ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΟΛΗ ΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΩΡΑ
Οι παρακάτω ασκήσεις δίνονται στους μαθητές και αφού προσπαθήσουν αρκετά,
αν τα έχουν καταφέρει επαινούνται , αν όχι καθοδηγούνται από μένα για να τις
ολοκληρώσουνκαι πάλι επαινούνται για την προσπάθεια τους.
Την πρώτη μέρα που εφαρμόστηκε στο ΓΕΛ Εξαπλατάνου«Μεν.Λουντέμης»,
άκουσα το σχόλιο, «κύριε , να το ξανακάνουμε» , οπότε κάθε βδομάδα θα
προσπαθούμε να αφιερώνουμε μια διδακτική ώρα στις παρακάτω ασκήσεις.
Στο τέλος της ώρας τους δίνονται οι λύσεις ή το linkπου βρίσκονται οι λύσεις.
Καλή Διασκέδαση σε όλους.
1. (Γ.ΜΠΑΡΑΚΛΙΑΝΟΣ 2/12/19)
Δίνονται οι συναρτήσεις f, gορισμένες στο Rγια τις οποίες
ισχύει :
 f , g συνεχείς στο R
 (x-1)∙ g(x) =
x2−1
2
, για κάθε x≠1
 f (x) ≠ 2x , για κάθε x∈ R.
 lim
x→1
f(2x − 1) = g(1)
α ) Να δείξετε ότι f(1) = 1
μονάδες 6
β ) Να αποδείξετε ότι 2x<(x+1)2 και κατόπιν να δείξετε ότι f (x) < (x+1)2 για
κάθε x∈ R. μονάδες 5
γ ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1).
μονάδες 3
δ ) Αν η f (x) είναι γνησίως αύξουσα στο R ,
ι ) να δειχθεί ότι f2(2) +4 < 5f(2) μονάδες 3
ιι ) Να αποδειχθεί ότι f (ημx) - f (x+1) ≤ f (x) - f(ημx+1) , για κάθε x ≥ 0
μονάδες 8

2
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
α ) Είναι lim
x→1
f(x) = f(1) , αρκεί να βρώ το όριο.
lim
x→1
f(2x − 1) = g(1) , u=2x-1 u->1 ,lim
u→1
f(u) = g(1). Αρκεί να βρώτοg(1).
(x-1)∙ g(x) =
x2−1
2
⇔ g(x) =
x+1
2
, για κάθε x≠1, άρα g(1) = 1
β ) 2x<(x +1)2 ,όλοι μπροστά και καταλήγω στο «που ισχύει».
f (x) ≠ 2x⇔ f(x) − 2x ≠ 0 , άρα η συνάρτηση ℎ( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) − 2𝑥διατηρεί
πρόσημο. Είναι ή θετική ή αρνητική,
 έστω h(x) > 0 , τότε f (x) > 2x για x=1 καταλήγω σε ΑΤΟΠΟ ,άρα
f (x) < 2x<…….
γ ) Θ.Μπολζάνο στο [0,1] , f (0) < 2∙0 και f (1) =1 > 0 ,άρα….
δ )
ι) f2(2) +4 - 5f (2) = (f(2)-4)∙(f (2)-1) (*)
και από μονοτονία 1<2 ⇔f (1)<f (2) ⇔f (2)-1 >0
Επίσης f (x) < 2x , για x=2 έχω: f (2)-4 < 0 ,άρα η (*) είναι < 0 .
ιι ) Ηf (ημx) - f (x+1) ≤ f (x) - f (ημx+1) γράφεται :
f (ημx) - f (x) ≤ f (x+1) - f (ημx+1)ή
f (x+1) - f (ημx+1) ≥ f (ημx) - f (x)
και για x = 0 είναι f (0)-f (0) = f (1)-f (1) που ισχύει
Για x> 0 είναι ημx<x⇔ f(ημx) < f(x) ⇔ f(ημx) − f(x) < 0
Επίσης ημx+1 <x + 1 ⇔ f(ημx + 1) < f(x + 1) ⇔
f(x + 1) − f(ημx + 1) > 0
 Άρα για x> 0 είναι f(x + 1) − f(ημx + 1) > f(ημx) − f(x)
 Και για x = 0 είναι f(x + 1) − f(ημx + 1) = f(ημx) − f(x)
Συνεπώς για κάθε x≥0 είναι f (x+1) - f (ημx+1) ≥ f (ημx) - f (x)

3
2. (study4exams.gr/ ΘΕΜΑ Γ , σχολικό έτος 17-18)
Δίνεται η συνάρτηση , f (x) = ln(ex- 1) –x.
α ) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.
μονάδες 3
β ) Αφού δείξετε ότι η f (x) γράφεται , f (x) = ln
𝑒 𝑥−1
𝑒 𝑥 , να υπολογιστεί το
πρόσημο της.
μονάδες 4
γ ) Εξετάστε την f (x) ως προς τη μονοτονία.
μονάδες 5
δ ) Να βρεθεί το f(Df) και κατόπιν η αντίστροφη f-1(x).
μονάδες 4
ε ) Αν h(x) = ln
1
𝑥
, να δειχθεί ότι υπάρχει xο>0 τέτοιο ώστε να ισχύει
f (xο) = h(xο).
μονάδες 5
στ ) Να υπολογιστεί το όριο , lim
x→+∞
f(1)x3+x2+2
f(2)x2−x+1
μονάδες 4

4
α ) ex– 1 > 0 ⇔ x > 0
β ) f (x) = ln(ex- 1) – x⇔ f (x) = ln( 𝑒x
− 1)– lnex
= ln
ex
− 1
ex
Eίναι
ex− 1
ex
< 1γιατί ; Άρα ln
ex− 1
ex
< 0 ⇔ f(x) < 0 για κάθε x>0.
γ ) Η f (x) επίσης γράφεται f (x) = ln(1 −
1
ex
) , εφάρμοσε τον ορισμό και ………
f (x) γν. αύξουσα στο Π.Ο της.
δ ) Η f (x) είναι γν. αύξουσα και Df = (0,+∞) , άρα f (Df) = ( lim
x→0+
f (x), lim
x→+∝
f (x))
=(-∞,0) , γιατί ;
lim
x→+∝
f(x) = lim
x→+∝
ln
ex– 1
ex
θέτω u =
ex– 1
ex
και lim
x→+∝
ex− 1
ex
= lim
x→+∝
𝑒x(1−
1
ex)
ex
= 1
Άρα lim
x→+∝
ln
ex– 1
ex
= lim
x→+∝
𝑙𝑛1 = 0
y=f (x) ⇔ 𝑦 = ln
ex
– 1
ex
⇔
ey=
ex− 1
ex
⇔..
f-1(x) = -ln(1-ex) , x <0
ε ) Θ. Μπολτζάνο για την f (x) - h(x) στο [1,+∞)
είναι συνεχής ως…….. και f (1)-h(1) < 0
επίσης lim
x→+∝
(f(x) − h(x)) = 0 + ∞ = +∞ , άρα ………….
στ ) lim
x→+∞
f(1)x3+x2+2
f(2)x2−x+1
= +∝
γιατί, Ρητή συνάρτηση και ζητείται το όριο στο άπειρο.
Είναι : f (1) < 0 και f (2) < 0 ((β) ερώτημα ) οπότε το πηλίκο τους >0 και το
πολυώνυμο του αριθμητή έχει μεγαλύτερο βαθμό απ του παρανομαστή

5
3. [ Θέμα Β , Ιωάννης Σαράφης 3ο Διαγώνισμα Προσομοίωσης 2018]
Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f(x).
B1.Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f (x).
μονάδες 4
Β2. Να βρείτε τις τιμές στις οποίες η f (x) δεν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού
της.
μονάδες 4
Β3. Να εξεταστεί αν ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ.Μπολτζάνο στο
[-4,2]. Αιτιολογήστε πλήρως την απάντηση σας.
μονάδες 6
Β4. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈(5,6) τέτοιο ώστε f (ξ)=-2.
μονάδες 5
Β5. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x)=λ , λ≥0.
μονάδες 6

6
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
B5. Η εξίσωση f (x) = λ , έχει
oΔυο ρίζες αν ο λ ανήκει στο [0,1] ,
oΤρεις ρίζες αν ο λ ανήκει στο (1,2] ,
oΤέσσερις ρίζες αν ο λ ανήκει στο (2,5)
oΤρείς ρίζες αν λ = 5 ,
oΔυο ρίζες αν ο λ ανήκει στο (5,6)
oΜια ρίζα αν λ = 6
oΚαμία ρίζα αν λ > 6

7
4. (Σ.ΜΠΑΛΤΖΑΚΗΣ 13/12/19)
Έστω λ πραγματικός αριθμός και η συνεχής συνάρτηση f (x) για την οποία
ισχύει :
x2+2x+λ ≤ f (x) ≤ 2x2+1+λ , για κάθε x ∈ R
α ) Να δειχθεί ότι f ΄(1) = 4
μονάδες 4
β ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f (x) στο (1,f (1)).
μονάδες 3
γ )Να βρεθεί ο θετικός λ για τον οποίο η εφαπτομένη της Cfστο (1,f (1))
σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 2.
μονάδες 5
δ ) Για λ = 5 ,
ι ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση f (x) = 2020 έχει δυο τουλάχιστον ρίζες ετερόσημες.
μονάδες 7
ιι ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση :
1
x − 5
+
1
x − 3
=
2020
f (x)
έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (3,5).
μονάδες 6

8
α ) Βρες f (1) είναι f (1) = 3+λ.
Σχημάτισε τον ορισμό της παραγώγου και εφάρμοσε Κ.Π
β ) Ορισμός , προκύπτει : y=4x+(λ-1)
γ ) Σημεία στους άξονες (0,λ-1) , (
1−𝜆
4
, 0).
Εμβαδόν τριγώνου ίσο με :
(𝜆−1)2
8
και προκύπτει λ = 4. Κάνω Επαλήθευση !
δ ) ι ) Θεωρώ τη συνάρτηση : g(x) = f (x) – 2020 και g (0) = f (0) – 2020 < 0
x2+2x-2015 ≤ f (x)-2020 ≤ 2x2 - 2014 , για κάθε x ∈ Rή
x2+2x-2015 ≤ g(x) ≤ 2x2 - 2014 , για κάθε x ∈ R
x2+2x-2015 ≤ g (x) (1) και lim
x→+∞
g(x) = +∞ γιατί ;
Άρα υπάρχει x2 κοντά στο +∞ ώστε g (x2) > 0
Επίσης lim
x→−∞
g(x) = +∞ , άρα υπάρχει x1 κοντά στο -∞ ώστε g (x1) > 0
Εφαρμόζω Θ. Μπολτζάνο για την g (x) στα [0,x2] και [x1,0] κάνοντας χρήση της
οδηγίας !!
ii )f (x) > 0 για κάθε x∈ R.
Θεωρώ τη συνάρτηση
h(x) = 2(x-4)f (x) – 2020(x-3)(x-5)
και Θ. Μπολτζάνο στο [3,5].
h(3) = -2f(3)< 0
h(5) = 2f(5) > 0
20 ≤ f (3) ≤ 24 ,
40 ≤ f (5) ≤ 56 .

9
5. (Σ.ΜΠΑΛΤΖΑΚΗΣ 21/12/19)
Δίνεται η συνεχής f (x) : RR για την οποία ισχύουν :
 f (0)=1
 f (2) = −√7
3
 x3 + f3 (x) = 1 για κάθε x ∈ R
α) Να βρεθεί ο τύπος της f(x)
μονάδες 7
β ) Να δειχθεί ότι η f (x) είναι 1-1 και να οριστεί η f-1(x).
μονάδες 6
γ ) Να βρεθούν τα κοινά σημεία των συναρτήσεων f (x) , f-1(x).
μονάδες 3
δ ) Ισχύει το Θ.Μ.Τ για την f (x) στο [0,2] ; Αιτιολογήστε.
μονάδες 4
ε *) Εξετάστε αν υπάρχει ξ ∈ (0,1) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής
παράστασης της f (x) στο Μο(ξ,f (ξ)) να είναι παράλληλη στην ευθεία που
διέρχεται απ τα σημεία Α(√7
3
,1) και Β(1,√7
3
)
μονάδες 5

10
α ) x3 + f3 (x) = 1⇔f3 (x) = 1 – x3⇔ |f (x) | = √|1 − x3|
3
(1)
f (x) = 0 ⇔ |f (x) | = 0 ⇔1-x3 = 0 ⇔ x = 1
Σε καθένα απ τα (-∞,1) , (1,+∞) είναι f (x)≠ 0 και ως συνεχής διατηρεί
πρόσημο.
Επειδή f (0) =1 είναι f (x) >0 για κάθε x∈ (−∞, 1) και επειδή
f (2) = −√7
3
, είναι f (x) < 0 για κάθε x ∈ (1, +∞).
Άρα f (x) = -√x3 − 1
3
, αν x> 1 και f (x) = √1 − x33
, αν x≤1
β )Με παράγωγο και αποδεικνύουμε ότι είναι γν. φθίνουσα στο R
Εναλλακτικά με τον ορισμό x1<x2 , x1 , x2∈ (−∞, 1)…………….
Άρα γνησίως μονότονη, συνεπάγεται 1-1 άρα υπάρχει η αντίστροφη.
Αρχικά βρίσκω το f (Α). που είναι και το Π.Ο της f-1(x).
f (Α) = ( lim
x→+∞
f (x) , lim
x→−∞
f (x) ) =(-∞, +∞).
Προσοχή !f (0)=1 ⇔ 0 =f-1(1) και η f-1 έχει το ίδιο είδος μονοτονίας με την f.
Και είναι :
y = f (x) , ⇔ x = f-1(y), αντικαθιστώ στην (1) , x3 + f3 (x) = 1 για κάθε x ∈ R
(f-1(y))3 +y3 = 1 , y ∈ R ⇔ f-1(y) = ……….
γ ) Συμπίπτουν άρα άπειρα.
δ ) Δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1 άρα δεν ισχύει το ΘΜΤ στο [0,2]
lim
x→1+
f (x)
x−1
= lim
x→1+
− √x3−1
3
x−1
= − lim
x→1+
x3−1
(x−1)( √x3−1
3
)2
=-∞
ε ) Βρίσκω το διάνυσμα ΑΒ = (1−√7
3
, √7
3
− 1) και κατόπιν τον συντελεστή του
λ = -1 .
Aρκεί να δείξω ότι υπάρχει ξ στο (0,1) τέτοιο ώστε
f ΄(ξ) = -1
Κάνω Θ.Μ.Τ για την f (x) στο [0,1]
Συνεχής στο [0,1]
Παραγωγίσιμη στο (0,1)
Άρα υπάρχει ξ στο (0,1) ώστε
f΄ (ξ)=
f (1) −f (0)
1
= -1 = λ.

