didattica matematica

1. DIDATTICA DELLA
MATEMATICA
3° Lezione

2. MODULO 2
Il Numero

3. NOTA BENE INIZIALE
Molti brani della presente lezione sono presi dal
testo consigliato « Lo sviluppo della conoscenza
numerica» di Lucangeli, Iannitti, Vettore.

4. L’acquisizione del numero
Per decenni è prevalsa l’ipotesi del celebre psicologo
svizzero Jean Piaget (1896-1980) secondo cui la
competenza numerica dipende dalle strutture
dell’intelligenza generale.
Più precisamente, l’autore ritiene che l’idea di
numerosità non possa emergere prima dei 6-7 anni,
poiché costruita sullo sviluppo di capacità tipiche del
pensiero operatorio, quali la conservazione della
quantità e l’astrazione dalle proprietà percettive.

5. Conservazione della quantità
È la capacità di astrarsi da indizi superficiali quali la forma o la densità dello
spazio occupato dagli oggetti di più insiemi per stabilire relazioni di confronto
di tipo quantitativo.
Esempio: si parte da due bicchieri A e B che hanno la stessa acqua, poi si
versa l'acqua del bicchiere B in un terzo contenitore molto più alto e stretto
(C¹) o molto più largo e basso (C²); si chiede al bambino se nei bicchieri A e
C¹/C² c'è la stessa quantità d'acqua.
Astrazione dalle proprietà percettive
Saper valutare la dimensione numerica di un insieme, senza lasciarsi confondere
dai caratteri fisici degli oggetti dell’insieme.
Esempio: confrontare un insieme con due elefanti e uno con tre ciliegie; chiedere
al bambino: quali sono di più?

7. Gli studi di Piaget hanno influenzato i programmi per la scuola
dell’infanzia
Nel 1958 sono definiti gli "Orientamenti per la Scuola Materna" (D.P.d.R. 11
giugno 1958, n. 784). A. Moro, ministro della Pubblica Istruzione
Compaiono i seguenti temi:
-Educazione religiosa
-Vita morale e sociale
-Educazione fisica e igienica
-Educazione intellettuale
-Educazione linguistica
-Disegno libero
-Canto corale
-Giuoco e lavoro
Nel tema Educazione intellettuale compare solo un cenno sull’aspetto delle
quantità: molti, pochi, uno, prime quantità numeriche

8. Nel 1969 sono promulgati, con il D.P.R. 10 settembre 1969, n. 647, gli
"Orientamenti dell'attività educativa" M. Ferrari Aggradi,
ministro della Pubblica Istruzione.
Anche in essi non compare alcun tema che si riferisca esplicitamente al numero.
Ecco infatti l’elenco dei temi:
- Educazione religiosa;
- Educazione affettiva, morale e sociale;
- Gioco ed attività costruttive e di vita pratica;
- Educazione intellettuale;
- Educazione linguistica;
- Libera espressione grafico pittorica e plastica;
- Educazione musicale;
- Educazione fisica;
- Educazione sanitaria.

9. L’intelligenza numerica preverbale
A partire dagli anni ottanta numerosi studi hanno
permesso di concludere che fin dalla nascita il bambino è
in grado di discriminare il numero di oggetti di insiemi
presentati visivamente.
Il bambino cioè ha come innata la capacità di discriminare
la numerosità di un insieme, cioè quella che in
matematica viene chiamata cardinalità.
Perché numerosità e non quantità? Per evitare
confusione, infatti la quantità è stimabile anche senza
numeri, come ad esempio quando si deve stabilire in
quale contenitore c’è maggiore quantità di liquido.

10. Nel libro «Da dove viene la matematica» di George Lakoff e
Rafael E.Nunez vengono dettagliate le abilità numeriche con cui i
bambini vengono alla luce e descritti i relativi esperimenti.

