Funciones

1. FUNCIONES
Una relación R  A x B es función . .
.Si verifica dos
condiciones:
Existencia Unicidad
Existencia verifica si para cada elemento
del conjunto A existe una imagen en B
Simbólicamente a 
A 1
2
3
2
3
4Unicidad, si cada elemento del conjunto
A se relaciona con un solo elemento del
conjunto BSimbólicamente (a, b) 
f
A B
A = { 1, 2, 3
}
B = { 2, 3,4 }
R : (a, b)  b = a + 1
: b  B / (a, b)  f
para todo elemento a que pertenece al conjunto A se verifica
que existe un elemento b que pertenece al conjunto B
tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f
Dados dos conjuntos
definimos en el producto
cartesiano A x B una
Relación
y
 (a, c)  f  b = c
Si el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a f
entonces b es igual a c
Es función si cada elemento del conjunto A se
relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B
13a 13b
13 14
14 i 14 ii 14 iii
14 iv 14 v 14 vi
13c

2. 1
2
3
2
4
A B
En situaciones como
también se verifica
que
para cada elemento del conjunto A
existe una imagen en B
(existencia)
cada elemento del conjunto A se relaciona
con un solo elemento del conjunto B
(unicidad)
Situaciones como . .
.
Es función
1
2
3
2
4
A B
no verifica la condición de
existencia
el elemento 2  A pero no tiene un
correspondiente en B
NO es función
1
2
3
1
3
4
A B
2
En el caso . .
.
no verifica la condición de
unicidad
el elemento 1  A se relaciona con
dos elementos diferentes de la
imagen (B )
NO es función
13 14
13a 13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c

3. Clasificación de funciones
Una función es inyectiva si dos elementos cualesquiera
diferentes del dominio tienen imágenes diferentes
1
2
3
2
3
4
A B
En este caso tenemos
función inyectiva
x1 x2  A : x1  x2  f(x1)  f(x2)
Porque cada elemento
del conjunto A tiene
imagen diferente en el
conjunto BUna función es sobreyectiva si todos los
elementos del conjunto B (codominio) son
Imagen de la función, es decir que todos los
elementos del conjunto B admiten al menos
un antecedente en el dominio
En este caso tenemos
función sobreyectiva
Porque todos los elementos del conjunto B tienen
un antecedente con el que se relacionan en el
conjunto A
Si una función es inyectiva y sobreyectiva . . . es BIYECTIVA
y  B, x  A / y = f(x)
13 14
13a 13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c

4. Puede suceder que . . .
1
2
3
2
3
4
A B
se verifica que 1  2 pero f(1) = f(2) =
2
función NO inyectiva
asimismo el elemento 3 del conjunto B
no admite antecedente en el conjunto
A
función NO sobreyectiva
1
2
3
2
4
A B
Si . . . se verifica que 1  2 pero f(1) = f(2) =
2 función NO inyectiva
pero todos los elementos
del conjunto B admiten
antecedente en A
función
sobreyectiva
1
2
3
2
4
A B
3
1
cada elemento del conjunto A
tiene imagen diferente en el
conjunto B función inyectivapero no todos los
elementos del conjunto
B admiten antecedente
en Afunción NO sobreyectiva13 14
13a 13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c

5. Para representar cualquier función se debe conocer . . .
Cuál es el dominio donde está
definida la función . . .
y cuál es la imagen que se
corresponde con el dominio de la
funciónDm Im y se estudia la ley de variación de la
función definida por y = f(x) . . .
Y =
f(x)
x y
esto se hace asignándo valores xi en la
expresión y = f(x); encontrando el
resultado yi que le corresponde a f(xi)
el dominio de la función son los
valores que puede tomar xi en
f(x)
La imagen de la función son los
valores que se corresponden con
cada valor del dominio de la
función
recuerde siempre que: si un valor
del conjunto “de salida A” no
tiene imagen, la expresión no es
función (Existencia)
Representación Gráfica de Funciones
Si dos elementos diferentes
del codominio (conjunto B)
son imagen del mismo
elemento de A, la expresión
no es función (Unicidad)13 14
13a
13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c

