Este documento presenta varias distribuciones de probabilidad comunes, incluyendo la binomial, Poisson, hipergeométrica, geométrica, normal, Ji-cuadrado, T de Student, F de Snedecor y uniforme. Para cada distribución, se describen su función de probabilidad, espacio paramétrico, valor esperado, varianza y función generadora de momentos. También se discuten aproximaciones normales para algunas distribuciones.

1. FORMULARIO DE DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Jorge M. Galbiati
p´g.
a
DISTRIBUCION BINOMIAL 2
DISTRIBUCION POISSON 4
DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA 5
DISTRIBUCION GEOMETRICA 7
DISTRIBUCION NORMAL 8
DISTRIBUCION JI-CUADRADO 11
DISTRIBUCION T DE STUDENT 13
DISTRIBUCION F DE SNEDECOR 15
DISTRIBUCION UNIFORME 17
DISTRIBUCION EXPONENCIAL 18
DISTRIBUCION GAMA 20
DISTRIBUCION BETA 23
TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 25
1

2. DISTRIBUCION BINOMIAL
Funci´n de probabilidad:
o
n!
p(x) = px (1 − p)n−x si x = 0, 1, 2, ..., n
x!(n − x)!
Espacio param´trico:
e n ∈ {1, 2, 3, ...} p ∈ (0, 1)
Valor esperado: np
Varianza: np(1 − p)
Funci´n generadora de momentos:
o (1 − p + p et )n
F(x)
p(y)
0 x n y
APROXIMACION NORMAL DE LA BINOMIAL
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n binomial con par´metros n y p,
o a
entonces si n es grande y si p no es ni muy cercano a cero ni muy cercano a 1, la
X−np
variable aleatoria Z = √(np(1−p)) tiene distribuci´n aproximada normal es’tandar.
o
En la pr´ctica, si n es grande y p no es ni muy peque˜ o ni muy grande, si se requiere
a n
la probabilidad acumulada F (x) con F distribuci´n binomial, se puede obtener su
o
valor aproximado buscando en la tabla normal
x − 0,5 − np
FN √
(np(1 − p)
en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, como criterio, las
o a
condiciones simult´neas n > 30 , np > 5 y n(1 − p) > 5.
a
2

3. APROXIMACION POISSON DE LA BINOMIAL.
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n binomial con par´metros n y p, en-
o a
tonces si n es grande, y p muy cercano a cero, la variable aleatoria X tiene distribu-
ci´n aproximada poisson con par´metro λ = np.
o a
En la pr´ctica, si n es grande y p cercano a cero, si se requiere la probabilidad acu-
a
mulada F (x) con F distribuci´n binomial, se puede obtener su valor aproximado
o
buscando en la tabla poisson
x
e−λ (λ)y
FP (x) =
y=0
y!
en que FP es la distribuci´n poisson con par´metro λ = np. Se puede utilizar, como
o a
criterio, las condiciones simult´neas n > 30 y np ≤ 5.
a
3

4. DISTRIBUCION POISSON
Funci´n de probabilidad:
o
e−λ λx
p(x) = si x = 0, 1, 2, ...
x!
Espacio param´trico:
e λ ∈ (0, +∞)
Valor esperado: λ
Varianza: λ
e[λ(e −1)]
t
Funci´n generadora de momentos:
o
F(x)
p(y)
0 x y
APROXIMACION NORMAL DE LA POISSON.
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n Poisson con par´metro λ , entonces
o a
si λ es grande, la variable aleatoria Z = X−λ tiene distribuci´n aproximada normal
√
λ
o
est´ndar.
a
En la pr´ctica, si λ es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con F
a
distribuci´n Poisson, se puede obtener su valor aproximado buscando en la tabla
o
normal
x−λ
FN √
(λ
en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, como criterio, la
o a
condici´n λ > 36 .
o
4

5. DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
Funci´n de probabilidad:
o
(N −k)!
k!
n!(n−k)!
× (n−x)!(N −k−n+x)!
p(x) = N!
si x = a, a + 1, a + 2, ..., b
n!(N −n)!
en que a = max(0; n + k − N) y b = min(k, n). x es el n´ mero de ´xitos en la
u e
muestra.
Espacio param´trico:
e N,k y n enteros positivos, tales que k < N, n < N y
n < N − k.
N es el tama˜ o de la poblaci´n.
n o
k es el n´ mero de ´xitos en la poblaci´n.
u e o
n es el tama˜ o de la muestra.
n
nk
Valor esperado: N
Varianza: nk
N
(1 − k
N
) N −n
N −1
Funci´n generadora de momentos:
o
(N − n)!(N − k)!
H(−n; −k; N − k − n + 1; et )
N!
pq z p(p+1)q(q+1) z 2 p(p+1)(p+2)q(q+1)(q+2) z 3
donde H(p, q, r, z) = 1 + r 1!
+ r(r+1) 2!
+ r(r+1)(r+2) 3!
(funci´n hipergeom´trica)
o e
F(x)
p(y)
x b y
a
5