11. Descrizione degli esperimenti
• Alcune diapositive vengono proiettate su uno schermo
davanti a bambini in braccio alle loro madri.
• Si monitora il tempo che il bambino guarda ciascuna
diapositiva, prima di distogliere lo sguardo. Questo
comportamento è chiamato tecnicamente
assuefazione.
• Se le diapositive presentano una stessa situazione (ad
es. due punti più o meno distanti) il bambino smette di
fissare, riiniziando immediatamente quando si
presenta una situazione diversa (ad es. tre punti)
In tale modo si è rilevato che i neonati riconoscono la
numerosità

12. Descrizione degli esperimenti
Per quanto riguarda le operazioni di addizione e sottrazione i
bambini vengono testati utilizzando il paradigma della violazione
dell’aspettativa; un esperimento è il seguente:
• Un pupazzo viene posto sulla scena
• Si copre la scena con uno schermo e si pone, in modo
evidente al bambino, un altro pupazzo dietro lo schermo, poi
lo schermo viene tolto.
• Se il bambino vede due pupazzi distoglie subito lo sguardo, se
c’è un solo pupazzo guarda la scena per un tempo più lungo.
• Analogamente accade se si parte da due pupazzi e se ne toglie
uno

14. Subitizing
• Un bambino appena nato non sa determinare il numero di
elementi di un insieme, ma sa discriminare la numerosità.
• Come può un neonato categorizzare il mondo in termini di
numerosità? È un processo di percezione visiva chiamato
subitizing o immediatizzazione, che consente di determinare
la numerosità di un insieme visivo di oggetti in modo
immediato, senza contare; il numero massimo di oggetti
percepibili in questo modo sembra essere di quattro circa.
PROVATE

15. Quanti sono?

16. Il modulo numerico
Il neuropsicologo Brian Butterworth (che nel 1999 scrisse un
saggio dal titolo "The Mathematical Brain«,in Italia edito dalla
Rizzoli con il titolo "Intelligenza matematica. Vincere la paura dei
numeri scoprendo le doti innate della mente") è un sostenitore
della tesi innatista del ‘cervello matematico’.
Egli ritiene infatti che i nostri cervelli possiedano dei circuiti
specializzati per categorizzare il mondo in termini di
numerosità; secondo la sua tesi le capacità numeriche
costituiscono un ‘modulo cognitivo’ in cui le abilità
matematiche sono geneticamente codificate e presenti fin
dalla nascita.
Le differenze individuali, che riguardano capacità più
avanzate, insorgono successivamente e sono riconducibili agli
strumenti concettuali forniti.

17. Grazie quindi alle scoperte sopra esposte , è stata
definitivamente superata la credenza che l’acquisizione
dei concetti numerici si verifichi tardi nello sviluppo del
bambino; si ritiene comunque che prima dei sei anni la
rappresentazione di numerosità sia facilmente sviata da
indizi percettivi.
Tutto ciò ha prodotto un cambiamento negli
orientamenti per la scuola dell’infanzia.
Nelle indicazioni curricolari del 1991, tra i campi di
esperienza educativa compare : Lo spazio, l’ordine, la
misura.

18. Orientamenti 1991
Sotto tale voce leggiamo:
Intorno a tre anni il bambino esprime le prime intuizioni numeriche,
come valutazioni approssimate della quantità nel contare gli oggetti,
nel confrontare le quantità e le grandezze direttamente, mentre trova
difficoltà ad ordinarle serialmente. Incomincia inoltre ad avvertire,
esprimendole linguisticamente, alcune collocazioni spaziali e a
riconoscere alcune proprietà comuni degli oggetti.
Verso i sei anni -operando con oggetti, disegni, persone, ecc.- è in
grado di contarli, di valutarne la quantità e di eseguirne operazioni
sempre sul piano concreto, di ordinare più oggetti per grandezza,
lunghezza e altezza, di classificarli per forma e colore, di localizzare le
persone nello spazio, di rappresentare dei percorsi e di eseguirli anche
su semplice consegna verbale.