6. Podemos representar gráficamente una función en un par de
ejes coordenados
en el eje de abscisas
(x) el dominio N
En el eje de ordenadas
(y) la imagen N
1 2 3 4
N
N
5
4
3
2
1
Sea f
x x + 1 y
Si la misma ley de variación (y = x + 1)
estuviera definida de R  R
Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x
(reales), la función está definida para todo x
La función ahora es
f : R  R / f(x) = x + 1
Sea la función f que va de Naturales
en Naturales tal que “f de x” es igual a x + 1
: N  N / f(x) = x + 1
y confeccionamos una
tabla, asignándole
valores a x para
hallar valores de ysi 1 1 + 1
2
si 2 2 + 1
3si 3 3 + 1
4si 4 4 + 1
5
el dominio ahora será
Reales
R
R
y la imagen también
Reales
debemos unir todos los puntos obtenidos
x
y
13 14
13a
13b
14 i 14 ii
14 iii 14 iv
14 v 14 vi
13c

7. 13 a) Para representar f: R  R / f(x) = - 5 x
Primero reconocemos que el dominio son todos los números
realesEntonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente
en y
Trazamos un par de ejes
coordenados
y confeccionamos una tabla de
valoresx - 5 x Y
1 -5 · 1 -
5-1 -5 · (-1)
50 -5 · 0
02 -5 · 2 -
10-2 -5 · (-2) 10
Y finalmente porque es una relación que va de Reales en
Reales, trazamos con línea llena una recta que une los
puntos identificados
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
13 b 13 c

8. 13 b) Para representar g: Zpares  Z / g(x) =
reconocemos el dominio y la imagen de la
relaciónEntonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente
aquellos donde x e y sean números enteros
Trazamos un par de ejes
coordenados
y confeccionamos una tabla de
valores
x Y
2 ½ · 2
1-2 ½ · (-2) - 1
4 ½ · 4
2-4 ½ · (-4) -
2
Y la relación
queda
representada por
puntos porque va
de Enteros pares
en Enteros.
(no corresponde
el trazado de
linea llena)
x
2
1
x
2
1
- 6 ½ · (-6) - 3
6 ½ · 6 3
0 ½ · 0 0
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
13 c

9. 13 c) Para representar h(x) = 2x + 3
definida de N en N
Primero reconocemos cual es el
dominio
En este caso tanto el
dominio como la imagen
son el conjunto de los
números naturales (N)Significa que serán pares ordenados
de la relación aquellos en los que x
 N y resulta de aplicar x en h(x),
que también h(x)  N
Trazamos un par de
ejes coordenados
Y confeccionamos
una tabla de
valores para g(x)
x 2x + 3 Y
1 2 · 1 + 3
52 2 · 2 + 3
73 2 · 3 + 3
94 2 · 4 + 3
115 2 · 5 + 3
13
Y la función queda representada por puntos porque
va de Naturales en Naturales
y cual es la imagen de la relación
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

10. 14 i) Para analizar el dominio de la expresión y = –3x + 4
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor
real
entonces Dm = { x / x  R } Dm = [ - ;  ]
de la misma manera, los valores que tome y para los
diferentes valores de x, van a estar contenidos en la recta de
los realesentonces Im = { x / x  R } Im = [ - ;  ]
Trazamos un par de ejes
coordenados
y confeccionamos una tabla de
valoresx - 3 x + 4 Y
1 - 3 · 1 + 4
1-1 - 3 · (-1) + 4
72 - 3 · 2 + 4 -
2
Cada valor del dominio
(x) tiene un valor
diferente en la imagen
(y)Inyectiva
Todos los elementos de la
imagen (eje y) admiten
un antecedente en el
dominio (eje x)
Sobreyectiva
Por ser una función
inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectiva
es una
función que
va de Reales
en Reales
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
14 ii 14 iii 14 iv 14 v 14 vi

