1. Statistik Pentaabiran:
Penganggaran untuk Populasi
Tunggal
1

2. Penganggaran Statistik
 Penganggaran titik  nilai tunggal statistik
yang dikira dari sampel
 Penganggaran selang  nilai selang yang
dikira dari sampel statistik dan statistik
piawai, seperti Z.
– Pemilihan statistik piawai adalah ditentukan
oleh taburan persampelan.
– Pemilihan nilai kritikal bagi statistik piawai
adalah ditentukan oleh keperluan paras
keyakinan.
2

3. Selang Keyakinan terhadap
Penganggaran 
apabila n adalah besar
Penganggaran Titik:
X =
∑X
n
Penganggaran selang: X ± Z σ
n
atau
σ σ
X −Z ≤µ≤X + Z
n n
3

4. Taburan Min Sampel bagi
Keyakinan (1-α)%
4

5. Taburan Min Sampel bagi
Keyakinan (1-α)%
5

6. Taburan Min Sampel bagi
Keyakinan (1-α)%
6

7. Tafsiran Kebarangkalian bagi
Paras Keyakinan
σ σ
Pr ob[X − Zα ≤ µ ≤ X + Zα ] =1− α
2 n 2 n
7

8. Taburan Min Sampel bagi
Keyakinan 95%
8

9. 95% Selang Keyakinan untuk 
Sebuah syarikat talipon cellular telah mengenalpasti min
panggilan talipon untuk pelanggan ialah 153 minit dari sampel 85
orang pelanggannya. Katakan rekod lepas dan kajian yang sama
menunjukkan bahawa sisihan piawai populasi ialah 46 minit.
Anggarkan min populasi masa panggilan setiap pelanggan
sebulan dengan selang keyakinan 95%.
σ σ
X − Z α/2 ≤ µ ≤ X + Zα/2
n n
σ σ /2=0.025 /2=0.025
X − Z0.025 ≤ µ ≤ X + Z0.025
n n 0.4750 0.4750
46 46
153 − 1.96 ≤ µ ≤ 153 + 1.96 µ
X
85 85
153 – 9.78 ≤ µ ≤ 153 + 9.78
143.22 ≤ µ ≤ 162.78
9

10. Contoh 1
Satu kajian telah dilakukan kepada syarikat di Malaysia
yang menjalankan kajian di Cina. Satu daripada soalan
ialah: Telah berapa lamakah syarikat anda menjalankann
perniagaan dengan Cina? Satu sampel rawak 44 syarikat
telah dipilih menghasilkan min 10.455 tahun. Katakan
sisihan piawai populasi bagi soalan ini ialah 7.7 tahun.
Menggunakan maklumat ini, jalankan selang keyakinan
90% min bilangan tahun syarikat di Malaysia telah
menjalankan perniagaan di Cina bagi populasi syarikat
Malaysia yang menjalankan perniagaan di Cina.
10

11.  σ   σ 
X - Z
  ≤ μ ≤ X + Z
  

 n  n
 7.7   7.7 
10.455 - 1.645 
  ≤ µ ≤ 10.455 + 1.645 
  

 44   44 
10.455 – 1.91 ≤ µ ≤ 10.455 + 1.91
8.545 ≤ µ ≤ 12.365
Kebarangkalian (8.545 ≤ µ ≤ 12.365 = 0.90
11

12. Faktor Pembetulan Finit
Selang Keyakinan untuk Menganggar µ
Menggunakan Faktor Pembetulan Finit
σ N-n σ N-n
X - Z α/ 2 ≤ µ ≤ X + Z α/ 2
n N-1 n N-1
12

13. Contoh 2
Satu kajian telah dilakukan di dalam syarikat yang mempunyai 800
jurutera. Sampel rawak 50 jurutera ini mendapati purata umur
sampel ialah 34.3 tahun. Rekod lama mendapati sisihan piawai
umur jurutera syarikat ialah 8 tahun. Lakukan selang keyakinan 98%
untuk menganggar unur semua jurutera di dalam syarikat ini.
 8  750 


 ≤ µ ≤ 34.3 + 2.33  8  750 

34.3 - 2.33 
 
 799  
 

 50    50  799 
 
34.3 – 2.554 ≤ µ ≤ 34.3 + 2.554
31.75 ≤ µ ≤ 36.85
13

14. Selang Keyakinan untuk
Menganggar µ apabila σ Tidak
Diketahui (n  30)
S
X ± Z α/ 2
n
atau
S S
X − Z α/ 2 ≤ µ ≤ X + Z α/ 2
n n
14