19. Orientamenti 1991
E ancora:
La scuola materna svolge la sua azione in due fondamentali direzioni:
- raggruppare, ordinare, contare, misurare: ricorso a modi più o meno sistematici di
confrontare e ordinare, in rapporto a diverse proprietà, grandezze ed eventi; uso di
oggetti o sequenze o simboli per la registrazione; impiego diretto di alcuni semplici
strumenti di misura; quantificazioni, numerazioni, confronti;
- localizzare: ricorso a modi, spontanei o guidati, di esplorare il proprio ambiente,
viverlo, percorrerlo, occuparlo, osservarlo, rappresentarlo; ricorso a parole,
costruzioni, modelli, schemi, disegni; costruzione di sistemi di riferimenti che aiutano il
bambino a guardare la realtà da più punti di vista, coordinandoli gradualmente fra
loro.
E' anche opportuno sviluppare la capacità di porre in relazione, come: formulare
previsioni e prime ipotesi; individuare, costruire ed utilizzare relazioni e classificazioni;
costruire corrispondenze e rapporti di complementazione, unione, intersezione ed
inclusioni tra classi; riconoscere invarianti; utilizzare strumenti di rappresentazione;
operare riflessioni e spiegazione su numeri, sistemi di riferimento, modalità di
rappresentazione e così via. A ciò si aggiunge l'opportunità di sviluppare le capacità di
progettare e inventare, come: la creazione di progetti e forme, derivati dalla realtà o
del tutto nuovi, di oggetti e spazi dell'ambiente; l'ideazione di storie; la realizzazione di
giochi con regole più o meno formalizzate e condivise; le rappresentazioni spontanee
o ricavate da quelle in uso e così via.

20. Fino ai giorni nostri: indicazioni
nazionali del 2012
Sotto la voce ‘La conoscenza del mondo’ compare esplicitamente:
Numero e spazio
• La familiarità con i numeri può nascere a partire da quelli che si usano nella
vita di ogni giorno; poi, ragionando sulle quantità e sulla numerosità di
oggetti diversi, i bambini costruiscono le prime fondamentali competenze
sul contare oggetti o eventi, accompagnandole con i gesti dell’indicare, del
togliere e dell’aggiungere. Si avviano così alla conoscenza del numero e
della struttura delle prime operazioni, suddividono in parti i materiali e
realizzano elementari attività di misura. Gradualmente, avviando i primi
processi di astrazione, imparano a rappresentare con simboli semplici i
risultati delle loro esperienze.
• Muovendosi nello spazio, i bambini scelgono ed eseguono i percorsi più
idonei per raggiungere una meta prefissata scoprendo concetti geometrici
come quelli di direzione e di angolo. Sanno descrivere le forme di oggetti
tridimensionali, riconoscendo le forme geometriche e individuandone le
proprietà (ad esempio, riconoscendo nel “quadrato” una proprietà
dell’oggetto e non l’oggetto stesso).
• Operano e giocano con materiali strutturati, costruzioni, giochi da tavolo di
vario tipo.

21. Traguardi per lo sviluppo della competenza
(nella scuola dell’infanzia)
• Il bambino raggruppa e ordina oggetti e materiali secondo criteri
diversi, ne identifica alcune proprietà, confronta e valuta quantità;
utilizza simboli per registrarle; esegue misurazioni usando
strumenti alla sua portata.
• Sa collocare le azioni quotidiane nel tempo della giornata e della
settimana.
• Riferisce correttamente eventi del passato recente; sa dire cosa
potrà succedere in un futuro immediato e prossimo.
• Ha familiarità sia con le strategie del contare e dell’operare con i
numeri sia con quelle necessarie per eseguire le prime misurazioni
di lunghezze, pesi, e altre quantità.
• Individua le posizioni di oggetti e persone nello spazio, usando
termini come avanti/dietro, sopra/sotto, destra/sinistra, ecc.;
segue correttamente un percorso sulla base di indicazioni verbali.

