holiwiiiiii

1. ALGEBRA
Conjuntodelosnúmerosreales(R):Launióndelosnúmerosracionalesconlosirracionales
NúmerosNaturales(N:{1,2,3,...}.
NúmerosEnteros(Z...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}.
NúmerosRacionales(Q):{/aesenteroybesentero,b≠0}.Expansióndecimalfinitae
infinitaperiódica.
NúmerosIrracionales(I):{,π,etc.…)Expansióndecimalinfinitanoperiódica.
PROPIEDADESDELAADICIÓNYMULTIPLICACIÓNDENÚMEROSREALES
Propiedadadiciónmultiplicación
Conmutatividada+b=b+aa•b=b•a
Asociatividad(a+b)+c=a(b+c)(a•b)•c=a•(b•c)
Elementoneutroa+0=aa•1=a
Inversoa+(-a)=0a•=1(sia≠0)
Distributividada•(b+c)=a•b+a•c,también(a+b)•c=a•c+b•c
Notas:
0=Neutroaditivo
1=NeutroMultiplicativo
=Inversomultiplicativodeaorecíprocodea
-a=Inversoaditivodeauopuestodea
(a-b)=Diferenciaorestadeayb
(,otambiénab)=Cocientedeayb
OTRASPROPIEDADESDELASOPERACIONESCONNÚMEROSREALES
1)Sia=byc=d,a+c=b+dya•c=b•d
2)Sia=b,entoncesa+c=b+cya•c=b•c
3)a•0=0
4)Sia•b=0,entonces(a=0)o(b=0)
RESUMENDEBACHILLERATO
MATEMÁTICAS
2014
Pasospararealizaroperacionescombinadas:
1)Realizamoslasoperacionesdentrodelparéntesisutilizandoelsiguienteorden:
2)Multiplicacionesydivisiones.(Deizquierdaaderecha).
3)Sumasyrestas(Deizquierdaaderecha)
Ejemplo:(5–6)(4-3•2)+3[2-3•(-3+6)]=
-1•-2+3[2-3•0+6]=2+3[2-0+6]=
2+3•8=2+24=
Reglasparaoperacionesconsignos
Paraaybnúmerosrealescualesquieraquesea:
-(-a)=a
(-a)b=-(ab)=a(-b)
(-a)(-b)=ab
(-1)a=–a
-(a+b)=-a–b
OperacionesconFracciones
Siaybsonnúmerosreales,conb≠0,entonces:==-
Podemoscancelarfactorescomunes:=(sabiendob≠0,c≠0)
oSimplificacióndelafracción==
oAmplificacióndelafracción==
oSiunafracciónnosepuedesimplificarlaconocemoscomoirreducible.
MultiplicacióndeFracciones:•=
DivisióndeFr4acciones:=
Adiciónysustraccióndefracciones:+=
o+=
o-=
o+=+=
o-=-=
OsverFV1

2. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
ValorAbsoluto
Esladistanciaalacualseencuentraelelpuntocorrespondientea0ysedenotapor
Porejemplo:=4,=3,=-()=
Exponentes
Estudiaremoselsignificadodeexpresionesdetipoan
,llamadaspotencias.
ExponentesNaturales
Dadosunnúmerorealayunnúmeronaturaln,definimoslapotenciadebaseay
exponentendelasiguientemanera:
POTENCIAan
CONnNATURAL
Sin=1,entoncesa1
=a
Sin=2,entoncesa2
=a•a
Sin=3,entoncesa3
=a•a•a
Yasísucesivamente,an
=a•a•a…….a(nvecesacomofactor)
ExponentesEnteros
Considerandoigualmenteexponentesnegativosycero.Siendonunnúmeroreal,
tenemoslosiguiente:
POTENCIAan
CONnENTERO
Sinespositivo,entoncesan
sedefinecomoenelcuadroanterior.
Sin=0,entoncesa0
=1,siemprequea≠0.
Sin=-1,entoncesa-1
=,siemprequea≠0.
Finalmentesi“n”espositivo,entoncesn=-mcon“m”positivoy
definimosa-m
=1/am
,siemprequea≠0.
Lasexpresiones00
,0-1
y0n
si“n”esnegativo,nosedefinen.
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
POTENCIAan
CONnENTERO
Consideremosx,ynúmerosrealesyn,mnúmerosenteros.
xn
xm
=xn+m
(paramultiplicarpotenciasdeigualbaseseconservala
baseysesumanlosexponentes)
(xn
)m
=xnm
(paraelevarapotenciaunapotenciaseconservalabasey
semultiplicanlosexponentes)
=xn-m
(paradividirpotenciasdeigualbaseseconservalabaseyse
restanlosexponentes)
(xy)n
=xn
yn
(lapotenciadeunproductoesigualalproductodela
potencia.)
=(lapotenciadeuncocienteesigualalcocientedelapotencia.)
Ejemplo1:(x3
y2
)4
(x4
y)-1
(x3
y2
)4
(x4
y)-1
=(x3•4
y2•4
)(x4•-1
y1•-1
)
=x12
y8
x-4
y-1
=(x12
x-4
)(y8
y-1
)
=x12+-4
y8+-1
=x8
y7
Ejemplo2:
=
=()
=
=
=
==
OsverFV2

3. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Radicales
RaízCuadrada:Engeneral,dadounnúmerorealpositivoX,laraízcuadradadexesunnúmero
realpositivoptalquep2
=X.Laexpresiónselee:“raízcuadradadex”
Ejemplos:
A.=4,pues42
=16
B.=,pues=
C.=0,03,pues(0,03)2
=0,0009
Raícesn–ESÍMAS
SeaXunnúmerorealynunnúmeronaturalmayorque1.Entonces:
RAÍZENESIMA
Si“n”esunnúmeroparyxespositivoocero,laraízn-ésimadexeselnúmeroreal
positivo,ocero,ptalquepn
=x
Si“n”esunnúmeroimparyxescualquiernúmeroreal,laraízn-ésimadexeselnúmero
realptalquepn
=x.
Enamboscasosescribimos:
=p
Sin=3,laexpresiónselee:“raízterceradex”o“raízcúbicadex”
Sin=4,laexpresiónselee:“raízcuartadex”.
Sin=5,laexpresiónselee:“raízquintadex”.
Laexpresiónselee:“raízenésimadex”.
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
PROPIEDADESDELOSRADICALES
Laexpresiónsellamaradical;nrecibeelnombredeíndicedelradicalyxsellamasubradical.
Consideremosx,ynúmerosrealesyn,m,knúmerosenterospositivos.
1.=
2.==
3.=
4.=
5.==
6.=sinesimpar.
7.=sinespar.
8.=
EXPONENTESFRACCIONARIOS
Veremoselsignificadode,para
POTENCIADEEXPONENTEFRACCIONARIO
Seaunnúmeroracional,dondeesunafracciónirreducibleysea;definimos,la
potenciadebaseyexponente,delasiguientemanera.
,=
Esdecir,esigualalaraíz–ésimade.
Ejemplos:
a)====8•2=16
b)====
c)===
OsverFV3

4. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
ExpresionesAlgebraicas
Laadición,sustracción,multiplicaciónyextracciónderaícessonconocidascomo
operacionesalgebraicas.Cualquiercombinaciónqueresultedeoperarconnúmeros,yasean
representadosporlossímboloscorrespondientesoporletras,esconocidacomoexpresión
algebraica.Lassiguientessonexpresionesalgebraicas:
a.3x2
+5x+10
b.+8ª–3b
c.
Enlasexpresionesalgebraicaspodránaparecernúmerosexplícitos;estosrecibenel
nombredeconstantesenlaexpresión.Laletrapuedeserconstanteovariable,cuandodecimos
queunaletraesconstanteesporquesuvalor,aunqueseaarbitrario,nocambiaráatravésdela
discusióndelasituaciónoproblema;sinembargocuandohablamosdeunavariableestaesuna
letraquepuedesersustituidaporcualquiernúmeroquepertenezcaaciertoconjuntode
números.ElconjuntodenúmeroscuyosvalorespuedetomarunavariablesellamaDominiodela
variable.
MonomiosyPolinomios
Expresionesalgebraicasenlasquesolamenteaparecenlasoperacionesdesumarestay
multiplicacióndeconstantesyvariablessedenominaunpolinomio.
Ejemplo:
a.3x3
y3
+5xy–2y
b.a4
+3abc+
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
SumayRestadePolinomios
Cuandosumamosyrestamospolinomiosloquehacemosescombinartérminossemejantes
mediantelaconmutatividaddelaadiciónylaleydistributiva.
Dosomástérminossemejantespuedensumarseorestarseusandolapropiedaddistributiva;por
estarazón,sesumanorestanloscoeficientesyseconservaelfactorliteral.
Ejemplos:
Monomios:
a.3x4
y+5x4
y=(3+4)x4
y=8x4
y
b.16m2
+12m2
–10m2
=(16+12-10)m2
=18m2
Polinomios:
a.(3x2
y+5xy-4xy2
)+(5x2
+x2
y-2xy)=
3x2
y+x2
y+5xy-2xy-4xy2
+5x2
=
x2
y+3xy-4xy2
+5x2
b.(-2ab+3a2
b+4a3
b2
+1)–(4ab-2a2
b+7a3
b2
-5)=
(-2ab+3a2
b+4a3
b2
+1)+(-4ab+2a2
b-7a3
b2
+5)=
-2ab-4ab+3a2
b+2a2
b+4a3
b2
-7a3
b2
+1+5
-2ab-4ab+3a2
b+2a2
b+4a3
b2
-7a3
b2
+1+5
-6ab+5a2
b-
3a3
b2
+6
OsverFV4

5. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
MultiplicaciónyFactorizacióndePolinomios
Paramultiplicarpolinomiosseutilizavariasveceslapropiedaddistributiva.Recuerdeque
a(b+c)=ab+ac
(b+c)a=ba+ca
Segúnestotenemosque:
(x+y)(p+q)=(x+y)p+(x+y)q=xp+yp+xq+yq
Loquehacemosesmultiplicartodoslostérminosdelaizquierdaconlosdeladerechaysumar.
Ejemplos:
a.x2
y(xy2
+2x-3y)=(x2
y)(xy2
)+(x2
y)(2x)-(x2
y)(3y)=x3
y3
+2x3
y-3x2
y2
b.(2xy+3y2
)(5x-2xy+y)=(2xy+3y2
)(5x)+(2xy+3y2
)(-2xy)+(2xy+3y2
)(y)=
10x2
y+15y2
x-4x2
y2
-6y3
x+2xy2
+3y3
10x2
y+17y2
x-4x2
y2
-6y3
x+3y3
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
FactorizaciónDePolinomios
FormulasNotables
FormulasNotables
1)(a+b)2
=a2
+2ab+b2
5)(a+b)3
=+3+3a2
+b3
2)(a-b)2
=a2
-2ab+b2
6)(a+b)(a2
+ab+b2
)=+b3
3)(a+b)(a-b)=-7)(a-b)(a2
+ab+b2
)=-b3
4)(a+b)3
=+3+3a2
+b3
Factorización
Elprocesodefactorizarsimplificaeltrabajo.Elfactorizarunpolinomioesescribirlocomo
elproductodeotrospolinomiosnoconstantes.Siunpolinomiosepuedeescribircomoel
productodeotrospolinomiosnotodosconstantes,cadaunodeestossellamanfactordel
primero.Siunpolinomionosepuedefactorizarsedicequeesirreducible.
Existenvariasformasdefactorizar.
Porfactorcomún
PorFormulaNotable
PorAgrupación
PorInspección
FactorComún
Dadounpolinomioparafactorizar,primeroobservamossisustérminoscontienenalgún
factorencomún.Siesasí,laleydistributivanospermiteescribirelpolinomiocomoelproductode
esefactorcomúnporotropolinomio.
Ejemplos:
3+6+9=3•+3•2+3•3=8
3(2
()-4()-2()=()(-4-2)=
()(-3-)=-()(3+)
OsverFV5

6. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
FormulaNotable
Enestecasoelpolinomioaparecedesarrolladoysipodemosverificarquesustérminos
satisfacenlascondicionesdealgunadelasformulasnotables,yutilizarlaquecarrespondapara
establecerlafactorización.
Ejemplos:
a)4+12++9=
b)-=(a+b-ab)(+(a+b)(ab)+)=
(a+b-ab)(+2ab++b+a+)
c)3-3=3(-)=3(+)(-)
d)=()()=ambosfactoressonfactorizables:
()=(x+z)()
()=(x-z)()
Porlotanto:
()()=(x+z)()(x-z)()
PorAgrupación:
Enalgunasocasionesdadounpolinomio,sepuedeagruparsustérminos,factorizarcada
grupoyluegoaplicarlatécnicadelfactorcomún,paraobtenerunafactorizacióndelpolinomio
dado.
Ejemplos:
a)x+bx-z–bz=(x+bx)+(-z–bz)
=x(+b)+-z(+b)=(+b)(x-z)
b)+--=
-+-=
+
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Inspecciónotanteo
Unprocedimientomuyútilparafactorizartrinomioseselconocidocomo
inspección.Estabasadodelasiguienterelacióndadaparaa,b,c,d,xnúmerosreales:
:Elprimercoeficientees1,entoncesdebemosbuscardosnúmeros
cuyoproductosea12ycuyasumasea7.Estosnúmerosson4y3,porloqueelpolinomio
sefactorizacomo:=
=
4x+3x=7x
Ejemplos:
a)=
-6x+x=-5x
b)=(+1)
=
+1
+=
Lossignoslossabremossegúnla
sumalorequieraparaobtenerel
valordelmonomioqueseubicaen
elcentrodeltrinomio.
OsverFV6

7. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ecuacionescuadráticasconunaincógnita:
Unaecuacióncuadráticaodesegundogradoenunavariableconcoeficientesrealesesuna
ecuaciónquepuedeescribirsecomo:
=0
Dondesonconstantesreales,con≠0.
Algunosejemplosdeecuacionescuadráticas:
1.=0aquí,,(elsignodecseincluye)
2.=0aquí,,
3.Desarrollandolaexpresióndelladoizquierdotenemos
,,
4..Desarrollandoalaizquierdatenemos;ahora
restandotenemos=0yporlotanto=0.
,,
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Existeunafórmulapararesolverlasecuacionescuadráticas,peroprimeroveremosuna
formamássimple:Sisonnúmerosreales,entonces=0
Así,sitenemosunaecuacióndesegundogrado=0,elprocedimientoconsiste
enfactorizar,siesquesepuede,elmiembrodelaizquierda,usualmenteutilizandoelmétodo
deinspecciónvistoanteriormente.Deestafactorizaciónseobtendrándosfactoreslineales.Cada
factorseigualaaceroyseobtienendossolucionesdelaecuaciónqueeventualmentepodránser
iguales.Estemétodofuncionaadecuadamentecuandolaecuacióntienesolucionesracionales.
Ejemplos:
a)=0
Sefactoriza:==0deaquíobtenemosdosecuacioneslineales
yqueseresuelvensegúnlovistoenlasecciónanterior:
Así,elconjuntosolucióndelaecuaciónes.
b)=-6primerosedesarrollalaecuación:
Factorizamosenlaúltimaecuaciónyprocedemosdelmismomodoqueenelejemploanterior.
OsverFV7

8. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Así,elconjuntosolucióndelaecuaciónes.
c)Factorizamoselladoizquierdoyobtenemos
Elconjuntosolucióndelaecuaciónes.
Estemétodoesmuysencillo,sinembargonoesaplicableentodosloscasos.Porloqueveremos
laformulagenerallacualeslamásefectivapararesolverlasecuacionescuadráticas.
FormulaGeneral
Unaecuaciónlinealtieneunasolasolución.Losejemplosanterioresnosmuestrandossoluciones
paracadaecuacióndada.Engeneral,unaecuacióncuadráticapuedetenerunasolasolución(en
estecasosedicequeesunasolucióndoble)odossolucionesdiferenteso,también,ninguna
soluciónenR.Veamoseldiscriminanteparaestudiarlassolucionesdelasecuacionesdesegundo
gradoocuadráticas.
Discriminante
Sea=0unaecuacióndesegundogrado.Sellamadiscriminantedelaecuaciónal
número,quedenotamosconelsímbolo∆(selee“delta”)
∆=
Comoeldiscriminante∆deunaecuacióncuadráticaesunnúmero,entoncespuedeser0,
negativoopositiva.Sunombresedebeaque,dependiendodesusigno,podemosdeterminarel
númerodesolucionesdelaecuación.
NÚMERODESOLUCIONESDEUNAECUACIÓNCUADRÁTICA
Sea∆eldiscriminantedeunaecuacióncuadrática,entonces:
Si∆esnegativo(∆<0),laecuaciónNOtienesolucionesreales.
Si∆=0,laecuacióntieneUNAsoluciónrealúnica.
Si∆espositiva(∆>0),laecuacióntieneDOSsolucionesreales.
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ejemplos:
∆==9+32=41
∆=41>0.Laecuacióntienedossoluciones.
,siladesarrollamos:
∆==9-28=-19
∆=-19<0.Laecuaciónnotienesolucionesreales.
siladesarrollamos:
∆==16-16=0
∆=0.Laecuacióntieneunaúnicasoluciónreal.
FORMULAGENERALPARARESOLVERUNAECUACIÓNCUADRATICA
Si∆=>0,entonceslassolucionesdelaecuación=0,con,son
Observequeloquevadentrodelradicalesprecisamenteeldiscriminante;porestarazónsiél
negativonohaysolucionesreales.Además,si∆==0,entoncesambassolucionesson
igualesy,enestecasotenemos.
==
OsverFV8

9. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ejemplos:
1.
Solución:Enestecaso,,.Entonces∆==
16-60=-44.Comoeldiscriminanteesnegativonotienesolucionesreales.
2.
Tenemos
=-5
=-5
=-5
=0
Entonces,,,porloque∆==49-20=29.
Luegolassolucionesson:
=0,8075=-6,193
3.
=
=
=0
Entonces,,,porloque∆==
9+72=81.Deaquílassoluciones:
=0,8075=-6,193
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Problemasquerequierenparasusolución,ecuacionescuadráticasconunaincógnita.
Podemosencontrarfrasescomunesqueseutilizanenelplaneamientodesituaciones
problemáticas,cuyatraducciónalasimbologíayellenguajematemáticodebensermanejados
correctamenteparapodertenerdeéxitotantoenlamodelacióndelproblemacomoensu
respectivasolución.
Listadefrasesylaformaenquepuedensertraducidasallenguajematemático:
“Dadounnúmero(ounacantidad)…”paraelloasignamosunaletracualquieraque
representaráaesenúmeroocantidad;porejemplo:.
Laspalabras“suma”,“mas”o“agregar”serepresentanconelsímbolo+.Porejemplo:los
enunciados“lasumadedosnúmeros(ocantidades)..”o“unnúmeromásotro”o“auna
cantidadleagregamosotracantidad”seescribecomo(donderepresentan
losdosnúmerosocantidades).
Laspalabras“resta”,“sustracción”o“diferencia”o“disminuir”serepresentanconel
símbolo-.Porejemplo:losenunciados“ladiferenciadedosnúmeros(ocantidades)..”o
“unnúmerodisminuidoenotro”,seescribecomo(donderepresentanlos
dosnúmerosocantidades).
“Elproducto(omultiplicación)dedoscantidades(onúmeros)…”seescribecomoo
(donderepresentanlascantidades).
“Eldobledeunacantidad(onumero)…”seescribe
“Eltripledeunacantidad(onumero)…”seescribe
“Sietevecesunacantidad(onumero)…”seescribe
“ElsalariodeManueles4veceselsalariodeEnrique”.SeescribeDondeesel
salariodeManuelyeselsalariodeEnrique.
“Lasumadeunnumeroysurecíproco…”seescribecomo,puessieselnúmero
entoncessurecíprocoesysusumaes.
“Elingresodeunapersonaquegana2000colonesporhorasitrabajaciertonúmerode
horas….”Seescribe(Donderepresentaelnúmerodehorastrabajadas).
OsverFV9

10. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Pasospararesolverelproblema:
1.Leacuidadosamenteelproblema,parapodercomprenderexactamenteloqueseday
queseestápidiendo.Puedeayudarreescribirloutilizandosuspropiaspalabras.
2.Siesposiblerealiceundibujoocuadrodelasituación.
3.Determineconclaridadcuálessonlosdatosqueleestándandoycuálessonlas
variablesoincógnitas;asigneunaletraacadaincógnita.
4.Establezcalasrelacionesentrelasconstantesyvariables,paradeterminarlaecuación
oecuacionesaresolver.
5.Resuelvaestasecuaciones.
6.Elaboreunarespuestaquecontesteexactamentealoqueselepreguntaenel
enunciado.
7.Verifiquesurespuestaalaluzdelainformacióndada.Sinosatisfacelascondiciones
delproblemaoriginal,revisedóndepodríaestarelerrorensuprocedimiento,
corríjaloyvuelvaaverificar.
Ejemplo1:Ciertanotasecalculacomoelpromediodecuatroexámenes;enlostresprimerosJorge
obtuvo¿Cuáldebeserlanotadesucuartoexamenparapromediarun75?
Enestecasonosdancuatrotérminos(tresnotasyelpromedio)yunaincógnita(lacuartanota),
denotemoslacuartanotacomo.Elpromedioeslasumadelascuatronotasdivididopor
cuatro.
Asiespromedioes:queremosqueestepromediosea75,esdecir:
Resolvemoslaecuaciónparaobtenerloquenospiden:
→
→
Sicomprobamoslarespuesta.Verificamosquecumpleque
Larespuestaserá:Jorgedebeobtenerunanotade83enelcuartoexamenparaquesupromedio
sea75.
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Funciones
Enunafunciónsimpleestaráninvolucradasdosvariables:
Variableindependiente:quevaríalibremente.
Variabledependiente:quevaríadependiendodelaanterior.
Sedicequeestasfuncionessondeunavariableporquesoloseencuentraunavariable
independiente.
ElementosdeunaFunción:Unconjuntollamadodominioyotrocodominio,yunamanerao
criteriopararelacionarelementosdeambosconjuntos.
ConceptodeFunción:
UnafuncióndedominioAycodominioBesunarelacióntalqueacadaelemento
enAlehacecorresponderunúnicoelementoenB.
ParadistinguirunafuncióndedominioAycodominioBselee“esunafunciónde
AenByseutilizalanotación:o
ImágenesyPrimágenes
SiesunelementodeAyesunelementodeBqueseleasignaamediantela
función,escribimos.Esteelementodeselellamaimagendeovalordela
funciónen;tambiénsedicequeespreimagende.Decimosqueeslavariable
independienteylavariabledependiente.
Ejemplo:SeaAyBigualesaN,elconjuntodelosnúmerosnaturales,yconsideremosunarelación
talqueacadaelementodeA(cadanumeronatural)leasociasudoble.Tenemosporejemploque
a1seleasocia2,a2seleasocia4yasísucesivamente.Estarelaciónesunafunción,talquecada
númeronaturaltieneundobleysolamenteuno.
Muchasveceselcriterioparadeterminarimágenessepuedeescribirmedianteuna
ecuación.Tomandoelejemploanterior,observamosquelaimagende1es2=2•1,laimagende
3es6=2•3.Entotallaimagendees,Sidenotamosporaestafunción,entonceslaimagen
dees.Esdecirenestecaso,elcriterioquerelacionaunelementoconsuimagense
puedeescribirmedianteunaecuacióndedosvariableso,también,que
permitecalcularlaimagendecualquieradeloselementosdeldominio.Paraello,dadounvalor
cualquierade,loreemplazamosenlafórmulaparaobtenerelvalorcorrespondientede.
Ejemplo1:SeaA=RyB=Rcon:R→Rcon.Estarelaciónesunafunción
OsverFV10

11. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
puestoqueparacadanúmeroreal,existeunnúmerodelaformaenRysolouno.
Enestecasotenemos:
=0
=21
Ejemplo2:Sea:[1,]→Rtalque
Enestecaso,lafuncióntienecomodominioelintervalo[1,],elcodominioRydisponemos
deunafórmulaparalaasignacióndeimágenes;alelementoleasignamos.
Porejemplo:
Ejemplo2:Sea:R→Rcon.Determine,,,
==15
==0
==
===
Ámbitoorango
Seaunafunción,alsubconjuntodeBformadoportodosloselementosque
sonimagendealgúnelementodeAselellamaámbitoorangode(A).Dichodeotramanera,el
ámbitoorangodeeselconjuntoformadoportodaslasimágenesdeloselementosdeA.
Ejemplo:SeaA=y:A→Ntalqueparacada
Deestamaneraelrangodees:=
DominioMáximo
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
RecuerdequesisetieneunafuncióndefinidadeunconjuntoAenunconjuntoB,entoncesAse
llamaeldominiodelafunción.Porotraparte,cuandotratamosconfuncionesrealesdevariable
real,usualmenteelcriteriosepuedeescribirmedianteunafórmulaquenospermiteasignarla
imagenacadaunodeloselementosdeldominio.
Cuandosedefineunafunción,sonelcriteriocomoeldominioyelcodominio.Porejemplo,noes
lomismolafunciónde:→R,con,quelafunción:→R,con
.Aunqueenambaslaformuladeasignarimágeneseslamisma,susdominios
difieren;enparticulartodonúmeromayorque6tieneunaimagenbajoynotieneimagenbajo
Porotraparte,observequesiunafuncióntienecomofórmula,entonces,
obligatoriamentedebemostener,esdeciry,porlotanto,eldominiomás
grandequepodemostomarparaes
Ejemplo1:Dominiomáximodelafuncióndefinidapor
,
Lafórmuladadatienesentidosiysolosielsubradicalesmayoroigualque0.Esdecir,debemos
tener,osea,o.Concluimosqueeldominiomáximodees.
Ejemplo2:Dominiomáximodelafuncióndefinidapor
Paraquelaexpresiónquedefineaestafuncióntengasentido,debemostenerqueeldenominador
tienequeserdiferentedecero.Hacemos=0→o
Demaneraqueeldominiomáximodeestáformadoportodoslosnúmerosreales
exceptuando1y2,esdecir,esR-.
Ejemplo3:Dominiomáximodelafuncióndefinidapor
Debemostener0.Factorizandoalaizquierdatenemos(Deaquí
lassolucionesdeentonces=0sonooycomo,entonces
0seestáen;esteeseldominiomáximodelafunción.
RepresentaciónGráficadelafunción
OsverFV11

12. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Dadaunafunciónrealdevariablereal,siconocemosunaecuaciónquedefinelamaneraenque
seobtienenlasimágenes,podemos,enmuchoscasos,representarlasgráficamente.Está
representacióngráficaserealizaobteniendolosparesordenadosdelafunciónsegúnlas
solucionesdesuecuacióntrazamosunalíneaenlospuntosqueseformandelosparesordenados.
Lagráficadeunafunciónesdegranutilidadyaquenospermiteobtenerinformaciónsobreuna
función,nosolamentesobrelasimágenesdeciertosvaloresespecíficossinotambiénsobre
aspectosmásgeneralesquesonimportantes,especialmenteenalgunasaplicaciones.
Ejemplo:RepresentaciónGráficadelafunción
Observemosquesi:eslaecuaciónquedefinelafunción,entoncesdebemos
representarlaecuación:.Paradibujarlagráficadelaecuacióndebemosconocer
algunospuntos,enestecasoalsersencillanoocupamosmuchos.Lasiguientetablatienelos
valoresde:yloscorrespondientesvaloresde
-2-112
-3-135
(-2,-3)(-1,-1)(1,3)(2,5)
Ejemplo2:Aldibujarlagráficade,talque
DebemosdibujarlagráficadelaecuaciónTomandoalgunosvaloresdey
calculandosusimágenes,paraloqueconstruimoslatabla.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3-2-10123
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
-10123
30-103
(-1,3)(0,0)(1,-1)(2,0)(3,3)
Dibujamoslospuntosresultantesdelaecuaciónylostrazamoslacurvaquelosuneenlagráfica.
Enestecasonoseráunarecta,sinoqueseformaraunacurvasuave.
FunciónLineal
Estafunciónesdeforma,donde“m”esconocidacomopendientey“b”comopunto
deintersección.Dondesonconstantesreales.
Ejemplo:
.
Esunafunciónlineal.Dondesony.
CálculodedelaPendiente“m”
Para()Y)
Ejemplo:Seaunafunciónlinealtalque=4y;determinarsupendiente.
Cálculodede“b”
Paraelcálculodebsetienelasiguienteecuación.
OsverFV12

13. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ejemplo:Tomandoelejemploanteriortomamoscualquierparordenadoysustituimoslaecuación
asísitomamos(2,-6)
=-2
RectasParalelas:Dosrectassonparalelassisuspendientessoniguales.
RectasParalelas:Lasrectassonperpendicularessisuspendientessonrecíprocasyconsignos
opuestos.
Intersecciónconlosejes.Eje“x”,0Eje“y”,
Ejemplo:
RégimendeVariación:
Dadalafunciónlineal
escrecientesi
esconstantesi
esdecrecientesi
Haydoscasosparticularesendelafunciónlineal
Lafunciónidentidad:si
Ejemplo:,talque,esunafunciónlineal.Aquítenemos
Lafunciónconstantesi
Ejemplo:,talque,dondeCesunnúmerorealcualquiera,esuna
funciónlineal.Donde
Criteriodeunafunción:
Parahallarelcriteriodebemosresolverunsistemadeecuaciones.
Unsistemadedosecuacioneslinealescondosvariableses:
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Dondesonconstantes;sonincognitas.UnaSolucióndelsistemaesunpar
ordenado()queessolución,simultáneamente,deambasecuaciones.Siunconjuntono
tienesolucionessedicequeesinconciente.
Solucionesdeunsistemadedosecuacioneslinealescondosvariableses:
Métododesustitución:Estemétodoconsisteendespejarunadelasincógnitasenunaecuación
ysustituirenlaotraecuación.Deestaformaseobtieneunaecuaciónenunasolaincógnita;se
determinaelvalordeéstayseutilizaparaencontrarelvalordelaotraincógnita.
Ejemplo:
Despejamosenlaprimerecuación:,losustituimosenlasegundaecuación:
.Resolvemosestaúltimaecuación:
→
Usamosestevalorparaencontrar;como;entonces=2(-11)+4=-18.Asíelsistema
tieneunaúnicasolución=(-11,18)
OsverFV13

14. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Métododeeliminación()odeSumayresta):Estemétodoconsisteenmultiplicarcadaecuación
porunnúmeroadecuadodemodoquelasumarambasecuaciones,unadelasincógnitas
desaparezcaobteniéndoseasíunaecuaciónconunaincógnitacuyovalorsedeterminayseusa
paraencontrarelvalordelaotraincógnita.
Ejemplo:Paradeterminarelpuntodeinterseccióndelasecuacionesy
.
Eslomismoqueresolverelsiguientesistemadeecuaciones.
Ysegúnelmétodoplanteado,Paraqueambasecuacionestengancoeficienteopuestopar,
multiplicamoslaprimeraecuaciónpor;obtenemosunnuevosistema
Sisumamosambasecuacionesobtenemosunaecuaciónsoloparalaincógnitade
=
Asísustituimosestevalorencualquieradelasecuacionesoriginalesypodemosobtenerelvalorde
.Utilizandolaprimerecuación:
→
Lasolucióndelsistematieneunaúnicasolución=,portantolasrectassecortanenese
punto
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
FunciónCuadrática
UnafunciónR→Rtalque:
Dondea,,sonconstantesrealesya≠0.
Lagraficatieneformadeparábola.
Intersecciónconlosejes:
oEje“y”(0,c)
oEje“x”Elcriterioseigualaa0yseresuelvelaecuacióncuaraticaparaobtenerlos
pares()y().Ycomovimosanteriormenteenecuacionescuadráticas
segúnelvalordel∆,yaseaeste>,<,o=0,asíserálacantidaddeintersecciones
coneleje”x”.
Ejedesimetría:Eslarectaquedividealaparábolaendospartesiguales.Lopodemos
calcularconlaformula:
Elvérticedelaparábola:Esteeselpunto.Lopodemosconsiderarpuntomáximosi
a<0,ypuntomínimosia>0.
OsverFV14

15. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
ConcavidaddelaParábola:
oSia>0.Escóncavahaciaarriba.
oSia<0.Escóncavahaciaabajo
a>0;Concavahaciaarribaypuntominimo.a<0;Concavahaciaabajoypuntomáximo.
Intervalosdemonotonía
a-)Siescóncavahaciaarriba:
esestrictamentedecrecienteen
esestrictamentecrecienteen
a-)Siescóncavahaciaabajo:
esestrictamentecrecienteen
esestrictamentedecrecienteen
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ámbitodelafunción.
SielámbitoesSielámbitoes
Ejemplos1:ParalaFunción,talque
Tenemos.Si-3
a)Vertiese:
b)Ejedesimetría:
c)Concavidad:,laparábolaescóncavahaciaarriba.
d)Grafica:
x
y
OsverFV15

16. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ejemplos2:ParalaFunción,talque
Tenemos.Si16
a)Vertiese:
b)Ejedesimetría:
c)Concavidad:,laparábolaescóncavahaciaabajo.
d)Grafica:
x
y
4
1
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ejerciciosyproblemasconfuncionescuadráticas:
ImágenesyPreimagenes:
Sientonces-1espreimagende:
Sientonceselnúmero5esimagende:
169
Problemas
Pararesolverlosproblemasdebemosanalizarloquenossolicitanyrelacionarlosconlas
propiedadesdelafuncióncuadrática.
ElprecioPenmilesdecolonesparaproducir“x”unidadesdepantalonesestá
dadopor¿Cuáleselmínimoprecio,enmilesde
colones,quesepuedealcanzarenlaproduccióndepantalones?
Primerodebemossacarelvalordexquehaceelpuntomínimodelafunción
==205
Siguiendolaspropiedadesdelafuncióncuadráticaobtuvimosqueespreciomínimo
“P”quesepuedealcanzarenlaproduccióndepantaloneses365.
Enunaseestablecequeelcosto“C”deproducir“x”artículos,estádadopor
.¿Cuáldebeserlacantidaddeartículosquesedeben
producirparaobtenerelcostomáximo?
Enestecasoloquenossolicitaneslacantidadquemaximizaelcostoportantoes
soloobtenerelvalorde“x”quees:
==90
Portantolacantidaddeartículosquedebeproducirparaobtenerelmáximocosto
son90artículos.
OsverFV16

17. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
FunciónSobreyectiva
Unafuncióntalquetodoelementoenelcodominiotienealmenosuna
preimagen,esdecir(A)=B,sedicequeessobreyectiva.Estosignificaqueparatodo,
existetalque.
Ejemplo:Lafuncióntalqueessobreyectivapuestoquesi(el
codominio)yescribimosentonces
Perosilafunciónfueratalque,noessobreyectiva.Siporejemplo
tomamos3enelcodominio,noexisteningúnnúmeronaturaltalque.
FunciónInyectiva
Unafunciónesinyectivasicadaelementodelcodominiotienealosumouna
preimagen,esdecirparacadaexistealosumountalque.
Ejemplo:Lafuncióntalqueesinyectiva.Efectivamente,si,
entonces=yporlotanto=.
Perosilafunciónfueratalque,noesinyectiva.Bastaverque,por
ejemplo=9y,sinembargo.
FunciónBiyectiva
Esunafunciónqueesalavezinyectivaysobreyectiva.
Lafuncióntalqueesbiyectivapuestoqueesinyectivaysobreyectiva.
Lafuncióntalquenoesbiyectivapuestonoessobreyectiva.
Lafuncióntalquenoesbiyectivapuestoquenoesinyectiva.
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
FunciónInversa
Unafunciónesbiyectiva.Lafuncióntalquesiy
solosiestoesfuncióninversade.
Ejemplo1:Lafuncióntalque
Suinversa:segúnlaecuación,esdecirydespejamos.
Portantotalque
Ejemplo:Lafuncióntalque
Suinversa:ydespejamos.
Así,con.
OsverFV17

18. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
FunciónExponencialyLogarítmica
FunciónExponencial
Seaunnúmerorealpositivo()ydiferentede1(,yelexponenteeslavariable
independiente.Sellamafunciónexponencialdebasealafuncióntalque
Existendoscasos
Caso1:
Dominio:
Rango:
Intersecciónconeje“x”:nohay
Intersecciónconeje“y”:(0,1)
Asíntotahorizontal:eje“x”cuando“x”seacercaa+
Régimendevariación:estrictamentedecreciente.
Deacuerdoalcodominio:biyectiva
Sugraficaes:
x
y
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ejemplo:
Lafunción
Elaboramoslatabla
-2-1012
(-2,4)(-1,2)(0,1)(1,)(2,)
4
2
1
0,5
0,25
4
2
1
0,5
0,25
x
y
OsverFV18

19. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Caso1:
Dominio:
Rango:
Intersecciónconeje“x”:ninguno
Intersecciónconeje“y”:(0,1)
Asíntotahorizontal:eje“x”cuando“x”seacercaa-
Régimendevariación:estrictamentecreciente.
Deacuerdoalcodominio:biyectiva
Sugraficaes:
x
y
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ejemplo:
Lafunción
Elaboramoslatabla
-2-1012
(-2,)(-1,)(0,1)(1,2)(2,4)
SiLafunciónexponencialesinyectiva,secumpleque:
0,25
0,5
1
2
4
0,25
0,5
1
2
4
x
y
OsverFV19

20. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
FunciónLogarítmica
Seaunnúmerorealymayorquecero()ydiferentede1(,Sellamafunción
logarítmicadebasede“x”alafuncióninversadelafunciónexponencialdebase.Estoes,la
funcióntalque
Existendoscasos
Base:
Dominio:
Codominio:
Intersecciónconeje“x”:(1,0)
Intersecciónconeje“y”:nohay
Asíntotavertical:eje“y”
Régimendevariación:estrictamentecrecienteen
Deacuerdoalcodominio:biyectiva
Sugraficaes:
x
y
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ejemplo:
Lafunción
Elaboramoslatabla
124
,-2)(,-1)(1,0)(2,1)(4,2)
-2
-1
0
1
2
-2
-1
0
1
2
x
y
OsverFV20

21. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Base:
Dominio:
Codominio:
Intersecciónconeje“x”:(1,0)
Intersecciónconeje“y”:nohay
Asíntotavertical:eje“y”
Régimendevariación:estrictamentedecrecienteen
Deacuerdoalcodominio:biyectiva
Sugraficaes:
x
y
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Ejemplo:
Lafunción
Elaboramoslatabla
124
,2)(,1)(1,0)(2,-1)(4,-2)
Paralasgráficasdeotrasfuncioneslogarítmicaslasencontraremossimilaresalasanteriores.
2
1
0
-1
-2
2
1
0
-1
-2
x
y
OsverFV21

22. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Propiedadeslogarítmicas:
1.
Ejemplo:
2.
Ejemplo:
3.
Ejemplo:
4.
Ejemplo:
5.
Ejemplo:
6.
Ejemplo::
7.
8..
(Enlacalculadoralateclalnloquehaceescalcularellogaritmoenbasee
CambiodeBase:
ParaconvertiraBase10unnúmeroa,seaplica:
Ejemplo:
=2
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
EcuacionesLogarítmicasconunaodosoperaciones
Ejemplo1:
=
=
=
Ejemplo2:
=-
Estassonalgunasaplicacionesdelaspropiedadeslogarítmicas.
Lanotaciónexponencialsepuedepasaralogarítmicayviceversa,esdecirlocual
esequivalenteaescribir.
Ejemplo:Paraobtenerlasolucióndelasiguienteecuación:
Primerodebemosllevarlaalaformasimplificada
→(Unavezconlaexpresiónreducida,seaplicala
equivalenciadellogaritmoanotaciónexponencial:→
OsverFV22

23. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
EcuacionesExponenciales
Consuforma.
Cuandolaincógnitaseencuentraenelíndicedeunaraíz,tambiénselaconsideraexponencial,ya
quesólobastaescribirlacomoexponentefraccionario.Sealaecuación:
Utilizandolaspropiedadesdelaradicación,vamosaescribirlaasí:
Aplicamoselmétododeigualacióndebases,pararesolverlaecuación:
Seeliminanlasbasesysetomalaecuaciónigualandolosexponentesyseresuelvelaecuación.
OsverFV23