11. 14 ii) Para analizar el dominio de la expresión y = – x2 + 4x - 3
consideramos que la variable x puede tomar cualquier valor
realentonces Dm = { x / x  R } Dm = [ - ;  ]
Trazamos un par de ejes
coordenados y para
confeccionar la tabla de
valores buscamos los
valores de x que hacen 0
la función (raíces)
x - x2 + 4x - 3 Y
1 - 12 + 4 · 1 - 3
03 - 32 + 4 · 3 - 3
02 - 22 + 4 · 2 - 3
1
Antes de definir la imagen, vamos a representar gráficamente la
parábola



)1(2
)3)(1(444 2



2
12164
3
1
2
1


x
x
con estos valores
empezamos la
representación gráficaEl vértice de la parábola estará
en un punto equidistante Tomamos valores a la
izquierda y a la derecha de
los ya hallados
0 - 02 + 4 · 0 - 3 -
34 - 42 + 4 · 4 - 3 -
3-1 -(-1)2 + 4·(-1) - 3 -
85 - 52 + 4 · 5 - 3 -
8
y finalmente trazamos la curva uniendo
todos los puntos ( R  R )
Funciones
Rep. GráficaClasificación
14 iii 14 iv 14 v 14 vi

12. La Relación definida por y = – x2 + 4 x – 3 que tiene una gráfica
tiene el dominio en Reales
Dm = { x / x  R }
De observar el gráfico, vemos que la
relación no tiene valores de y mayores
que 1
Im = { x / x  R  x  1 }
en el gráfico y en la tabla se nota
que hay valores diferentes del
dominio (x) que tienen la misma
imagen (y);
f(0) = - 02 + 4 · 0 – 3 = -
3f(4) = - 42 + 4 · 4 – 3 = -
3
No Inyectiva
con solo un par
de valores del
dominio que
admita la
misma imagen,
es suficiente
para que la
función sea No
Inyectiva
Igualmente es posible ver que, de los elementos del
conjunto de llegada (Reales - eje Y), solamente los
menores o iguales que 1 pertenecen a la imagen de la
funciónNo Sobreyectiva
por ejemplo
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

13. 14 iii) Antes de analizar la expresión y = log2 (2x - 3)
Recordamos que a la función logarítmica la podemos definir
mediante :
cbloga   ba
c
 ejemplo
:
8238
3
2 log
Las calculadoras en general, con la
tecla
Log x entregan valores
de logaritmo decimal; es decir de logaritmos en base
10
y con la
tecla
Ln x entregan valores de logaritmo natural; ( logaritmos en
base e )
Si deseamos conocer un logaritmo con base distinta de 10 ó e debe
. . .
plantear la siguiente
expresión :
xloga
NO porque si el logaritmo es decimal, NO se coloca la
base
¿ en la tecla de la
calculadora falta la base
?
alog
xlog con la calculadora (que
resuelve solo logaritmos
decimales), podemos
resolver un logaritmo que
no es decimal
Ejemplo : calcula log2 8 =
82log 
2
8
log
log

30102999570
9030899870
,
,
3
14 iv 14 v 14 vi

14. 14 iii) Ahora representamos gráficamente log2 (2x - 3)
x [log(2x-3)]/log2 Y
2 0/0,301030 0
2,5 0,301030/0,301030 1
3,5 0,602060/0,301030 2
5,5 0.903090/0,301030 3
9,5 1,204120/0,301030 4
Vamos a confeccionar una tabla de
valores
1,75 –0,301030/0,301030 -1
si x = 1,5trazamos entonces en x = 1,5
la asíntota de la función
investigamos qué pasa a la izquierda
de la asíntota, por ejemplo para x =
0 porque no existe ningún valor
al se cual pueda elevar 2 y
obtener como resultado un
negativo
recuerda que :
 )x(log 322


2
32
log
)xlog(
1,65 –0,522879/0,301030 -2,26
1,55 -1/0,301030 -3,32
2x – 3 = 0
Sabemos que el
log 0 
siempre que
2x – 3 > 0
habrá algún valor
para f(x)
2x – 3 toma valores
negativos y la función no
está definida en esos
valores ( x < 1.5 ) trazamos la curva
con los puntos conocidos (sin tocar la
asíntota)
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