15. Contoh
Sebuah syarikat sewa kereta mahu menganggar purata jarak
perjalanan sehari bagi setiap kereta yang disewakannya. Sampel
rawak 110 kereta dipilih dan mendapati min sampel jarak perjalanan
sehari ialah 85.5 km, dengan sisihan piawai 19.3 km. Kirakan 99%
selang keyakinan untuk menganggar µ.
S S
X − Z α/ 2 ≤ µ ≤ X + Z α/ 2
n n
 19.3   19.3 
85.5 - 2.575 
  ≤ µ ≤ 85.5 + 2.575 
  

 110   110 
85.5 – 4.7 ≤ µ ≤ 85.5 + 4.7
80.8 ≤ µ ≤ 90.2
15

16. Nilai Z bagi beberapan Paras
Keyakinan
yang biasa Digunakan
Selang
Nilai Z
Keyakinan
90% 1.645
95% 1.960
98% 2.330
99% 2.575
16

17. Penganggaran Min Populasi:
Saiz Sampel Kecil, σ
Tidak Diketahui
 Populasi mempunyai taburan normal
 Nilai sisihan piawai populasi tidak diketahui.
 Saiz sampel adalah kecil, n < 30.
 Taburan Z tidak sesuai digunakan dalam situasi ini
 Taburan t adalah lebih sesuai
17

18. Taburan t
 Dibentuk oleh ahli statistik British, William
Gosset
 Keluarga kepada taburan – taburan yang unik bagi
setiap nilai parameternya, darjah kebebasan (d.f.)
 Simetri, Unimodal, Min = 0, Lebih rata berbanding Z
Formula t
X −µ
t=
S
n
18

19. Perbandingan Taburan t
dengan Keluk Normal Piawai
19

20. Jadual Nilai Kritikal t
df t0.100 t0.050 t0.025 t0.010 t0.005
1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656
2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797
25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787
29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756
30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704
60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617
∞ 1.282 1.645 1.960 2.327 2.576
20

21. Selang Keyakinan untuk Menganggar
µ Apabila σ Tidak Diketahui dan Saiz
Sampel adalah Kecil
S
X ± t α/2,n-1
n
S S
X - t α/2,n-1 ≤ µ ≤ X + t α/2,n-1
n n
df = n - 1
21

22. Contoh
Katakan penyelidik mahu menganggarkan purata masa cuti gantian
yang terkumpul bagi saorang pengurus. Sampel rawak jam lebih
masa 18 pengurus telah direkodkan di dalam minggu tertentu dan
ditunjukkan sebagaimana berikut (di dalam jam)
6 21 17 20 7 0 8 16 29
3 8 12 11 9 21 25 15 16
Dapatkan 90% selang keyakinan untuk menganggarkan purata
masa kerja lebih masa seminggu oleh pengurus syarikat tersebut.
t0.05,17 = 1.740
22

23. Min sampel ialah 13.56 jam, dan sisihan piawai ialah 7.8 jam.
S
X ± t α/2,n-1
n
7.8
13.56 ± 1.740 = 13.56 ± 3.20
18
Kebarangkalian(10.36 ≤ µ ≤ 16.76) = 0.90
10.36 ≤ µ ≤ 16.76
23

24. Contoh 8.3
Syarikat menyewa kereta telah cuba untuk membuat anggaran
purata bilangan hari pelanggan menyewa kereta daripada
syarikatnya. Oleh kerana ketiadaan maklumat, pengurus syarikat
tersebut telah mengambil sampel rawak 14 pelanggan dan
mencatitkan bilangan hari ia menyewa kereta tersebut
subagaimana di bawah. Ia menggunakan data tersebut
membina 99% selang keyakinan untuk menganggar purata
bilangan hari menyewa kerata dan mengandaikan bilangan hari
untuk setiap penyewaan adalah bertaburan normal di dalam
populasi.
3 1 3 2 5 1 2
1 4 2 1 3 1 1
24

25. Oleh kerana n = 14, df =13. Paras keyakinan 99% dihasilkan di
dalam /2 = 0.005 keluasan di dalam setiap ekor taburan. Nilai
jadual t ialah
t0.005,13 = 3.012
Min sampel ialah 2.14 dengan sisihan piawai sampel ialah 1.29.
Selang keyakinan ialah
S
X±t
n
1.29
2.14 ± 3.012 = 2.14 ± 1.04
14
1.10 ≤ µ ≤ 3.18
Kebarangkalian (1.10 ≤ µ ≤ 3.18) = 0.99
25

