Algebra lineal u1
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Algebra lineal u1
- 1. Algebra Lineal Unidad I Números Complejos M.A. Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de 2012
- 2. 1.1 Definición y origen de los números complejos • Un número Complejo es una expresión del tipo z a bi • donde a y b son números reales e i es un símbolo que denota la parte imaginaría M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 3. 1.1 Definición y origen de los números complejos • Este tipo de números, por el momento, aparecen entre las soluciones de ecuaciones algebraicas con una incógnita. Por ejemplo la ecuación 2 x x 1 0 M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 4. 1.1 Definición y origen de los números complejos • Comenzaremos por introducir un nuevo número o símbolo, denotado por i, el cual sería llamado la unidad imaginaria y que cumple con la condición 2 i 1 • O bien i 1 M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 5. 1.1 Definición y origen de los números complejos • Ejemplos z 2 3i z 8 z 12i Número imaginario puro M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 6. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Suma Sean z1 a1 b1i y z2 a2 b2i La suma seria z1 z2 a1 a2 b1 b2 i • Ejemplo z1 3 4i z2 3 9i M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 7. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Resta Sean z1 a1 b1i y z2 a2 b2i La resta seria z1 z 2 a1 a2 b1 b2 i • Ejemplo z1 3 4i z2 3 9i M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 8. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Estas operaciones de suma y resta satisfacen las siguientes propiedades generales – Sean: Z, W y U números complejos 1. Propiedad del cierre para la suma Z + W como Z - W son complejos 2. Propiedad asociativa Z + ( W + U ) = (Z + W ) + U M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 9. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos – Sean: Z, W y U números complejos 3. Propiedad conmutativa Z+U = U+Z 4. Propiedad del elemento neutro Z+0=Z 5. Propiedad del opuesto Z+(-Z)=(-Z)+Z=0 M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 10. 1.1 Definición y origen de los números complejos • Ejemplos Sumar z1 3 2i con z2 8 4i A z1 4 7i restarle z2 2 3i Calcular el valor de Z en Z 5 12 i 10 -8i 6 3i 7 2i M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 11. 1.1 Definición y origen de los números complejos • Ejercicios M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 12. 1.1 Definición y origen de los números complejos • Ejercicios M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 13. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Producto Sean Z a bi y W c di El producto es ZW ac bd ad bc i M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 14. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Ejemplo Sean Z 6 2i y W 3 5i Encontrar ZW Sean Z 8 y W 3 2i Encontrar ZW M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 15. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Propiedades del producto – Sean: Z, W y U números complejos 1. Propiedad del cierre para la suma Z W es un número complejo 2. Propiedad asociativa Z ( W U ) = (Z W ) U 3. Propiedad conmutativa ZU = UZ M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 16. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos – Sean: Z, W y U números complejos 4. Propiedad del elemento neutro Z1=Z 5. Propiedad del inverso Z Z-1 = 1 6. Propiedad distributiva Z (W +U) =ZW + ZU M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 17. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Conjugado de Z • Si Z a bi es un número complejo, entonces el CONJUGADO de Z, denotado por , es un número Z complejo definido por Z a bi • Ejemplos Z 2 9i Z 7 9i M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 18. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • División • Sean: Z y W dos números complejos, y W 0 podemos hacer la división de Z ente W de la forma siguiente • Z Z W ZW 2 W WW W M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 19. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Ejemplo Sean Z 6 2i y W 3 5i Z Encontrar W Sean Z 3 4i y W 2 3i Z Encontrar W M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 20. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Ejercicios M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 21. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos • Ejercicios M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 22. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo • Representación geométrica – Plano complejo Eje imaginario Eje real M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 23. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo • El modulo de Z • Si Z a bi es un número complejo, el MODULO de Z, es el número real 2 2 Z a b • Ejemplos Z 3 4i Z 3 9i M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 24. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo • Algunas propiedades del modulo son: – Sean: Z, W y U números complejos 1. Z 0 2. Z 0 si y solo si Z 0 3. Z W Z W 4. ZW ZW 1 1 5. Z Z M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 25. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo • El módulo de un número complejo Z es igual a la distancia desde el punto Z hasta el origen M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 26. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo 1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo • Forma polar 1 b tan Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo a M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 27. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo 1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo • Ejemplos – Hallar la forma polar de: a) En el primer cuadrante Z 2 2i b) En el segundo cuadrante Z 3 4i c) En el tercer cuadrante Z 3 4i d) En el cuarto cuadrante . Z 1 2i Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 28. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo 1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo • Multiplicación y división en la forma polar Sean Z Z cos isen yW W cos isen ZW Z W cos isen Z Z cos isen W W Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 29. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo 1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo • Ejemplo Sean Z 2 cos 95 isen95 yW 3 cos 26 isen26 Sean Z 6 2i y W 3 5i • Calcular la multiplicación y división en forma polar Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 30. 1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo 1.4 Forma polar y Exponencial de un número complejo • Potencias Sea Z Z cos isen y n es un entero positivo • Entonces n n Sea Z Z cos n isen n • Ejemplo – Sea Z 2 cos 30 isen30 calcule la potencia de orden cinco de este número, es decir Z5 – Nota: Utilizar la calculadora en el modo Deg para calcular el ángulo M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 31. 1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. • Teorema de Moivre y raíces Sea Z Z cos isen • Entonces 1 1 2k 2k Sea Z n Z n cos isen n n 1 2k 2k Wk 1 Z n cos isen n n donde k 0,1,2,3...raiz buscada • Ejemplo – Hallar todas las ráices cúbicas de . Z 8 cos 30 isen30 M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 32. 1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. • Ejercicios M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 33. 1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. • Ejercicios M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 34. 1.5 Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo. • Ejercicios M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 35. 1.6 Ecuaciones polinómicas • Algunas ecuaciones que no se pueden resolver en el conjunto de los números reales, tiene solución ene l conjunto complejo. • En general, se verifica que toda ecuación polinómica con coeficientes reales en el conjunto de los números complejos, pudiendo ser éstas número reales o imaginarios. M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 36. 1.6 Ecuaciones polinómicas • Ejemplo x2 9 0 2 x 4x 5 0 x3 x 2 6 x 16 0 M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
- 37. Tarea • Algebra y trigonometría con geometría analítica – Walter Fleming/Dale Varberg – Editorial Prentice Hall – Pag. 45 – Sección de problemas 1-6 – Del 1 al 22 – Del 23 al 30 – Del 31 al 38 – Del 43 al 51 M.A Álvaro Chávez Galavíz Martes, 28 de Agosto de
Notas do Editor
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