11
6. [ Δημοσιεύτηκε στο fb την 03/10/18 απ τον συνάδερφο Θ. Παπανδρέου]
Έστω f : RR , για την οποία ισχύουν :
 συνεχής στο R,
 (x-x2)·f(x)=ημx – x , x < 0
 f2(x) + f(x) = ex·(ex – 1) , x >0
 

)x(flim
x
α ) Να βρεθεί η τιμή f(0).
μονάδες 4
β ) Να βρεθεί η f(x).
μονάδες 7
γ ) Να βρεθεί το πρόσημο της f(x).
μονάδες 3
δ ) Να βρεθεί το )x(flim
x 
.
μονάδες 4
ε ) Να δείξετε ότι η εξίσωση : 0
1

xx
)x(f

, έχει τουλάχιστον μια ρίζα
στο (-π , -
2

).
μονάδες 7

12
α )Είναι συνεχής, άρα και στο 0 , αρκεί να βρώ το όριο στο 0 απ την σχέση
(x-x2)·f(x)=ημx – x , x< 0, είναι x – x2< 0 για κάθε x στο (-∞,0).
Με DLHτο όριο βγαίνει 0 άρα f(0) =0.
β ) Για x> 0 είναι f2(x) + f(x) = ex·(ex – 1) μετά από πράξεις προκύπτει
(f(x)+ex)∙( f(x)-ex+1) = 0 , ηf(x) διατηρεί πρόσημο στο (0,+∞) γιατί ;
Επίσης απ τα δεδομένα (όριο στο +∞) είναι f(x) > 0 για κάθε x> 0 , συνεπώς
f(x) = ex – 1 , x≥0
Για x< 0 απ την σχέση (x-x2)·f(x)=ημx – x , προκύπτει ο τύπος της f(x).
γ ) Χρήση της ημx – x> 0 για κάθε x< 0 , προκύπτει ότι f(x) < 0 για κάθε x< 0 και
f(x) > 0 για κάθε x> 0.
δ ) Με χρήση τριγωνομετρικών ορίων προκύπτει το όριο 0
ε ) Θεωρώ την f(x)∙ x + συνxκαι εφαρμόζω Θ. Μπολτζάνο στο [-π,
−𝜋
2
]
χρησιμοποιώντας το γ) για τα x< 0.

13
7. Έστω η συνάρτηση f(x) =





11
11
2
x,)x(
x,x
α )Εξετάστε την f(x) ως προς τη συνέχεια στο πεδίο ορισμού της.
μονάδες 5
β )Βρείτε την παράγωγο της f(x) , είναι παραγωγίσιμη στο 1 ; Αιτιολογήστε.
μονάδες 5
γ )Εξετάστε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
μονάδες 6
δ )Να γίνει η γραφική της παράσταση.
μονάδες 5
ε )Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f(x)
στο (2,1).
μονάδες 4

15
8. Δίνεται η συνάρτηση : f(x) =
x
4
,
α ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της f(x) στο τυχαίο Μ(xο , f(xο))
μονάδες 6
β ) Να δειχθεί ότι το τρίγωνο το οποίο σχηματίζει η προηγούμενη
εφαπτομένη με τους άξονες έχει σταθερό εμβαδόν.
μονάδες 9
γ ) Αν Α και Β τα σημεία που η εφαπτομένη στο Μ τέμνει τους άξονες , να
δειχθεί ότι το Μ είναι μέσο του ΑΒ.
μονάδες 10

17
Δίνεται η συνάρτηση f: (-1,+∞) R, για την οποία ισχύει
(2-f(x))∙( x+1)2 = x2, για κάθε x> -1
α ) Να δειχθεί ότι η f (x) γράφεται , f (x) = 2 – (1 −
1
x+1
)2 και να εξεταστεί ως
προς τη μονοτονία στα διαστήματα (-1,0) και [0,+ ∞).
μονάδες 7
β ) Να υπολογιστεί το σύνολο τιμών της f (x) .
μονάδες 4
γ ) Να λυθεί η εξίσωση f(ex) = 0
μονάδες 3
δ ) Ανg(x) = {
𝑒 𝑥2
+ 1, 𝑥 ≤ 0
𝑓(𝑥), 𝑥 > 0
,
i )Να δειχθεί ότι ln[g(𝑒 𝑥2−1
)] ≤ln[g(x2)] , x∈ 𝑅
μονάδες 4
ii ) Να αποδειχθεί ότι :
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)𝜂𝜇x
x
= lim
x→−∞
𝜂𝜇x
𝑔(𝑥)
μονάδες 3
iii )Να λυθεί η εξίσωση :
g(lnx) – g(x) = g(x-1) – g(lnx+1)
μονάδες 4

18
α ) γνησίως αύξουσα στο (-1,0) και γνησίως φθίνουσα στο [0,+ ∞)
β ) Βρες f ((-1,0)) και f ([0,+ ∞)) και …….. Σ.Τ το (-∞, 2]
γ ) ex> 0 και η f (x) γνησίως φθίνουσα στο [0,+ ∞) άρα…….
δ )
i )
Βρες τη μονοτονία της g(x) , είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
𝑒 𝑥2−1
≥ x2 και ……………………..
ii )Πρόσεχε που τείνει το κάθε όριο ! Κριτήριο παρεμβολής για το 2ο και όριο ίσο
με 0 και για το πρώτο …………………….
iii ) g(lnx) – g(x) = g(x-1) – g(lnx+1) , x>0 (γιατί ;)
g(lnx) – g(x-1) = g(x) – g(lnx+1)
Για x = 1 ισχύει η ισότητα
Για x> 1 lnx<x -1 και η g(x) γνησίως φθίνουσα άρα g(lnx) - g(x-1) > 0
Ομοίως g(x) – g(lnx+1) < 0 άρα αδύνατη για κάθε x>1.
Για 0< x<1 , τα ίδια !!

19
10. Δίνεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύει :
xe)x(fe x)x(f
 , x R .
α ) Να δείξετε ότι η f(x) είναι 1-1.
μονάδες 8
β ) Να λυθεί η εξίσωση , f(lnx)= f(1-x2)
μονάδες 8
γ ) Να δείξετε ότι f(x) = x για κάθε x R .
μονάδες 4
δ ) Να λυθεί η ανίσωση ,
2
x
e - ex + x2 – x> 0 .
μονάδες 5

20
α ) Η συνάρτηση h(x) = ex +x , είναι ορισμένη στο R, συνεχής και
παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, άρα 1-1.
Έστω x1 , x2 R και f(x1) = f(x2) )x(f)x(f
ee 21
 (1)
Επίσης όπως είπαμε f(x1) = f(x2) (2)
Από (1) + (2) έχω : 2121
2121
xexe)x(fe)x(fe xx)x(f)x(f

h(x1) = h(x2) x1 = x2 , άρα 1-1.
β ) Η f(x) 1-1 , άρα lnx = 1 –x2.
Θεωρώ την g(x) = lnx +x2 -1 , g(1) = 0 και Αg = (0, +∞).
Η g(x) είναι συνεχής παραγωγίσιμη στο Α και γν.αύξουσα, άρα η εξίσωση
lnx = 1 –x2 έχει μοναδική λύση την x = 1.
γ ) xe)x(fe x)x(f
  h(f(x)) = h(x)  f(x) = x , x R .
δ )Hανίσωση γράφεται h(x2) >h(x)  x2>x …….x ),(),(  10

21
11. (Ν.ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ)
Έστω f : RR, παραγωγίσιμη συνάρτηση, για την οποία ισχύουν :
 η f ΄(x) είναι γνησίως μονότονη στο R,
 f (0) = 0 ,
 f (x) + f (2-x) = 2x2 - 4x + 4 , για κάθε x ∈ R.
Να αποδειχθεί ότι :
α ) η f ΄(x) είναι γνησίως αύξουσα στο R.
μονάδες 4
β ) υπάρχει xο∈ (0,2) τέτοιο ώστε f (xο) = 2.
μονάδες 5
γ ) υπάρχουν x1 , x2∈ (0,2) με x1 ≠ x2 τέτοια ώστε :
1
f ΄(x1 )
+
1
f ΄(x2 )
= 1
μονάδες 6
δ ) το xο του β) ερωτήματος είναι πλησιέστερα στο 2 απ ότι στο 0.
μονάδες 5
ε ) Να βρεθεί το όριο lim
𝑥→+∞
f (x)
μονάδες 5

22
α ) Παραγώγισε τη σχέση f (x) + f (2-x) = 2x2 - 4x + 4
ως προς x, ΓΙΑΤΙ μπορούμε ;
Αφού είναι παραγωγίσιμη !
f ΄(x) - f ΄(2-x) = 4x - 4
και θέσε όπου x = 0
f ΄(0) - f ΄(2) = -4, άρα
Καταλήγει σε f ΄(0) - f ΄(2) < 0, άρα αφού 0 < 2 …………προκύπτει ότι η f ΄(x) γν.
αύξουσα στο R
β ) Βρες το f (2) και Θ.Ε.Τ για την συνεχή f (x) στο [0,2].
Είναι f (0) = 0 ,
για x = 2 , f (2) + f (0) = 4⇔ f (2) = 4 , άρα f (0) < η = 2 < f (2)
f (xο) = η = 2
γ ) Θ.Μ.Τ στα [0,xο ] και [xο , 2] για την f (x).
f ΄(x1) =
f (xο)−f (0)
x 𝜊
=
2
x 𝜊
, f ΄(x2) =
f (2)− f (xο)
2−x 𝜊
=
2
2−x 𝜊
δ ) x1<x2 ή f ΄(x1) <f ΄(x2) ή
2
x 𝜊
<
2
2−x 𝜊
ή 4 - 2xο < 2xο ή xο > 1 ,άρα το
xο πλησιέστερα στο 2 απ ότι στο 0.
Για το χιαστί , xο < 2 ⇔ 2 – xο > 0
ε ) Βρες την εφαπτομένη της f (x) στο (x2 , f (x2)) και λόγω ότι η f (x) είναι
ΚΥΡΤΗ στο R , η εφαπτομένη της είναι ΚΑΤΩ …………εκτός απ το σημείο επαφής.
Προκύπτει η σχέση f (x) ≥ f ΄(x2)∙x + f (x2) - f ΄(x2)∙x2 ή
f ΄(x2)∙x + f (x2) - f ΄(x2)∙x2 ≤ f (x) ,
άρα το όριο του αριστερού μέρους για x→ +∞ είναι + ∞ μιας και το f ΄(x2) > 0
γιατί : f ΄(x2) =
2
2−x 𝜊
> 0 και κάνοντας χρήση της ΟΔΗΓΙΑΣ, προκύπτει !!

23
12. Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
12
2
x
x
α ) Εξετάστε τη μονοτονία της.
μονάδες 7
β ) Εξετάστε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής.
μονάδες 8
γ ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f(x) .
μονάδες 5
δ ) Να γίνει η γραφική της παράσταση.
μονάδες 5

25
13. [ Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου - Εμπνευσμένη από Άσκηση 3 σχολικού βιβλίου
σελίδα 150]
Δίνεται η συνάρτηση g(x) =





1,34
1,2
2
2
xxx
xaxx
.
Β1. Να βρεθεί ο πραγματικός α αν η g(x) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού
της. (μονάδες 3)
Β2. Να υπολογιστεί η g΄(x) και η g΄΄(x) και να βρεθούν τα ακρότατα της
g(x). (μονάδες 7)
Β3. Να βρεθούν όλες οι εφαπτομένες της g(x) που άγονται απ το (0,0) και να
γίνει η γραφική παράσταση της g(x). (μονάδες 9)
Β4. Αν η ε : y = -4x είναι εφαπτομένη της g(x), να υπολογιστεί το Εμβαδόν
του χωρίου που περικλείεται απ την γραφική παράσταση της g(x) την
ευθεία ε , τον άξονα xx΄ και την ευθεία x = 1. (μονάδες 6)

28
14. Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου
[ Εμπνευσμένη από την Άσκηση 2 και 5 σχολικού βιβλίου σελίδα 38 ,232 αντίστοιχα]
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =
𝑒 𝑥
𝑒 𝑥+1
, x ∈ R
Γ1. Να δειχθεί ότι η f(x) είναι 1-1 και να βρεθεί το σύνολο τιμών της.
μονάδες 7
Γ2. Να δειχθεί ότι ο τύπος της αντίστροφης είναι f -1(x)= ln
x
1−x
και ότι
f-1(x)<0 , για κάθε x ∈ (0,
1
2
).
μονάδες 5
Γ3. Να βρεθεί το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται απ την f-1(x). τον
άξονα xx΄ και τις ευθείες x =
1
2
και x = λ , όπου λ ∈ R και 0 < λ <
1
2
.
μονάδες 8
Γ4. ι ) Να βρεθεί το όριο lim
𝜆→0+
𝐸(𝜆)
μονάδες 3
ιι ) Να υπολογιστεί το όριο lim
𝑥→0+
f (x) +f (−x)
𝑙𝑛𝑥
μονάδες 2

31
15.
Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου[ Εμπνευσμένη από το Θέμα 2 σελίδα 51,Περιοδικό Ευκλείδης Β΄ τ.112]
Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [-1,1]. Η f (x) είναι επίσης δυο
φορές παραγωγίσιμη στο (-1,1) και ισχύει :
f2(x) - 2f (x) + x2 = 0 , για κάθε x∈[-1,1].
α ) Να δειχθεί ότι η f (x) ΔΕΝ είναι αντιστρέψιμη.
μονάδες 4
β ) Να δειχθεί ότι η f (x) ΔΕΝ έχει Σημεία Καμπής.
μονάδες 4
γ ) Να αιτιολογήσετε γιατί η f (x) έχει ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο).
μονάδες 3
δ ) Αν f (0) = 2 , να αποδειχθεί ότι f (x) = 1 + √1 − x2 , -1 ≤ x ≤1.
μονάδες 6
ε ) Να βρείτε τα ακρότατα της f (x) και να λύσετε την εξίσωση :
f (x) = ημx
μονάδες 8

32
α ) για x = 1 , f2(1) - 2f (1) + 1 = 0 ή (f(1) – 1)2 = 0 ή f (1)=1
για x = -1 , f2(-1) - 2f (-1) + 1 = 0 ή (f(-1) – 1)2 = 0 ή f (-1)=1
Άρα -1 ≠1 και f (-1) = f (1) άρα η f (x) όχι αντιστρέψιμη.
β ) Ηf (x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη.
Παραγωγίζω δυο φορές τη σχέση και έχω :
2f(x)f΄(x) - 2f΄ (x) + 2x = 0 ,
2(f ΄(x))2 + 2f (x)f ΄΄(x) + 2 = 0 (2)
Έστω (xο , f (xο)) ένα σημείο καμπής , τότε f ΄΄(xο) = 0
Η (2) τότε γίνεται : (f ΄(xο))2 = -1 , ΑΤΟΠΟ , άρα η f (x) ΔΕΝ έχει
Σημεία καμπής.
γ ) Θ.Μ.Ε.Τ
δ ) f2(x) - 2f (x) + 1 = 1 - x2
(f(x) -1)2= 1 - x2 ή |f(x) − 1|=√1 − x2
Η συνάρτηση f (x) -1 = g(x) , μηδενίζεται για x = ± 1 και
g(0) = 2 – 1 > 0
Άρα f (x) = 1 + √1 − x2 , -1 ≤ x≤1.
ε ) 0 ≤ √1 − x2 ≤ 1 ή 1 ≤ 1 + √1 − x2 ≤ 2 και f (-1) = f (1) = 1
και f (0) = 2 , άρα ΜΕΓΙΣΤΟ το (0,2) και ΕΛΑΧΙΣΤΑ τα (-1,1) και
(1,1).
Είναι f (x) ≥ 1 και ημx ≤1 , το «=» για την πρώτη είναι το x=0 και
για τη δεύτερη το x =
𝜋
2
, άρα η εξίσωση f (x) = ημx είναι αδύνατη στο
[-1,1].