26. Penganggaran
Perkadaran Populasi
ˆˆ
pq ˆˆ
pq
p − Zα
ˆ ≤ P ≤ p + Zα
ˆ
2 n 2 n
dim ana :
ˆ
p = perkadaran sampel
ˆ ˆ
q = 1- p
P = perkadaran populasi
n = size sampel
26

27. Contoh
kajian terhadap 87 syarikat yang dipilih secara rawak dengan
operasi tele-pemasaran mendapati 39% daripada sampel syarikat
telah menggunakan tele-pemasaran untuk membantu mereka
memproses pesanan. Menggunakan maklumat ini, bagaimana
penyelidik menganggarkan perkadaran populasi syarikat tele-
pemasaran yang menggunakan operasi tele-pemasaran untuk
membantu mereka di dalam memproses pesanan, dengan selang
keyakinan 95%?
^ ^ ^
p = 0.39 , n = 87, q = 1 – p = 1.00 – 0.39 = 0.61
27

28. ^ ^ ^ ^
^ pq ^ pq
p - Z α/2 ≤ P ≤ p + Z α/2
n n
(0.39)(0.61) (0.39)(0.61)
0.39 - 1.96 ≤ P ≤ 0.39 + 1.96
87 87
0.39 – 0.10 ≤ P ≤ 0.39 + 0.10
0.29 ≤ P ≤ 0.49
Kebarangkalian(0.29 ≤ P ≤ 0.49) = 0.95
28

29. Contoh 8.5
Syarikat pakaian mengeluarkan jean untuk lelaki. Jean tersebut
dibuat dan dijual sama ada potongan biasa atau potongan ‘boot’.
Dalam usaha untuk menganggar perkadaran pasaran jean lelaki
tersebut di Kuala Lumpur untuk jean potongan ‘boot’,
penganalisis mengambil sampel rawak 212 jean yang dijual oleh
syarikat tersebut dari dua kedai di Kuala Lumpur. Hanya 34
daripada jualan adalah jean potongan ‘boot’. Jalankan 90%
selang keyakinan untuk menganggar perkadaran populasi di
Kuala Lumpur yang mengemari jean potongan ‘boot’.
^ ^ ^
p = 34/212 = 0.16 , n = 212, q = 1 – p = 1.00 – 0.16 = 0.84
29

30. ^ ^ ^ ^
^ pq ^ pq
p - Z α/2 ≤ P ≤ p + Z α/2
n n
^ ^ ^ ^
^ pq ^ pq
p - Z 0.05 ≤ P ≤ p + Z 0.05
n n
(0.16)(0.84) (0.16)(0.84)
0.16 - 1.645 ≤ P ≤ 0.16 + 1.645
212 212
0.16 – 0.04 ≤ P ≤ 0.16 + 0.04
0.12 ≤ P ≤ 0.20
Kebarangkalian (0.12 ≤ P ≤ 0.20) = 0.90
30

31. Varian Populasi
 Varian ialah songsangan ukuran homogeniti kumpulan.
 Varian adalah petunjuk penting jumlah kualiti untuk piawaian
keluaran dan perkhidmatan. Pengurus perlu memperbaiki proses
untuk mengurangkan varian.
 Varian mengukur risiko kewangan. Varian kadar pulangan
membantu pengurus mengenalpasti alternatif pelaburan kewangan
dan pelaburan.
 Variabiliti adalah realiti dalam pasaran global. Produktiviti, upah,
dan taraf hidup adalah berbagai-bagai diantara kawasan dan negara.
31

32. Menganggar Varian Populasi
• Parameter Populasi 2
 Penganggar 2: S2 =
∑ (X - X) 2
n −1
 Formula 2 untuk varian tunggal:
2
2 ( n - 1)S
χ = 2
σ
darjah kebebasan = n - 1
32