15. la relación definida por y= log2 ( 2x – 3 ) se representa en el gráfico
x toma solamente valores mayores que 1,5
entonces:Dm = { x / x  R  x  1,5 }
Im = { x / x  R }
Cada valor del dominio (eje x) tiene
un valor diferente en la imagen (eje
y)
Función Inyectiva
Todos los elementos del codominio
(eje y) son imagen de la función -
admiten un antecedente en el
dominio (eje x)-Función Sobreyectiva
Por ser una función
inyectiva y sobreyectiva
Es función biyectiva
En cambio, en el gráfico se ve que todos los valores del eje y
tienen antecedente en x
Recuerda que siempre es conveniente
empezar a representar una función
logarítmica localizando la asíntota
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

16. 







0x2si1x
0xsi3
0xsi1x
3
14 iv) Si f(x) =
En primer lugar
reconocemos que x
no puede tomar
valores menores que
-2
En consecuencia Dm = {x/x  R  x  –2 } Dn = [-2 ; )
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación
(definida por partes) con “tres relaciones diferentes”
Se trata de una sola relación (tiene y hemos hallado un solo
dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE
VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x > 0 la ley de variación es x -
1
si x = 0 la función vale
3
si x  0 la función vale x3 + 1
La representación gráfica
se realiza como para
cualquier otra relación
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de
variación se correspondan con los respectivos intervalos del
dominio
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
14 v 14 vi

17. x y = x - 1 Y
1 1 - 1
03 3 – 1
2
Para x > 0 f(x) = x -
1
Si x se acerca mucho a 0, pero
sin ser igual a 0, toma por
ejemplo valores como 0,1; 0,01;
0,001, etcsi x fuera igual a 0 entonces y
sería igual a - 1
debemos entender que si x se
acerca a 0 con valores mayores que
0, y se acerca a –1, pero sin ser
y = -1Representamos ese punto con un círculo
que significa que la función toma valores
muy próximos a ese valor (-1) para valores
muy próximos de x = 0 (por derecha );
pero sin ser y = – 1 en x = 0
Unimos con una recta todos los valores
hallados por tratarsae de una ley de
variación lineal y comprobamos que
hay “al menos” tres puntos alineados
En x = 0 la función vale
3
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

18. x y = x3 + 1 Y
-1 (-1)3 + 1
0-2 (-2)3 + 1 - 7
Para x < 0 f(x) = x3 +
1
Si x se acerca mucho a 0, pero
sin ser igual a 0, toma por
ejemplo valores como -0,1; -
0,01; -0,001, etcsi x fuera igual a 0 entonces y
sería igual a 1 (con esta ley de
variación)debemos entender que si x se
acerca a 0 con valores menores que
0, y se acerca a 1, pero sin ser
y = 1Representamos ese punto con un círculo
que significa que la función toma valores
muy próximos a ese valor (1) para valores
muy próximos de x = 0 (por izquierda); pero
sin ser y = 1 en x = 0
Unimos los tres puntos hallados con uina
curva de parábola cúbica solo para
valores comprendidos en el intervalo [-2;
0)
y tenemos así la representación gráfica de la
función








0x2si1x
0xsi3
0xsi1x
3
f : Dm  Im / f(x) =
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

19. El dominio de la función ya fue encontrado [ -
2;  )
Y podemos observar en el gráfico que llos valores del eje y
que admiten antecedente en los valores del dominio del
eje x, van de – 7 a 
Im = { x / x  R  x  -7 } Im = [-7; )
Existen valores diferentes del dominio
que tienen la misma imagen, por
ejemplo para x= 1 ó x = - 1; y = 0
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm 
R
y resulta que la Imagen no es igual a
R sino que Im  R
La función es No sobreyectiva
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

20. 