33
16. [ Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου - Εμπνευσμένη από Άσκηση 3 Β΄ σχολικού βιβλίου
σελίδα 29 και 5 σελίδα 110]
Έστω f(x) συνεχής συνάρτηση στο [0,5] , με f(0) = 0, της οποίας η παράγωγος
παριστάνεται στο παρακάτω σχήμα.
α ) Να δειχθεί ότι :
f(x) ={
x, 0 ≤ x ≤ 2
2, 2 < x ≤ 3
5 − x, 3 < x ≤ 5
(μονάδες 7)
β ) Να παρασταθεί γραφικά η f(x) .
(μονάδες 5)
γ ) Να βρεθεί, ως συνάρτηση του α , το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
απ την Cf τους άξονες xx΄ , yy΄ και την ευθεία x = α , όπου 0 ≤ α ≤ 5
(μονάδες 8)
δ ) Ένα σημείο M(x,f(x)), 0≤x≤2, κινείται πάνω στην Cf με τέτοιο τρόπο ώστε
να απομακρύνεται απ τον άξονα yy΄ με ρυθμό 2 cm/sec.
Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του γ) ερωτήματος, την χρονική
στιγμή toκατά την οποία το Μ περνά απ το σημείο (1,
1
2
).
(μονάδες 5)

35
17. (Θ.ΠΑΠΑΝΔΡΕΟΥ 6/1/20)
Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [-1,1] και παραγωγίσιμη στο (-1,1) για την
οποία ισχύουν :
 f (-1)=-f (1) = -1
 f ΄ (x) ≤ 1 για κάθε x∈ (−1,1)
 𝛼f (x)
+ 𝛽f (x)
≥ 2 για κάθε x ∈ [−1,1] 𝜅𝛼𝜄 α , β > 0 .
α ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον xx΄ σε τουλάχιστον ένα
σημείο.
μονάδες 5
β ) f (0) = 0
μονάδες 6
γ ) f (x) = x, για κάθε x ∈ [−1,1].
μονάδες 8
δ ) α∙β = 1
μονάδες 6

36
α ) Θ. Μπολτζάνο στο [-1,1] , άρα υπάρχει xο ∈ (−1,1) ώστε f (xο ) = 0.
β ) Θ.Μ.Τ στα [ -1 , xο ] , [xο , 1] , υπάρχουν ξ1 , ξ2 τέτοια ώστε
f ΄(ξ1) =
0+1
x 𝜊+1
, f ΄(ξ2) =
1
1−x 𝜊
, και τα δυο είναι ≤ 1 άρα………..
γ ) Θ.Μ.Τ στα [ -1 , x ] , [x , 1] και προκύπτει ότι f (x) ≤x και ταυτόχρονα f (x)≥x
άρα για κάθε x ∈ [−1,1] είναι ………
δ ) Θεωρώ την g(x) = 𝛼f (x)
+ 𝛽f (x)
, x∈ [−1,1] και εφαρμόζω το Θ. Φερμά.

37
18. [Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2008 ]
Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x2 - 2∙lnx, x> 0 .
α ) Να δειχθεί ότι f (x) ≥ 1 για κάθε x> 0.
μονάδες 6
β ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης f (x).
μονάδες 6
γ ) Έστω g(x) = {
lnx
f (x)
, x > 0
𝜅, x = 0
Να βρεθεί ο πραγματικός κ αν η g(x) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.
μονάδες 6
δ ) Για κ = -
1
2
, να δειχθεί ότι η συνάρτηση g(x) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο
διάστημα (0,e).
μονάδες 7

38
α ) Μονοτονία – ακρότατα , πινακάκι και προκύπτει ότι η f (x) έχει ολικό
ελάχιστο το (1,f (1)) = (1,1).
β ) ΜΟΝΟ κατακόρυφη την x = 0.
γ )Απλό.
δ ) Θ. Μπολτζάνο για την g(x) στο κλειστό [0,e].

39
19. [Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2009 – Θέμα Γ ]
Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ln[(λ+1)x2+ x + 1] – ln(x+2) , x> -1 και
λ∈R με λ ≥ - 1.
α ) Να βρεθεί ο λ ώστε να ισχύει το όριο lim
𝑥→+∞
f (x) να είναι πραγματικός
αριθμός.
μονάδες 5
β ) Για λ = -1 ,
ι ) να εξεταστεί η f (x) ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το σύνολο τιμών της .
μονάδες 10
ιι ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της f (x).
μονάδες 6
ιιι ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση f (x) + α2 = 0 έχει μοναδική λύση για κάθε
πραγματικό αριθμό α με α ≠ 0.
μονάδες 4

40
α ) f (x) = ln[(λ+1)x2+ x + 1] – ln(x+2)=ln
(𝜆+1)x2+x+1
x+2
, x > -1
Υπολογισμός ορίου για τις διάφορες τιμές του λ.
Αν λ+1 > 0 , τότε το όριο βγαίνει +∞ , άρα λ+1 = 0
β ) f (x) = ln(x + 1) – ln(x+2) , f ΄(x) =
1
x+1
−
1
x+2
=
1
(x+1)(x+2)
> 0
Η f (x) είναι γνησίως αύξουσα στο (-1,+∞) και f (Α) = (-∞ , 0)
γ ) Ασύμπτωτες οι : Οριζόντια η y = 0
Kατακόρυφη η ευθεία x = -1
δ ) Θεωρώ τη συνάρτηση g(x) = f (x) + α2 , x> -1 , εξετάζω ως προς τη
μονοτονία και υπολογίζω το Σ.Τ
Είναι g(Α) = (-∞ , α2 )
Λόγω της μονοτονίας και του Σ.Τ προκύπτει το ζητούμενο.

41
20. Δίνεται η συνάρτηση
f (x) = ln(x+√x2 + 1)
α ) Να αποδειχθεί ότι το πεδίο ορισμού της είναι το R και να δείξετε ότι η
συνάρτηση είναι περιττή.
μονάδες 4
β ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία, να βρεθεί το σύνολο τιμών της , να
δειχθεί ότι αντιστρέφεται και να βρεθεί η αντίστροφη της.
μονάδες 5
γ ) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f (x) είναι ΚΥΡΤΗ ή ΚΟΙΛΗ και να
προσδιοριστούν τα σημεία καμπής της.
μονάδες 3
δ ) Να βρεθούν οι εφαπτομένες της f (x)που είναι κάθετες στην ευθεία
y = -2x + 2020.
μονάδες 3
ε ) Να λυθεί η εξίσωση : f ΄(x) + f ΄(3x) = f ΄(2x) + f ΄(5x)
μονάδες 5
στ ) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ τη γραφική
παράσταση της f (x) , την ευθεία y = x και τις ευθείες x = 0 και x = 1.
μονάδες 5

42
α ) x2<x2 + 1 ⇔ √𝐱 𝟐<√𝐱 𝟐 + 𝟏 ⇔ |𝐱| < √𝐱 𝟐 + 𝟏 ⇔ − √𝐱 𝟐 + 𝟏 < 𝐱 < √𝐱 𝟐 + 𝟏 ,
άρα x + √𝐱 𝟐 + 𝟏 > 𝟎 για κάθεx∈ 𝐑. Για την περιττή εργαζόμαστε με τον ορισμό.
β ) f ΄(x) =
𝟏
√ 𝐱 𝟐+𝟏
> 0 , άρα γνησίως αύξουσα στο R. f (R) = R .
Για την αντίστροφη έχουμε :
y = f (x) ⇔ 𝒆 𝒚
= (𝐱 + √𝐱 𝟐 + 𝟏) …………….⇔ 𝒆 𝒚
=
𝟏
√ 𝐱 𝟐+𝟏−𝐱
(1)
Επίσης 𝒆 𝒚
− 𝐱 = √𝐱 𝟐 + 𝟏(2) , άρα η (1) μέσω της (2) γίνεται : 𝒆 𝒚
=
𝟏
𝒆 𝒚−𝟐𝐱
⇔
x=
𝒆 𝟐𝒚−𝟏
𝟐𝒆 𝒚
, άρα f-1(x) =
𝒆 𝟐 𝐱
−𝟏
𝟐𝒆 𝐱
, x∈ 𝐑
γ ) Η f (x) είναι ΚΥΡΤΗ στο (-∞,0] και ΚΟΙΛΗ στο [0, +∞) , Σ.Κ το (0,0)
δ ) Έστω (xο , f (xο))το σημείο επαφής και ………. Προκύπτει xο = ±√𝟑 , άρα οι
εξισώσεις είναι ΔΥΟ.
y =
𝟏
𝟐
𝐱 + 𝐥𝐧(√ 𝟑 + 𝟐) −
√𝟑
𝟐
και y =
𝟏
𝟐
𝐱 − 𝐥𝐧(√ 𝟑 + 𝟐) +
√𝟑
𝟐
ε ) Προφανής λύση η x = 0. Η εξίσωση γράφεται :
f ΄(x) - f ΄(2x) = f ΄(5x) - f ΄(3x)
Για x> 0 , x< 2x< 3x< 5x και από μονοτονία f ΄(x) …………………………
Για x< 0 , x> 2x> 3x> 5x και από μονοτονία f ΄(x) …………………………
στ ) Η y = x είναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f (x) στο (0,0).
Ισχύει f (x) ≤ x για κάθε x ∈ [𝟎, +∞) , οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι :
Ε = ∫ |𝐟 (𝐱) − 𝐱|𝒅𝐱
𝟏
𝟎
=…………..=
𝟏
𝟐
− ∫ 𝐟 (𝐱) 𝐝𝐱
𝟏
𝟎
∫ 𝐟 (𝐱) 𝐝𝐱
𝟏
𝟎
= ∫ (𝐱)΄𝐟 (𝐱) 𝐝𝐱 = 𝐥𝐧(𝟏 + √𝟐) − √𝟐 + 𝟏
𝟏
𝟎
Άρα Ε = √𝟐 −
𝟏
𝟐
− 𝐥𝐧(𝟏 + √𝟐)τ.μ

43
21. Δίνεται η παραγωγίσιμη
συνάρτηση f (x) για την οποία
ισχύουν:
 η f ΄(x) είναι συνεχής ,
 f (R) = R ,
 f (0) = 2020
 f (f (x)) + f (x) = 2020 – x , x∈ R
 g(x) = x2
α ) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της f (x) και η γραφική παράσταση της
g(x) έχουν τουλάχιστον ένα σημείο τομής με τετμημένη που ανήκει στο
διάστημα (0,2020).
μονάδες 5
β ) Να δειχθεί ότι υπάρχει xο∈ (0,2020) τέτοιο ώστε να ισχύει : f ΄(xο ) = -1.
μονάδες 4
γ ) Να μελετηθεί η f (x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
μονάδες 6
δ ) Να δειχθεί ότι η f (x) αντιστρέφεται και να υπολογιστεί το
∫ f (x) dx
2020
0
μονάδες 10

44
α ) Θέτω x = 0 στην f(f (x)) + f (x) = 2020 – x και υπολογίζω το f (2020).
Εφαρμόζω Θ.Μπολτζάνο για την f (x) - g(x) στο [0,2020]
β ) ΘΜΤ στο [0,2020] για την f (x).
γ ) Παραγωγίζω την f(f (x)) + f (x) = 2020 – x και αν θεωρήσω ότι υπάρχει ρ
τέτοιο ώστε f΄(ρ) = 0 καταλήγω σε άτοπο , άρα f΄(x) ≠ 0 μιας και είναι συνεχής
προκύπτει ότι διατηρεί πρόσημο και από β) ερώτημα είναι f΄(x)< 0
δ ) Στην f(f (x)) + f (x) = 2020 – x θέτω όπου x , το f-1 (x).
Βρίσκω f-1(x) = 2020 - f (x) – x , x ∈ R.
Για τον υπολογισμό του ∫ f (x) dx
2020
0
(θέτω u = f (x)⇔x = f -1(u) , u1 = 2020 , u2 = 0 )
Άρα :
∫ f (x) dx
2020
0
= ∫ u(−1 − f΄(𝑢)) du
0
2020
=……………
⇔ ∫ f (x) dx
2020
0
=
20202
4