6. APROXIMACION BINOMIAL DE LA HIPERGEOMETRICA
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n hipergeom´trica con par´metros
o e a
k
N, k y n, entonces si N es grande y si N no es ni muy cercano a cero ni muy
k
cercano a 1, X tiene distribuci´n aproximada binomial con par´metros n y p = N .
o a
6

7. DISTRIBUCION GEOMETRICA
Funci´n de probabilidad:
o
p(x) = p(1 − p)x−1 si x = 1, 2, 3, ...b
x es el n´ mero de intentos hasta lograr el primer ´xito.
u e
Espacio param´trico:
e p ∈ (0, 1), probabilidad de ´xito en un intento.
e
1
Valor esperado: p
1−p
Varianza: p2
t
Funci´n generadora de momentos:
o e
p 1−(1−p)et si t < −log(1 − p)
F(x)
p(y)
x b y
a
7

8. DISTRIBUCION NORMAL
Funci´n de probabilidad:
o
1 (x − µ)2
p(x) = √ exp − para x ∈ (−∞, +∞)
(2π) · σ 2σ 2
Espacio param´trico:
e media µ ∈ (−∞, +∞) varianza σ 2 ∈ (0, +∞)
Valor esperado: µ
Varianza: σ2
2 t2 /2)
Funci´n generadora de momentos:
o e(µt+σ
f(y)
F(x)
0 x y
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
Es un caso especial de la normal, en que µ = 0 y σ 2 = 1.
Funci´n de densidad:
o
1 x2
f (x) = √ exp − para x ∈ (−∞, +∞)
(2π) 2
Valor esperado: 0
Varianza: 1
2 /2
Funci´n generadora de momentos:
o et
8

9. RELACION CON LA NORMAL ESTANDAR
Los valores de la funci´n de distribuci´n de la normal con par´metros µ y σ 2 se
o o a
obtienen de la tabla de distribuci´n normal est´ndar (en que µ = 0 y σ 2 =1)
o a
como se muestra a continuaci´n. Por esa raz´n s´lo se entrega la tabla de la normal
o o o
est´ndar.
a
Si se requiere la probabilidad acumulada hasta la cuantila x, se efect´ a la transfor-
u
x−µ
maci´n z = σ y se busca la probabilidad asociada a la cuantila z en la tabla de
o
distribuci´n normal est´ndar.
o a
Al rev´s, si se quiere saber a qu´ cuantila corresponde una probabilidad acumulada
e e
dada, F (z), se busca la cuantila z asociada a F (z) en la tabla de distribuci´n nor-
o
mal est´ndar. Entonces la correspondiente cuantila de la normal con par´metros
a a
µ y σ 2 es x = σz + µ.
9

10. FUNCIONES LINEALES DE NORMALES
1.- Si X es una variable aleatoria normal con valor esperado µ y varianza σ 2 , si a
y b son constantes, entonces la variable aleatoria a + bX tiene distribuci´n normal,
o
2 2
con valor esperado a + bµ y varianza b σ .
Como caso particular, la variable aleatoria estandarizada Z = X−µ tiene distribu-
σ
ci´n normal est´ndar.
o a
2.- Si X1 y X2 son variables aleatorias normales (p´g. 50), estad´
a ısticamente inde-
pendientes, con valores esperados respectivos µ1 y µ2 , con varianzas respectivas
2 2
σ1 y σ2 , y si a y b son dos n´ meros reales, entonces la variable aleatoria aX1 + bX2
u
tiene distribuci´n normal con valor esperado aµ1 + bµ2 y varianza a2 σ1 + b2 σ2 .
o 2 2
3.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias normales con valor esperado µ,
1
y varianza σ 2 entonces el promedio X= n n
i=1 Xi tiene distribuci´n normal con
o
valor esperado µ y varianza σ 2 /n.
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias estad´
ısticamente independientes, con
2
valor esperado µ y varianza σ y cualquier distribuci´n probabil´
o ıstica, continua o
X−µ
discreta, entonces si n es grande, la variable aleatoria Z= σ/√n tiene distribuci´n o
aproximada normal est´ndar a
10

