1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
CENTRO DEL PERÚ
FACULTAD DE IINGENIIERÍÍA QUÍÍMIICA
FACULTAD DE NGEN ER A QU M CA
MANUAL DE CÁLCULO
VECTORIAL
AÑO ACADEMICO 2008
C ∈ R3
IIng.. Belltran Lázaro Moiises
ng Be tran Lázaro Mo ses
HUANCAYO – PERU
2008

2. CALCULO VECTORIAL
FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
1. FUNCIONES
Función en su forma explicita.
Ejemplo:
y = x2 + 2x − 3
Función en forma implícita.
f ( x, y ) = 0
Ejemplo:
a) y − 2x − 3 = 0
b) 2 x 3 2 x 2 + y = 5 → forma _ implicita
2. ARGUMENTO
FORMA:

3. Ejemplos:
⇒ v = f1 (t )
e
Modelos matemáticos: i) v=
t
a = ⇒ a = f 2 (t )
v
ii)
t
iii) h = gt ⇒ h = f 3 (t )
1 2
2
Notación General F = F (t )
3. TIPOS DE ECUACIONES
2
Referencia: Ecuación de una recta R
Forma Cartesiana
Explicita Implícita
y = ax + b AX + BX + C = 0
Forma Vectorial
L: P = P0 + t a ∀t ∈ R
Forma Paramétrica
Tomando:

4. x = x 0 + ta1
(x, y ) = (x 0 + ta1 , y 0 + ta 2 )
y = y 0 + ta 2
Ecuación de una recta en su forma paramétrica
Forma Simétrica
Tomando la ecuación paramétrica
x = x0 + ta1 y = y0 + ta
x − x0 y − y0
= =t Ecuación simétrica de la recta
a1 a2
4. REPRESENTACION PARAMETRICA DE CURVAS centro origen de
coordenadas (0,0)
Ecuación de la Circunferencia
Ecuación cartesiana
x 2 + y 2 = r 2 (Forma canónica)
Gráfico:
Del diagrama:
Ecuaciones paramétricas
x
i )Cost = ⇒ x = rCost
Cuando t ∈ [0,2π ]
r
y
ii ) Sent = ⇒ y = rSent
r

5. Ecuación paramétrica de la Elipse
Ecuación cartesiana:
x2 y2
+ =1
a2 b2
Gráfico:
x = rCost
y = rSent
Ecuación Paramétrica
x
= Cost ⇒ x = aCost
a
∀t ∈ R (Ecuación cartesiana
y
= Sent ⇒ y = bSent
b
modificada)

6. Ecuación paramétrica de la Hipérbola
Ecuación cartesiana:
x2 y2
− =1
a2 b2
Ecuación Paramétrica
x
= Cosht ⇒ x = aCosht
a
∀t ∈ R
y
= Senht ⇒ y = bSenht
b
Nota: en funciones hiperbólicas siempre debe estar dado en
radianes
RELACION:
e t + e −t
i ).Cosht =
2
e − e −t
t
ii ).Senth = e= constante neper =2,7182 61
2
ii ).Cos th − Sen 2 th = 1
2

7. 5. ECUACIONES PARAMETRICAS DE CURVAS QUE TIENEN COMO
CENTRO (h,k)
Ecuación parametrica de la Circunferencia
Ecuación cartesiana
( x − h )2 + ( y − k )2 = r 2
Gráfico:
Del diagrama:
Ecuaciones paramétricas
x − h = rCost ⇒ x = rCos + h
Cuando t ∈ [0,2π ]
y − k = rSent ⇒ y = rSent + k
Ecuación paramétrica de una Elipse
Ecuación paramétrica:
(x − h )2 + ( y − k )2 =1
a2 b2
Gráfico:

8. x−h
= Cost ⇒ x = h + aCost
a
∀t ∈ R (Ec. cartesiana
y−k
= Sent ⇒ y = k + bSent
b
modificada)
Ecuación paramétrica de la Hipérbola
Ecuación paramétrica:
(x − h )2 − ( y − k )2 =1
a2 b2
x−h
= Cosht ⇒ x = h + aCosht
a
∀t ∈ R
y−k
= Senht ⇒ y = k + bSenht
b

9. 4.3 PARAMETRIZACION DE CURVAS MEDIANTE LA INTERSECCION
DE DOS SUPERFICIES
Al intersecarse dos superficies generan una curva C cuyas ecuaciones
paramétricas se pueden determinar.
Ejemplo:
Parametrizar la curva C que esta formado por las ecuaciones
x2 + y2 = 9 ; z = 2
Solución:
Donde:
C ∈ P ( x, y , z ) ∈ R 3
C = C1 ∩ C 2
De ecuación (1):

10. 6. OBTENCION DE LA ECUACIÓN CARTESIANA DE UNA CURVA A
PARTIR DE SUS ECUACIONES PARAMETRICAS
Dadas las ecuaciones paramétricas de una curva C
• Se debe eliminar el argumento “t” mediante artificios algebraicos o
trigonométricos
Ejemplo:
x = 2 − t;
01.- Dada las ecuaciones de la recta L : determinar su ecuación
y = 3 + 5t
cartesiana y graficar.
SOLUCIÓN:
x = 2 − t.......(1) x = f (t )
L: Ec. Paramétrica de la Recta L
y = 3 + 5t.....(2 ) y = f (t )
Hallar la ecuación Cartesiana de L :
De (1) respecto a “t” t =2−x
y = 3 + 10 − 5 x
Reemplazando en (2) Ec. Cartesiana
y = −5 x + 13
02.- Graficar la ecuación cartesiana cuyas ecuaciones paramétricas son
x = 2 Sect − 1
y = Tant + 2
SOLUCION:
x = 2 Sect − 1.....(1)
Ec. Paramétrica
y = Tant + 2.....(2 )
Determinando la ecuación cartesiana
(x + 1)2 − ( y − 2)2 = 1 Hipérbola
22 12

11. Notación:
Campo escalar: φ =φ(x,y,z).
Transformación,
→ →
A = A(t )
Campo vectorial: → →
A = A( x, y, z ).
Transformación:
Campo escalar Campo vectorial
Ecuación Ecuación Función
Cartesiana parmetrica vectorial
Forma: φ(x,y,z)=0 x(t)=f1(t) Vector de posición
→ → → →
y(t)=f2(t) r = x i + y j+ z k .
z(t)=f3(t)
Ejercicios:
1.- Determine las ecuaciones parametricas de la curva C , esta curva tiene
x 2 + y 2 + z 2 = 16
como ecuaciones:
y+z =4
Solución:
Dado la C
∴ C = C1 ∩ C2
C1 : x 2 + y 2 + z 2 = 4 2 ……….(1) Ecuación de una esfera C.(0,0,0)
C2 : y + z = 4 ………..(2) Ecc. de un plano
Grafico intuitivo:
z
Curva: C
“Hodografa”
y
x
Calculando las ecuaciones parametricas de C :
Reemplazando ecc.(2) en ecc.(1)

12. x 2 + y 2 + (4 − y ) 2 = 16
x 2 + y 2 + 16 − 8 y + y 2 = 16
x2 + 2 y 2 − 8 y = 0
Completando cuadrados
x 2 + 2( y − 2) 2 = 8
Dividiendo.
x 2 ( y − 2) 2
+ =1
8 4
ecc. de una elipse
x2 ( y − 2) 2
+ =1
( 8)2 22
Determinado la ecc. Parametrica de la elipse.
x
= cos t. ⇒ x = 8 cos t.
8
y−2
= sent. ⇒ y = 2 + 2 sent.
2
Reemplazando en la ecc. (2).
z = 4 − (2 + 2sent ).
z = 2 − 2 sent.
si me pide la ecuación vectorial reemplazo en:
→ → → →
r = x i + y j+ z k .
7. FUNCION VECTORIAL DE VARIABLE REAL
Sea el vector de posición o radio vector r ∈ R 3