45
22. [Επαναληπτικές Πανελλήνιες 2010 – Θέμα Γ ]
Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (x-2)∙lnx + x – 3 , x> 0.
α ) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f (x).
μονάδες 5
β ) Να δειχθεί ότι η f (x) είναι γνησίως φθίνουσα στο (0,1] και γνησίως αύξουσα
στο [1,+∞).
μονάδες 5
γ ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει ΔΥΟ ακριβώς θετικές ρίζες.
μονάδες 6
δ ) Αν x1 , x2 οι ρίζες της εξίσωσης f (x) = 0 του γ) ερωτήματος να δειχθεί ότι
υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (x1 , x2) ώστε να ισχύει : ξ∙f΄(ξ) - f (ξ) = 0 και
ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f (x) στο Μ(ξ , f (ξ)) διέρχεται
απ το (0,0).
μονάδες 9

46
Δίνεται η συνάρτηση f (x) = (x-2)∙lnx + x – 3 , x> 0.
β ) f ΄(x) = lnx +
x−2
x
+ 1 = lnx +
2x−2
x
= lnx +
2(x−1)
x
Για x < 1 είναι lnx < 0 και
2(x−1)
x
< 0 , άρα f ΄ (x) < 0 για κάθε x < 1
Άρα η f (x) είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ1 = (0,1] και
Για x > 1 είναι lnx > 0 και
2(x−1)
x
> 0 , άρα f ΄ (x) > 0 για κάθε x > 1
γνησίως αύξουσα στο Δ2 = [1,+∞).
γ ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει ΔΥΟ ακριβώς θετικές ρίζες.
f (Δ1 ) = [f (1) , +∞) = [- 2 , +∞) άρα μοναδική θετική ρίζα στο Δ1.
f (Δ2 ) = [f (1) , +∞) = [- 2 , +∞) άρα μοναδική θετική ρίζα στο Δ2.
δ ) Θεωρώ την g(x) =
𝐟 (𝐱)
𝐱
στο [x1 , x2] , συνεχή , παραγωγίσιμη και g(x1) = g(x2)
άρα από Rol υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ στο (x1 , x2) ώστε g΄(ξ) = 0 ⇒
ξ∙f΄(ξ) - f (ξ) = 0 , επίσης η g΄(x) =
𝐱𝐟 ΄ (𝐱)−𝐟 (𝐱)
𝐱 𝟐 .
Η εφαπτομένη στο ξ είναι : y - f (ξ) = f΄(ξ)(x-ξ) , για x = y = 0 είναι
f (ξ) = ξf ΄(ξ) , που ισχύει από παραπάνω άρα διέρχεται απ το (0,0).

47
23. [Ομογενείς 2018 Θέμα Δ]
Δίνεται η συνάρτηση f : [0,π] →Rμε τύπο f (x) = 2ημx – x.
α ) Να βρεθούν τα ακρότατα της f (τοπικά και ολικά).
μονάδες 5
β ) Να εξηγήσετε γιατί για κάθε xο∈ [0, 𝜋] η γραφική παράσταση της f και η
εφαπτομένη της στο (xο , f (xο)) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
μονάδες 5
γ ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ∫ f (x) ∙ συνx𝑑𝑥
𝜋
0
μονάδες 8
δ ) Να αποδείξετε ότι lim
x→0
f (x)
x
= 1
μονάδες 2
ε ) Να υπολογίσετε το όριο
lim
x→0
[(f (x) − f (2x)) ∙ 𝑙𝑛x]
μονάδες 5

48
α ) τ.ε (0,f (0)) , ο.ε (π,f (π)) , ο.μ (
𝝅
𝟑
, … … . )
β ) Κυρτότητα και εφαπτομένη !
γ ) 2 , παραγοντική ολοκλήρωση και τριγωνομετρικοί.
δ ) Απλό , έλα τώρα !
ε ) Διαιρώ και πολλαπλασιάζω με x , ………

49
24. [ Διαγώνισμα Θέμα Δ , Αρσάκεια – ΓΕΛ Εκάλης , Αναρτημένο στον
ιστότοπο: https://lisari.blogspot.com/?view=classicστις 21/3/2020]
Έστω συνάρτηση f (x) , δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και
 f (0) = -1
 f (1)= f (2)=1
 f ΄΄(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ R
Δ1 ) Να δείξετε ότι υπάρχει xο∈ (0,2) τέτοιο ώστε f ΄(xο) =
1
2
μονάδες 8
Αν η f ΄΄(x) είναι συνεχής
Δ2 )
α ) Να αποδείξετε ότι f ΄΄(x) < 0 για κάθε x ∈ R.
μονάδες 5
β ) Να δείξετε ότι f (x) > -1 για κάθε x ∈(0,2]
μονάδες 6
Δ3 ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση :
f (x+1) - f (x) = 3x2
έχει ακριβώς μια λύση στο (0,1).
μονάδες 6
G. Leibniz

50
Δ1 ) Θ.Μ.Τ στο [0,1] για την f (x) , άρα υπάρχει x1∈(0,1) ώστε f ΄(x1) = 2
Θ.Ρολ στο [1,2] για την f (x) , άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x2∈ (1,2) : f ΄(x2) = 0
Θ.Ε.Τ για την f ΄(x) στο [x1 ,x2] ,
 είναι συνεχής η f ΄(x) μιας και υπάρχει η f ΄΄(x),
 f ΄(x1)≠f ΄(x2) και
 0<
1
2
< 2
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα xο ∈ (x1 ,x2) υποσύνολο του (0,2) τέτοιο ώστε να
ισχύει f ΄(xο) =
1
2
Μια ενδεικτική διάταξη !
x - ∞ 0 x1 1 xo x2 2 + ∞
Δ2 α)
f ΄΄(x) συνεχής και για κάθε x είναι f ΄΄(x) ≠ 0 , άρα από συνέπειες Θ.Μπολτζάνο
η f ΄΄(x) διατηρεί πρόσημο.
f ΄(x1) = 2 και f ΄(x2) = 0, ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ για την f ΄(x) στο
[x1 ,x2] άρα υπάρχει ξ ∈ (x1 ,x2) ώστε f ΄΄(ξ) =
0−2
x2−x1
< 0(παρανομαστής θετικός)
Άρα f ΄΄(x) < 0 για κάθε x ∈ R.
Δ2 β )
x 0 x1 1 xo x2 2
f ΄΄(x) - - - - - - -
f ΄(x) + + + + + - -
f (x) -1 1 1
Απ το πίνακα με αιτιολόγηση – Σ.Τ της f (x) , προκύπτει ότι :
f (x) > -1 για κάθε x ∈ (0,2].
Δ3 ) Θεωρώ τη συνάρτηση g(x) = f (x+1) - f (x) - 3x2 , x ∈ [0,1]
 Συνεχή στο [0,1]
 g(0) = f (1)-f (0) = 2 > 0
 g(1) = f (2)-f (1)-3= 0 – 3 < 0
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x3∈(0,1) τέτοιο ώστε g(x3) = 0
ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ, g΄(x) = f ΄(x+1) - f ΄(x) – 6x<0 για κάθε x ∈(0,1) γιατί ;
0<𝐱< 𝐱+1 ⇔f ΄(x) >f ΄(x+1) ⇔f ΄(x+1) <f ΄(x) ⇔f ΄(x+1) - f ΄(x) < 0

51
Δίνεται η f , συνεχής και ορισμένη στο [0,4] για την οποία ισχύουν:
 f ΄(x) = {
0, x ∈ [0,2)
1, x ∈ (2,4]
 f (1) = -2
 lim
x→4−
√x+5−3
f (x)
=L∈ R
α )Να δείξετε ότι f (x) = {
−2, x ∈ [0,2]
x − 4 , x ∈ (2,4]
, L =
1
6
και να γίνει η
γραφική παράστασητης f (x).
μονάδες 10
β ) Έστω η ευθεία x = κ , κ∈ [0,4] η οποία κινείται για τις διάφορες
τιμές του κ προς τα δεξιά και σχηματίζεται χωρίο που περικλείεται
απ την γραφική παράσταση της f (x) και τους ημιάξονες Οx και Οy΄.
Να ορίσετε τη συνάρτηση του εμβαδού Ε(κ) του παραπάνω χωρίου
για τις διάφορες τιμές του κ.
μονάδες 9
γ ) Αν κ = κ(t) , όπου t σε δευτερόλεπτά και ισχύουν :
 κ΄( t) = 2∙t μον/sec ,
 κ(0) = 0
να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής του Εμβαδού του β)
ερωτήματος την χρονική στιγμή κατά την οποία tο = √3sec
μονάδες 6

52
α ) f (x) = {
𝑐1, x ∈ [0,2]
x + c2, x ∈ (2,4]
απ΄ τις συνέπειες του Θ.Μ.Τ
λόγω της υπόθεσης f (1) = -2 , βρίσκω c1 = -2.
Η f (x) είναι συνεχής άρα lim
x→2+
f(x) = −2 , άρα c2 = -4
Απ το όριο που δίνεται , μιας και f (4) = 0 , είναι απροσδιόριστη
μορφή, κάνω συζυγή παράσταση και βρίσκω :
lim
x→4−
√x+5−3
f (x)
= lim
x→4−
x+5−9
(x−4)( √x+5+3)
=
1
6
= L
Η γραφική παράσταση της f (x) είναι
το κόκκινο και μπλε τμήμα του
διπλανού σχήματος.
β )
Για 0 ≤ κ ≤ 2 σχηματίζεται ένα
ορθογώνιο με εμβαδόν 2∙κ
Για κ > 2 σχηματίζεται ένα χωρίο που
αποτελείται από ένα τετράγωνο ΟΑΒΓ
και ένα τραπέζιο ΒΓΔΕ.
Ε(κ) = {
2𝜅, 𝜅 ∈ [0,2]
6 −
(4−κ)2
2
, 𝜅 ∈ (2,4]
γ )κ΄(t)=2t ή κ(t)=t2 + c
c = 0, γιατίκ(0) = 0.
0≤κ≤2 ⇔ 0 ≤ t2≤ 2 ⇔ 0≤ t≤ √2 , άρα :
Ε΄(t) = (6-
(4−t2)2
2
)΄ ⇒Ε΄(t) = 2t(4-t2)
Συνεπώς Ε΄(√3)=2√3 τ.μ / sec

53
26. [Ν. Ζανταρίδης, Επανάληψη Μαθηματικών- Θεματογραφία , 2020]
α ) Να δείξετε ότι :
1
x+1
< ln( 𝑥 + 1) − lnx <
1
x
, για κάθε x> 0
μονάδες 5
β ι ) Να δειχθεί ότι ισχύει :
𝑒
x
x+1 < (1 +
1
x
)x
< 𝑒 , για κάθε x> 0
μονάδες 5
β ιι ) Να υπολογιστεί το όριο : lim
x→+∞
(1 +
1
x
)x
μονάδες 4
γ ) Δίνεται η συνάρτηση
f(x) = x∙ln(x+1) – (x+1)lnx , x> 0 ,
να μελετηθεί ως προς την μονοτονία , τα ακρότατα και να βρεθεί το
σύνολο τιμών της.
μονάδες 8
δ )Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός α >0 για το οποίο
ισχύει : (α+1)α = αα+1
μονάδες 3

54
α ) Θ.ΜΤ «Διαφορικού Λογισμού» για την g(x) = lnx , συνεχή και
παραγωγίσιμη στο [x , x+1]
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (x,x + 1) ώστε g΄(ξ) = ln(x+1)-lnx
ή
1
𝜉
=ln(x+1)-lnx
0 <x< ξ <x+1 ⇔
1
x
>
1
𝜉
>
1
x+1
……..
β ι) Την σχέση που απέδειξα στο α) την πολλαπλασιάζω με x>0,
1
x + 1
< ln( 𝑥 + 1) − lnx <
1
x
⇔
x
x + 1
< x ln (
𝑥 + 1
x
) < 1
x
x+1
< ln(
x+1
x
)x
< 1 και η ex είναι γνησίως αύξουσα άρα
𝑒
x
x+1 < (1 +
1
x
)x
< 𝑒
βιι ) Στην σχέση που απέδειξα στο βι) εφαρμόζω Κ.Π
και προκύπτει το ζητούμενο.
γ ) f΄(x) =ln(x+1) -
x
x+1
– lnx –
x+1
x
= ln(x + 1) − lnx −
1
x⏟
<0
−1 −
x
x+1⏟
<0
Άρα f΄(x) < 0 συνεπώς η f(x) γνησίως φθίνουσα στο (0,+ ∞).
Δεν έχει Ακρότατα.
lim
x→0+
f(x) = +∞εύκολα
Για το άλλο , το όριο στο +∞, πρώτα γράφω την f(x) ως εξής :
f(x)=x∙ln(x+1) – xlnx - lnx = xln (
x+1
x
)–lnx =
ln(
x+1
x
)x
− lnx = ln(1 +
1
x
)x
− lnx.
Άρα : lim
x→+∞
(ln (1 +
1
x
)x
− lnx) = 1 − ∞ = −∞ , f(Α) = R
δ ) Απλό απ τα προηγούμενα και το σύνολο τιμών της f(x) .