11. DISTRIBUCION JI CUADRADO
Funci´n de densidad:
o
1
f (x) = xk/2−1 e−x/2 si x > 0
2k/2 Γ(k/2)
Espacio param´trico:
e Grados de libertad k ∈ {1, 2, 3, ...}
Valor esperado: k
Varianza: 2k
k/2
1
Funci´n generadora de momentos:
o 1−2t
para t < 1/2
f(y)
F(x)
0 x y
APROXIMACION NORMAL DE LA JI-CUADRADO.
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n ji-cuadrado con k grados de libertad,
o
X−k
entonces si k es grande la variable aleatoria Z = √(2k) tiene distribuci´n aproximada
o
normal standard.
En la pr´ctica, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con
a
F distribuci´n ji-cuadrado, se puede obtener su valor aproximado buscando en la
o
tabla normal
x−k
FN √
(2k)
en que FN es la distribuci´n normal est´ndar. Se puede utilizar, como criterio, la
o a
condici´n k > 200.
o
11

12. CONSTRUCCION DE UNA JI-CUADRADO A PARTIR DE NORMALES
1.- Si Z1 , Z2 , ...., Zn son n variables aleatorias normales est´ndar estad´
a ıstica-
mente independientes, entonces la variable aleatoria i=1 Zi2 tiene distribuci´n
n
o
ji-cuadrado con n grados de libertad.
2.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias normales con valor esperado µ y
−X)2
varianza σ 2 , independientes, entonces la variable aleatoria n (Xiσ2 tiene dis-
i=1
tribuci´n ji-cuadrado con n − 1 grados de libertad.
o
Adem´s esta expresi´n es estad´
a o ısticamente independiente del promedio X.
12

13. DISTRIBUCION T DE STUDENT
Funci´n de densidad:
o
k+1
Γ 2 1 1
f (x) = ·√ · k+1 para x ∈ (−∞, +∞)
Γ k/2 (kπ) x2 2
1+ k
Espacio param´trico:
e Grados de libertad k ∈ {1, 2, 3, ...}
Valor esperado: 0 para k > 1
k
Varianza: k−2
para k > 2
Funci´n generadora de momentos:
o no existe
f(y)
F(x)
0 x y
VALORES DE PROBABILIDAD MENORES QUE 0.5
Por la simetr´ de la distribuci´n t de student , rige la igualdad F (−x) = 1 −F (x).
ıa o
Por esa raz´n, la tabla s´lo tiene probabilidades mayores que 0.5, asociadas a cuan-
o o
tiles positivos.
Si se requiere el cuantil asociado a una probabilidad acumulada P menor que 0.5,
se ingresa a la tabla el valor de probabilidad acumulada 1 − P ; al correspondiente
cuantil x obtenido de la tabla se le pone signo menos, quedando −x como el cuartil
requerido.
13

14. APROXIMACION NORMAL DE LA T DE STUDENT
Si una variable aleatoria X tiene distribuci´n t de student con k grados de libertad,
o
entonces si k es grande la variable aleatoria X tiene distribuci´n aproximada normal
o
standard.
En consecuencia, si k es grande, si se requiere la probabilidad acumulada F (x) con
F distribuci´n t de student, se puede obtener su valor aproximado buscando en la
o
tabla normal el valor FN (x) , en que FN es la distribuci´n normal standard. Se
o
puede utilizar, como criterio, la condici´n k > 200 .
o
CONSTRUCCION DE UNA T DE STUDENT A PARTIR DE UNA NORMAL Y
UNA JI-CUADRADO
1.- Si Z es una variable aleatoria normal est´ndar y V es una variable aleatoria
a
ji-cuadrado con n grados de libertad, ambas estad´ ısticamente independientes,
Z
entonces la variable aleatoria √(X/n) tiene distribuci´n t de student con n grados
o
de libertad.
2.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias normales con valor esperado µ
y varianza σ 2 , estad´ ısticamente independientes, entonces la variable aleatoria
√ tiene distribuci´n t de student con n − 1 grados de libertad, en que X es el
X−µ
o
s/ n
(Xi −X)2
promedio y s2 = n
i=1 n−1
es la varianza muestral.
14