1ln
101
02
xsix
xsi
xsix
14 v) Si f(x) =
En primer lugar
reconocemos que x
puede tomar valores
que van de -  a +

En consecuencia Dm = {x/x  R } Dn = (-  ; + )
Con frecuencia los alumnos confunden esta relación
(definida por partes) con “tres relaciones diferentes”
Se trata de una sola función (tiene y hemos hallado un solo
dominio); PERO TAMBIEN TIENE DIFERENTES LEYES DE
VARIACION EN DETERMINADOS TRAMOS DEL DOMINIO
si x < 0 la ley de variación es 2
x
si 0  x  1 la función vale
1
si x > 0 la ley de variación es
lnx
La representación gráfica
se realiza como para
cualquier otra función
Se confeccionan tablas de valores cuidando que las leyes de
variación se correspondan con los respectivos intervalos del
dominio
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación
14 vi

21. x ln x y
4 ln 4 1,39
8 ln 8 2,08
Para x > 0 f(x) = ln x
Si x fuera igual a 1
entonces y sería igual a
0 debemos entender que si x se acerca a 1 con valores
mayores que 1, y se acerca a 0, pero sin ser y = 0
representamos ese punto con un círculo que significa que la función
toma valores muy próximos a y = 0 para valores muy próximos de x =
1 (por derecha ); pero sin ser y = 0 en x = 1
Unimos los valores hallados con una curva que
representa la ley de variación logarítmica
luego, estudiamos qué sucede con los valores
de x comprendidos entre 0 y 1; – intervalo
[0; 1] -
para cualquier valor del intervalo [0; 1] la función
vale 1
si x = 0 y = 1
si x = 1 y = 1
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

22. Para los valores de x < 0 estudiaremos la ley de variación y = 2x
Confeccionamos tabla de
valores
x 2
x
y
-1 2-1 1/2
-2 2-2 1/4
Si x fuera igual a 0
entonces y sería igual a
1
debemos entender que si x se acerca a
0 con valores menores que 0 ; y se
acerca a 1, pero sin ser y = 1
representamos ese punto con un círculo que significa que la función toma
valores muy próximos a y = 1 para valores muy próximos de x = 0 (por
izquierda); pero sin ser necesariamente y = 1 en x = 0
Unimos los valores hallados con una curva que representa la ley de variación
exponencial (2
x
)Luego prolongamos la curva hasta el punto y =1, porque de un
estudio anterior resulta que en x = 0 la función efectivamente
vale 1y borramos el círculo rojo de y = 1 porque al tomar
valor la función en ese punto, ya no tiene sentido
mantenerlo
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

23. Cualquier valor del eje x tiene un correspondiente en el eje y
Im = { y / y  R  y > 0 } Im = (0; )
Existen valores diferentes del dominio que tienen la
misma imagen, por ejemplo para x = 0 ó x = 1; y
= 1
La función es No inyectiva
Como la función está definida de Dm 
R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im
 R
La función es No sobreyectiva
Dm = { x / x  R } Dm = (-; )
Pero se ve también que, solamente los valores de y >
0 admiten algún antecedente en el eje x
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

24. 14 vi) Si f(x) =
En primer lugar reconocemos
que x no puede tomar el valor
- 3
3x
2
 en ese caso tendríamos 2 / 0; así
podemos decir que para x = - 3
no existe un valor finito de la
función
Trazamos un par de ejes coordenados
Luego confeccionamos tabla de
valores, para x próximos a –3 por
derecha
x y
3x
2

- 2 2/(-2+3)
2- 1 2/(-1+3)
10 2/(0+3)
2/31 2/(1+3)
1/22 2/(2+3)
2/5-2,5 2/(-2,5+3) 4
-2,6 2/(-2,6+3) 5
y estudiamos qué sucede
a la izquierda de x= –3
x y
3x
2

- 4 2/(-4+3) - 2
- 5 2/(-5+3) -
1- 6 2/(-6+3) -2/3
- 7 2/(-7+3) -
1/2- 8 2/(-8+3) -
2/5-3,5 2/(-3,5+3) - 4
-3,6 2/(-3,6+3) - 5
x = -3 es un valor que no está definido en la función, luego la línea
de la función no puede cortar la línea de trazos punteada
Unimos los puntos situados a la izquierda de x = -3
por un lado y los puntos de la derecha de x = -3 por
trazamos una asíntota en x = -3
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