55
27. [ Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου - Εμπνευσμένη απ τις Ασκήσεις 4 σχολικού
βιβλίου σελίδα 58 ,10 σελίδα 81 και 7 σελίδα 82]
Έστω f : RR συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύουν :
 lim
x→0
f (x) −1
x
=0
 f2(x) – x2 – 3 = ημ2x - 2∙f (x)∙συνx, για κάθε x∈R.
α ) Να δειχθεί ότι f (0) = 1
μονάδες 4
β ) Να αποδείξετε ότι f (x) = √x2 + 4 − 𝜎𝜐𝜈x , x∈R.
μονάδες 5
γ ) Να υπολογιστεί το όριο lim
x→0
f (x) −1
x2
μονάδες 5
δ ) Να εξεταστεί η f (x) ως προς τη μονοτονία στο [0,π].
μονάδες 5
ε ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό xο∈(0,π) για το οποίο ισχύει f (xο) = π
μονάδες 6
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/2306

56
α ) lim
x→0
f (x) −1
x
=0, θέτω g(x) =
f (x) −1
x
ή x∙g(x) + 1 = f (x)
Η f (x) συνεχής άρα lim
x→0
f (x) = f (0) , άρα…………f (0) = 1
β ) f2(x) – x2 – 3 = ημ2x - 2f (x)συνx ή (f (x)+συνx)2 = x2+4
|f (x) + συνx| = √x2 + 4 , |f (x) + συνx| ≠ 0 για κάθε x, άρα η
f (x) +συνx διατηρεί πρόσημο , είναι f (0) + συν0 = 1 + 1 =2 > 0 ,
συνεπώς f (x) = √x2 + 4 − 𝜎𝜐𝜈x , για κάθε x∈R , η οποία και επαληθεύει τα
δεδομένα.
γ ) lim
x→0
f (x) −1
x2 = lim
x→0
√x2
+4 − 𝜎𝜐𝜈x−1
x2 =
0
0
=
=lim
x→0
√x2
+4 −2+1− 𝜎𝜐𝜈x
x2 =
= lim
x→0
[
√x2+4 − 2
x2
+
1−𝜎𝜐𝜈x
x2
]=
1
4
+
1
2
=
3
4
δ ) Με τον ορισμό είναι …….. , –συνx1< -συνx2 (1) , μιας και η συνx είναι
γνησίως φθίνουσα στο [0,π].
Επίσης √x1
2
+ 4 < √x2
2
+ 4 (2) , με x1 , x2∈[0,π]
Από (1) +(2) προκύπτει ότι f (x1) <f (x2) , άρα η f (x) γνησίως αύξουσα στο
[0,π].
ε ) Βρίσκω το f ([0,π]) = [f (0) , f (π)] = [1 , 1 + √𝜋2 + 4] , ο αριθμός π ανήκει στο
f ([0,π]).
Εναλλακτικά κάνω Θ.Ε.Τ στο [0,π] για την f (x).
Η λύση είναι μοναδική από (δ) και μονοτονία της f (x).
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/2306

57
28. Δίνεται η f(x) = 𝑥 +
4
𝑥
.
Β1 ) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία – ακρότατα.
Β2 ) Κυρτότητα – Σ.Κ
Β3 ) Να βρεθούν οι κατακόρυφες και οι πλάγιες ασύμπτωτες της.
Β4 ) Ποιο το Σ.Τ της; Να γίνει η γραφική της παράσταση.
Β5 )Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ την Cf και την ευθεία y=5.
Μονάδες (5+5+5+5+5)
29. Δίνεται η f(x) =
𝑥
𝑒 𝑥.
Γ1 ) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία – ακρότατα.
Γ2 ) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈(2,3) τέτοιο ώστε να ισχύει :
2e-2> ξ𝑒−𝜉
>3𝑒−3
Γ3 ) Κυρτότητα και Σ.Κ.
Γ4 ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση : ex– ex = 0 έχει μοναδική ρίζα.
Γ5 ) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο Α(2, f(2)).
Γ6 ) Να δειχθεί ότι για κάθε x≥2 ισχύει e2 ∙x∙𝑒−𝑥 ≥ −𝑥 + 4 .
Πότε ισχύει η ισότητα ;
Μονάδες (5+2+5+5+3+5)
Γ1 ) Η f(x) =
𝑥
𝑒 𝑥 έχει Df = R , γιατί ex> 0 και άρα διάφορο του 0.
Είναι συνεχής στο Rως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
Δεν έχει Κ.Α (άσχετο , παρασύρθηκα !!)
Είναι παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγισίμων.
f΄(x) = (
𝑥
𝑒 𝑥)΄ =
(𝑥)΄𝑒x−x(𝑒 𝑥)΄
𝑒2𝑥 =
𝑒x − x𝑒x
𝑒2𝑥 =
𝑒x(1−x)
𝑒2x =
1−x
𝑒x
Το πρόσημο εξαρτάται μόνο απ τον αριθμητή.

58
x -∞ 1 +∞
f΄(x) + -
f(x) -∞ 0
Ο.Μ
Γνησίως αύξουσα στο (-∞,1] και γνησίως φθίνουσα στο [1,+ ∞)
Ολικό Μέγιστο το (1,f(1)) = (1,𝒆−𝟏
) , f(x) ≤
1
𝑒
lim
x→−∞
𝑥
𝑒 𝑥 = lim
x→−∞
x
1
𝑒 𝑥=(-∞)(+∞)=-∞
lim
x→+∞
𝑥
𝑒 𝑥
=
∞
∞
(𝐷𝐿𝐻) = lim
x→+∞
1
𝑒 𝑥
=0 , άρα η y= 0 είναι Ο.Α
Γ2 ) Η2e-2> ξ𝑒−𝜉
>3𝑒−3
γράφεται :
2
𝑒2 >
𝜉
𝑒 𝜉 >
3
𝑒3 , μονοτονία ίσως ;
Και το διάστημα είναι το [2,3] . Τι να κάνω ;
Τι είναι η f(x) στο [2,3] ;
Γνησίως φθίνουσα άρα ……. για κάθε ξ στο (2,3) έχω :
2 < ξ < 3 ⇒ f(2) > f(ξ) > f(3) ⇒
2
𝑒2 > 𝜉
𝑒 𝜉 > 3
𝑒3 ⇒
2e-2> ξ𝑒−𝜉
>3𝑒−3
Γ3 )
f΄΄(x)= (
1−𝑥
𝑒 𝑥 )΄=
(1−𝑥)΄𝑒x−(1−x)(𝑒 𝑥)΄
𝑒2𝑥 =
−𝑒x − 𝑒x+x𝑒x
𝑒2𝑥 =
𝑒x(x−2)
𝑒2x =
x−2
𝑒x
Το πρόσημο εξαρτάται μόνο απ τον αριθμητή.
x -∞ 2 +∞
f΄΄(x) - +
f(x)
Σ.Κ

59
Γ4 ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση : ex– ex = 0 έχει μοναδική ρίζα.
Hεξίσωση γράφεται :ex– ex = 0 ⟺ex=ex⟺
𝑥
𝑒 𝑥 = 1
𝑒
⟺
f(x) = 𝑓(1)
Θυμήσου !!
Γ1 )
Ολικό Μέγιστο το (1,f(1)) = (1,𝒆−𝟏
) , f(x) ≤
1
𝑒
Άρα x=1 , ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ
Γ5 ) Το Α είναι σημείο επαφής άρα :
y-f(2) = f ΄(2)∙(x-2) ⟺y-
2
𝑒2 =
1−2
𝑒2
(x − 2) , θυμήσου !
f΄(x) =
1−x
𝑒x ,
πράξεις και y-
2
𝑒2 = −1
𝑒2 (x − 2) ⟺y=
−1
𝑒2 x +
4
𝑒2 , η ζητούμενη ευθεία.
Γ6 ) Να δειχθεί ότι για κάθε x≥2 ισχύει e2 ∙x∙𝑒−𝑥
≥ - x +4 .
Πότε ισχύει η ισότητα ;
ΛΥΣΗ
Η ανισότητα γράφεται : e2 ∙x∙𝑒−𝑥
≥ - x +4 ⟺
x
𝑒x ≥
−1
𝑒2 x +
4
𝑒2
Τι έκανες ρε μεγάλε !! Έγραψα το e-x =
1
ex
και διαίρεσα με e2.

60
Άρα
x
𝑒x ≥
−1
𝑒2 x +
4
𝑒2 ⟺ f (x) ≥
−1
𝑒2 x +
4
𝑒2
Τι είπαμε ότι είναι η f (x) μετά το 2 ; ΚΥΡΤΗ , άρα η εφαπτομένη στο
2 που βρήκες στο Γ5 που βρίσκεται ; σχολικό βιβλίο σελίδα 156.
Η ισότητα ισχύει μόνο για το σημείο επαφής (2,f (2)) ή για x=2.
30. Δίνεται η f(x) = lnx + 𝑒 𝑥−1
+ 𝑥 − 2
Γ1 ) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία – ακρότατα και να βρεθεί το Σ.Τ.
Γ2 ) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 και το πρόσημο της f(x) .
Γ3 ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την
φ(x) = 2x∙lnx + 2𝑒 𝑥−1
+ 𝑥2
− 6𝑥 + 2020
i ) Να δειχθεί ότι φ(x) – 2017 ≥ 0 για κάθε x∈ (0, +∞)
ii ) Να συγκριθούν οι αριθμοί φ(e) και φ(π)
Μονάδες (6+6+6+3+4)
Γ1 )f ΄(x) = (lnx + 𝑒 𝑥−1
+ 𝑥 − 2)΄ =
1
x
+ 𝑒 𝑥−1
+ 1> 0 για κάθε x>0
⇒ η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+∞). Δεν έχει ακρότατα.
f(Α) = (lim
x→0
f(x) , lim
x→+∞
f(x))=(-∞ , +∞) = R
Γιατί , 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎+
𝐟(𝐱) = -∞ + e-1 + 0 – 2 = -∞
Γ2 ) Για x = 1 , f(1) = 0 και λόγω της μονοτονίας ΜΟΝΑΔΙΚΉ ΛΥΣΗ
Για x> 1 ⟺ f(x) > f(1) ⟺f(x)> 0 , θετική στο (1,+∞)
Για 0 <x< 1 ⟺f(x)<f(1) ⟺f(x)< 0 , αρνητική στο (0,1)
Γ3 ) φ΄(x) = (2xlnx + 2𝑒 𝑥−1
+ 𝑥2
− 6𝑥 + 2020)΄ = 2lnx + 2 +2𝑒 𝑥−1
+ 2x -6 =
= 2lnx+2𝑒 𝑥−1
+ 2x -4 = 2f(x) για κάθε x> 0 , άρα

61
x 0 1 +∞
φ΄(x) - +
φ(x)
Γνησίως αύξουσα στο [1,+∞) και γνησίως φθίνουσα στο (0,1] , Ολικό Ελάχιστο
το (1,φ(1)) = (1 , 2017)
Άρα φ(x) ≥ 2017 για κάθε x> 0
Γ3 ιι ) e<π ⟺ φ(e)< φ(π) γιατί ;
31. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x): RR τέτοια ώστε
(1+ex)f ΄(x) = f(x) για κάθε x∈ 𝑅 και f(0) = 1.
Δ1 ) Να δειχθεί ότι f(x) =
2𝑒 𝑥
1+𝑒 𝑥 , για κάθε x∈ 𝑅.
Δ2 ) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να δειχθεί ότι 0 <f(x) < 2 για κάθε
x∈ 𝑅.
Δ3 ) Κυρτότητα και να δειχθεί ότι η Cfέχει μοναδικό σημείο Καμπής το Α(0,1).
Δ4 ) Αν Μ(α, f(α)) και Ν(-α, f(-α)) , όπου α > 0 είναι σημείο της Cf , να δείξετε ότι
i ) Οι εφαπτομένες της Cfστα Μ, Ν είναι παράλληλες.
ii ) Το σημείο καμπής Α είναι μέσο του ευθ. Τμήματος ΜΝ.
Δ5 ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ την Cf και τους
άξονες xx΄ , yy΄ και την ευθεία x =1.
Μονάδες (4+5+4+(4+4)+4)

62
32. Δίνονται οι f(x) = lnx +
2
𝑥
−
1
𝑥2 και g(x) = ex∙lnx.
B1 ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα.
Β2 ) Να αποδειχθεί ότι η Cf έχει ένα μοναδικό κοινό σημείο με τον xx΄.
Β3 ) Να αποδείξετε ότι η gέχει μοναδικό σημείο καμπής.
Β1 ) Αρχικά Df = (0,+ ∞)
f΄(x) =
1
x
−
2
x2
+
2
x3
=
x2−2x+2
x3
=
(x−1)2+1
x3
>0 για κάθε x>0 ,άρα γνησίως
αύξουσα στο Df.
f ΄΄(x) =
−1
x2
+
4
x3
−
6
x4
=
−x2+4x−6
x4
< 0 για κάθε x> 0 ,άρα ΚΟΙΛΗ
Β2 ) f(x) = lnx +
2x−1
𝑥2 ,x> 0
Είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής άρα θα βρώ το σύνολο τιμών της.

63
Είναι f(Α) = (-∞,+∞) άρα υπάρχει μοναδικό xο ,ΜΟΝΑΔΙΚΗ ρίζα της
f(x) στο (0,+∞) , f(xo) = 0, ακολουθεί το πρόσημο της f(x).
x 0 xo + ∞
f(x) - +
Β3 ) Για κάθε x> 0, έχω g΄(x) =exlnx+ex
1
x
= ex(lnx+
1
x
)
g΄΄(x) = ex(lnx+
1
x
) + ex
(
1
x
−
1
x2) =ex(lnx +
2
𝑥
−
1
𝑥2)=ex∙f(x)
Προκύπτει από Β2)

64
33. (Ν.ΖΑΝΤΑΡΙΔΗΣ – Ν. ΚΑΡΠΟΖΗΛΟΣ)
Για την συνάρτηση f : R →R ισχύει
f 3(x) + f (x) = 8x + 2 , για κάθε x∈ R
α ) Να δείξετε ότι η f (x) είναι γνησίως αύξουσα στο R.
β **) Να δείξετε ότι : |f (x) − f (𝑦)|≤ 8|x − y| , για κάθε x , y ∈ R.
γ ) Να δείξετε ότι η f (x) είναι συνεχής στο R.
δ ) Να βρεθεί το Σ.Τ της f (x).
ε ) Να δείξετε ότι f 2(x) + 2 < 3f (x) , για κάθε x ∈ (0,1)
στ ) Να οριστεί η f -1(x).

