algunos ejemplos para poder practicar álgebra proposicional

1. SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS
BLOQUE I: EL LENGUAJE DE LA LÓGICA DE PRIMER ORDEN
ACTIVIDADES NO PRESENCIALES- (fuera del horario de clase)
Curso 2006/07
Nota: Para resolver cualquier duda relacionada con estas actividades, ves a las
tutorías de tu profesora (previa confirmación email).
Prof: Mª Jesús Castel chus@dccia.ua.es
Ejercicios propuestos para formalizar con el lenguaje proposicional
(escribe en tu C. Bitáctoras el tiempo aproximado que tardaste en hacerlos)
Ejercicio 1º.- prop Formalizar las siguientes sentencias:
1S1: “Iremos al cine o al teatro”.
Variables proposicionales: Fbf
ci: iremos al cine ci ∨ te
te: iremos al teatro
1S2: “No ocurre que 2+2 = 5”
Variables proposicionales: Fbf
su: 2 + 2 son 5 ¬su
1S3: “Dos y dos cuatro, tres y tres ocho y tú te comes un bizcocho”
Variables proposicionales: Fbf
cu: dos y dos cuatro cu ∧ tr ∧ bi
tr: tres y tres ocho
bi: te comes un bizcocho
1S4: “Vinieron, pero llegaron muy tarde”
Variables proposicionales: Fbf
vi: vinieron vi ∧ ll
ll: llegaron tarde
1S5: “Aunque no hace frío da gusto ver cómo se caen las hojas”
Variables proposicionales: Fbf
fr: hace frío ¬fr ∧ ho
ho: ver cómo se caen las hojas
1S6: “Sólo si hago la pelota al profe, aprobaré Lógica”
Variables proposicionales: Fbf
ap: aprobar Lógica ap → pe
pe: hacer la pelota al profe
1S7: “No es cierto que la lógica sea difícil”

2. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07
Variables proposicionales: Fbf
di: la lógica es difícil ¬di
1S8: “Si eres puntual, iremos juntos, pero si llegas tarde iré con María”
Variables proposicionales: Fbf
pu: eres puntual (pu → ju) ∧ (¬pu → ma)
ju: iremos juntos
ma: iré con María
1S9: “O somos novios o amantes, o ninguna de las dos cosas”
Variables proposicionales: Fbf
no: somos novios (no ∨ am) ∨ ¬(no ∨ am)
am: somos amantes
1S10: “Si lo hizo Juanito o es tonto o un espabilado”
Variables proposicionales: Fbf
hi: lo hizo Juanito hi → to ∨ es
to: Juanito es tonto
es: Juanito es espabilado
1S11: “O estudias y trabajas, o serás un desgraciado”
Variables proposicionales: Fbf
es: estudias (es ∧ tr) ∨ de
tr: trabajas
de: eres un desgraciado
1S12: “El dinero es importante pero la sabiduría más”
Variables proposicionales: Fbf
im: el dinero es importante im ∧ sa
sa: la sabiduría más importante que el
dinero
Ejercicio 2º.-prop Formalizar y estudiar si algunas son equivalentes:
Variables proposicionales:
cl: Pablito clavó un clavito.
mt: Pablito tiene un martillito.
Sentencias Fbf
2S1: “Pablito clava un clavito si tiene un martillito” mt → cl
2S2: “Pablito no clava un clavito a menos que tenga un martillito” ¬mt → ¬cl =
cl → mt
2S3: “O Pablito no clava un clavito o tiene un martillito” ¬cl ∨ mt
2S4: “Ni Pablito tiene un martillito ni clavó un clavito”. ¬mt ∧ ¬cl
Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 2

3. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07
2S5: “Pablito no clava un clavito si no tiene un martillito” ¬mt → ¬cl
2S6: “No es cierto que Pablito no clave un clavito y no tuviera un martillito” ¬(¬cl ∧ ¬mt)
2S7: “Para que Pablito clave un clavito es suficiente que tenga un martillito” mt → cl
2S8: “Para que Pablito clave un clavito es necesario que tenga un martillito” cl → mt
2S9: “Una condición necesaria, aunque quizá no suficiente, para que Pablito cl → mt
clave el clavito es que tenga un martillito”
2S10: “Sólo si Pablito tiene un martillito clavará el clavito” cl → mt
2S11: “Pablito clavará el clavito sólo si tiene un martillito” cl → mt
2S12: “Pablito clava el clavito a menos que no tenga un martillito” ¬cl → ¬mt
2S13: “Pablito clava el clavito a menos que tenga un martillito” ¬cl → mt
Ejercicio 3º.-prop
¿Se puede formalizar la sentencia?¿Por qué?
2S14: “Pablito clavó un clavito, ¿qué clavito clavó Pablito?”
Respta: No porque la sentencia ¿qué clavito clavó Pablito? es interrogativa, no es
declarativa y no se admite en lpo.
Ejercicio 4º.-prop Juanito me dijo que se presentaría en septiembre a Lógica o
Álgebra, si al final se presentó a Lógica y a Álgebra ¿Es cierto que se presentó a
las dos?
Respta: Formalización:
lo: Juanito se presentó a Lógica;
al: Juanito se presentó a Álgebra;
Juanito se presentó a Lógica o a Álgebra: lo ∨ al
Juanito se presentó a Lógica y a Álgebra: lo ∧ al. Si porque de la primera sentencia lo
∨ al no podemos determinar a cuál de las dos se presentó, pero de la segunda lo ∧ al,
sí que podemos afirmar que se presentó a las dos, porque esta sentencia es verdadera
si ambas proposiciones se verifican.
Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 3

4. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07
Ejercicio 5º.- prop Escribe, de 5 formas diferentes, sentencias en lenguaje
natural que sean equivalentes a la siguiente:
“Si salgo al patio veré a mi vecinita Puri”.
4S1: “No salgo al patio a menos que vea a mi vecinita Puri”
4S2: “Salgo al patio sólo si veo a mi vecinita Puri”
4S3: “Para que salga al patio es necesario que vea a mi vecinita Puri”
4S4: “Para ver a mi vecinita Puri es suficiente con salir al patio”
4S5: “Veo a mi vecinita Puri si salgo al patio”
Ejercicio 6º.-prop Formaliza los siguientes argumentos:
ARG-1
Variables proposicionales:
Los periodistas cuentan historias falsas:hf
Los periodistas son ingeniosos: in
los famosos no salen en la tele…: te; la gente se vaya de paseo: pa
La tele se muere…: mu
Sentencias Fbf
P1: “Los periodistas cuentan historias falsas y son
ingeniosos sólo si los famosos no salen en la tele a hf ∧ in → ¬te
decir tonterías.”
P2: “Es suficiente que los famosos salgan en la tele
a decir tonterías para que la gente se vaya de paseo” te → pa
P3: “O la gente no se va de paseo o la televisión se
muere en tres días.” ¬pa ∨ mu
Q: “Por tanto, para que los periodistas no cuenten
historias falsas pero sean ingeniosos es necesario
hf ∧ in → ¬te
que los famosos no salgan en la tele a decir
tonterías”
Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 4

5. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07
ARG-2
Variables proposicionales:
Irme de tu casa: ir; tienes buen humor: hu; eres cariñoso con mi madre: cm
me preparas la comida todos los días: td
Sentencias Fbf
P1: “Sólo si no tienes buen humor me iré de tu casa.”
ir → ¬hu
P2: “Me iré de tu casa si no me preparas todos los
días la comida” td → ir
P3: “Si eres cariñoso con mi madre es que tienes
buen humor.” cm → hu
Q: “Luego, tanto si eres cariñoso con mi madre como
si no lo eres, me preparas la comida todos los día” cm ∨ ¬cm → td
Ejercicio resuelto. Formalización de sentencias con el lenguaje predicativo
Con el siguiente marco conceptual formaliza las sentencias propuestas:
Dominio Predic. Propiedad Predic. Relación Constantes
D= {animales} De(x): x es delfín; V(x,y): x vive con Fli: fli;
y; Flo: flo;
Fo(x): x es foca;
Flu: flu;
J(x): x es juguetón;
Sentencias Fbf
S1: “Fli, Flo y Flu son delfines” De(fli) ∧ De(flo) ∧ De(flu)
S2: “Los delfines son juguetones” ∀x[De(x) → J(x)]
S3: “Algunos delfines son juguetones” ∃x[De(x) ∧ J(x)]
S4: “Algunos delfines viven con focas” ∃x[De(x) ∧ ∀y(Fo(y) → V(x,y))]
S5: “Todos los delfines viven con todas las focas” ∀x[De(x) → ∀y(Fo(y) → V(x,y))]
S6: “Algunos delfines viven con todas las focas” ∃x[De(x) ∧ ∀y(Fo(y) → V(x,y))]
S7: “Algunos delfines viven con algunas focas” ∃x[De(x) ∧ ∃y(Fo(y) ∧ V(x,y))]
Ejercicios propuestos para formalizar con el lenguaje predicativo (escribe
en tu C. Bitáctoras el tiempo aproximado que tardaste en hacerlos)
Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 5

6. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07
Ejercicio 1º.-pred Formalizar las siguientes sentencias en el Dominio propuesto
Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación
D={Carles Lógicus, P(x): x es profesor Ex(x,y): x tiene éxito con y
Cristine Alegre, Javi H:ja A(x): x es alumno
Javi Hierbas, Anita: an Hb(x): x es hab. otro
Chusita, Anita, Mario:ma planeta
Mario} Chusita:ch Ca(x): x está cachas
Carles:ca Du(x): x se hace duro
Crsitine:cr Gi(x): x va al gimnasio
Cv(x): x es calvo
Ba(x): x es bajo
Br(x): x s barrigón
Ma(x): x está macizo
Sentencias Fbf
1S1: “Carles Lógicus, Cristine Alegre y Chusita son P(ca) ∧ P(cri) ∧ P(ch)
profesores”
1S2: “Anita y Mario son alumnos” A(an) ∧ A(ma)
1S3: “Mario está cachas pero Anita no” Ca(ma) ∧ ¬Ca(an)
1S4: “Al menos un alumno está cachas” ∃x[A(x) ∧ Ca(x)]
1S5: “Javi Hierbas es un habitante de otro planeta” Hb(ja)
1S6: “Carles Lógicus es bajo, calvo, barrigón pero Ba(ca) ∧ Cv(ca) ∧ Br(ca) ∧ Ma(ca) ∧
está macizo, aunque no va al gimnasio” ¬Gi(ca)
1S7: “Javi Hierbas va al gimnasio y por eso tiene éxito Gi(ja) ∧ Ex(ja,ca)
con Carles”
1S8: “Todos los alumnos tienen éxito con Carles”. ∀x[A(x) ∧ Ex(x,ca)]
1S9: “Ningún alumno que no sea cachas, tiene éxito ¬∃x[A(x) ∧ ¬Ca(x) ∧ ¬Ex(x,ca)]
con Carles”
1S10: “Algún alumno cachas tiene éxito con Carles”. ∃x[Ca(x) ∧ Ex(x,ca)]
1S10: “Sólo los profesores que van al gimnasio tienen ∀x[P(x) ∧ Ex(x,ja) → Gi(x)]
éxito con Javi Hierbas”
Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 6

7. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07
Ejercicio 2º.-pred Formalizar las siguientes sentencias en el Dominio propuesto
Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación
D={personas} P(x): x es profesor Mex(x,y): x tiene más éxito que y
A(x): x es alumno
Al(x): x es alto
Ma(x): x está macizo
Du(x): x se hace el duro
Gi(x): x va al gimnasio
Sentencias Fbf
2S1: “Todos los alumnos se hacen los duros” ∀x[A(x) → Du(x)]
2S2: “No existe ningún profesor que se haga el ¬∃x[P(x) ∧ D(x)]
duro”
2S3: “Existe un profesor que tiene más éxito que ∃x {P(x) ∧ ∀y[A(y) → Mex(x,y)]}
cualquier alumno”
2S4: “Si todos los sujetos son alumnos entonces ∀xA(x) → ¬∃x[A(x) ∧Gi(x)]
no existe ninguno que vaya al gimnasio”
2S5: “En general, cualquier sujeto tiene más ∀x∀y[Mex(x,y) ↔ Gi(x) ∧ ¬Gi(y)]
éxito que otro si y sólo si, éste va al gimnasio y
el otro no”
2S6: “Cualquier sujeto tiene más éxito que otro ∀x∀y [Mex(x,y) → Du(x) ∧ ¬Du(y)]
sólo si éste se hace el duro y el otro no”
2S7: “Todos los profesores que van al gimnasio ∀x{P(x) ∧ Gi(x) → ∃y[A(y) ∧ Mex(x,y)]}
tienen más éxito que algún alumno que no vaya”
2S8: “Sólo algunos alumnos van al gimnasio” ∃y[A(y) ∧Gi(x)]
2S9: “No existe ningún individuo que sea ¬∃xA(x)
alumno”
2S10: “No todos los individuos son alumnos” ¬∀xA(x)
Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 7

8. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07
Ejercicio 3º.-pred Formalizar las siguientes sentencias en cada dominio Di.
Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación
D1= {personas} I(x): x es alumno de AmL(x,y): x ama Lógica
D2 = {alumnos Informática
informática}
Sentencias Fbf
D1 D2
1S1: “Todos los alumnos de Informática ∀x[I(x) → AmL(x)] ∀x[AmL(x)]
aman Lógica”
1S2: “Algún alumno de Informática ama ∃x[I(x) ∧ AmL(x)] ∃x[AmL(x)]
Lógica”
1S3: “Ningún alumno de Informática ama ∀x[I(x)→¬AmL(x)] ∀x[¬AmL(x)]
Lógica”
1S4: “Sólo los alumnos de Informática ∀x[AmL(x) → I(x)] ∀x[AmL(x)]
aman Lógica”
Ejercicio 4º.-pred Formaliza los siguientes argumentos:
ARG-1
Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación
D={personas} H(x): x es hombre Enc(x,y): x se encuentra con y
Fe(x): x es feliz Du(x,y): x endulza la vida a y
No(x): x tiene novia
Lu(x): x es lunática
En(x): x está enamorado
So(x): x es solterona curiosa
Sentencias Fbf
∀x[H(x)∧Fe(x)∧¬No(x) → ∃y(Lu(y)∧Enc(x,y)∧D(y,x))]
P1: “Cualquier hombre que se quiera ser feliz y
no tenga novia encontrará a alguna lunática
dispuesta a endulzarle la vida”.
∃x[H(x) ∧ En(x) ∧ Fe(x) ∧ ∀y(Enc(x,y) → So(y))]
P2: “A algunos hombres enamorados y felices les
sucede que se encuentran únicamente con
solteronas curiosas.
∀x[Lu(x) → So(x)]
P3: “Únicamente las solteronas curiosas son
lunáticas”
∀x[H(x) ∧ En(x) → ¬No(x)]
P4:”Cualquier hombre no está enamorado a
menos que no tenga novia”
∃x[So(x) ∨ ¬Lu(x)]
Q:“Luego, hay solteronas curiosas que no son
lunáticas”
Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 8

9. Propuesta de actividades para el BI: Lenguaje Lpo LPO/2006/07
ARG-2
Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación
D={personas} Puri: pu E(x): x estudia Am(x,y): x es amigo de y
Luis: lu D(x): x hace deporte Tr(x,y): x trabaja con y
Javier:ja Pe(x): x es perezosa
Sentencias Fbf
∀x[E(x) ∧ D(x) → Am(x,lu)]
P1: “Cualquiera que estudie y haga deporte es
amigo de Luis”.
[Pe(pu) → ¬Am(su,pu)] ∧ [¬Pe(pu) → Tr(pu,ja)]
P2: “Si Puri es perezosa no es amiga de Luis,
pero sino lo es, trabajará con Javier.
¬∃xTr(x,ja)
P3: “Sabemos que nadie trabaja con Javier”
¬E(pu) ∨ ¬D(pu)
Q: Susanita no estudia o no hace deporte”
ARG-3
Dominio Constantes Predic. Propiedad Predic. Relación
D={animales} Fu:fu Ga(x): x es gato
Fa:fa Gu(x,y): a x le gusta y
Sentencias Fbf
P1: “A todos los gatos les gusta el queso o los ratones ∀x[Ga(x) → Gu(x,queso) ∨ Gu(x,rat)]
o ambas cosas”
P2: “ Fu y Fa son gatos” Ga(fu) ∧ Ga(fa)
P3: “A nadie que le guste el queso le gusta el jamón ∀x[Gu(x,queso) →¬Gu(x,jam)]
P4: “Únicamente a los que les gusta la Coca-Cola les ∀x[Gu(x,rat) → Gu(x,coc)]
gustan los ratones”
P5: “A Fa no le gusta lo que le gusta a Fu, y sí le gusta ∀x[(Gu(fu,x) → ¬Gu(fa,queso)] ∧ ∀x[¬Gu(fu,x) →
lo que no le gusta a Fu” ¬Gu(fa,x)]
P6: “A Fa le gusta el jamón y la Coca-Cola” Gu(fa,jam) ∧ Gu(fa,coc)
Q: ¿Cual es el gato al que le gusta el queso y no le ∃x[Ga(x) ∧ Gu(x,queso) ∧¬Gur(x,rat)]
gustan los ratones?
Mª Jesús Castel de Haro. Octubre 2006 9