25. Cualquier valor del eje x  -3 tiene un correspondiente en el eje y
Im = { y / y  R  y  0 } Im = (-; 0)  (0; )
No Existen valores diferentes del dominio que
tengan la misma imagen
La función es inyectiva
Como la función está definida de Dm 
R
y resulta que la Imagen no es igual a R sino que Im = R –
{0}
La función es No sobreyectiva
Dm = { x / x  R  x  - 3 }Dm = (-; -3)  (-3; )
los valores del eje y que se relacionan con algún valor
de x; son todos, menos el 0
todos los valores del dominio tienen imágenes
diferentes
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

26. 14 d) De todas la funciones analizadas solo son
biyectivas
f : R  R / f(x) = –3x +
4
y f : R > 1,5  R / f(x) = log2 (2x –
3)y precisamente, por ser biyectivas admiten función
inversapara hallar la inversa de la
función,
f : R  R / f(x) = –3x +
4
transformamos el dominio en
imagen f-1 : R  Ry viceversa
y = –3x + 4 y - 4 = –3x
multiplico todo por (-1) y
permuto los miembros (para
ordenar)
3x = 4 - y luego despejo x
3
4 y
x

 y efectúo ahora un
cambio de variables (x
por y)
3
4 x
y

 La ley de variación así obtenida, es la
ley de variación de la función inversa
3
41 x
)x(f/



en la ley de
variación
hacemos pasajes
de términos, para despejar x
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

27. 3
411 x
)x(f/RR:f



Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que
hemos representado
43  x)x(f/RR:f
confeccionamos
una tabla de
valores
x f-1
(x)
3
4 x
4
3
44 
0
- 2 2
- 8 4
3
24 )( 
3
84 )( 
trazamos la recta, que también va de R
 Rtenga siempre presente que los puntos de una función
cualquiera que admite inversa; y su inversa son
equidistantes respecto de la bisectriz (recta a 45º) del
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

28. para hallar la inversa de la
función,
f : Dm  R / f(x) = log2(2x-3)
transformamos el dominio en
imagen
f-1 : R  R > 1,5
y viceversa
luego despejamos la incógnita x
de la ley de variación de f=
log2(2x-3)
y = log2(2x –
3)
2
y
= 2x - 3 permuto los miembros (para
ordenar)
luego despejo xy
x 232 
y efectúo ahora un cambio de variables (x por y)
2
32 

x
y
La ley de variación así obtenida, es la
ley de variación de la función inversa
2
321 


x
)x(f/
Dm = { x / x  R  x > 1,5 } entonces
f : R > 1,5  R / f(x) = log2(2x-3)
recuerde que: logab = c 
ac = b
322 
y
x
2
32 

y
x
recordemos que
ya hemos
hallado
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

29. Representamos gráficamente
en el mismo gráfico que
hemos representado
)x(log)x(f/R.R:f 3251 2 
confeccionamos una tabla de valores
X f-1
(x)
2
32 
x
0 2
32
0
 unimos los puntos con
trazo continuo
porque f-1 va de R
 R
2
32
51
11 


x
)x(f/,RR:f
también aquí f-1 es
equidistante de f
respecto de la bisectriz
del primer cuadrante
y finalmente podemos trazar
la asíntota de f-1 que es y =
1,5
recuerde
que f tiene
asíntota en
x = 1,5
porque aunque tomemos valores muy
pequeños de x, f-1 será siempre  1,5
2
1 2
32
1

2,5
2 2
32
2

3,5
4 2
32
4

9,5
-
1
2
32
1


1,75
-4 2
32
4


1,53
-10 2
32
10


1,5001
borramos la asíntota de f(x) para limpiar el dibujo
Funciones
Rep. Gráfica
Clasificación

30. Es hora de descansar ! ! !
Momento propicio para
establecer nuevas relaciones . . .
Pero recordá, puede descansar solamente el
que antes trabajó (estudió)
Debe trabajar el hombre
para ganarse su pan,
pues la miseria en su afán
de perseguir de mil modos.
Llama a la puerta de todos
y entra en la del haragán.
Martín Fierro (José Hernández)