65
α ) Θεωρώ την g(x) = x3 + x , x ∈ R , είναι γνησίως αύξουσα στο R ,
g΄(x) = 3x2 + 1 >0 , άρα και 1-1.
f 3(x) + f (x) = 8x + 2 , για κάθε x∈ R ⇔
g(f (x)) = 8x + 2 , x ∈ 𝐑.
Για κάθε x1 , x2 ∈ R με x1 < x2 ⇒ 8x1 +2 < 8x2 + 2 ⇒
g(f (x1)) < g(f (x2)) ⇒f (x1) <f (x2), άρα η f(x) γν. αύξουσα στο R.
β **) Θυμίζουμε αν α∙β≥ 0 , τότε |𝜶 + 𝜷| = |𝜶| + |𝜷| (1)
f 3(x) + f (x) = 8x + 2
f 3(y) + f (y) = 8y + 2
και τις αφαιρώ κατά μέλη , τότε προκύπτει :
f 3(x) - f 3(y) + f (x) - f (y) = 8(x-y) ⇒ παίρνω απόλυτα
|(f
3
(x) − f
3
(y)) + ( f (x) − f (y))|=8 |x − 𝑦| (2)
 Αν x≥ y ⇒ f (x) ≥ f (y) ⇒ f 3(x) ≥ f 3(y) άρα
f (x)-f (y) ≥0 και f 3(x) – f3 (y) ≥ 0 , ΟΜΟΣΗΜΟΙ
 Αν x< y ⇒ f (x)< f (y) ⇒ f 3(x) < f 3(y) άρα
f (x)-f (y) < 0 και f 3(x) – f3 (y) < 0 , ΟΜΟΣΗΜΟΙ
Από την (1) λοιπόν η (2) γίνεται :
|f
3
(x) − f
3
(y)| + |f (x) − f (y) |=8 |x − 𝑦| (3)
Είναι :
|f (x) − f (y) | ≤ |f
3
(x) − f
3
(y)| + |f (x) − f (y) | ⇒
|f (x) − f (y) | ≤ 8|x − y|

66
γ ) Η σχέση της β) για y = xο γίνεται :
-8|x − xο|≤ f (x) -f(xο) ≤ 8|x − xο|
Και απ το Κ.Π προκύπτει ότι η f (x) είναι συνεχής στο R.
δ ) Ηf (x) συνεχής και γνησίως αύξουσα στο R άρα το
f (Α) = ( lim
x→−∞
f (x), lim
x→+∞
f (x) )
θα είναι lim
x→+∞
f (x)=λ∈ R ή +∞
Αν είναι λ τότε απ την f 3(x) + f (x) = 8x + 2 , θα ίσχυε λ3 + λ = +∞,
ΑΤΟΠΟ ,άρα lim
x→+∞
f (x) =+∞
Ομοίως το άλλο άρα f (Α) = R.
ε ) f 2(x) + 2 < 3f (x) ⇔ f 2(x)+ 2 - 3f (x) < 0 ⇔ (f (x)-1)( f (x)-2) < 0 , x ∈ (0,1)
Για 0 < x < 1 ⇔ f (0) < f (x) < f (1)
Βρίσκω f (0).
f 3(0) + f (0) = 2 , με Χορνερ προκύπτει f (0)=1
Βρίσκω f (1).
f 3(1) + f (1) = 10 , με Χορνερ προκύπτει f (1)=2
Άρα 1 < f (x) < 2 ⇒ το ζητούμενο.
στ ) f (x) με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R.
Όπου x το f -1(x) στην f 3(x) + f (x) = 8x + 2
Προκύπτει : f -1(x) =
1
8
(x3+ x -2) , x ∈ R.

67
34. Δημοσιεύτηκε στο fb την 25.08.18 απ τον συνάδερφο Γ. Μπαρακλιανό
Έστω f(x) = e-x – x και f(R) = R .
α ) Να δειχθεί ότι υπάρχει η f-1(x) και να συγκριθούν οι αριθμοί
f-1(2018) , f-1(2019).
β ) Να λυθούν οι εξισώσεις
ι )  2
x
e x2 + 1 ιι ) f-1(x) = 0
γ ) Να λυθούν οι ανισώσεις :
ι ) 2
2
2 212
e
e
xxe xx 

ιι ) –lnx + 5
1 1
51
e
)(fe xln
 
δ ) Να υπολογιστούν τα όρια :
ι ) ))x(f
x
(lim
x


2
1
ιι ) ]x)x(f[lim
x
2


ιιι ) )e)x(f(ln )x(f
x
lim 

ENΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) f ΄(x) = - e-x – 1 =
−1
𝑒x
− 1 < 0 για κάθε x∈ R άρα γνησίως φθίνουσα
συνεπώς 1-1.
Θα δείξω ότι η f-1(x) είναι γνησίως φθίνουσα στο R.
Έστω ότι δεν είναι τότε θα υπάρχουν y1 , y2 ∈ R τέτοια ώστε :
y1 < y2 ⇒ f-1(y1) ≤ f-1(y2) ⇒ f(f-1(y1)) ≥ f(f-1(y2)) ⇒ y1 ≥ y2 ΑΤΟΠΟ
Άρα η f-1(x) γνησίως φθίνουσα.
Είναι λοιπόν 2018 < 2019 ⇒ f-1(2018) > f-1(2019)
β )
ι ) e−x 𝟐
− x 𝟐
= 𝟏 ⇔ f(x) = f(0) ⇔ x = 0
γιατί η f(x) γν. φθίνουσα στο R.

68
ιι ) f-1(x) = 0 ⇔ f(f-1(x)) = f(0) ⇔ x = f(0) ⇔ x = 1
γ )
ι ) e−(x 𝟐+x)
– (x 𝟐
+ x) ≥ e-2 – 2 ⇔ f(x2 + x ) ≥ f(2) ⇔ x2 + x ≤ 2 ⇔
x2 + x -2 ≤ 0 , x∈[-2,1].
ιι ) f(x) = e-x – x , f(0) = 1 ⇔ 0 = f-1(1)
e−𝑙𝑛𝑥
-lnx ≥ e-5 – 5 ⇔ f(lnx) ≥ f(5) ⇔ lnx ≤ 5 ⇔ 0 < x ≤ e5 .
δ )
ι ) f(-x) = ex + x , και ημf(-x) = ημ(ex + x) , |𝜂𝜇(𝑒x
– x )| ≤ 1 για
κάθε x ∈ R.
|
1
x 2
𝜂𝜇(ex
+ x )| ≤
1
x 2
⇔
−𝟏
x 𝟐
≤
1
x 2
𝜂𝜇(ex
+ x ) ≤
1
x 2
Και από Κ.Π προκύπτει το όριο να είναι ίσο με 0.
ιι ) f(x) + x2 = e-x – x + x2 = e-x + (x2 – x)
Άρα το όριο στο +∞ είναι ίσο με +∞.
ιιι ) f(x) = e-x – x , lim
x →−∞
f(x) =(+∞)+(+∞) = +∞
lim
x →−∞
(ln(f(x)) + ef(x)
) = lim
u →+∞
(lnu + eu) = +∞

69
35. Δημοσιεύτηκε στο fb την 13.10.18 απ τον συνάδερφο κ. Θ. Ξένο
Έστω f : RR με f(2x) = xx
xx




44
44
, x R .
α ) Να δειχθεί ότι η f(x) =
14
14


x
x
.
β ) Να βρεθούν τα όρια )x(flim
x 
και )x(flim
x 
.
γ ) Να δειχθεί ότι η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.
δ ) Να βρεθεί το f(Α).
ε ) Να υπολογιστεί η f -1(x).
στ ) Να βρεθούν τα όρια στα άκρα του πεδίου ορισμού της f -1(x).
α ) u = 2x ⇔x =
𝑢
2
, x , u∈R
f(2x) =
4x−4−𝑥
4x+4−x
⇔ f(2x) =
42𝑥−1
42𝑥+1
⇔ f(u) =
4 𝑢−1
4 𝑢+1
, u∈R.
β )
lim
x→+∞
4x
−1
4x+1
=
∞
∞
= lim
x→+∞
4x
(1−
1
4x)
4x(1+
1
4x)
=
1
1
= 1
lim
x→−∞
4x
− 1
4x + 1
=
−1
1
= −1
γ ) Παραγωγίζω (πηλίκο) και προκύπτει : f ΄(x) =
2∙4x
𝑙𝑛4
(4 𝑥+1)2
> 0 άρα …….
f(x) γν.αύξουσα στο R.
δ ) f(A) = ( lim
x→−∞
f(x) , lim
x→+∞
f(x) ) = (-1 , 1) από β) ερώτημα.
ε )
{
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑥 ∈ 𝑅
⇔ y =
4 𝑥−1
4 𝑥+1
⇔ (4x+1)y = 4x – 1 ⇔ 4x( y-1) = -1-y⇔

70
4x(1-y) = 1+y, για y ≠ 1 είναι : {
4 𝑥
=
1+𝑦
1−𝑦
𝑦 ≠ 1
𝑦 ∈ (−1,1)
⇔x = ln(
1+𝑦
1−𝑦
)
Συνεπώς f-1(x) = ln(
1+x
1−x
) , x∈ (−1,1)
στ )
lim
x→−1+
𝑙𝑛(
1+𝑥
1−𝑥
) = lim
u→0+
lnu = −∞ ,
γιατί lim
x→−1+
1+𝑥
1−𝑥
= 0 και
1+x
1−x
> 0 , στο (-1, 1)
lim
x→1−
𝑙𝑛(
1+𝑥
1−𝑥
) = lim
u→+∞
lnu = +∞ ,
γιατί lim
x→1−
1+𝑥
1−𝑥
=
2
0
και 1-x > 0 για κάθε x ∈ (−∞, 1)
36. Δίνεται η f(x) =( x-3)∙lnx
Γ1 ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σημείο της Cf στο οποίο η εφαπτομένη είναι
παράλληλη με τον xx΄ .
Γ2 ) Να δειχθεί ότι f(2017) <
f(2018)+ f(2016)
2
Γ3 ) Να λυθεί η εξίσωση :
1
3
𝑥𝑙𝑛𝑥 −
2
3
= 𝑙𝑛𝑥 −
2
3
𝑥
Γ4 ) Να βρεθούν , αν υπάρχουν , οι ασύμπτωτες της f(x) .
Γ5 ) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στη Cf ,
τον xx΄ και τις ευθείες x = 1 , x = 3.

71
ΕΝΟΤΗΤΑ : Τι κάνω όταν ζητείται……. , «Μικρό Συνταγολόγιο» !
1. Υπάρχει ……
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ
Χωρίς Παράγωγο Θ. Μπολτζάνο
Με Παράγωγο Θ.Ρολ
Με παράγωγο και τιμές
f(α) , f(x1) , f(xo)
Θ.Μ.Τ
Με τοπικό ακρότατο Θ. Φερμά
2. Ρίζες
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Η εξίσωση f(x) = 0 έχει
μια τουλάχιστον ρίζα στο
(α,β).
Θ.Μπολτζάνο για την f(x)
ή Θ. Ρολ για την Αρχική
της f(x).
α ) Ν.δ.ο η παρακάτω
εξίσωση έχει μια
τουλάχιστον ρίζα στο
(0,1)
0
1
11 26





x
x
x
x
β ) Αν 0
234


,
να αποδείξετε ότι η
εξίσωση : αx3 +βx2 +γx = 0 ,
έχει μια τουλάχιστον λύση στο
(0,1).
Η εξίσωση f(x) = 0 έχει
το πολύ μια ρίζα στο
(α, β).
f(x) γνησίως μονότονη
στο (α, β) ή απαγωγή σε
άτοπο με Ρολ.
Δείξτε ότι η εξίσωση,
αx + βx = γx , με
0 < α < β < γ , έχει το
πολύ μια πραγματική
λύση.
Να αποδείξετε ότι η
εξίσωση : συν2x = 3x+2
έχει το πολύ μια ρίζα στο
R.
Η f(x) = 0 έχει ακριβώς
μια ρίζα στο (α, β).
Συνδυασμός των δυο
προηγουμένων. Η εξίσωση : 3χ =
x
1
έχει
ακριβώς μια ρίζα στο
(0,1).
Η εξίσωση : f(x) = 0 έχει
τουλάχιστον ν ρίζες στο
(α, β).
Χωρίζουμε το διάστημα
σε ν ίσα διαστήματα και
αναγόμαστε στην πρώτη
περίπτωση.
Να δειχθεί ότι η εξίσωση
: x7-4x6+1 =0 έχει δυο
τουλάχιστον ρίζες στο
(-1, 1).

72
Η f(x) = 0 έχει το πολύ ν
ρίζες στο (α, β).
Άτοπος Απαγωγή και Θ.
Ρολ ,
επίσης κάνοντας χρήση
των προτάσεων :
Αν f ΄΄(x) ≠ 0, τότε η
εξίσωση f(x) = 0 θα έχει
το πολύ δυο ρίζες, επίσης
αν f ΄΄΄(x) ≠ 0, η f(x) =
0 θα έχει το πολύ 3 ρίζες.
Η εξίσωση : e-x= αx ,
α R , έχει το πολύ 2
πραγματικές και άνισες
ρίζες.
f(x) = 0 και πλήθος
ριζών.
Προφανή ρίζα ,
μονοτονία ή χρήση των
παραπάνω Προτάσεων.
Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση
x5 + 2x – 3 = 0 ;
3. Ανισότητες
Απόδειξη
Ανισότητας
μιας
μεταβλητής.
α ) Μονοτονία
β ) Ακρότατα
γ ) Κυρτότητα και
εφαπτομένη
1.x2 +3lnx + 2 > 3x , για κάθε x>1.
2. Έστω f(x) = (x+1) lnx
α) Να εξεταστεί ως προς την κυρτότητα.
β ) Να βρεθεί η εφαπτομένη της f(x) στο
σημείο με τετμημένη 1.
γ ) Να δειχθεί ότι : ,
x
x
xln
1
1
2
1



x(0,1).
3. Άσκηση 10 Γ΄ Ομάδας σελίδα 235
σχολικού.
Απόδειξη διπλής
ανισότητας ή
ανισότητας με
δυο μεταβλητές.
Θ.Μ.Τ και μονοτονία
της
f ΄(x)
Να αποδείξετε ότι :
1 - 1ln
1
 xx
x
για κάθε x> 0.
Αν 0 < α < β <
2

, να αποδείξετε ότι :
a22




 



73
Λύση
Ανίσωσης
Μονοτονία ex-1 ≥ 1-lnx
Από
ανισότητα σε
ισότητα.
Θ.Φερμά Αν 0 < α ≠ 1 και xα ≤ αx για κάθε
πραγματικό x , τότε α = e.
Ανισότητα
και Υπάρχει
Απαγωγή σε Άτοπο
Ανισότητα και
Ολοκλήρωμα
Δες εδώ : https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1334
Ανισότητες
στη Γ΄ Λυκείου
Ν. Ζανταρίδης
Δες εδώ :
https://drive.google.com/file/d/1KYaHjO_iHGmQ3oMQJzBSSCATra3G90fe/view
4. Εύρεση Τύπου Συνάρτησης - « 8 Ενδεικτικά Παραδείγματα».
Α ) Έστω f(x) : RR συνεχής και για κάθε x ισχύει :
x∙f(x)+2 = f(x)+ 22
 xx
Να βρεθεί ο τύπος της f(x).
Β )Αν η συνάρτηση f :  είναι συνεχής στο  και ισχύει :
f2(x) - 6f (x) = x2 – 5 ,x 
Να βρεθεί ο τύπος της f (x).
Γ ) Αν για την f :  ισχύουν :
 f (x) παραγωγίσιμη στο 
 2x·f(x) + (x2+1)f ΄(x) = ex, x 
 f (0)=1
Nα βρεθεί ο τύπος της f (x).
Δ ) Αν η f (x) είναι παραγωγίσιμη στο  και ισχύουν :
 2f ΄(x) = )x(fx
e 
, x 
 f (0)=0
Nα δειχθεί ότι f (x) = ln
2
1x
e
, x 
Ε ) Βρείτε τον τύπο της f(x) : Δ R στις περιπτώσεις :
α ) f ΄(x) = 3x2-6x+2 , xΔ και f(1) = 5
β ) f ΄΄(x) = ex – συνx , xΔ και f ΄(0) = 1 και f(0) = 3.