13. Donde:
→
r = OP.
→
r = P − O.
→
r = ( x, y, z ) − (0,0,0)
→
x y z
r =( , , )
↓ ↓ ↓
→ → →
i j k
Vectores unitarios.
→
i = (0,0,0).
→
j = (0,0,0).
→
k = (0,0,0).
→ → →
i = j = k =1
Notacion vectorial.
→ → → →
r = ( x i , y j , z k ).
Donde : Funcion vectorial
→ → → →
r = ( x(t ) i , y (t ) j , z (t ) k ).
Notacion:
→ →
r = r (t ).
→ → → → → →
x i + y j + z k = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) k .
x = x(t ) Ecc parametricas de una funcion vectorial.
y = y (t )
z = z (t )
Hodografa De Una Función Vectorial.
→ → → →
r (t ) = cos t i + sent j + sent k
Solución:
x = cos t...................(1)
y = sent...................( 2) → ecc. parametrica
z = sent...................(3)
x 2 + y 2 = cos 2 t + sen 2t
x 2 + y 2 = 1................( 4)
En el plano es una circunferencia, en el espacio un cilindro
Ecc (2)=(3)
z=y

14. En el grafico:
z
y
Hodografa.
x
Dominio Y Rango De Una Función Vectorial
Dada la funcion vectorial:
→ → → →
r = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) k
Dominio:
Se va a sacar el dominio de cada componente.
D→ = D x + D y + Dz
r (t )
Rango o Imagen
I m = { xt , yt , zt , / t ∈ I }
Propiedades de funciones Vectoriales.
→ → → →
1.( f ± g ) ( t ) = f ( t ) ± g ( t )
→ →
2.(φ f ) ( t ) = φ(t ) f (t )
→ → → →
3.( f . g ) ( t ) = f ( t ) . g (t )
→ → → →
4.( f × g ) ( t ) = f ( t ) × g (t )

15. Limite de una función Vectorial.
z
P1
→ →
r (t ) Δr P2 Trayectoria
→
r (t + Δt )
0 y
x
Del diagrama Δ OP1P2:
→ → →
r (t ) + r (t + Δt ) = Δ r
→ → → →
Δ r = r (t + Δ t ) − r (t )
→ → →
Δr r (t + Δt ) − r (t )
∴ lim = lim
Δt →t 0 Δt Δt →t 0 Δt
Resumen:
Si.
→ → → →
r (t ) = x(t ) i + y( t ) j + z(t ) k
→
⎡ → → →
⎤
lim r ( t ) = lim ⎢ x( t ) i + y( t ) j + z(t ) k ⎥
t →t 0 t →t 0 ⎣ ⎦
→ → → →
lim r ( t ) = lim x(t ) i + lim y( t ) j + lim z(t ) k
t →t 0 t →t 0 t →t 0 t →t 0
Propiedades:
→ → → → →
lim( f ± g ) ( t ) = lim f ( t ) i ± lim g ( t )
t →t 0 t →t 0 t →t 0
→ →
lim(φ f ) (t ) = lim φ( t ) . lim f ( t )
t →t 0 t →t 0 t →t 0
→ → → →
lim( f . g ) ( t ) = lim f ( t ) . lim g ( t )
t →t 0 t →t 0 t →t 0
→ → → →
lim( f × g ) ( t ) = lim f ( t ) × lim g ( t )
t →t 0 t →t 0 t →t 0

16. Continuidad de una función vectorial.
→
Una función vectorial r (t ) es continua en el punto t0
Si:
→
⎫
I . r ( t0 ) ⎪
→ ⎬ ⇒ debe.existir
II . lim r ( t ) ⎪
t →t 0 ⎭
→ →
III . lim r ( t ) = r ( t ) ⇒ Lafuncion.vectorial.es.continua
t →t 0
→ → → →
1.- Hallar el dominio de la función r ( t ) = ln(16 − t 2 ) i + t 2 − 3t + 2 j + t k
Solución:
Teoría D = Dx + Dy + Dz
función
vectorial
i. Calculando el Dx:
ln(16 − t 2 )
16 − t 2 > 0
− t 2 + 16 > 0
t 2 − 16 < 0
(t − 4)(t + 4) < 0
∴t = 4 ∧ t − 4
∴ Dx : t ∈< −4;4 >
ii. Calculando el Dy:
t 2 − 3t + 2
t 2 − 3t + 2 ≥ 0
(t − 2)(t − 1) ≥ 0
t = 1∧ t − 2
∴ Dy : t ∈ − ∞;1 U 2; ∞
iii. Calculando el Dz:
t
∴ Dz : t ∈ R
D f = Dx + Dy + Dz
Conjunto Solución
D f : t − 4;1 U 2;4
2.Determinar el dominio de la función vectorial.

17. 1. Determinar el dominio de la función vectorial
Solución
Punto de restricción:
t
Multiplicamos por (t-3)
(t-1)(t+2)(t-3)
t=1, t= - 2 t =3
vT = 1 , T = -2 t = 3
- + - +
-2 + 1 +3
Dx: te [ −2,1] U < 3, ∞ >
Calculando Dy : − ln ( q − t 2 )
t2 − 4
ln ( g − t 2 )
≠ Dn
4 − t2 Dd

18. Dy
∴= DN I D
d
g − t2 ≠ 0 4 − t2 ≠ 0
t ≠ ±3 ±2 ≠ t
+ +
-3 - 3
Dy = < −3,3 > − {−2, 2}
et + t DN
Calculando DΖ :
t Dd
Dz : DN I Dd
DN : t ∈
Dd : t ∈> 0, ∞ >
D f = Dx I Dy I Dz
-3 --2
- + 1 + 3 +
D f : t ∈< 0,1]
2) Si:
ur r u
r r
f (t ) = t1 − 2t 2 J + t 3 k
ur r
( )
g ( t ) = t 3 − 1 i − ( 2t + 1) J + t 2 − t k ( )
∅ (t ) = t + 1
Hallar:
ur ur ur u r
(
a.- f + 2 g
(1)
) (
e.- 2 f x3 g )( )
1
ur u r
(
b.- 2 f − 2 g )( )
1
ur
C.- f ( x + y ) t → ( x, y )
ur u
r
d.- ∅ f g ( )( )
1
Rpta: 12
Solución:
ur u
r uuu
r u
r
(
b) 2 f − ∅ g )( ) = ( 2 f ( ) − ∅ ( ) g ( ) )
1
1 1 1
donde t=1
ur u uu
r r
∴ f (1) = i − 2 J + K = (1, −2,1)
ur u
r r
g (1) = oi − 3J + ok = ( 0, −3,0 )
∅ (1) = 2
Si:
2(1,-2,1) -2(0, -3, 0)
(2,-4,2) - (0, 6, 0)
r
h = 2i + 2 j + 2k
ur ur
(
c) f + 2 g )( ) =
1