22. Lo sviluppo dell’abilità di conteggio
• Si può dire che l’inizio esplicito della matematica con i
bambini sia costituito dal contare.
• L’esperienza numerica del bambino è all’inizio un’esperienza
linguistica; la parola-numero non rappresenta subito una
quantità o un’etichetta da associare ad un oggetto (esempio)
• Le parole (uno, due, tre….) e le dita sono i grandi strumenti
del bambino per rispondere alle prime domande sui numeri.
• Solo successivamente i numeri verranno espressi anche in
simboli: 1, 2, ….
• E comunque imparare a contare rappresenta il primo
collegamento tra la competenza numerica innata e quella
acquisita dall’interazione con l’ambiente di appartenenza.

23. COMPONENTI DEL CONTARE
1) Avere a disposizione una buona raccolta di etichette
( numerali)
Si possono distinguere tre livelli evolutivi:
• La sequenza dei numeri è usata come stringa di parole.
• Si distinguono le parole, ma la sequenza viene prodotta solo in avanti a partire da
uno.
• La sequenza è bidirezionale, producibile a partire da un numero qualsiasi della
serie, ordinata in modo stabile.
2) Eseguire il confronto secondo un processo iterativo
Ciascuna parola-numero , selezionata con un ordine corretto, va collegata a uno e un
solo oggetto dell’insieme; è il concetto di corrispondenza biunivoca, che compare
molto presto nell’esperienza del bambino, che già a due anni è in grado di mettere, ad
esempio, ogni tazza sul suo piattino

24. COMPONENTI DEL CONTARE
3) Identificare la parola che esprime il risultato
dell’operazione eseguita
Si intende con questo riconoscere il valore cardinale dell’ultimo numero pronunciato.
Il bambino deve capire che l’ultima parola-numero pronunciata nel conteggio
corrisponde alla numerosità dell’insieme contato; i bambini di 3-4 anni possono farlo
come imitazione dell’adulto, senza avere però avere reale comprensione del ruolo di
tale parola.
Spesso a questa età i bambini pensano che le parole-numero siano come etichette da
attaccare agli oggetti; se ad uno di essi assegna cinque, il cinque identifica
esattamente quell’oggetto e non può rappresentare altro.
Dal punto di vista evolutivo il valore cardinale delle parole-numero viene acquisito
verso i 5 anni.

25. ERRORI NEL CONTARE
1)Incertezza sulle parole numerali
2)Non è chiaro che l’ultima parola è il
risultato del conteggio
3)Errori nel processo di ripartizione
4)Errori nell’etichettamento
5)Errori nel coordinamento ritmico tra
ripartizione ed etichettamento

26. I cinque principi di Gelman e Gallistel (1979)
L’acquisizione dell’abilità di conteggio verbale è guidata dalla
conoscenza innata di alcuni principi basati sulla competenza numerica
non verbale; si ipotizza cioè l’esistenza di una struttura innata che
orienta i comportamenti gli apprendimenti e consente di apprendere
a contare. I principi sono i seguenti:
• Il principio di iniettività
• Il principio dell’ordine stabile
• Il principio di cardinalità
• Il principio di astrazione
• Il principio di irrilevanza dell’ordine
La padronanza dei principi della conta comincia, in genere dai 2-3 anni
e si completa intorno ai 5. Il principio cardinale viene acquisito per
ultimo.