74
Στ )f(x) : RR και f(0) = 3 , επίσης (x-2)f ΄(x) = x2-5x+6 για κάθε xR. Βρείτε
τον τύπο της f(x).
Ζ )
Η )Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f(x) : [1,3]R , για την οποία ισχύει :
  
3
1
3
1
2
786 dx)x(xfdx)x(f
α ) Να αποδειχθεί ότι : 789
3
1
2
 dxx
β ) Να βρεθεί ο τύπος της f(x).
Καλή Επιτυχία στις Εξετάσεις της ζωής σας.
ΠΗΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ : Φαίνονται στην έναρξη της κάθε άσκησης .

ΜΑΡΤΙΟΣ –ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2020 Μαθήματα μέσω
webex.com
Επιμέλεια, Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου
https://minedu-gov-gr.webex.com/meet/iordaniskos

1
ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΑ MAΘΗΜΑΤΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ 1Ο : 26/3/20
ΘΕΜΑ 1Ο [ Σ – Λ, Ενδοσχολικές Εξετάσεις 2016 Γε.ΛΕξαπλατάνου ]
1. Αν μια συνάρτηση f(x) είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f΄(1)= 0
τότε το f(1) είναι πάντα τοπικό ακρότατο .
2. Αν 0)x(flim
0xx

, και f(x) < 0 κοντά στο xο, τότε 
)x(f
1
lim
0xx
.
3.
Αν για δυο συναρτήσεις f , g ορίζονται οι συναρτήσεις gf  και
fg  , τότε ισχύει πάντοτε gf  = fg  .
4.
Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα
διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο
ορισμού της.
5*.
Αν δεν υπάρχουν τα όρια των f και g στο xο , τότε δεν μπορεί να
υπάρχει το όριο της συνάρτησης (f + g) στο xο.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ
1.Λ 2.Σ 3.Λ 4.Σ 5.Λ
Για το 5* , σκέψου τις 𝑓(𝑥) = {
−1, 𝑥 < 0
1, 𝑥 ≥ 0
, 𝑔(𝑥) = {
1, 𝑥 < 0
−1, 𝑥 ≥ 0
.
ΘΕΜΑ 2Ο( Προτείνεται από το Υπουργείο – Ψηφιακό Υλικό )
1
32
2
3


x
xx
.
α ) Να δείξετε ότι αντιστρέφεται.
Α = R , f ΄(x) = 0
1
332
1
322136
22
24
22
322






)x(
xx
)x(
)xx(x)x)(x(
,
Άρα γν.αύξουσα στο R⇒ 1-1στο R.
β ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της.

2
f(Α) = ( )x(flim
x 
, )x(flim
x 
) = R
γ ) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της στο - ∞
Αναζητώ οριζόντια ή πλάγια. ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ.
2
 x
)x(f
lim
x
= λ και 0
1
2 2



 x
x
lim)x)x(f(lim
xx
.
Άρα η y = 2x , είναι ΠΛΑΓΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΤΟ ΠΛΗΝ ΑΠΕΙΡΟ.
ΘΕΜΑ 3Ο [ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4, για το Βιβλίο ]
Ιορδάνης Χ. Κοσόγλου [ Εμπνευσμένη από το Θέμα 2 σελίδα 51,Περιοδικό Ευκλείδης Β΄ τ.112]
Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [-1,1]. Η f (x) είναι επίσης δυο φορές
παραγωγίσιμη στο (-1,1) και ισχύει :
f2(x) - 2f (x) + x2 = 0 , για κάθε x∈[-1,1].
α ) Να δειχθεί ότι η f (x) ΔΕΝ είναι αντιστρέψιμη.
μονάδες 4
β ) Να δειχθεί ότι η f (x) ΔΕΝ έχει Σημεία Καμπής.
μονάδες 4
γ ) Να αιτιολογήσετε γιατί η f (x) έχει ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο).
μονάδες 3
δ ) Αν f (0) = 2 , να αποδειχθεί ότι f (x) = 1 + √1 − x2 , -1 ≤ x ≤1.
μονάδες 6
ε ) Να βρείτε τα ακρότατα της f (x) και να λύσετε την εξίσωση : f (x) = ημx
μονάδες 8

3
α ) για x = 1 , f2(1) - 2f (1) + 1 = 0 ή (f(1) – 1)2 = 0 ή f (1)=1
για x = -1 , f2(-1) - 2f (-1) + 1 = 0 ή (f(-1) – 1)2 = 0 ή f (-1)=1
Άρα -1 ≠1 και f (-1) = f (1) άρα η f (x) όχι αντιστρέψιμη.
β ) Ηf (x) είναι δυο φορές παραγωγίσιμη.
Παραγωγίζω δυο φορές τη σχέση και έχω :
2f(x)f΄(x) - 2f΄ (x) + 2x = 0 ,
2 (f ΄(x))2 + 2 f (x) f ΄΄(x) - 2f΄΄(x) + 2 = 0 (2)
Έστω (xο , f (xο)) ένα σημείο καμπής , τότε f ΄΄(xο) = 0
Η (2) τότε γίνεται : (f ΄(xο))2 = -1 , ΑΤΟΠΟ , άρα η f (x) ΔΕΝ έχει
Σημεία καμπής.
γ ) Θ.Μ.Ε.Τ
δ ) f2(x) - 2f (x) + 1 = 1 - x2
(f(x) -1)2 = 1 - x2 ή |f(x) − 1|=√1 − x2
Η συνάρτηση f (x) -1 = g(x) , μηδενίζεται για x = ± 1 και
g(0) = 2 – 1 > 0
Άρα f (x) = 1 + √1 − x2 , -1 ≤ x ≤1.
ε ) ΜΕ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΑΚΙ ΣΤΟ [-1,1]
ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ :
0 ≤ √1 − x2 ≤ 1 ή 1 ≤ 1 + √1 − x2 ≤ 2 και f (-1) = f (1) = 1
και f (0) = 2 , άρα ΜΕΓΙΣΤΟ το (0,2) και ΕΛΑΧΙΣΤΑ τα (-1,1) και
(1,1).

4
Είναι f (x) ≥ 1 και ημx ≤1 , το «=» για την πρώτη είναι το x=0 και
για τη δεύτερη το x =
𝜋
2
, άρα η εξίσωση f (x) = ημx είναι αδύνατη στο
[-1,1].Ακολουθεί η γραφική παράσταση της f(x) και ημx.
ΘΕΜΑ 4Ο[ΘΕΜΑ που σας εστάλη μέσω messenger στις 21/3/20-Σάββατο]
[ Διαγώνισμα Θέμα Δ , Αρσάκεια – ΓΕΛ Εκάλης , Αναρτημένο στον ιστότοπο:
https://lisari.blogspot.com/?view=classicστις 21/3/2020]
Έστω συνάρτηση f (x) , δυο φορές παραγωγίσιμη στο R και
 f (0) = -1
 f (1)= f (2)=1
 f ΄΄(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ R
Δ1 ) Να δείξετε ότι υπάρχει xο∈ (0,2) τέτοιο ώστε f ΄(xο) =
1
2
μονάδες 8
Αν η f ΄΄(x) είναι συνεχής
Δ2 )
α ) Να αποδείξετε ότι f ΄΄(x) < 0 για κάθε x ∈ R.
μονάδες 5
β ) Να δείξετε ότι f (x) > -1 για κάθε x ∈(0,2]
μονάδες 6

5
Δ3 ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση :
f (x+1) - f (x) = 3x2
έχει ακριβώς μια λύση στο (0,1).
μονάδες 6
G. Leibniz
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΛΥΣΕΙΣ
Δ1 ) Θ.Μ.Τ στο [0,1] για την f (x) , άρα υπάρχει x1∈(0,1) ώστε f ΄(x1) = 2
Θ.Ρολ στο [1,2] για την f (x) , άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x2∈ (1,2) : f ΄(x2) = 0
Θ.Ε.Τ για την f ΄(x) στο [x1 ,x2] ,
 είναι συνεχής η f ΄(x) μιας και υπάρχει η f ΄΄(x),
 f ΄(x1)≠ f ΄(x2) και
 0<
1
2
< 2
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα xο ∈ (x1 ,x2) υποσύνολο του (0,2) τέτοιο ώστε να ισχύει
f ΄(xο) =
1
2
Μια ενδεικτική διάταξη !
x - ∞ 0 x1 1 xo x2 2 + ∞
Δ2 α)
f ΄΄(x) συνεχής και για κάθε x είναι f ΄΄(x) ≠ 0 , άρα από συνέπειες Θ.Μπολτζάνο η

6
f ΄΄(x) διατηρεί πρόσημο.
f ΄(x1) = 2 και f ΄(x2) = 0, ισχύουν οι προυποθέσεις του Θ.Μ.Τ για την f ΄(x) στο [x1 ,x2]
άρα υπάρχει ξ ∈ (x1 ,x2) ώστε f ΄΄(ξ) =
0−2
x2−x1
< 0(παρανομαστής θετικός)
Άρα f ΄΄(x) < 0 για κάθε x ∈ R.
Δ2 β )
x 0 x1 1 xo x2 2
f ΄΄(x) - - - - - - -
f ΄(x) + + + + + - -
f (x) -1 1 1
Απ το πίνακα με αιτιολόγηση – Σ.Τ της f (x) , προκύπτει ότι :
f (x) > -1 για κάθε x ∈ (0,2].
Δ3 ) Θεωρώ τη συνάρτηση g(x) = f (x+1) - f (x) - 3x2 , x ∈ [0,1]
 Συνεχή στο [0,1]
 g(0) = f (1)- f (0) = 2 > 0
 g(1) = f (2)- f (1)-3= 0 – 3 < 0
Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα x3∈(0,1) τέτοιο ώστε g(x3) = 0
ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑ, g΄(x) = f ΄(x+1) - f ΄(x) – 6x< 0 για κάθε x ∈(0,1) γιατί ;
0<𝐱< 𝐱+1 ⇔f ΄(x) >f ΄(x+1) ⇔f ΄(x+1) <f ΄(x) ⇔f ΄(x+1) - f ΄(x) < 0

7
ΜΑΘΗΜΑ 2Ο : 2/4/20 [Πέμπτη]
Άσκηση 1 [study4examsΚεφάλαιο 2 σελίδα 100 του παρακάτω λινκ]
Δίνεται η συνάρτηση f (x)= 4x3+ 2(λ-1)x-λ . Να αποδείξετε ότι
υπάρχει τουλάχιστον μια ρίζα της εξίσωσης f (x) =0 στο διάστημα
(0,1).
Άσκηση 2 [study4examsΚεφάλαιο 2 σελίδα 104]
Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης.
f (x)={
x4
+ 5x, x ≥ 0
5𝜂𝜇x, x < 0
.
Θεωρούμε ορθογώνιο, του οποίου η μια κορυφή είναι το σημείο
(0, 0) , δυο πλευρές βρίσκονται πάνω στους θετικούς ημιάξονες Ox
και Oy και η τέταρτη κορυφή κινείται πάνω στην ευθεία y=-
1
4
x+2
Να βρείτε τις διαστάσεις του α,β ώστε να έχει μέγιστο εμβαδό.
Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής
παράστασης της f (x) = x2 που διέρχονται από το σημείο Α(
1
2
, −2).
ΛΥΣΕΙΣ ΟΛΩΝ ΕΔΩ :
https://drive.google.com/file/d/1Qmk9Ppq8n03IcmdiIduQDWnayKU_12J4/vie
w?usp=sharing

8
ΜΑΘΗΜΑ 3Ο : 6/4/20 [ΗΜΕΡΑ : ΔΕΥΤΕΡΑ]
ΘΕΜΑ 1Ο [ 2017 Ημερήσια ΓΕΛ , Σ-Λ ]
1. Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: RR , g: RR, αν
)x(flim
xx 0
=0 και )x(glim
xx 0
= +∞ , τότε
0
0


)]x(g)x(f[lim
xx
.
2. Αν f , g είναι δυο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β
αντίστοιχα , τότε η fg  ορίζεται αν  B)A(f .
3. Για κάθε συνάρτηση f: RR που είναι παραγωγίσιμη και δεν
παρουσιάζει ακρότατα , ισχύει f ΄(x) ≠ 0 για κάθε x στο R.
4. Αν 0 < α < 1 , τότε 

x
x
alim .
5. Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη
σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα.
1.Λ 2.Σ 3.Λ 4.Σ 5.Σ
Για το 3 : Έστω f(x) = x3 , f ΄(x)=3x2, και f ΄(0) = 0, άρα μηδενίζεται
η παράγωγος της στο xo = 0 χωρίς να έχει ακρότατα στο R.
Σε ευχαριστώ Γιάννη!
ΘΕΜΑ 2Ο [Αληθή – Ψευδή, σχολικού βιβλίου σελίδες 83-85 ]
Ενδεικτικές Απαντήσεις
1. α ) Df = (0,+∞) , Dg = R , έστω Α το πεδίο ορισμού της g∘f

9
A = {x ∈Df και f (x) ∈ 𝐃𝐠} = { x ∈ (0, +∞)και f (x) ∈R } = (0,+∞)
Άρα : Ψ
β ) Α.
2. Α , έστω ότι το όριο της f (x) δεν είναι 0τότε,το
11  x
)x(f
lim
x
δεν θα υπήρχε
γιατί ο παρανομαστής έχει όριο 0 και δεν διατηρεί πρόσημο !
ΘΕΜΑ 3ο [ ΟΡΙΣΜΟΙ ]
Πότε δυο συναρτήσεις είναι ίσες ; σελ23 ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2007,2016
ΘΕΜΑ 4Ο [ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ]
Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να το αποδείξετε. σελ 76.
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2005, 2015

10
ΘΕΜΑ 5Ο [ Σ-Λ με αιτιολόγηση ]
Ένας μαθητής ισχυρίζεται ότι : «Αν f(x1) = f(x2) με x1 , x2Df , τότε
ισχύει πάντα x1 = x2 ». Αιτιολογήστε .
ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ
Αν x1 , x2Df και x1 = x2 , τότε πάντα ισχύει f(x1) = f(x2).(ορισμός)
Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει πάντα.
Ισχύει ΜΟΝΟ αν η συνάρτηση είναι 1-1.
Άρα αν πάρω για αντιπαράδειγμα την f (x) = x2 και x1 = -1 , x2 =1 ,
τότε f(x1) = f(x2) αλλά x1 ≠ x2 .
ΘΕΜΑ 6Ο [ ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ ]
Δίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (0, +∞)R καθώς και η
συνάρτηση g (x) = f(x) – lnx.
α ) Να αποδείξετε ότι η g (x) είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο
ορισμού της.
β ) Να λύσετε την ανίσωση : f(ex) - f(e2) <x – 2.
α ) Η g(x) είναι διαφορά δυο συναρτήσεων των f(x) και h(x) = lnx.
Αf = (0, +∞) και Ah = (0, +∞) , άρα Ag = (0, +∞).
Για οποιαδήποτε x1 , x2(0, +∞) με x1<x2  -lnx1> - lnx2 (1)
Για οποιαδήποτε x1 , x2(0, +∞) με x1<x2  f(x1 ) >f(x2 ) (2)
Προσθέτω (1) και (2) και προκύπτει g(x1) >g(x2) ,
άρα η g(x) γν. φθίνουσα στο (0, +∞).
β ) Είναι :
f(ex) - f(e2) <x – 2  f(ex) – x<f(e2) – 2 
f(ex) – lnex< f(e2) – lne2  g(ex) < g(e2)  ex> e2  x > 2.