19. donde t=1
uuur r
f(1) = i − 2 j + 1k = (1, −2,1)
ur r
g (1) = ( 2 ) oi + ( 2 ) 3 j + ( 2 ) ok = ( 0, −6,0 )
ur u
r
⇒ f + 2 g = (1, − 2,1) + ( 0, − 6, 0 )
= (1, +8,1)
e) ur u r
( 2 f x3 g )( )
1
r
h = ( 2, −4, 2 ) x ( 0,k 9,0 )
i j −
r
h = 2 −4 2
0 −9 0
r
h = (18.0. − 18 )
r t t − 1 r sen3 t − 1 r 1 − t 2
4) Si: r (t ) = 1+ j+
t ln t t2 −1 sennt
r
Hallar el límite lim r ( t )
t →1
Solución.
r
r ⎛ t t − 1 sen3 t − 1 1 + t 2 k ⎞
lim r ( t ) = lim ⎜ i+ + ⎟
t →1 t →1 t ln t
⎝ t2 −1 senπ t ⎠
r
r tt −1 sen3 t − 1 r 1− t2 k
lim r ( t ) = lim + lim j + lim
t →1 t →1 t ln t t →1 t2 −1 t →1 senπ t
C2 C3
Hallando C1
tt −1 0
C1 = lim = forma ⇒ Aplicamos la regla de L’ Hospital
t →1 t ln t 0
d t
dt
( t − 1) ( t ) t ln t − ( t t − 1) ⎛ t⎞
C1 = lim = lim ⎜ t ln t + ⎟
⎝ t⎠
t
t →1 d t →0 t
t ln t
dt
C1 = lim
( )
t ln t − t t − 1 ( ln t + 1)
2
t →0 t2
d t d (1)
t −
C1 = lim dt dt =
t →0 d d
t ln t + ln t ( t )
dt dt
d ∨ du d
C1 = 1 u = ∨ u ∨ −1 + u ∨ ln u ∨
dt dx dx

20. 2. De
ii Hallando forma: 1’ Hospital
iii. Hallando: Hallando forma: 1’ Hospital
3. Si
Hallar:
Hallando:
Forma: ∞-0
Forma:

21. Propiedad:
ln = Ln(t+sent) = 0.∞
= R L’ Hospital
Ln =
= 1+cost
Argumento:
(1)
De (1)

22. derivando nuevamente
=1
Reemplazando el valor de x
Forma :1∞
donde: x =
lnx= ln
lnx=
Forma:
Lim
C3 = e

23. 4. Dado la función vectorial:
¿es continua en t=0?
Solución:
Por teoría: si se dice que es una función vectorial continua
Continua
ii) Si t = 0
iii) Hallando: C1 forma:
C1 =
C1 =
C1 =2
iii) Para forma: 1∞
x=

24. lnx ln
ln =
C2=
C3= = 00 = ∞
X=
Lnx= =
l =
=
ln
= =e
Entonces:
2 e2 +e
la función r(t) es discontinua.
→
→ → →
a ( 3) = 2 i + 12 j − 2 k

25. Geometría diferencial
→
• Vector tangente ( v T )
Dada la función vectorial.
→ →
r = r(t ) = x(t )i + y(t ) + z(t ) k
Grafico
T1 P1
VT
P2 P(x,y,z)
T2 LT: Recta tangente
T Argumento
Lineal
ti tf
Definición:
→ →'
V(T ) = r(t )
Ecuaciones de una Recta Tangente
Del diagrama lT :
P(x,y,z) Ecc. Vectorial:
→ →
a P= P0+t a ∀t ∈ R
P(x0, y0, z0)
→I
LT: P= P1+m r (t )

26. Función Vectorial con respecto a al Longitud de Arco
→ →
Sea la función vectorial r = r(s )
Donde S=longitud de Arco:
z
Longitud de arco.
S
y
x
Donde S = Angumento de longitud de arco.
S
→ →
Nota: r(t ≠ r(s )
Se pude hacer cambio de parámetro “REPARAMETRIZACION”
→ →
r(t ≠ r( s )
→
A = Modulo
A = Valor. Absoluto
REPARAMETRIZACIÓN:
Ecuación:
t →I
S = ∫ r (t ) .dt
0
Calculo de la longitud de arco:
Si:

27. → →
→ → r = r( s )
r = r(t )
z z
P0
Long arco P0 P1 Long arco
→ →
r(t ) r(s )
P1 P1
y
y
x x
t 2 →I t →
∫
I
∴ P0 P1 = ∫ r (t ) .dt S =
0
r ( t ) . ds
t1
→
A
→
→ →
A
* u→ u→ = →
A A
A
Vectores Unitarios de la Tangente Normal y Binormal
→ →
Dada la funcion vectorial. r = r(t )
→
1.-Vector Unitario Tangente T(t ) :
→
z P0. T(t )
→ →I
P0 : Pto inicial VT = r (t )
P0(a0, y0, z0) ζ
y
x
ecuación: →
r ' ( t )
T ( t ) = →
r ' ( t )

28. 2.- Vector Unitario Normal.
2.1.-Vector Normal.
→ →
Dada la funcion vectorial r = r (t ) :
→
N : (Vector Normal Unitario.)
→
T(t ) :(Vector tangente
Unitario)
→ →
∴ n = T ' (t )
2.2.-Vector Normal Unitario.
→
→
T ' (t )
Ecuación: N (t ) = →
T ' (t )
→
3.- Vector Unitario Binormal ( B t ) :
→ →
Dada la función vectorial r = r (t )
P L: Binormal
→
z B t Vect. Normal Binormal.
→ →
T (t ) N (t )
→
r (t )
y
x
→ → →
B = T (t ) × N (t )

29. Ecuación:
Ecuación de la recta Binormal.
→
LB: P = P0+m B ; ∀, m. ∈ R
TRIEDRO MOVIL
→
z Bt
P0
→
T (t )
→ →
r (t ) P N (t )
→
k
→ →
i j y
x
Relaciones:
→ → →
1.-
B (t ) = T (t ) × N (t )
→ → →
2.-
T (t ) = N (t ) × B (t )
→ → →
3.-
N (t ) = B (t ) × T (t )
→ → →
C = A× B
→
B
Q: Plano
→
A Nota: Dos vectores forman un plano
PLANOS FUNDAMENTALES.

30. 1.- Plano Oscilador.
Plano formado por los vectores tangente unitario y normal
unitario
→
z Bt
π
Plano osculador
2
→ →
T (t ) P0 P N (t )
P
y
x
Pto. Paso inicial: P0(x0 ,y0 ,z0)
Pto generico: P(x,y,z)
Del diagrama:
→ →
B P0 P ⇔ B . P0 P = 0
∴ Q0 : →
B ( t ) .( P − P0 ) = 0
2.- Plano Normal.
Formado por el vector normal unitario y el vector binormal
unitario.
→
B
z
P
P0 P
P0
→
π →
T (t ) N (t )
2
y
x

31. → →
T (t ) P0 P ⇔ T (t ) . P0 P = 0
∴ QN : →
T (t ) .( P − P0 ) = 0
3.- Plano Rectificante.
∴ QR : →
N (t ) .( P − P0 ) = 0
CURVATURA
Sea “ C ” la curva regular (no tiene punto de restricción.) ∈ R 3 ; que tiene como
argumento el parámetro de “longitud de arco”.
→ → → → → →
Dado: r = r (s ) < > r(s ) = x( s ) i + y( s ) j + z( s ) k
Grafico:
z S
→ →
r = r (s )
Y
x → →
1.-VECTOR TANGENTE UNITARIO: T( s ) = r ' ( s )
2.- VECTOR NORMAL UNITARIO:
→ →
→ T( s ) ' r ' ' (s)
N (s) = →
= →
T( s ) ' r ' ' (s)
3.- VECTOR BINORMAL UNITARIO: → → →
B (s) = T (s) × N (s)
→
4.- VECTOR CURVATURA k ( s ) : → → →
k ( s ) = T '( s ) = r ' '( s )
→
5.- CURVATURA DE CURVA K ( s) = K : →
K (s) = r ' ' (s)
6.- RADIO DE CURVATURA ρ : 1
ρ =
K ( s )

