R2
c
I
a
El resultado anterior puede generalizarse a un número cualquiera de resistencias en paralelo
1
Re
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
+ . . .
La resistencia equivalente de una combinación de resistencias en paralelo es menor igual
que cualquiera de las resistencias involucradas. Puede hallarse la corriente en cada una de
las dos resistencias en paralelo a partir del hecho que la ca´ıda a través de la combinación de
ambas es IRe y que también es I1R1 e I2R2
I1R1 = I2R2 = IRe =
IR1R2
R1 + R2
,

4.6. CIRCUITOS Y ELEMENTOS DE CIRCUITOS. 85
Podemos despejar las corrientes parciales
I1 =
IR2
R1 + R2
,
I2 =
IR1
R1 + R2
,
Lo anterior es necesario para manejar un circuito como el siguiente
Sin embargo, el circuito simple
No se puede reducir.
4.6.3. Un ejemplo.
Para el circuito de la ﬁgura:
6[V] +
I
12Ω 6Ω
2Ω

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