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Mコネクタの特性インピーダンス
- 2. モチベーション • アマチュア無線でよくつかわれるMコネクタには 50Ωに整合させたものがあるらしい。 • 最近買ったSMAコネクターMコネクタの変換をよく見ると、 テフロンと思われる誘電体が中途半端に充填されている。 • もしかしたら、これが整合型なのかなとは思っていたが、 ちゃんと調べたことはなかった。 • 特性インピーダンスの復習もかねて、 調べてみる。
- 4. 基本の同軸ケーブル • 特性インピーダンスは断面の寸法で決まる • 𝑍0 = 𝜂 2𝜋 𝜖𝑟 log𝑒 𝐷 𝑑 = 60 𝜖𝑟 ln 𝐷 𝑑 = 138 𝜖𝑟 log10 𝐷 𝑑 [Ω] • 𝜂 : 真空中の波動インピーダンス（およそ120π) • 𝜖𝑟 : 外部導体と内部導体の間の比誘電率 • 𝐷: 外部導体の内径 • 𝑑 : 内部導体の外形 𝐷 𝑑 𝜖𝑟
- 5. 特性インピーダンスの導出 • 特性インピーダンスの定義は 単位長あたりの容量C [F/m]とインダクタンスL [H/m]より • 𝑍0 = 𝐿 𝐶 • 同軸構造の特性インピーダンスの導出手順 1. 単位長（例えば長さ1m）の同軸構造を考える。 • 𝑟1 = 𝑑/2, 𝑟2 = 𝐷/2 2. 単位長当たりの容量を求める 3. 単位長当たりのインダクタンスを求める 4. 定義から特性インピーダンスを求める 1m 𝑟1 𝑟2 𝜖𝑟
- 6. 単位長当たりの容量 • 単位長当たりQ [C]の電荷がたまっているとする • びっくりするぐらい天下り的だけど、とりあえずそういうことにして • 符号は、内部導体に+Q [C] 外部導体に-Q [C] • 内部導体の方が電位が高い状態 • 電気力線が半径方向に延びている • ガウスの定理 • 𝑫 ∙ 𝑑𝑺 = 𝑄𝑒𝑛𝑐𝑙 Q[C] - - - - - - - - + - + - + - + - + - + - + - + - - - - - - - - - + + + + + + + + ここの電荷の総和が-Q[C] ここの電荷の 総和が-Q[C] ここの電荷の 総和が+Q[C]
- 7. 単位長当たりの容量 • 単位長当たりQ [C]の電荷がたまっているとする • びっくりするぐらい天下り的だけど、とりあえずそういうことにして • 符号は、内部導体に+Q [C] 外部導体に-Q [C] • 内部導体の方が電位が高い状態 • 電気力線が半径方向に延びている（簡単な解釈） • 電束の定義：Q [C]の電荷からはQ 本の電束が出る • 電束は正の電荷から負の電荷に向けて連続している • 右が図示のイメージ • 電束：緑矢印 • ※矢印の本数は正しくない Q[C] - - - - - - - - + - + - + - + - + - + - + - + - - - - - - - - - + + + + + + + + ここの電荷の総和が-Q[C] ここの電荷の 総和が-Q[C] ここの電荷の 総和が+Q[C]
- 8. 単位長当たりの容量 • 半径r [m]、長さ1[m]の円柱を考える • 電束は円柱を貫く • 曲面部を均等な強度で、面に垂直 • ただし、合計はQ 本 • よって、半径r[m]での電束密度D は 𝐷 = 𝑄 2𝜋𝑟 [C/m2] • ベクトルで考えると半径方向 • D=εEの関係にあるので、電界Eは • 𝐸 = 𝑄 2𝜋𝑟𝜖 [V/m] • ベクトルで考えると半径方向 Q[C] - - - - - - - - + - + - + - + - + - + - + - + - - - - - - - - - + + + + + + + + 半径r[m]の円柱