32. LN
z
→
P0 N (s )
→
P T (s )
C Centro de Curvatura
→
r (s ) “Evoluta”
y
x
Ecuación de la Evoluta:
→
LN: C = P0 + m N ( s ) ; ∀, m. ∈ R
→
C = P0 + ρ N ( s )
→
→ →
7.- VECTOR TORSIÓN ℑ(S ) :
ℑ ( S ) = B '( S )
→
→
8.-TORSIÓN ℑ( s ) = ℑ( s ) :
ℑ( s ) = B '( s )
9.- RADIO TORSIÓN σ ( s ) : 1
σ (s) =
ℑ(s)
ECUACIONES DIRECTAS.
1.- VECTOR NORMAL UNITARIO:
→ → →
→ ( r '( t ) × r ' '( t ) ) × r ( t )
N (t ) = → → →
( r '( t ) × r ' '( t ) ) r ( t )
2.- VECTOR BINORMAL UNITARIO:
→ →
→ r '( t ) × r ' '( t )
B (t ) = → →
r '( t ) × r ' '( t )
3.- CURVATURA DE CURVA

33. :
→ →
⎧→ → r '× r ' '
⎪ r = r (t ) K =
⎨→ → → 3
⎪ r = r (s)
⎩ r '
4.- TORSIÓN DE LA CURVATURA.
→ → →
r ' × r ' '. r ' ' '
ℑ = 2
→ →
r '× r ' '
5.- VECTOR CURVATURA.
→ → →
1
k ( S ) = ℑ'( S ) = →
. T '( t )
r '( t )
6.- CURVATURA.
→ →
k (S ) = ℑ '( S )
7.-VECTOR TORSIÓN.
→ → →
1
T ( S ) = B '( S ) = →
. B '( t )
r '( t )
8.- TORSIÓN.
→
T ( s ) = B '( S )
Ejemplo:
Hallar la ecuación del plano oscilador Q0, de la curva C
⎧ x + z = s......................(1)
C :⎨ 2
⎩ x + y + z = 25.........(2)
2 2
En el punto ( 2,2 3 ,3)
Solución:
Ecc. Cartesiana Ecc. Parametrica función Vectorial
→
r(t ) = x(t )i + y(t ) + z(t ) k
De Ecc. (1)
z =s−x
Reemplazando:

34. x 2 + y 2 + ( s − x) 2 = 25
x 2 + y 2 + 25 − 10 x + x 2 = 25
2 x 2 − 10 x + y 2 = 0
⎡ 5 25 ⎤
2 ⎢( x − ) 2 − ⎥ + y 2 = 0
⎣ 2 4⎦
5 25
( x − )2 + y 2 =
2 2
5
( x − )2 2
2 + y 5
= 1; ⇒ C : ( ,0)
5 5 2
( )2 ( )2
2 2
Parametrizando:
5 5
x = + cos t
2 2
5
y= sent
2
5 5
z = − cos t
2 2
Lugo la función vectorial seria:
→ → → →
5 5 5 5 5
r (t ) = ( + cos t ) i + ( sent ) j + ( − cos t ) k
2 2 2 2 2
Del diagrama.
→ →
B (t ) P0 P ⇔ B (t ) .P0 P = 0
→
∴ Q0 : B ( t ) .( P − P0 ) = 0..................................(3)
Donde:
→ → →
B (t ) = r (t ) × N ( t ) .............................................( 4)
Vector tangente unitario:
→
→ r '( t )
T (t ) = →
r '( t )
Vector normal unitario:
→
→ T '( t )
N (t ) = →
T '( t )
Derivando.
→ → → →
5 5 5
r '(t ) = − sent i + cos t j + sent k
2 2 2
Modulo.
→
5 5 5
r (t ) = (− sent ) 2 + ( cos t ) 2 + ( sent ) 2
2 2 2

35. →
5
r (t ) =
2
Vector tangente unitario.
→ → →
5 5 5
→
− sent i + cos t j + sent k
T (t ) = 2 2 2
5
2
→ → → →
2 2
T (t ) = − sent i + cos t j + sent k
2 2
Derivando.
→ → → →
2 2
T '( t ) = − cos t i − sent j + cos t k
2 2
Modulo.
→
2 2
T '( t ) = ( − cos t ) 2 + (− sent ) 2 + ( cos t ) 2
2 2
→
T '( t ) = 1
Vector normal unitario.
→ → → →
2 2
N (t ) = − cos t i − sent j + cos t k
2 2
Vector binormal.
→ → →
i j k
→
2 2
B (t ) =− sent cos t sent
2 2
2 2
− cos t − sent cos t
2 2
→
2→ → 2→ 2 2
B (t ) = i + 0 j+ k <> ( ,0, )
2 2 2 2
En Ecc…(3)
→
∴ Q0 : B ( t ) .( P − P0 ) = 0;
(
2
2
,0,
2
2
[
). ( x, y, z ) − (2,2 3 ,2) = 0 ]
2 2
( x − 2) + 0( y − 2 3 ) + ( z − 3) = 0
2 2
x+ z −5 = 0
→
LB : P = P0 + m B ( t ) ; ∀m ∈ R
2 2
( x, y, z ) = (2,2 3 ,2) + m( ,0, )
2 2
1
( x, y, z ) = (2,2 3 ,2) + m (1,0,1)
2
( x, y, z ) = (2,2 3 ,2) + n(1,0,1)

36. Ecc Parametrica: Ecc. Simetrica:
x = 2+n
2
y=2 3 x − 2 = z −3: y =
3
z = 3+ n
OPERACIONES DIFERENCIALES
1. Operador diferencial vectorial Nabla (operador Hamilton)
Notación: ∇ = operador diferencial Nabla (”operador Nabla”)
=
∂ r ∂ r ∂ r
∇= i+ j+ k
Definición: ∂x ∂x ∂x
Une las propiedades diferenciales y vectoriales.
2. Relaciones:
2..1.. Gradiente (grad)
φ campo escalar ∇
21
r
2..2..
22 Divergencia (div) A campo vectorial ∇
r
2..3..
23 Rotacional (rot) A campo vectorial ∇

37. r
II.. Gradiente
φ→A
Transforma de un campo escalar a un campo vectorial.
⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞
∇φ = ⎜ i + j + k ⎟φ
Definición: ⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠
∂φ r ∂φ r ∂φ r
∴ ∇φ = i+ j+ k
∂x ∂x ∂x
Interpretación geométrica:
• El modulo de una gradiente viene hacer la derivada máxima o
derivada direccional.
⎛ ∂φ ⎞
∇φ = ⎜ ⎟
⎝ ∂u ⎠ max u = vector unitario

38. • Derivada direccional
∂φ r
= ∇φ .u r r r r
∂u u = u1i + u 2 j + u3 k Vector
unitario
r
r A
u= r r
A u =1
r
IIII.. divergencia: (A → φ )
Transforma de un campo vectorial a un campo escalar.
r ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ r
∇. A = ⎜ i + j + k ⎟. A
⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠
r ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ r r
j + k ⎟.( A1i + A2 j + A3 k )
r
∇. A = ⎜ i +
⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠
r ∂A ∂A ∂A
∇. A = 1 + 2 + 3
∂x ∂x ∂x
Nota:
r r
•
•
∇. A ~ = A.∇
r
•
• ∇. A = 0 ⇒ el campo vectorial es nulo

39. III. Rotacional:
r r r
i j k
r ∂ ∂ ∂
∇× A =
∂x ∂y ∂z
A1 A2 A3
Definición:
r
•
• ∇× A = 0 ⇒ El campo vectorial es irrotacional.
OPERADORES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN:
Operador de Laplace ∇ 2( )
Definición: ∇ 2 = ∇.∇
⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞
∇2 = ⎜ i + j + k ⎟.⎜ i + j + k⎟
⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠
⎛ ∂2 ∂2 ∂2 ⎞
∇ =⎜ 2 + 2 + 2
2
⎜ ∂x ⎟
⎟
⎝ ∂x ∂x ⎠
rr
⎧i .i = 1
⎪r r
diada ⎨ j . j = 1
rr
⎪k .k = 1
⎩
Ejercicios de aplicación:

