球面フィッティングの導出とPythonでの実装について

1. 球面フィッテイングの
導出と実装
ロケット小僧
2018/2/20

2. はじめに
• 適当にやったから，合ってるかは保証できないです．

3. やりたいこと
• 球面に沿っているはずの３次元データから、中心と半径を求めたい
中心：(X0,Y0,Z0)
半径：r
ロケットを飛ばして測定した
3次元地磁気データ(61800個)

4. 最小二乗法
1. データ列がどんな関数に一致するかは知っている
• 例:𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
2. 残差の二乗和でコスト関数を設定する．
• 例:i番目のデータを(Xi,Yi)とするとき
• Σ 𝑎𝑋𝑖 + 𝑏 − 𝑌𝑖
2とか y = 1.9524x + 0.2508
R² = 0.9912
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y=2x+1 + (-1から1までランダム)

5. 最小二乗法
3. コスト関数が最小になるように係数を決定する．
• 例なら，aやbで偏微分して0になるときの値
•
𝜕Σ 𝑎𝑋 𝑖+𝑏 −𝑌 𝑖
2
𝜕𝑎
= 0 のときのaの値
•
𝜕Σ 𝑎𝑋 𝑖+𝑏 −𝑌 𝑖
2
𝜕𝑏
= 0 のときのbの値
y = 1.9524x + 0.2508
R² = 0.9912
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y=2x+1 + (-1から1までランダム)

6. 球面の関数
• 中心を(X0,Y0,Z0)とする半径rの球面の式
𝑥 − 𝑋0
2
+ 𝑦 − 𝑌0
2
+ 𝑧 − 𝑍0
2
= 𝑟2
• 右辺を左辺に移項
𝑥 − 𝑋0
2
+ 𝑦 − 𝑌0
2
+ 𝑧 − 𝑍0
2
− 𝑟2
= 0

7. 𝑥 − 𝑋0
2
+ 𝑦 − 𝑌0
2
+ 𝑧 − 𝑍0
2
− 𝑟2
の意味
• 𝑥 − 𝑋0
2 + 𝑦 − 𝑌0
2 + 𝑧 − 𝑍0
2 − 𝑟2 = 0のとき
点(x,y,z)が球面上
• 𝑥 − 𝑋0
2 + 𝑦 − 𝑌0
2 + 𝑧 − 𝑍0
2 − 𝑟2 > 0のとき
点(x,y,z)が中心より離れすぎている．
• 𝑥 − 𝑋0
2 + 𝑦 − 𝑌0
2 + 𝑧 − 𝑍0
2 − 𝑟2 < 0のとき
点(x,y,z)が中心に近すぎている．

8. コスト関数
• 𝑥 − 𝑋0
2 + 𝑦 − 𝑌0
2 + 𝑧 − 𝑍0
2 − 𝑟2は正負の値を持つので，
コスト関数には不適
• 二乗して和をとってコスト関数とする．
• コスト関数
Σ{ 𝑥𝑖 − 𝑋0
2
+ 𝑦𝑖 − 𝑌0
2
+ 𝑧𝑖 − 𝑍0
2
− 𝑟2
}
2

9. コスト関数の書き換え
• コスト関数
Σ{ 𝑥𝑖 − 𝑋0
2
+ 𝑦𝑖 − 𝑌0
2
+ 𝑧𝑖 − 𝑍0
2
− 𝑟2
}
2
X0,Y0,Z0,rに関して4次関数
→偏微分して0でも最小とは限らない．

10. コスト関数の書き換え
• 書き換える
𝐹 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 = Σ(𝑥𝑖
2
+𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
+ 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷)2
𝐴 = −2𝑋0
𝐵 = −2𝑌0
𝐶 = −2𝑍0
𝐷 = 𝑋0
2
+ 𝑌0
2
+ 𝑍0
2
− 𝑟2

11. コスト関数が最小な条件を求める
𝜕𝐹
𝜕𝐴
= Σ2𝑥𝑖 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
+ 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0
𝜕𝐹
𝜕𝐵
= Σ2𝑦𝑖 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
+ 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0
𝜕𝐹
𝜕𝐶
= Σ2𝑧𝑖 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
+ 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0
𝜕𝐹
𝜕𝐷
= Σ2 𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
+ 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0

12. 行列にする
Σ𝑥𝑖
2
Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖
Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑦𝑖
2
Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖
Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑧𝑖
2
Σ𝑧𝑖
Σ𝑥𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑧𝑖 Σ1
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
=
−Σ𝑥𝑖(𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
)
−Σ𝑦𝑖(𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
)
−Σ𝑧𝑖(𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
)
−Σ (𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
)

13. 行列にする
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
=
Σ𝑥𝑖
2
Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖
Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑦𝑖
2
Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖
Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑧𝑖
2
Σ𝑧𝑖
Σ𝑥𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑧𝑖 Σ1
−1
−Σ𝑥𝑖(𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
)
−Σ𝑦𝑖(𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
)
−Σ𝑧𝑖(𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
)
−Σ (𝑥𝑖
2
+ 𝑦𝑖
2
+ 𝑧𝑖
2
)
A,B,C,DからX0,Y0,Z0,rが求められる．

14. 実装してみた
• Python + NumPy + matplot
• SS_fit(data)に球面っぽいデータを与えると，中心と半径のベクトルを
返してくれる．
• ソースコード
https://github.com/J-ROCKET-BOY/SS-Fitting

15. 実行結果
中心
X0 = 57.3
Y0 = -10.4
Z0 = 39.2
半径
r = 40.7

16. 中心が原点になるように平行移動
原点(0,0,0)が中心っぽくなったし，
たぶん合ってるんじゃないかな（適当

17. 参考文献
「一般式による最小二乗法（円の最小二乗法）」-画像処理ソリューション
http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-16.html
「月読アイの理系なお話『最小二乗法』」-ニコニコ動画
http://www.nicovideo.jp/watch/sm30270214