Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica como interpolación polinómica de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite y Newton. Explica cómo usar tablas de diferencias divididas y la fórmula general de Newton para construir polinomios interpolantes. También discute aplicaciones de estos métodos en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICE RECTORADO
ACADEMICO
DECANATO DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERIA EN MANTENIMIENTO MECÁNICO
Análisis Numérico. Unidad 4
Raúl Piñango 17784506

2. Interpolación Polinómicas
consiste en construir una función que pase por los
valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta
como aproximación de la función primitiva. Si se
utilizan polinomios como funciones de
aproximación, hablamos de interpolación
polinómica.
Si la abscisa para la que queremos encontrar un
valor aproximado de la función se encuentra
fuera del mayor intervalo definido por las abscisas
de los polos, se dice que estamos haciendo
extrapolación.

3. Tabla De Diferencias
• Dados los valores de una función desconocida
correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el
comportamiento de la función?; el propósito es
determinar dicho comportamiento, con las
muestras de los pares de datos (x, f(x)); se
encontrará un polinomio que satisfaga un
conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde
los valores que aporten el Polinomio y la función
se comportan casi de la misma manera, en el
intervalo en cuestión.

4. Polinomio Interpolante de Newton-
Gregory
• Cuando la función ha sido tabulada, se
comporta como un polinomio, se le puede
aproximar al polinomio que se le parece. Una
forma sencilla de escribir un polinomio que
pasa por un conjunto de puntos
equiespaciados, es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Newton-Gregory (en avance y
retroceso).

5. Polinomio Interpolante de Gauss
• una gran variedad de fórmulas de interpolación además del
Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las
trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la
fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y
retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es
decir los valores desde el punto de partida Xo serán
seleccionados en forma de zig-zag.
• En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en
forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia
arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de
avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando
primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y
así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de
avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

6. Interpolación De Hermite
• Aquí buscamos un polinomio por pedazos
Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y
que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos . La
función Hn(x) queda determinada en forma
única por estas condiciones y su cálculo
requiere de la solución de n sistemas lineales
de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es que requiere de la
disponibilidad de los lo cual no es el caso en
muchas en muchas aplicaciones.

7. Interpolación Usando Splines
• Los dos tipos de polinomios por pedazos que
hemos discutidos hasta ahora tienen la
desventaja de que su segunda derivada no es
continua en los puntos de interpolación. Se ha
observado que en aplicaciones gráficas, el ojo
humano es capaz de detectar discontinuidades
en la segundas derivadas de una función,
haciendo que los gráficos con este tipo de
funciones no luscan uniformes. Esto motiva el
uso de los splines que son funciones s(x)
continuas por pedazos con las siguientes
propiedades:

8. s(x) es polinomio cúbico en .
existen y son continuas en .
s(x) interpola a la función f en los
datos .
s(x) es continua en el intervalo.

9. • Si escribimos , entonces tenemos un total
de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4)
nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de
3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-
1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados
de libertad se fijan imponiendo condiciones
de frontera adicionales en s(x).

10. Polinomio Interpolante De Lagrange
• Para construir un polinomio de grado menor o
igual que n que pase por los n+1 puntos: ,
donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn
es la fórmula del Polinomio Interpolante de
Lagrange.
• Esta fórmula si puede aplicarse
independientemente del espaciamiento de la
tabla, pero tiene el inconveniente de que no
se conoce el grado del polinomio

11. Diferencias Divididas Y La fórmula
General De Newton
• La forma general del polinomio interpolante
de Newton para n+1 datos (x0, ƒ(x0)), (x1,
ƒ(x1)), ..., (xn, ƒ(xn)) es:
• Los coeficientes ai se obtienen calculando un
conjunto de cantidades denominadas
diferencias divididas.

12. Ejemplo.
Halle el polinomio que interpola los datos :
x 1 2 3 5
f(x) 4 3.5 4 5.6
Solución:
El polinomio interpolante de Newton es de grado 3 ya que se tienen 4
puntos, usando la fórmula (2) el polinomio que resulta es:
En este caso x0=1, x1=2, x2=3

13. Aplicación De Los Métodos
Numéricos De Interpolación En La
Resolución De Problemas.
• Para datos tabulados en forma equiespaciada
o no esquiespaciada, a través de una serie de
técnicas que antes de la llegada de las
computadoras tenían gran utilidad para la
interpolación, sin embargo, con fórmulas
como las de Newton-Gregory, Gauss,
Lagrange, Hermite, Newton, etc.

14. con computadoras y debido a las muchas funciones
tabulares disponibles, como subrutinas de librerías;
dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una gran cantidad de problemas físicos están descritos
por ecuaciones diferenciales en las que interviene un
operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación
de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.).
Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a
casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale
decir, ecuaciones de autovalores para un operador
diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de
esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de
Hermite son un caso particular de soluciones a un
problema de Sturm-Liouville

15. . Dichassoluciones forman un conjunto completo y
ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de
familias de polinomios ortogonales, existen
relaciones de recurrencia que vinculan cada
polinomio con los de grados inmediatamente
anterior y posterior, y típicamente poseen una
función generatriz, así_ como operadores de subida
y de bajada. En los capítulos siguientes
encontraremos nuevas familias de polinomios
ortogonales. Todos ellos provienen de sendos
problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será
extraño encontrar las mismas características que
hemos identificado en los polinomios de Hermite.