40. r
1..
1 demostrar que: ∇r n = nr n −1u
Solución:
r r r r
Vector de posición:
r = xi + yj + zk
r
r =r
Modulo:
r= x2 + y2 + z2
(
⎧r 2 = x 2 + y 2 + z 2
⎪ )
∴⎨
(
⎪r = x 2 + y 2 + z 2 2
⎩
1
)
Analizando: rn en el campo escalar
(φ )
∴ ∇r n ⇒ Gradiente (grad φ )
Haciendo que:
( )
n
[r ] = ⎡ x2 + y2 + z2 ⎤
n 1
2
⎢
⎣ ⎥
⎦
(
∴r n = x2 + y2 + z2 ) n
2

41. ⎛ ∂ r ∂ r ∂ r⎞ 2
∇.r n = ⎜ i +
∂x
j + k ⎟. x + y 2 + z 2
∂x ⎠
( )n
2
Sii::
S
⎝ ∂x
∇ Nabla
⎛∂ ∂ ∂
∴ ∇.r n = ⎜ (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 i + (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 j + (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 k ⎟
n r n r n r⎞
⎝ ∂x ∂x ∂x ⎠
n 2
( ) (2 x )ir + n (x ) (2 y ) r + n (x )
n −1 n −1 n −1
∴ ∇.r n = x + y2 + z2 2 2
+ y2 + z2 2
j 2
+ y2 + z2 2
(2 z )
2 2 2
Factorizando:
(
∇.r n = n x 2 + y 2 + z 2 ) (xir + yr + zkr )
n −1
2
j
r r
2 r = r.u rr
r
r
Se tiene: urr vector unitario
r
rr r
ur = ⇒ r r
r r = r.u rr
r
∇.r n = nr n −1u rr ……. L.q.q.d

42. 2. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie: 2 xz − 3xy − 4 x = 7
2
en el punto (1,-1,2).
Solución:
S:
2 xz 2 − 3xy − 4 x = 7
S:
Grraffiico::
G a co
∴φ = 2 xz 2 + 3xy − 4 x − 7 = 0
r r
Del diagrama:
n ⊥ P0 P ⇔ n.P0 P = 0
r
∴ Q1 = n.( P − P0 ) = 0 ……………(1)
r ∂ r ∂ r ∂ r
n = ∇φ = φ .i + φ . j + φ .k
Siendo: ∂x ∂y ∂z
r r r r
⇒ n = (2 z 2 − 3 y − 4)i + (−3x) j + (4 xz)k

43. Para un punto cualquiera
Parra P ((1,,--1,,2))
Pa a P 1 1 2
r r r r
n = (80 + 3 − 4)i + (−3) j + 8k
r r r r r
n = 7i − 3 j + 8k ⇒ n= (7,−3,8)
Reemplazando en la ecuación (1)
(7,−3,8).[( x, y, z ) − (1,−1,2 )] = 0
(7,−3,8).[x − 1, y + 1, z − 2] = 0
7 x − 7 − 3 y − 3 + 8 z − 16 = 0
7 x − 3 y + 8 z − 26 = 0
Respuestta
Respues a
Obserrvaciiones::
Obse vac ones
r r r r
•
n1 // n 2 ⇔ n1 = mn 2
•
r r r r
•
n1 ⊥ n 2 ⇔ n1 .n 2 = 0
•
3. Hallar el ángulo formado por las superficies:
S1 : xy 2 z = 3x + z
S 2 : 3x 2 − y 2 + 2 z = 1
P0 (1,−2,1)

44. φ1 = xy 2 z − 3x − z 2 = 0
φ 2 = 3x 2 − y 2 + 2 z − 1 = 0
r ∂ r ∂ r ∂ r
n = ∇.φ1 = φ .i + φ . j + φ .k
∂x ∂y ∂z
r
( )
r r
( )r
n1 = y 2 z − 3 i + (2 xyz) j + xy 2 − 2 z k ⇒ n1 = (1,−4,2)
r r r r
n2 = 6 xi − 2 yj + 2k ⇒ n2 = (6,4,2)
n1 = 21 n2 = 56
;;
rr
n1 n 2
cos θ = r r =
(1,−4,2)(6,4,2)
n1 n 2 21 56( )( )

45. 4. Hallar la constante a y b de forma que si: ax − byz = (a + 2)x sea
2
ortogonal a
S2 : 4x 2 y + z 3 = 4 en el punto (1,-1,2).
Solluciión::
So uc ón
φ1 = ax 2 − byz − x(a + 2) = 0
φ2 = 4 x 2 y + z 3 − 4 = 0
r
n = ∇.φ
r r r
n1 = [2ax − (a + 2)]i + (− bz ) j + (− by )k
r
r r r r
n2 = 8 xyi + 4 x 2 j + 3z 3 k
P0 (1,−1,2)
r r r
n1 = (a + 2,−2b, b )
r
n1 = (2a − a + 2)i − 2bj + bk
r
⇒
r r r
n2 = (− 8,4,12)
r r
n2 = −8i + 4 j + 12k ⇒
r r
n1 × n2 = 0
(a + 2,−2b, b )(− 8,4,12) = 0
− 8( a + 2) + (−2b)( 4) + 12b = 0
− 8a − 16 + 4b = 0
P0 (1,−1,2)
ax 2 − byz − x(a + 2 ) = 0
a + 2b − a − 2 = 0
b =1
− 8a + 16 + 4 = 0
5
a=
2 Respuesta a=5/2 ; b=1

46. INTEGRACION VECTORIAL
INGRACION DE LINEA:
Se denomina así a la integral que se determina a lo largo de una línea de una
curva C ; pudiendo esta ser abierta o cerrada.
r r
Dado el campo vectorial continúo A = A(t ) y una curva parcialmente plana en
r r
la A = A( x , y , z ) cual esta elegida la dirección positiva (curva orientada). En este
capitulo estudiaremos las integrales de línea sobre campos escalares a lo largo
de un camino respecto a la longitud de arco; y la integral de línea de campos
vectoriales a lo largo de un camino.
P ( x1 , y1 , z1 )
1
r r
Dada la función vectorial r = r(t )

47. 1. INTEGRACION DE LINEA DE PRIMERA ESPECIE O GÉNERO
r r
A= A(t ) ϕ = ϕ (t )
Campo vectorial r r Campo Escalar ∈ R2 ∧ R3
A= A( x , y , z ) ϕ = ϕ( x, y,z )
Notación: ∫ ϕ = ∫ ϕ ( x, y, z )dS
C
DONDE:
i) dS : diferencia de longitud de arco
dS = r (t ) dt → Ordena el intervalo
ii) ecuaciones paramétricas
iii) t= Parámetro lineal

48. 2. INTEGRAL DE LINEA DE SEGUNDA ESPECIE O GENERO
NOTACION: ∫ A = ∫ A× d r
C C
Donde:
r r
A = A( x , y , z ) Campo vectorial ∈ R 3
r → Vector posición
r = xi + y j + z k
d r = Diferencial de un vector de posición
d r = dxi + dy j + dz k
A = X ( x , y , z )i + y( x , y , z ) j + z ( x , y , z ) k
Prod. Escalar
d r = dxi + dy j + dz k
Ad r = x( x y , z dx + y x , y z ) dy + z ( x , , z ) dz
1444,4)442(4,4444y43
Ecs. Parametricas . de.la .Curva
3. PROIEDADES DE LA INTEGRAL DE LINEA
m. y.n → cte
Siendo:
A. y B → campos.vectotiales
P.1 LINEALIDAD
∫ m Aϕ
C
1 +n B ϕ2 = m ∫ Aϕ1 +n ∫ Aϕ2
C C

49. P.2 ADITIVIDAD
P.3 CAMBIO DE SIGNO
FORMAS DE I NTEGRACIÒN
1. ∫ ϕ.dS
C
2. ∫ A.d r
C
Campo Escalar 1º y 2º
Especie
3. ∫ ϕ .d r 4. ∫ A× d r Campo Vectorial no tiene
C C
Nombre pero se puede
operar