33. Selang Keyakinan untuk σ2
( n −1) S 2
( n −1) S 2
≤σ ≤
2
χ χ
2 2
α α
1−
2 2
df = n − 1
α = 1 − paras keyakinan
33

34. Beberapa Taburan χ2
Terpilih
34

35. df 0.975 0.950 0.100 0.05 0.025
Jadual χ2
0
1 9.82068E-043.93219E-03 2.70554 3.84146 5.02390
2 0.0506357 0.102586 4.60518 5.99148 7.37778
3 0.2157949 0.351846 6.25139 7.81472 9.34840
4 0.484419 0.710724 7.77943 9.48773 11.14326
5 0.831209 1.145477 9.23635 11.07048 12.83249
6 1.237342 1.63538 10.6446 12.5916 14.4494
7 1.689864 2.16735 12.0170 14.0671 16.0128
8 2.179725 2.73263 13.3616 15.5073 17.5345
9 2.700389 3.32512 14.6837 16.9190 19.0228
10 3.24696 3.94030 15.9872 18.3070 20.4832
20 9.59077 10.8508 28.4120 31.4104 34.1696
21 10.28291 11.5913 29.6151 32.6706 35.4789
22 10.9823 12.3380 30.8133 33.9245 36.7807
23 11.6885 13.0905 32.0069 35.1725 38.0756
24 12.4011 13.8484 33.1962 36.4150 39.3641
25 13.1197 14.6114 34.3816 37.6525 40.6465
70 48.7575 51.7393 85.5270 90.5313 95.0231
80 57.1532 60.3915 96.5782 101.8795 106.6285
90 65.6466 69.1260 107.5650 113.1452 118.1359
100 74.2219 77.9294 118.4980 124.3421 129.5613
35

36. Dua Nilai Jadual χ2
df = 7 df
1
0.950
3.93219E-03
0.050
3.84146
2 0.102586 5.99148
3 0.351846 7.81472
4 0.710724 9.48773
.05 5
6
1.145477
1.63538
11.07048
12.5916
7 2.16735 14.0671
8 2.73263 15.5073
.95 9 3.32512 16.9190
10 3.94030 18.3070
20 10.8508 31.4104
21 11.5913 32.6706
.05 22 12.3380 33.9245
23 13.0905 35.1725
24 13.8484 36.4150
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 25 14.6114 37.6525
2.16735 14.0671
36

37. Contoh
Katakan lapan selinder aluminium 7-sm di dalam sampel yang
diukur di dalam garispusat sebagaimana berikut:
6.91 sm 6.93 sm 7.01 sm 7.02 sm
7.05 sm 7.00 sm 6.98 sm 7.01 sm
Kirakan selang selang keyakinan 90% bagi varian selinder
aluminium tersebut.
S2 = 0.0022125, df = n – 1 = 8 – 1, α= 1.00 – 0.90 = 0.10.
37

38. Dari Jadual 2
χ 0.05, 7 = 14.0671
2
dan χ 0.95, 7 = 2.16735
2
Oleh itu selang keyakinan 2
(n - 1 ) S 2 (n - 1 ) S 2
2
≤σ ≤
2
χ α/ 2 χ 12− α/ 2
(n - 1) S2 (n - 1) S2
2
≤σ ≤
2
2 0.05
χ 0 ,5, 7 χ 0.95, 7 0.95 0.05
χ 0.95,7 = 2.16735 χ 0.05,7 = 14.0671
2
2
(7)(0.0022125) (7)(0.0022125)
≤σ 2 ≤
14.0671 2.16735
0.001101 ≤ σ2 ≤ 0.007146
Kebarangkalian (0.001101 ≤ σ2 ≤ 0.007146) = 0.90
38

39. Contoh 8.6
Jabatan Buruh telah mengeluarkan data kos tuntutan pekerja sektor
perkilangan diseluruh negara. Angka terakhir menunjukkan purata
gaji sejam pekerja pengeluaran disektor perkilangan ialah RM9.63.
Katakan kerajaan mahu menentukan berapa konsistennya angka ini.
Ia mengambil 25 sempel rawak pekerja disektor perkilangan
diseluruh negara dan menentukan sisihan piawai gaji sejam pekerja
ialah RM1.12. Menggunakan maklumat ini untuk bentukkan 95%
selang keyakinan untuk menganggar varian populasi untuk gaji
sejam pekerja pengeluaran di dalam sektor perkilangan. Andaikan
gaji sejam pekerja pengeluaran diseluruh negara disektor
perkilangan adalah bertaburan normal.
S = 1.12 ,S2 = 1.2544 , n = 25, df = n – 1 = 25 – 1 = 24,
α= 1.00 – 0.95 = 0.05.
39

40. Dari Jadual 2
χ 0.025, 24 = 39.3641 dan
2
χ 0.975, 7 = 12.4011
2
Oleh itu selang keyakinan 2
(n - 1 ) S 2 (n - 1 ) S 2
2
≤σ ≤
2
χ α/ 2 χ 12− α/ 2
(24)(1.2544) (24)(1.2544)
≤σ ≤
2
39.3641 12.4011
0.7648 ≤ σ2 ≤ 2.4277
Kebarangkalian (0.7648 ≤ σ2 ≤ 2.4277) = 0.95
40