27. La teoria di Karen Fuson
La Fuson sottolinea i contesti diversi in cui le parole
numero sono utilizzate ed è necessario sottolineare
che non sempre tali contesti si riferiscono alla
numerosità; solo attraverso ripetuti esercizi e per
imitazione il bambino gradualmente comprende il
senso del contare e connette tra loro i diversi
significati. Da ciò si evince il ruolo cruciale
dell’interazione con l’ambiente.
Esaminiamo i contesti

28. Karen Fuson: i contesti
• il contesto cardinale, in cui la parola-numero fa riferimento all’intera
collezione di elementi discreti e dice di quanti elementi è costituita;
• il contesto ordinale, dove la parola-numero fa riferimento ad un elemento
collocato all’interno di una serie ordinata di elementi discreti e indica
quale posizione vi occupa;
• il contesto di misura, dove la parola-numero è in relazione ad una
grandezza continua e indica quante unità di misura sono necessarie per
“riempire” la grandezza;
• il contesto sequenza, in cui l’enunciazione è condotta senza riferire le
parole-numero a oggetti o altro (le parole-numero sono usate in modo
simile alle lettere nella recita dell’alfabeto);
• il contesto conta, dove l’enunciazione è condotta con riferimento a oggetti
posti in corrispondenza uno a uno con le parole-numero;
• il contesto simbolico, in cui la parola-numero è intesa come oggetto di
scrittura o di lettura;
• il contesto non numerico, in cui la parola-numero è usata come etichetta,
identificando un attributo in un oggetto.

29. Karen Fuson: modello di sviluppo numerico
La Fuson propone un modello di sviluppo numerico che descrive l’evoluzione
del bambino nell’acquisizione delle parole-numero legate a tre contesti d’uso:
a) contesto di sequenza, che comprende due momenti. Nel primo c’è
l’apprendimento della recita corretta della sequenza standard, che
impegna il bambino nel distinguere nel linguaggio le parole non-numero
dalle parole-numero apprendendo così l’ordine corretto di quest’ultimi.
Nel secondo momento vi è l’elaborazione della parte di sequenza che
consiste nello sviluppo di nuove abilità;
b) contesto di conta, in cui il bambino stabilisce corrette corrispondenze
termine a termine tra oggetti e parole-numero;
c) contesto cardinale in cui il bambino comprende che nel pronunciare la
conta, nel toccare o indicare gli elementi, l’ultima parola corrisponde al
numero di elementi contati.

30. Lettura e scrittura dei numeri
• La lettura precede la scrittura ed evolve gradualmente, ma il
riconoscimento del simbolo scritto non implica necessariamente
l’acquisizione della corretta rappresentazione della quantità
corrispondente (semantica del numero)
• L’acquisizione del numero scritto richiede la competenza
simbolica, che viene conquistata dal bambino con due processi
basilari:
- la produzione di significanti individuali(simboli), di tipo
personale, stabiliti dal singolo soggetto
- La produzione di significanti collettivi (segni)connessi al
significato da una convenzione sociale e perciò esterni al
soggetto

31. La notazione numerica
Tra i ricercatori non è ravvisabile una convergenza su quale sia il
percorso attraverso il quale il bambino conquista la competenza
nel numero scritto e il rapporto corretto tra numero scritto e suo
significato.
Si possono comunque distinguere quattro categorie di
rappresentazione grafica della quantità, che rendono evidente
una evoluzione
1) idiosincratica: notazioni incomprensibili per un osservatore esterno
2) pittografica : si riproducono figurativamente gli oggetti della collezione
3) iconica: segni grafici posti in corrispondenza biunivoca con gli oggetti
4) simbolica: formata da numeri arabici

33. La notazione numerica
…e tre tipologie di notazione numerica:
1) Notazione con grado informativo nullo (per un
osservatore esterno, ma portatore di significati per il
bambino)
2) Notazione basata sulla corrispondenza
biunivoca
3) Notazione convenzionale

35. Difficoltà
• Un problema che incontrano i bambini nel loro
approccio iniziale al numero scritto è legato alla
difficoltà di collegare il simbolo aritmetico
convenzionale con il suo significato in termini
quantitativi .
• È pertanto indispensabile guidare il bambino, già
nei suoi primi approcci con la matematica scritta,
alla comprensione profonda del significato dei
simboli aritmetici per evitare che si instauri un
utilizzo rigido dei simboli.

36. Le schede che
seguono sono tratte
dal testo