50. Ejemplo:
1. Hallar ∫ φ(
C
x, y,z ) dS; si φ = x 2 y − z y C recorre una sola ves en sentido
contrario a las manecillas del reloj del cuadrado definido por los puntos
(0,0,0); (1,1,0); (1,1, )(
2 ; 0,0, 2 )
Solución:
Integrando la línea de primera especie y género
P0 (0,0,0)
P1 (1,1,0)
I = ∫ φ( x , y , z ) dS
C ( )
P2 1,1, 2
Forma un cuadrado
P (0,0, 2 )
3
en R 3
Campo escalar
φ = φ ( x, y , z ) = x 2 y − z
z
P3
C3
C4 P2
P0 y
C2
C1
P1
x
Curva total: C : C1 ∪ C 2 ∪ C3 ∪ C 4

51. En forma integral de Línea: ∫ φ .dS = ∫ φ .dS + ∫ φ .dS + ∫ φ.dS + ∫ φ.dS
C C1 C2 C3 C4
I = I1 + I 2 + I 3 + I 4
INTEGRAL TOTAL:
i) I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 .....................(1)
ii ) Calculando la integral I1
I1 = ∫ φ .dS .......................(2)
C
DONDE:
φ = x2 y − z
dS = r (t ) dt
Donde: r = xi + y j + z k ..........................(3)
Además r = r (t )
Siendo x, y, z → f (t )
Determinando las ecuaciones paramétricas de la curva C1
C1 : Representa la ecuación de una recta
Ecuación vectorial de C1 P = P0 + t.P0 P1 ∀ t ∈ R
P ( x, y , z )
Puntos genéricos
P0 (0,0,0)

52. P0 P1 = P1 − P0 = (1,1,0) − 1(0,0,0) = (1,1,0)
Reemplazando (x, y, z ) = (0,0,0) + t (1,1,0)
x=t
y=t Ecuaciones Paramétricas
z=0
Calculo de los Parámetros (t)
Inicial t1 Inicial t 2
P0 = (0,0,0 ) P1 = (1,1,0)
De la ecuación paramétrica
0=t 1= t
0=t t1 = 0 1= t t2 = 0
0=0 0=0
Intervalo t ∈ [0,1]
Reemplazando en la ecuación (3) r = ti + ti + 0 k
r ' (t ) = i + j + 0 k
1º derivada
r '(t ) = 12 + 12 + 0 2 = 2
Reemplazando valores en la ecuación (2)
I1 = ∫ (x )
y − z r '(t ) dS
2
C1
∫ [t ]
1
I1 = 3
− 0 2 .dt
t =0
1
I 1 = 2 ∫ t 3 dt
0
2
I1 =
4

53. 1. A = yi + x j + xy 2 z k , calcular la integral de línea ∫ A.d r
C
C es la curva recorrida en la semicircunferencia del plano xy positivo
con centro (0, 2,0) y la recta que uno los puntos (0,4,0) y (1,3,5)
Solución:
∫ A.d r
C
Integral de línea forma 2º especie
C La curva o línea en el espacio R 3
C1 Plano z=0 0(0, 2,0)
C1 P1 (0,4,0) → P2 (1,3,5)
C Curva total
∴ C = C1 ∪ C 2
z
Donde: P2 (1,3,5) Hallar:
∫ A.d r = ? C2
C1
y ∴ ∫ A.d r = ∫ A1.d r + ∫ A2 .d r
C
P = 0 = (0,0,0) P C C1 C2
C (0,2,0) r=2 P1 (0,4,0 )
P2 (0,4,0) I = I 1 + I 2 .......... ...(1)
x
P3 (1,3,5)
C1
Calculando: I1 = ∫ A.d r..............(2)
C1
Producto escalar

54. A = y i − x j + xy 2 z k
d r = dx i − dy j + dz k
A.d r = ydx − xdy + xy 2 zdz .......... ..(3 ) Producto escalar
Reemplazando ecuación (3) en (2)
I 1 = ∫ ydx − xdy + xy 2 zdz..................(4 ) Llevar a Ec. Paramétrica
Determinando las ecuaciones paramétricas de la curva C1
C1
(x − h )2 + ( y − k )2 = r 2 R 2 → plano
C (h, k )
∴ C (0,2) r=2
(x )2 + ( y − 2)2 = 2 2
x = 2 cos t ⇒ dx = −2sentdt
Ec. Paramétricas y = 2 + 2sent ⇒ dy = 2 cos tdt t ∈ [0, π ]
z = 0 ⇒ dz = 0
Reemplazando en Ec. (4)ç
π
I1 = ∫ (2 + 2sent )(− 2sentdt ) − (2 cos t )(2 cos tdt ) + (2 cos t )(2 + 2sent )0
t =0
π
I1 = ∫ (− 4sent − 4sen t − 4 cos t )dt
2 2
t =0
π
I1 = ∫ − 4(sent + 1)dt
t =0
π
I1 = −4 ∫ (sent + 1)dt
t =0
I1 = −4(cos t + t )
I1 = −4(cos π − cos 0)
I1 = 0

55. Hallando la I 2
I2 = ∫ ydx − xdy + xy
2
zdz
C2
C2 : Es una recta formada por dos puntos
C2 : Ec. Vectorial P = P2 + t P2 P3
P2 P3 = P3 − P2 = (1,3,5) − (0,4,0) = (1,−1,5)
∴ (x, y, z ) = (0,4,0) + t (1,−1,1)
Ec.Paramétricas Diferenciales Intervalos
" t".inicial " t". final
P2 (0,4,0 ) P3 (1,3.5)
x=t dx = dt 0=t 1= t
y = 4−t dy = −dt 0=t 1= t
z = 5t dz = 5dt 0=t 1= t
∴t1 = 0 ∴t 2 = 1
Reemplazando en (4)
I2 = ∫ ydx − xdy + xy
2
zdz
C2
1
I 2 = ∫ (4 − t )dt − t (− dt ) + t (4 − t ) (5t )(5dt )
2
0
( )
1
I 2 = ∫ 4dt − dt + dt + 16t − 8t 2 + t 3 25tdt
0
1
I 2 = ∫ 4dt + 400t 2 dt − 200t 3 dt + 25t 4 dt
0
1
⎡
= 4t +
400 3 200 4 25 5 ⎤
I2
⎢ t − t + t ⎥
⎣ 3 4 5 ⎦ 0

56. CIRCULACION Y EL CAMPO VECTORIAL
Tiende a ser de línea tomada a lo largo de la curva cerrada o abierta C
Ax + By + Cz = 0
x2 + y2 = r 2
C2
C1 φ ." int egral.ciclica"
C." int egral.de.una.
Notación:
C = C1 ∩ C 2 curva.cerrada"
" circulacion.de. A"
INTEGRAL DE AREA INDEPENDIENTES DE LA TRAYECTORIA
z trayectori a
P3
C3 Curva Total:
P0
P2 C = C1 ∪ C 2 ∪ C3
C1 C2
P1
y Una curva total es independiente de la
Trayectoria ⇔ ∇ × A = 0
p3
x ∇× A = 0 ⇒ ∫ = ∫
C P1

57. Rotacional:
Nota: Si ∇× A ≠ 0 ⇒ ∫ = ∫ + ∫ + ∫
C C1 C2 C3
CAMPO POTENCIAL ESCALAR
Sea: A = A( x , y , z ) → Campo vectorial
φ = φ ( x , y , z ) → Campo escalar
Ecuación: A = ∇φ
CALCULO DE UNA INTEGRAL DE LINEA MEDIANTE EL CAMPO
POTENCIAL
z
∫ A.d r
P1 C1 Hallar:
C
P2 Si ∇ × A = 0
y Donde:
P2
I = ∫ A.d r = ∫ dφ
C P
x 1
I =φ = φ −φ
P2
P1 P2 P1