11
ΜΑΘΗΜΑ 4Ο : 9/4/20 [ ΗΜΕΡΑ : ΠΕΜΠΤΗ]
ΘΕΜΑ 1Ο [2017 Επαναληπτικές και 2018 Ημερήσια ΓΕΛ , Σ-Λ]
1. Μια συνάρτηση fλέγεται γν. αύξουσα στο Δ του πεδίου ορισμού της , αν
υπάρχουν x1 , x2Δ με x1<x2 , ώστε f(x1) <f(x2).
2. Αν ένα σημείο Μ (α, β) ανήκει στη γρ. παράσταση μιας αντιστρέψιμης
συνάρτησης f , τότε το σημείο Μ΄(β, α) ανήκει στη γρ. παράσταση της f-1
3. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f : [α, β] R , η οποία είναι παραγωγίσιμη στο
(α, β) , αν f(α) = f(β) , τότε υπάρχει ακριβώς ένα ξ (α, β) τέτοιο ώστε
f ΄(ξ) = 0.
4. Η συνάρτηση f(x) =ημx, xRέχει μία μόνο θέση ολικού μεγίστου.
5. Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f(x) σε ένα διάστημα Δ , η οποία είναι γν.
αύξουσα , ισχύει ότι f΄(x) > 0 για κάθε xΔ.
6. Ισχύει ,
0
1
0


 x
x
lim
x

7. Αν η f(x) είναι αντιστρέψιμη , τότε οι γρ. παραστάσεις των f(x) , f-1 (x)
αντίστοιχα είναι συμμετρικές ως προς την y= x.
8. Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γραφική
παράσταση μιας συνάρτησης f(x).
1.Λ 2.Σ 3.Λ 4.Λ 5.Λ 6.Σ 7.Σ 8.Σ

12
Α , από Κ.Π
Ψ , το σωστό είναι ≤ 0 , για π. χ η f(x) = - x2 ≤ x-2 και το όριο της είναι -∞.
Ψ , Αντί Π.χ
f(x) = {
x, x ≠ 6
0, x = 6
, g(x) = {
x2
, x ≠ 0
0, x = 6
Ψ, μπορεί να μην υπάρχει το όριο της f (x) και να υπάρχει της , |f (x) | , δες
f(x) = {
−1, x < 0
1, x ≥ 0
, |f (x) | = 1
Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού
της; Απάντηση στη σελ 95-Σχολικού. Έχει πέσει ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2004& 2009

13
Αποδείξτε ότι : (x-ν)΄ = -ν∙xν-1 , ν Ν*
Αν υπάρχει το όριο lim
x→xο
(f(x) ∙ 𝑔(x)), τότε υπάρχουν πάντα και τα
όρια lim
x→xο
(f(x)), lim
x→xο
(𝑔(x)).
Απάντηση
Αν υπάρχουν τα όρια )x(flim
oxx 
, )x(glim
oxx 
, τότε υπάρχουν πάντα και τα όρια των
πράξεων αυτών. (Αθροίσματος-Διαφοράς-Γινομένου-Πηλίκου-Ρίζας, κ.α)
Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει πάντα.
Αντιπαράδειγμα 1ο : f(x) = 1 -
x
x
, g(x) = 1 +
x
x
και f(x)·g(x) = 0 . Το όριο του
γινομένου όταν x0 υπάρχει ενώ ΔΕΝ Υπάρχει κανένα απ τα όρια των f(x), g(x)
στο 0.
Αντιπαράδειγμα 2ο :f(x) = x , g(x) = ημ
x
1
.Το όριο του γινομένου f(x)·g(x) όταν x0
υπάρχει ενώ ΔΕΝ Υπάρχει το όριο της g(x) στο 0.

14
ΘΕΜΑ 6Ο [ ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ – ΘΕΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ 2017]










023
02
0
2
23
x,xx
x,
x,a
x
x 
α ) Να αποδειχθεί ότι η f(x) στο διάστημα [0,2] ικανοποιεί το Θ.Μ.Τ.
Αν η f(x) είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της , τότε :
β ) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού α.
γ ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία(Ακρότατα – δικό μου ερώτημα !).
δ** ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f( )x
2

= f( )e x

2

έχει μοναδική λύση στο
(0,1). ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2017
ΛΥΣΗ
α ) Για x> 0, η συνάρτηση είναι συνεχής ως πολυωνυμική.
Αρκεί να είναι συνεχής στο 0. 

)x(flim
x 0
2 = f(0).
Άρα η f(x) συνεχής στο [0,2] και παραγωγίσιμη στο (0,2).Ικανοποιεί το Θ.Μ.Τ.
β ) 32120
00
 

aa)a
x
x
(lim)(f)x(flim
xx

Άρα f(x) =










023
02
0
2
3
23
x,xx
x,
x,
x
x 
.
γ )
 Για x> 0 , f ΄(x) = 3x2-6x.
f ΄(x) = 0  3x(x-2)= 0  x = 0 ή x = 2(πιθανές θέσεις)
 Για -
2

<x< 0 ,

15
f ΄(x) = (- 3
x
x
)΄= -
22
x
xxx
x
xxx  


.
(Θυμήσου !! Είναι η ίδια συνάρτηση, μόνο που δουλεύουμε για x< 0)
Θεωρώ την g(x) = ημx – xσυνx, ορισμένη στο -
2

≤x ≤ 0 και g(0) = 0
g΄(x) = συν x - συνx + x∙ημ x = x∙ημx> 0 , για κάθε -
2

<x< 0.
Άρα για x< 0  g(x) <g(0)  g(x) < 0 ,συνεπώς f ΄(x) <0.
 Η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο 0 γιατί **; , είναι και συνεχής στο 0.
Το πρόσημο της παραγώγου της f και η μονοτονίας της ,φαίνεται στον πίνακα.
x -
𝜋
2
0 2 +∞
f ΄(x) - - +
f(x)
Ο.Ε
 Το σημείο (2,-2) είναι Ολικό.Ελάχιστο της συνάρτησης.
 Το σημείο (-
𝜋
2
,f (-
𝜋
2
)) είναι Τοπικό μέγιστο της f (x).
δ** ) Είναι : 0≤ x≤ 1 ⇔ 0≥ -
𝜋
2
𝐱 ≥ −
𝜋
2
ή -
𝜋
2
≤ −
𝜋
2
𝐱 ≤ 𝟎 ,
−𝜋
2
𝐱 ∈ [−
𝜋
2
, 0]

16
Είναι : 0≤ x ≤ 1 ⇔ 1≥ e-x≥e-1⇔
−𝜋
2
≤ −
𝜋
2
𝐞−𝐱
≤ −
𝜋
2
𝑒−1
,
Άρα :
−𝜋
2
𝐞−𝐱
∈ [−
𝜋
2
, −
𝜋
2𝑒
] ⊂ [−
𝜋
2
, 0]
Συνεπώς για κάθε x∈ [𝟎, 𝟏] ,
−𝜋
2
𝐱 ∈ [−
𝜋
2
, 0] και –
𝜋
2
𝑒−1 ∈ [−
𝜋
2
,0]
Στο [ -
𝜋
2
, 0] η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα ⇒η f (x) είναι 1-1 στο
[-
𝜋
2
, 0].
Έχω : f( )x
2

= f( )e x

2

 ( )x
2

= ( )e x

2

 x =
x
e
Αρκεί να δειχθεί ότι η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση στο (0,1).
Θεωρώ την κ(x) = x
e
- x συνεχή στο [0,1] με
 κ(0) = 1>0 και
 κ(1) =
e
e1
<0 , άρα από Θ. Μπολζάνο , έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο
(0,1).
Επίσης , κ΄(x)= -
x
e
- 1 < 0 για κάθε x(0,1) ,άρα γνησίως μονότονη στο [0,1].
(**) Παραγωγισιμότητα στο 0.
lim
x→0+
(
f(x) − f (0)
x
) = lim
x→0+
(
x3
− 3x2
x
) = lim
x→0+
(x2
− 3x) = 0
lim
x→0−
(
−
ημx
x
+ 3 − 2
x
) = lim
x→0−
(
−
ημx
x
+ 1
x
) =
0
0
= lim
x→0−
(
−ημx + x
x2
) =
DLH
lim
x→0−
(
−𝜎𝜐𝜈x+1
2x
) =
1
2
lim
x→0−
(
1−συνx
x
)=0 , άρα f΄(0) = 0

17
ΜΑΘΗΜΑ 5Ο : 27/4/20 [ ΗΜΕΡΑ : ΔΕΥΤΕΡΑ ]
ΘΕΜΑ 1Ο [2019 Επαναληπτικές Ημερήσια ΓΕΛ , Σ-Λ]
1. Η γραφική παράσταση της |𝑓|αποτελείται από τα τμήματα της γραφικής
παράστασης της f που βρίσκονται πάνω απ τον άξονα xx΄ και από τα
συμμετρικά, ως προς τον xx΄ των τμημάτων της γραφικής παράστασης της f
που βρίσκονται κάτω από αυτόν τον άξονα.
2. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f μπορεί να είναι μικρότερο από ένα
τοπικό ελάχιστο της f.
3. Μια πολυωνυμική συνάρτηση f : RR , διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα απ τα
διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού
της.
1.Σ 2.Σ 3.Σ

18
Γ , η g(x) είναι συνεχής στο Π.Ο ως ρητή.
Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα και πότε
γνησίως μονότονη σ’ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της; σελ31

19
Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat.
σελίδα 142 σχολικού βιβλίου.
ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2004,2011, E2016, E2017 , 2019

20
Αν
)x(f
lim
oxx
1

=0 , τότε πάντα ισχύει )x(flim
oxx 
= +∞ ή - ∞ ,
Αντιπαράδειγμα : Έστω f(x) =
x
1
και xο = 0 , τότε
)x(f
lim
oxx
1

= 0 και το
)x(flim
oxx 
ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ στο xο = 0.
ΘΕΜΑ 6Ο [ ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ Ν. Ψαθά]
Δίνεται η f(x) = lnx + 𝑒 𝑥−1
+ 𝑥 − 2
Γ1 ) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία – ακρότατα και να βρεθεί το Σ.Τ.
Γ2 ) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f(x)= 0 και το πρόσημο της f(x) .
Γ3 ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την
φ(x) = 2x∙lnx + 2𝑒 𝑥−1
+ 𝑥2
− 6𝑥 + 2020
i ) Να δειχθεί ότι φ(x) – 2017 ≥ 0 για κάθε x∈ (0, +∞)
ii ) Να συγκριθούν οι αριθμοί φ(e) και φ(π)
Μονάδες (6+6+6+3+4)

21
Γ1 ) f ΄(x) = (lnx + 𝑒 𝑥−1
+ 𝑥 − 2)΄ =
1
x
+ 𝑒 𝑥−1
+ 1> 0 για κάθε x>0
⇒ η f(x) είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+∞).
Δεν έχει ακρότατα.
f(Α) = (lim
x→0
f(x) , lim
x→+∞
f(x))=(-∞ , +∞) = R
Γιατί , 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎
𝐟(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
𝐱→𝟎+
𝐟(𝐱) = -∞ + e-1 + 0 – 2 = -∞
Γ2 ) Για x = 1 , f(1) = 0 και λόγω της μονοτονίας ΜΟΝΑΔΙΚΉ ΛΥΣΗ
Για x> 1 ⟺ f(x) > f(1) ⟺f(x)> 0 , θετική στο (1,+∞)
Για 0 <x< 1 ⟺f(x)<f(1) ⟺f(x)< 0 , αρνητική στο (0,1)
Γ3 )
φ΄(x) = (2x∙lnx + 2𝑒 𝑥−1
+ 𝑥2
− 6𝑥 + 2020)΄ =
= 2lnx + 2 +2𝑒 𝑥−1
+ 2x -6 = 2lnx+2𝑒 𝑥−1
+ 2x -4 = 2f(x) ,
για κάθε x> 0 , άρα
x 0 1 +∞
φ΄(x) - +
φ(x)
Γνησίως αύξουσα στο [1,+∞) και γνησίως φθίνουσα στο (0,1] ,
Ολικό Ελάχιστο το (1,φ(1)) = (1 , 2017)
Άρα φ(x) ≥ 2017 για κάθε x> 0
Γ3 ιι ) e<π ⟺ φ(e)< φ(π) γιατί ;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Semelhante a ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (20)

Mais de General Lyceum "Menelaos Lountemis"

Mais de General Lyceum "Menelaos Lountemis" (20)

Último

Último (20)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ - ΕΠΩΝΥΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