15. DISTRIBUCION F DE SNEDECOR
Funci´n de densidad:
o
n+d
Γ 2 n/2 xn/2−1
f (x) = · n/d · n+d si x > 0
Γ n
2
·Γ d
2 1+ n
x
2
d
Espacio param´trico: grados de libertad del numerador n y grados de libertad
e
del denominador d ambos enteros positivos.
d
Valor esperado: d−2
para d > 2
2d2 (n+d−2)
Varianza: n(d−2)2 (d−4)
para d > 4
Funci´n generadora de momentos:
o no existe
f(y)
F(x)
0 x y
INVERSION DE LA F DE SNEDECOR
Se puede usar la siguiente relaci´n para calcular valores que no aparecen en la tabla:
o
Si la variable aleatoria X tiene distribuci´n F con n grados de libertad del numerador
o
y d grados de libertad del denominador, entonces 1/X tiene distribuci´n F, con d
o
grados de libertad del numerador y n grados de libertad del denominador.
Por lo tanto se pueden obtener m´s valores de los que aparecen en la tabla, mediante
a
1
en la relaci´n Fn,d (x) = 1 − Fd,n ( x ) en que F es el valor de probabilidad acumulada
o
de la tabla, el primer sub´ındice corresponde a los grados de libertad del numerador,
el segundo a los grados de libertad del denominador.
15

16. CONSTRUCCION DE UNA F DE SNEDECOR A PARTIR DE DOS
JI-CUADRADO
1.- Si X es una variable aleatoria ji-cuadrado con n grados de libertad e Y es una
variable aleatoria ji-cuadrado con d grados de libertad, estad´
ısticamente indepen-
X/n
dientes, entonces el cuociente Y /d tiene distribuci´n F de Snedecorcon n grados
o
de libertad en el numerador y d grados de libertad en el denominador.
e Y /d
2.-Tambi´n X/n tiene distribuci´n F de Snedecor con d grados de libertad en el
o
numerador y n grados de libertad en el denominador.
16

17. DISTRIBUCION UNIFORME
Funci´n de densidad:
o
1
f (x) = si a < x ≤ b
b−a
Espacio param´trico:
e
−∞ < a, b < ∞ a<b
a+b
Valor esperado: 2
(b−a)2
Varianza: 12
Funci´n generadora de momentos:
o
ebt − eat
(b − a)t
f(y)
1
b-a
F(x)
0 a x b y
VALORES DE LA DISTRIBUCION UNIFORME
La funci´n de distribuci´n de la uniforme se puede calcular anal´
o o ıticamente mediante
la f´rmula
o
0 si x ≤ a
F (x) = x−a
b−a
si a < x ≤ b
1 si x > b
17

18. DISTRIBUCION EXPONENCIAL
Funci´n de densidad:
o
f (x) = λ · e−λx si x > 0
Espacio param´trico:
e T asa media de ocurrencia λ > 0
1
Valor esperado: λ
1
Varianza: λ2
λ
Funci´n generadora de momentos:
o λ−t
para t < λ
f(y)
F(x)
0 x y
VALORES DE LA DISTRIBUCION EXPONENCIAL
La funci´n de distribuci´n de la exponencial se puede calcular anal´
o o ıticamente me-
diante la f´rmula F (x) = 1 − e−λx para x > 0.
o
18

19. RELACION ENTRE UNA POISSON Y UNA EXPONENCIAL
1.- Si X es una variable aleatoria Poisson con par´metro λ, que describe el n´ mero
a u
de ocurrencias de un fen´meno por unidad de tiempo, entonces la variable aleato-
o
ria que describe el tiempo entre ocurrencias tiene distribuci´n exponencial con
o
par´metro λ. En tal caso el par´metro λ es la ”tasa media de ocurrencias” por
a a
unidad de tiempo, y θ = 1/λ es el ”tiempo medio entre ocurrencias”.
2.- En forma rec´ıproca, si Y es una variable aleatoria exponencial con par´metro
a
λ, que describe el tiempo entre ocurrencias de un fen´meno, entonces el n´ mero de
o u
veces que ocurre el fen´meno en una unidad de tiempo, es una variable aleatoria
o
con distribuci´n Poisson, con el mismo par´metro, que representa la ”tasa media
o a
de ocurrencias” por unidad de tiempo.
19

20. DISTRIBUCION GAMA
Funci´n de densidad: Hay dos formas usuales de parametrizar esta distribuci´n.
o o
Primera parametrizaci´n (Par. 1):
o
λp
f (x) = xp−1 e−λx si x>0
Γ(p)
Segunda parametrizaci´n (Par. 2):
o
1
xp e− θ
x
f (x) = si x>0
θp Γ(p)
Espacio param´trico:
e
Par. 1: P arametro de escala λ > 0
P arametro de f orma p > 0
Par. 2: P arametro de escala θ > 0
P arametro de f orma p > 0
p
Valor esperado: Par. 1: λ
Par. 2: pθ
Varianza: Par. 1: p
λ2
Par. 2: p θ2
Funci´n generadora de momentos:
o
λ p
Par. 1: λ−t
para t < λ
1 1
Par. 2: (1−θt)p
para t < θ
20