58. Ejemplo:
1. Sea: A = − yi + x j calcular ∫ A.d r
C
donde C es la curva de intersección
de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 y el cilindro x 2 + y 2 = 2x ( z ≥ 0) siendo
recorrido, en el proceso de integración en sentido contrario al de las
agujas del reloj, si la mira desde el origen desde el origen de
coordenadas.
Solución:
A = − yi + x j ∫ A.d r
C
Esfera S1 : x 2 + y 2 + z 2 = 4 → perfecta
C: Cilindro S 2 : x 2 + y 2 = 2 x (z ≥ 0) no es perfecto
∴ curva : C = S1 ∩ S 2
GRAFICO:
C ∈ R3

59. Determinando las ecuaciones paramétricas de C
De: (x − 1)2 + y 2 = 1
∴ x − 1 = cos t
x = 1 + cos t
y = sent
z = 4 − (1 + cos t ) − (sent )
2 2
z = 4 − 1 − 2 cos t − (cos t ) − (sent )
2 2
Para z de x 2 + y 2 + z 2 = 4
z = 2 − 2 cos t
Ec.Paramétricas Diferenciales Intervalos
x = 1 + cos t dx = − sentdt
y = sent dy = cos tdt t ∈ [0,2π ]
z = 2 − 2 cos t sentdt
dz =
2 − 2 cos t
Hallar I = ∫ A.d r = ∫ A.d r
C C
I = ∫ − ydx + xdy
C
2π
I = ∫ − (sent )(sentdt ) + (1 + cos t )(cos tdt )
0

60. 2. Dado el campo vectorial
( ) (
A = e x senz + 2 yz i + (2 xz + 2 y ) j + e x cos z + 2 xy + 3z 2 )
k
a) Demostrar que A es un campo vectorial conservador.
b) Potencial. Hallar el potencial escalar del que deriva
c) A es una fuerza conservadora calcular el trabajo realizado para
desplazar un
⎛ π⎞
cuerpo en este campo desde ⎜ 0,1, ⎟ hasta (1,2, π )
⎝ 2⎠
Solución:
z
P1
x
dr
P2
y
x
a) Teoría: Un campo vectorial es conservador ⇔ ∇ × A = 0

61. ⎡ i j k ⎤
⎢ ∂ ∂ ∂ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ∂x ∂y ∂k ⎥
⎢e x senz + 2 yz 2 xz + 2 y e x cos z + 2 xy + 3 z 2 ⎥
⎣ ⎦
⎡∂ x ∂ ⎤
= i⎢ ( )
e cos z + 2 xy + 3 z 2 − (2 xz + 2 y )⎥
⎣ ∂y ∂k ⎦
⎡∂ ∂ x
(
= j ⎢ e x cos z + 2 xy + 3 z 2 − ) ( ⎤
e senz + 2 yz ⎥ )
⎣ ∂x ∂k ⎦
⎡∂ ∂ x ⎤
= k ⎢ (2 xz + 2 y ) − (
e senz + 2 yz ⎥ )
⎣ ∂k ∂y ⎦
Derivando =0 ∴ El campo vectorial es conservatorio
b) Calculando el potencial escalar del campo vectorial A
Notación: C vectorial A = A( x , y , z )
C Escalar φ = φ ( x , y , z )
∇.φ = A
Hallar φ = ? Tomando ∇.φ = A
∂ ∂ ∂
∂x
( ) ( )
φi + φ j + φ k = e x senz + 2 yz i + (2 xz + 2 y ) j + e x cos z + 2 xz + 3z 2 k
∂y ∂z

62. 1º igualdad de vectores tendremos
∂φ
= e x senz + 2 yz + y 2 + z 3 + c
∂x
c) A = fuerza
w P2
∫ dw = ∫ F .d r
0 P1
P2
Trabajo w = ∫ F .d r A.d R = α .m
P1
Siendo:
P2 →(1, 2 ,π )
P2 P2
w = ∫ F .d r = ∫ dφ = φ ⎛ π⎞
P →⎜ 0 , −1, ⎟
1
P1 P1 ⎝ 2⎠
(1, 2,π )
Reemplazando: w = e senz + 2 xyz + y + z + c
x 2 3
⎛ π⎞
⎜ 0 , −1, ⎟
⎝ 2⎠
π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞
3
w = e senπ + 2(1)(2)(π ) + (2) + (π ) − e sen − 2(0 )(− 1)⎜ ⎟ − 12 − ⎜ ⎟ + c
1 2 3 0
2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
w = 44

63. ( )
3. Siendo A = 4 xy − 3 x 2 z 2 i + 2 x 2 j − 2 x 3 zk Hallar la ∫ A.d r a la largo de la
C
curva C , que sigue la trayectoria de C1 : La curva definida por:
x2 = 4y x=0
Desde
3x 3 = 8 z x=2
C1 : La recta que une los puntos (2, 1,3) y (2,-1,5)
C 2 : La curva x = 2t 2 y=t z = 4t 2 − t desde (2,-1,5) hasta t=2
Solución:
GRAFICO: Curva Total "C"
Donde C = C1 ∪ C 2 ∪ C 3
I = ∫ A.d r = ? ∫ A.d r = ∫ A.d r + ∫ A.d r + ∫ A.d r
C C1 C2 C3
Luego I = I1 + I 2 + I 3
z C3 P4
P3
x2 = 4y
C2 Curva C1
3x 3 = 8 z
P1 C1 P2 Si: x = t
y 1 2
y= t
4
3
z = t3
x 8
Ecuaciones paramétricas

64. INTERVALOS
DIFERENCIALES INICIAL FINAL
dx = dt x=t =0 x = t = 2 ⇒ t ∈ [0,2]
t y=0 y =1
dy = dt
2 z=0 z=3
9
dt = t 2 dt P1 (0,0,0 ) P1 (2,1,3)
8
recta
P2 (2,1,3) → P3 (2,−1,5)
C1
Punto Inicial Punto Final
x = 2t 2 ± 1
y = t −1
(2,−1,5) (0,2,14)
Curva C 3
t = −1 t=2
z = 4t 2 − t
Reemplazando t=2 t ∈ [− 1,2]
Los puntos se reemplazan y se halla “t”
Ecuaciones Paramétricas diferenciales
P = P2 + t P2 P3
( )
A = 4 xy − 3x 2 z 2 i + 2 x 2 j − 2 x 3 zk
Siendo
d r = dxi + dy j + dz k
( )
A.d r = 4 xy − 3x 2 z 2 dx + 2 x 2 dy − 2 x 3 zdz

65. Ojo: Analizamos si es independiente de la trayectoria
Si: C es una integral de línea independiente de la trayectoria
∇× A = 0
⎡ i j k⎤
⎢∂ ∂ ∂⎥
P2
Luego: I = ∫ A.d r = ∫ A.d r = ∇ × A = ⎢ ⎥
C P1 ⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥
⎢ A1
⎣ A2 A3 ⎥
⎦
Hallando su potencial escalar
∂φ ∂φ ∂φ
∂x
i+
∂y
j+
∂z
( )
k = 4 xy − 3x 2 z 2 i + 2 x 2 j − 2 x 3 zk
φ1 = ∫ (4 xy − 3x 2 z 2 )dx →φ1 = 2 x 2 y − x 3 z 2 + c1
φ 2 = ∫ (2 x 2 )dy →φ 2 = 2 x 2 y + c 2
φ3 = ∫ (− 2 x 3 z )dz →φ3 = − x 3 z 2 + c3
φ = 2x 2 y − x3 z 2 + c
P2 (8 , 2 ,14 )
P2
I = ∫ A.d r = ∫ dφ → φ
P (0 , 0 , 0 )
1
C P
(2x y − x z +c)
1
Hallando (8, 2 ,14 )
2 3 2
I=
(0 , 0 , 0 )

