3. Es una combinación lineal
donde
y
son soluciones que constituyen un conjunto linealmente independiente en
algún intervalo I.
En este tema se examinará un método para determinar estas soluciones
cuando los coeficientes de la ED en (1) son constantes. Este método, que es un
ejercicio directo en álgebra, falla en algunos casos y produce sólo una solución
simple y1 de la ED.
2211 ycycy +=
1y 2y
4. Resulta que se puede construir una segunda solución y2 de una ecuación
homogénea (1) e incluso cuando los coeficientes en (1) son variables; siempre
y cuando se conozca una solución no trivial y1 de la ED.
La idea básica que describe este tema es darles a conocer que la ecuación (1) se
puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustitución
en la que interviene la solución conocida y1, a partir de la cual hallaremos una
segunda solución y2 de (1) (esto va ha ser evidente después de resolver la ED
de primer orden)
5. REDUCCIÓN DE ORDENREDUCCIÓN DE ORDEN
Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda
solución, y2, para la ecuación homogénea:
0)()()( 012 =+′+′′ yxayxayxa
6. en un intervalo I a partir de una solución y1 no trivial. Buscamos una segunda
solución, y2(x), de la ecuación (1) tal que y1 y y2 sean linealmente
independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son linealmente
independientes, su relacióny2/y1 es no constante en I esto es, y2/y1= u(x) o
y2 = u(x)y1(x). La idea es determinar la función u(x) sustituyendo
y2(x) = u(x)y1(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama
reducción de orden porque debemos resolver una ecuación lineal de primer
orden para hallar u.
7. Fórmula para hallar la segunda solución y2 a partir de una conocida y1
01,
)(
)( 212
1
)(
12 ==
∫
= ∫
−
cycdoconsiderandx
xy
e
xyy
dxxp
(2)
8. EJEMPLO 1.EJEMPLO 1. Dado que y1(x) = x^-2 es solución de la ecuación diferencial
Encuentre su solución general en el intervalo (0,α).
SOLUCIÓNSOLUCIÓN
Verifiquemos que y1(x) es solución de la ecuación diferencial. Tenemos que
Construcción de una segunda solución y2 a partir de una conocida y1
mediante el método de reducción de orden
9. Sustituyendo en resulta
Así, efectivamente y1 es una solución . Ahora utilizaremos el resultado del
teorema anterior para determinar una segunda solución de la ecuación
diferencial, con y1.
Primero, reescribimos en la forma:
10. de aquí que en este caso p(x) = -7/x y entonces
Note que una segunda solución l.i. con y1(x) es simplemente 2ỹ (x) = x^10. De
modo que la solución general en (0, α) de la ecuación diferencial (4.16) es
11. EJEMPLO 2.EJEMPLO 2. Encuentre la solución general en (0,α) de la ecuación
diferencial
si y1(x)=cos ln x, es una solución de la ecuación.
SOLUCIÓNSOLUCIÓN
Nuevamente emplearemos la ecuación anterior para obtener una segunda
solución y2. En este caso p(x) = 1/x , por lo cual:
13. EJEMPLOEJEMPLO
Dado que la función es una solución de
Usando el método de reducción de orden hallar una segunda solución y2 y
determine la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo
2
1 xy = 0432
=+′−′′ yyxyx
),0( ∞
SOLUCIÓNSOLUCIÓN
PASO1:PASO1: Se pone en la forma estándar la ED
0
43
2
=+′−′′ y
x
y
x
y
Este ejercicio se explicó en la pizarra:
14. PASO2:PASO2:Se localiza p(x) en la ED del paso 1 y se encuentra el F. I.
3lnln33 3
.. xeeeIF
xxx
dx
===
∫
=
PASO3:PASO3: Aplicando la fórmula (2) se tiene:
xx
x
dx
xdx
x
x
xdx
x
e
xy
x
dx
ln22
4
3
2
4
3
2
2 ===
∫
= ∫∫ ∫
PASO3:PASO3: Por tanto la solución general en el intervalo dado es::
xxcxcy ln2
2
2
1 +=