41. 41

42. Menganggar Saiz Sampel
apabila Menganggarkan µ
X −µ
Formula Z Z=
 σ
n
 Ralat Penganggaran E = X −µ
(ralat boleh diterima)
Z σ
2
 Z ασ 
2 2
α
 Anggaran Saiz Sampel n= 2
2 = 2

E  E 
1
 Anggaran σ σ≈ range
4
42

43. Contoh
Katakan penyelidik mahu menganggarkan purata perbelanjaan bulanan
ke atas roti oleh penduduk Kuala Lumpur. Ia mahu 90% keyakinan bagi
keputusannya. Berapa banyak ralat yang sanggup ia terima di dalam
keputusannya? Katakan ia mahu menganggarkan disekitar RM1.00
angka sebenar dan sisihan piawai purata pembelian roti sebula ialah
RM4.00. Apakah saiz sampel penganggaran bagi masalah ini? Nilai Z
bagi 90% selang keyakinan ialah 1.645. Menggunakan Formula 8.8
dengan E = RM1.00, σ = RM4.00, dan Z = 1.645 memberikan
Zα/ 2 σ 2
2
(1.645) 2 (4) 2
n= =
E2 12
= 43.33 ≈ 44
43

44. Contoh 8.7
Katakan kita mahu menganggarkan purata usia semua kapalterbang
Boeig 727 yang masih digunakan diseluruh Malaysia. Kita mahukan
95% keyakinan, dan memerlukan anggaran disekitar 2 tahun dari
angka sebenar. Boeing 727 pertama kali digunakan 30 tahun yang
lepas, tetapi kita percaya kapal terbang ini tidak aktif lagi lebih dari 25
tahun. Berapa besarkan saiz sampel yang perlu diambil?
Zσ
2 2
E = 2 tahun,
Nilai Z untuk 95% = 1.94, n= 2
σ dianggarkan = ¼ E
(Selangdiperlukan) 2 2
= ¼ (25)
=
(196) (6.25)
.
= 6.25. 2
2
= 37.52 44 38
or

45. Menentukan Saiz Sampel apabila
menganggar P
p−P
$
 Formula Z Z=
P⋅Q
n
 Ralat Penganggaran
E = p−P
$
(Ralat yang diterima)
2
 Anggaran Saiz Sampel n = Z PQ 2
E
45

46. Contoh 8.8
Satu kajian telah dijalankan untuk menentukan sejauh manakah
majikan menggalakkan kesihatan dan kesegaran dikalangan
pekerjanya. Satu soalah telah ditanya, Adakah syarikat anda
menawarkan kelas latihan ditempat kerja? Katakan telah dianggarkan
sebelum kajian dijalankan tidak lebih 40% daripada syarikat menjawab
YA. Berapa besarkah sampel yang pelu diambil di dalam
menganggarkan perkadaran populasi untuk menentukan 98%
keyakinan di dalam keputusan dan disekitar 0.03 perkadaran populasi
sebenar? 2
E = 0.03 n= Z PQ 2
Anggaran P = 40% = 0.40 E
(2.33) ( 0.40)( 0.60)
2
Selang keyakinan 98%  Z = 2.33
=
( 0.003)
Q = 1 – P = 1.00 – 0.40 = 0.60 2
= 1,447.7 or 1,448
46

47. Menentukan Saiz Sampel apabila
menganggar P Tanpa Maklumat
Awal
P PQ 400 Z = 1.96
350 E = 0.05
0.5 0.25
300
0.4 0.24 250
n 200
0.3 0.21
150
0.2 0.16 100
50
0.1 0.09
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
P
2 1
Z 4
n= 2
E
47

48. Contoh 8.9
Satu keputusan kajian mendapati lebih kurang dua per tiga rakyat
Malaysia mencuba satu keluaran baru di dalam tempoh 12 bulan yang
lepas. Katakan satu organisasi industri keluaran mahu mengkaji rakyat
Malaysia dan menyoal sama ada mereka memakan buah-buahan dan
sayuran segar atau tidak di dalam tempoh satu tahun lepas. Organisasi
tersebut mahu 90% keyakinan di dalam keputusannya dan mengekalkan
ralat disekitar 0.05. Berapa besarkah sampel yang perlu diambil?
2
n=
Z PQ 2
E = 0.05
Tanpa anggaran awal P, gunakan P = 0.50.
E
2
90% keyakinan  Z = 1.645 (1645) ( 0.50) ( 0.50)
.
Q = 1- P = 1 – 0.50 = 0.50 =
( .05) 2
= 270.6 or 271
48