21. f(y)
F(x)
0 x y
Casos particulares:
1) Si p=1 (par´metro de forma) entonces la gama se convierte en una expo-
a
nencial cuyo par´metro es igual al par´metro de escala de la gama, λ (Par. 1) o
a a
equivalentemente θ (Par. 2).
2) Si p= 1 k , en que k es cualquier n´ mero entero positivo, y si λ= 1 (Par. 1) o
2
u 2
equivalentemente θ=2 (Par. 2) , entonces la gama se convierte en una ji-cuadrado
cuyo par´metro grados de libertad es igual a k.
a
La funci´n de distribuci´n gama no se puede calcular anal´
o o ıticamente, salvo en casos
especiales.
21

22. RELACIONES ENTRE GAMAS
Lo siguiente se expresa en t´rminos de la primera parametrizaci´n, con el par´metro
e o a
λ . Es equivalente para la segunda parametrizaci´n, con el par´metro θ. S´lo se debe
o a o
sustituir λ por θ.
1.- Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias gama estad´
ısticamente indepen-
dientes, con par´metros de forma respectivos p1 , p2 , ...., pn , y con par´metro de
a a
n
escala com´ n λ, entonces la variable aleatoria Y = i=1 Xi tiene distribuci´n gama
u o
n
con par´metro de forma p = i=1 pi y par´metro de escala λ.
a a
2.- Si X1 y X2 son variables aleatorias gama estad´ısticamente independientes,
con par´metros de forma respectivos p1 y p2 y par´metro de escala com´n λ en-
a a u
X1
tonces las variables aleatorias U=X1 + X2 y V = X1 +X2 son independientes, U
tiene distribuci´n gama con par´metro de forma p1 + p2 y de escala λ , y V tiene
o a
distribuci´n beta (p´g. 104) con par´metros r = p1 y s = p2 .
o a a
3.- Caso especial de 1. Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias exponenciales
estad´ısticamente independientes, con par´metro com´n λ, entonces la variable
a u
n
aleatoria Y = i=1 Xi tiene distribuci´n gama con par´metro de forma p = n y
o a
par´metro de escala λ.
a
A esta forma especial de gama, con par´metro de forma entero, se le suele dar el
a
nombre de distribuci´n erlang.
o
4.- Caso especial de 1. Si X1 , X2 , ...., Xn son n variables aleatorias ji-cuadrado
estad´
ısticamente independientes, con par´metros respectivos (grados de liber-
a
tad) k1 , k2, ...., kn , entonces la variable aleatoria Y = n Xi tiene distribuci´n ji-
i=1 o
n
cuadrado con k = i=1 ki grados de libertad.
22

23. DISTRIBUCION BETA
Funci´n de densidad:
o
Γ(r + s) r−1
f (x) = x (1 − x)s−1 si 0<x<1
Γ(r) Γ(s)
Espacio param´trico:
e
r>0, s>0
r
Valor esperado: r+s
rs
Varianza: (r+s)2 (r+s+1)
Momentos: La funci´n generadora de momentos no tiene una forma
o
anal´
ıtica. Sin embargo, el momento m-´simo puede obtenerse directamente, medi-
e
ante la f´rmula
o
µm = (r+s+1)! (r+m)!
(r+s+m+1)! r!
para m=1, 2, ..
f(y) f(y)
F(x) F(x)
0 x 1 y 0 x 1 y
En la figura de la izquierda, r < s, mientras que en la figura de la derecha, r > s.
Si r y s son iguales, la densidad es sim´trica.
e
23

24. La funci´n de distribuci´n beta no se puede calcular anal´
o o ıticamente, salvo en casos
especiales.
Caso particular:
Si r=1 y s=1 entonces la beta se convierte en una uniforme con par´metros a=0
a
y b=1.
24

25. TRANSFORMACION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
1.- Si X es una variable aleatoria continua con funci´n de densidad fX (x) y g() es
o
una funci´n creciente, entonces la nueva variable aleatoria Y = g(X) tiene funci´n
o o
de densidad dada por la f´rmula
o
1
fY (y) = f [g −1(y)]
|g [g −1 (y)]| X
en que || denota el valor absoluto, g es la derivada y g −1 es la inversa de la funci´n
o
g.
2.- Caso especial de 1. Si la funci´n g(x) del p´rrafo 1 es una funci´n lineal
o a o
g(x) = a + bx, en que a y b son constantes, b = 0, entonces la variable aleatoria
Y = g(X) tiene densidad
1
fY (y) = f y−a )
|b| X b
25