- 9. 単位長当たりの容量 • 内部導体の外部導体に対する電位差Vは • 積分経路を半径方向にとる • 積分経路とベクトルの方向が一致しているので、スカラーの積分 • 𝑉 = − 𝑟2 𝑟1 𝐸 𝑑𝑟 = 𝑟1 𝑟2 𝑄 2𝜋𝑟𝜖 𝑑𝑟 = 𝑄 2𝜋𝜖 𝑟1 𝑟2 1 𝑟 𝑑𝑟 = 𝑄 2𝜋𝜖 ln 𝑟2 𝑟1 • コンデンサの容量Cと電圧Vと電荷Qの関係は • 𝑄 = 𝐶𝑉 • よって、単位長あたりの容量は • 𝑪 = 𝑸 𝑽 = 𝟐𝝅𝝐 𝐥𝐧 𝒓𝟐 𝒓𝟏 [F/m] Q[C] - - - - - - - - + - + - + - + - + - + - + - + - - - - - - - - - + + + + + + + +
- 10. 単位長当たりのインダクタンス • 中心導体にI [A]の電流を流れると考える。 • 外部導体は逆方向にI [A]流れる。 • 半径r [m]における磁界の強さH [A/m]を求めると • アンペールの法則（積分形） • 𝐻 ∙ 𝑑𝑙 = 𝑖 𝑑𝑆 • 半径rの点で磁界の強さHは一定 • 円周方向に線積分（左辺） • 円の内部で面積分（左辺）すると、r1<r<r2の範囲で、合計がI [A] • 2𝜋𝑟𝐻 = 𝐼 • 𝐻 = 𝐼 2𝜋𝑟 • 磁束密度はB=μH の関係にあるので • 𝐵 = 𝜇𝐼 2𝜋𝑟 I [A] i i I [A] i(奥から手前) 手前から奥
- 11. 単位長当たりのインダクタンス • 電流Iによって作られる磁束φは磁束密度をB をr1 からr2 まで積 分して、長さ（1m）をかけると求まるので • 𝜙 = 𝑟1 𝑟2 𝐵 𝑑𝑟 = 𝑟1 𝑟2 𝜇𝐼 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 = 𝜇𝐼 2𝜋 ln 𝑟2 𝑟1 • インダクタンスの定義は • 電流I が流れるときの線を貫く磁束をφとすると • 𝜙 = 𝐿𝐼 • よって、単位長当たりのインダクタンスは • 𝑳 = 𝝋 𝑰 = 𝝁 𝟐𝝅 𝐥𝐧 𝒓𝟐 𝒓𝟏 [H/m] 1m I [A] i i I [A]
- 12. 同軸ケーブルの特性インピーダンス • 𝐶 = 𝑄 𝑉 = 2𝜋𝜖 ln 𝑟2 𝑟1 [F/m] • 𝐿 = 𝜑 𝐼 = 𝜇 2𝜋 ln 𝑟2 𝑟1 [H/m] • 𝑍0 = 𝐿 𝐶 = 𝜇 2𝜋 ln 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝜖 ln 𝑟2 𝑟1 = 1 2𝜋 𝜇 𝜖 ln 𝑟2 𝑟1 [Ω] 1m 𝑟1 𝑟2 𝜖𝑟
- 13. 同軸ケーブルの特性インピーダンス • 以下を考慮に入れる • 誘電体の透磁率μ は真空中の透磁率μ0 とほぼ変わらない • 比誘電率εr=ε/ε0 • 真空中の特性インピーダンス𝜂 = 𝜇0 𝜖0 • 直径の比(r2/r1)と半径の比(D/d)は等しい • よく知られた式が導出される • 𝑍0 = 𝜂 2𝜋 𝜖𝑟 log𝑒 𝐷 𝑑 = 60 𝜖𝑟 ln 𝐷 𝑑 = 138 𝜖𝑟 log10 𝐷 𝑑 [Ω] 1m 𝑟1 𝑟2 𝜖𝑟 d D
- 14. Mコネクタの特性インピーダンス 一様な誘電体 • D =12mm, d =5mmとすると • εr =2 （テフロン、白）の場合 • Z0 =37.1Ω • VSWR=1.3 • ちょっと高め • εr =1 （空気）の場合 • Z0 =52.5Ω • VSWR=1.05 • かなり良く50Ωに整合している • たまに見かける、ほぼ中空のコネクタがこれに近いかも
