1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL SURESTE
DE VERACRUZ
JULIO CESAR BROCA PASCUAL
ITZEL GUADALUPE GUTIERREZ MEZA
BRENDA MARCELA LOPEZ PASCUAL
TANIA AKETZALI SANCHOS FERNANDEZ
DOCENTE: L.M. ABDIAS CRUZ BARTOLO
INTRODUCCIÓN
Analicemos la posible gráfica que generaría la función:
Para cualquier punto de x diferente de 1, se pueden utilizar varios
procedimientos como el de asignar valores arbitrarios a x, para hallar los
valores de f(x), pero en el punto x = 1, se hace un poco difícil el análisis
de la gráfica, entonces para observar el real comportamiento de la
gráfica de f(x), cerca del punto x = 1, consideramos dos grupos de
valores de x.
Uno de los grupos sería el conjunto de números que se aproximen a uno
por la izquierda y el otro, el conjunto de números que se aproximen por
la derecha.
2. Limites trigonométricos
1.
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3.
4.
5.
Demostraciones
Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites
trigonométricos, se utilizará la inecuación sin(x) < x < tan(x) en el
intervalo (0, π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente.
Luego dividimos por sin(x), obteniendo:
Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de
desigualdad:
Calculando el límite cuando x tiende a 0:
Lo que es igual a:
Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite
necesariamente vale 1:
3. El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los
límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:
Limites infinitos
Límite infinito
Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy
grandes.
X f(x) Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez
más cerca de 0. Si x es suficientemente grande
-4
100 1,0x10
podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto
1.000 1,0x10-6 como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0
cuando x tiende a infinito.
-8
10.000 1,0x10
100.000 1,0x10-10
1.000.000 1,0x10-12
Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los
límites que involucran al infinito.
4. Definición
Límite infinito
Caso 1:
limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x
perteneciente al E*a,δ f(x) > A.
El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier
número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un
número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de
radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.
En otras palabras, si para cualquier número positivo A que
consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale
más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier
número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice
que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.
Caso 2:
limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B
f(x) > A.
5. Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible
encontrar un número positivo B tal que para todos los x mayores que B,
f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que cualquier
número, si x es lo suficientemente grande.
Caso 3:
limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para todo x > B
f(x) pertenece al Eb,ε.
CONCLUSION:
En esta investigación se conoció que son límites trigonométricos e
infinitos ya que esto nos ayudara para resolver los problemas.
Siendo f, una función que está definida, tanto por la derecha como por
la izquierda en a, y posiblemente no esté definida en el mismo valor
de a.