66. 4. Si: φ = 2 xy 2 z + x 2 y hallar : ∫ φ .d r ; siendo C la quebrada que une los
C
puntos (0,0,0) , (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1)
Solución:
La curva total C = C1 ∪ C 2 ∪ C 3
∴ ∫ φ .d r = ∫ φ .d r + ∫ φ .d r + ∫ φ .d r
C C1 C2 C3
z
P4
P1 ( )(
Donde: φ .d r = 2 xy z + x y dxi + dy j + dz k
2 2
)
C3 y
C1
P2
C2 P3
x
φ.d r = (2 xy 2 z + x 2 y )dxi + (2 xy 2 z + x 2 y )dy j + (2 xy 2 z + x 2 y )dz k
Calculando I 1 = ∫ (2 xy )
z + x 2 y dxi
2
C1
Hallando: Ec. Paramétricas Ec. Paramétricas Diferenciales
x=t dx = dt
C1 : recta → P = P1 + t P1 P2
y=0 dy = 0
(x, y, z ) = (0,0,0) + t (1,0,0)
z=0 dz = 0

67. Intervalos
Inicial Final
P1 (0,0,0) P1 (1,0,0)
t ∈ [0,1]
t=0 t =1
Calculando I 2 = ∫ (2 xy )
z + x 2 y dy j
2
C2
Hallando: Ec. Paramétricas Ec. Paramétricas Diferenciales
x =1 dx = 0
C 2 : recta → P = P2 + t P2 P3
y=t dy = dt
(x, y, z ) = (1,0,0) + t (0,1,0)
z=0 dz = 0
Intervalos
Inicial Final
P2 (1,0,0) P1 (0,1,0)
t ∈ [0,1]
t=0 t =1
I1 = 0
1
I2 = j
2
I 3 = 2k
1
I = 0i + j + 2k
2

68. FORMAS DE INGRACIÓN
z dS “Integral de superficie del campo
Vectorial A ”
“Flujo de campo vectorial A a
y
Través de la superficie orientada S ”
x
1. ∫∫ A.d S
S
2. ∫∫ φ .d S
S
3. ∫∫ A × d S
S
4. ∫∫ φ .d S
S

69. PROPIEDADES:
P.1 LINEALIDAD
∫∫ (m A + n B )d S = m∫∫ A.d S + n∫∫ B..d S
S S S
P.2 ADITIVIDAD
dS1
S = S1 ∪ S 2 ∪ S 3
∫∫ A.d S = ∫∫ A.d S + ∫∫ A.d S
S S
1
S
2 + ∫∫ A.d S 3
S
dS 2
dS3
P.3 CAMBIO DE SIGNO
∫∫ A.d S ( positivo ) = − ∫∫ A.d S (negativo)
S S1

70. METODOS DE SOLUCION DE LAS dS
1. Proyección ortogonal hacia un plano coordenado
2. Proyección ortogonal de d S en forma simultanea hacia los planos
coordenados.
3. De coordenadas curvilíneas
Coordenadas Cilíndricas. P(r ,θ , z )
Coordenadas Esféricas. P(r , φ ,θ )

71. DIFERENCIAL DE SUPERFICIE PARA CORDENADAS CURVILINEAS
1. COORDENADAS CILINDRICAS p (r , θ , z )
z
Ec.Cartesiana x2 + y2 = r 2
Ec.Paramétric a x = r cos t
sup erficie
dθ
r y = rsent
dz z=z
y
r ∈ [0, R ]
Intervalos
θ ∈ [0,2π ]
x
∴ dS = rdθ .dz
2. COORDENADAS ESFERICAS
ds = ρ 2 senφ .dφ .dθ
Ec.Cartesiana x2 + y2 + z2 = ρ 2
Ec.Paramétric as x == ρ .senφ cos θ
y = ρ .senφ .senθ
z = ρ . cos φ
Intervalos φ ∈ [0, π ]
θ ∈ [0,2π ]

72. INTEGRACION DE VOLUMEN
Coord . − Re c tan gulares
z
Solido.Cilindrico
dv = dxdydz v → volumen
dz
dx
dy
y
x
INTEGRAL TRIPLE (O DE VOLUMEN)
FORMAS DE INTEGRACION:
1. ∫∫∫φ .DV
2. ∫∫∫ A.dv
V
3. ∫∫∫ A × B.dv
V

73. JACOBIANOS DE TRANSFORMACION
JACOBIANO DE TRNASFORMACION DE COORDENADAS
CILINDRICAS
Dada la función T
Coordenada rectangular Coordenada Cilindrica
T: P( x, y, z ) Transf. De Coord. P(r ,θ , z )
R3 Matriz jacobina R3
ECUACIONES PARAMETRICAS
x = r cos t
y = rsent
z=z
∂ ( x, y , z )
J=
∂ (r , θ , z )
⎡ ∂x ∂x ∂x ⎤
⎢ ∂r ∂θ ∂z ⎥
⎢ ∂y ∂y ∂y ⎥
J =⎢ ⎥
⎢ ∂r ∂θ ∂z ⎥
⎢ ∂z ∂z ∂z ⎥
⎢ ∂r
⎣ ∂θ ∂z ⎥
⎦
⎡cos t − rsent 0⎤
J = ⎢ sent
⎢ r cos t 0⎥ = r
⎥
⎢ 0
⎣ 0 1⎥
⎦

74. JACOBIANO DE LA TRANSFORMACION DE COORDENADAS
POLARES
Coor. Rectangulares Coor. Polares
T: P ( x, y ) Transf. De Coord. P(r ,θ )
R2 R2
ECUACIONES PARAMETRICAS
x = r cos t
y = rsent
∂ ( x, y )
J=
∂ (r , θ )
⎡ ∂x ∂x ⎤
⎢ ∂θ ⎥ = r
J = ⎢ ∂r
∂y ∂y ⎥
⎢ ⎥
⎣ ∂r ∂θ ⎦

75. JACOBIANOS DE LA TRANSFORMACION DE COORDENADAS
ESFERICAS
Coor. Rectangulares Coor. Polares
T: P( x, y, z ) Transf. De Coord. P(r , φ ,θ )
R3 R3
ECUACIONES PARAMETRICAS
x = senφ cos θ
y = rsenφsenθ
z = r cos φ
∂ ( x, y , z )
J=
∂(r , φ ,θ )
⎡ ∂x ∂x ∂x ⎤
⎢ ∂r
⎢ ∂φ ∂θ ⎥
⎥
∂y ∂y ∂y ⎥
J =⎢
⎢ ∂r ∂φ ∂θ ⎥
⎢ ∂z ∂z ∂z ⎥
⎢ ⎥
⎢ ∂r
⎣ ∂φ ∂θ ⎥
⎦
J = r 2 senφ

76. DIFERENCIAL DE VOLUMEN PARA COORDENADAS CURVILINEAS
1. COORDENADAS CILINDRICA p (r , θ , z )
z
dv = r.dr.dθ .dt
dv = r.dθ .dz
y
x
2. COORDENADAS ESFEREICAS
z
dv = ρ 2 .senφ .dρ .dφ .dθ
y
x

77. CAMBIO DE INTEGRACION DE COORDENADAS RECTANGULARES
A CURVILINEAS
I. EN EL PLANO
Coor. Rectangulares Coor. Polares
P(x, y ) ρ (r ,θ )
FORMA: ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ ρ .(r ,θ ). J .drdθ
S S
Donde: J → Matriz Jacobiana
II. EN EL ESPACIO
Coor. Rectangulares Coor. Cilíndricas
P(x, y, z ) ρ (r ,θ , z )
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ ρ (r ,θ , z ). J .drdθ .dz
V V
Coor. Rectangulares Coor. Esféricas
P(x, y, z ) ρ (ρ , φ , θ )
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ ρ (ρ ,φ ,θ ). J .dρ.dφ.dθ
V V