- 15. Mコネクタの特性インピーダンス 一様な誘電体 • D =12mm, d =5mmとすると • εr =5 （ベークライト、茶色や黒）の場合 • Z0 =23.5Ω • VSWR=2.1 • かなり高め • HF帯域/50MHzまでかな • 波長に対して1/100の長さ以下であれば無視できるとして • コネクタ部が50mmだとすると、λ< 5m -> 60MHz以下
- 16. Mコネクタの特性インピーダンス 充填されていないタイプ • 元のモチベーションに戻って、 中途半端に誘電体が装荷されている場合は？ • インダクタンスは誘電体でも透磁率がほぼ真空中 や空気中と同様なので同じ値になる。 • 𝑳 = 𝝋 𝑰 = 𝝁𝟎 𝟐𝝅 𝐥𝐧 𝒓𝟒 𝒓𝟏 [H/m] • 容量はどうなる？ • 今回の場合、誘電体が同心円状に入っているので、 途中まで同じ議論ができる。 • 中央に電荷を置いて、放射状に出ていく電気力線 に沿って積分 2r4 2r3 2r2 2r1 内部導体 空気層 誘電体 外部導体
- 17. Mコネクタの特性インピーダンス 充填されていないタイプ • 電圧の計算まではおなじ • 𝑉 = − 𝑟4 𝑟1 𝐸 𝑑𝑟 = 𝑟1 𝑟4 𝑄 2𝜋𝑟𝜖 𝑑𝑟 • 誘電率が変数になるので、積分区間を分ける • 𝑉 = 𝑟1 𝑟2 𝑄 2𝜋𝑟𝜖0 𝑑𝑟+ 𝑟2 𝑟3 𝑄 2𝜋𝑟𝜖𝑟𝜖0 𝑑𝑟+ 𝑟3 𝑟4 𝑄 2𝜋𝑟𝜖0 𝑑𝑟 • 計算を進めて整理すると以下の式になる • 𝑉 = 1 2𝜋𝜖0 ln 𝑟4 𝑟1 − 1 − 1 𝜖𝑟 ln 𝑟3 𝑟2 • 単位長さ当たりの容量は • 𝑪 = 𝟐𝝅𝝐𝟎 𝒍𝒏 𝒓𝟒 𝒓𝟏 − 𝟏− 𝟏 𝝐𝒓 𝒍𝒏 𝒓𝟑 𝒓𝟐 [F/m] 2r4 2r3 2r2 2r1 内部導体 空気層 誘電体 外部導体
- 18. Mコネクタの特性インピーダンス 充填されていないタイプ • よって、特性インピーダンスは • 𝑍0 = 𝜇0 2𝜋 ln 𝑟4 𝑟1 2𝜋𝜖0 𝑙𝑛 𝑟4 𝑟1 − 1− 1 𝜖𝑟 𝑙𝑛 𝑟3 𝑟2 = 𝜼 𝟐𝝅 𝐥𝐧 𝒓𝟒 𝒓𝟏 {𝐥𝐧 𝒓𝟒 𝒓𝟏 − 𝟏 − 𝟏 𝝐𝒓 𝐥𝐧 𝒓𝟑 𝒓𝟐 = 𝜼 𝟐𝝅 𝐥𝐧 𝒅𝟒 𝒅𝟏 {𝐥𝐧 𝒅𝟒 𝒅𝟏 − 𝟏 − 𝟏 𝝐𝒓 𝐥𝐧 𝒅𝟑 𝒅𝟐 2r4 2r3 2r2 2r1 内部導体 空気層 誘電体 外部導体
- 19. Mコネクタの特性インピーダンス 充填されていないタイプ • 𝑍0 = 𝜂 2𝜋 ln 𝑑4 𝑑1 {ln 𝑑4 𝑑1 − 1 − 1 𝜖𝑟 ln 𝑑3 𝑑2 • 以下を代入 • d1 = 5, d2 = 7.5, d3 = 9.8, d4 = 12 • εr=2（テフロン） • Z0 =48.3Ω (VSWR=1.03) • 非常によく50Ωに整合している • 空気の時（VSWR=1.05）より改善してる 12mm 9.8mm 7.5mm 5mm 内部導体 空気層 誘電体 外部導体
- 20. まとめ • 少し変なMコネクタを題材に不連続な誘電体を装荷したときの 同軸線路の特性インピーダンスの導出をした。 • Mコネクタについて • 樹脂部がベークライト（黒か茶色）はHF帯/50MHz向け • 樹脂部がテフロン（白）のほうが特性はよいが、VSWR1.3ぐらい • 絶縁部が空気のものは特性がよさそう • アンテナ器台で見かけた気がする。 • 絶縁部が一部樹脂になっているものは50Ωの特性インピーダンスを 持っているものらしい • とはいっても、オス側のコネクタでこの構造のものは見たことがないので、がん ばっても430MHzまでが使用範囲だと思われる
- 21. 参考文献 1. 前野昌弘「よくわかる電磁気学」東京図書、2010 2. 松田豊稔ら「電波工学」コロナ社、2008 3. 石井望「アンテナ基本測定法」コロナ社、2011 4. 「システム奮闘記」2016年掲載、 http://www.osssme.com/doc/funto106-no100.html