1. 1
LE ORIGINI DELLE OPERAZIONI LOGICO-MATEMATICHE
R. Rossera-Tralamazza, 2003
Questo testo ha un solo obiettivo, quello di riprendere alcuni concetti dell’epistemologia e della
psicologia genetica per poter inserire lo sviluppo del numero nel bambino.
SOMMARIO
PSICOLOGIA E EPISTEMOLOGIA GENETICA
Psicologia del bambino. Psicologia genetica. P. 2
Epistemologia genetica.
PERCHE’ STUDIARLA?
Alcuni esempi di attività didattiche: p. 3
l’interpretazione delle difficoltà del bambino.
DEFINIZIONE DI ALCUNI CONCETTI EPISTEMOLOGICI
L’intelligenza. L’aspetto operativo e figurativo. P. 4
I meccanismi che spiegano la formazione della
conoscenza: assimilazione e accomodamento
LE ORIGINI DELLA CONOSCENZA p. 6
Due tipi di conoscenza: sperimentale e p. 7
logico matematica. Due tipi di astrazione: empirica e riflettente.
Azioni individuali e quelle che possono essere coordinate
Operazione e strutture p. 8
Strutture matematiche. P. 9
Strutture psicologiche p. 9
SVILUPPO DELLE OPERAZIONI NEL BAMBINO p. 10
Le operazioni concrete p. 12
Le operazioni logico-matematiche:
Le operazioni di classificazione p. 13
Le operazioni di seriazione p. 15
La conservazione cardinale p. 17
Il protocollo di un interrogatorio clinico p. 19
2
Psicologia e epistemologia genetica
La psicologia del bambino studia la crescita mentale o lo sviluppo dei comportamenti fino
all'adolescenza. Per capire questa crescita mentale non basta risalire alla nascita, perché esiste
un'embriologia dei riflessi relativa all'attività motoria del feto. Cerca di descrivere come il
bambino si sviluppa dalla nascita alla maturità, indicando i comportamenti tipici dei neonati,
dei bambini, degli adolescenti.
La psicologia genetica invece, non si accontenta di descrivere le caratteristiche di tale o tal
altro comportamento infantile ad una data età, ma cerca di descrivere o di spiegare la genesi di
tale comportamento.
In linguaggio piagetiano ciò significa che si descriveranno gli stadi successivi di sviluppo del
bambino, si definiranno le strutture o le operazioni che caratterizzano ogni stadio e si cercherà
di spiegare le filiazioni che conducono da uno stadio ad un altro.
L'epistemologia genetica cerca di spiegare la conoscenza ed in particolare la conoscenza
scientifica sulla base della sua storia e soprattutto delle origini dei concetti, delle operazioni
sulle quali la conoscenza scientifica si fonda. Ma l'epistemologia si interessa anche alla
formalizzazione delle strutture del pensiero.

2. Per molti filosofi ed epistemologici, l'epistemologia é lo studio della conoscenza quale si
manifesta allo stato attuale, in altri termini molti epistemologhi fanno l'analisi della conoscenza
in sé e per sé, senza tener conto né del suo sviluppo né della psicologia. Ma, obietta J. Piaget, la
conoscenza scientifica é un processo di continua costruzione e riorganizzazione e non
rappresenta quindi un fatto momentaneo, statico. Non vi é da un lato la storia del pensiero
scientifico e dall'altro il corpo di pensiero come esso é oggi, ma vi é semplicemente una
continua trasformazione. Ciò implica che i fattori storici e e quelli psicologici responsabili di
tali mutamenti siano importanti per capire la natura della conoscenza scientifica.
In altri termini la genesi delle idee scientifiche contemporanee può essere meglio compresa alla
luce dei fattori psicologici e sociologici.
Ad esempio Cantor sviluppò la teoria degli insiemi sulla base di un'operazione fondamentale: la
corrispondenza biunivoca (uno-a-uno). Egli stabilì una corrispondenza biunivoca tra la serie dei
numeri interi e la serie dei numeri pari ottenendo un numero che non é un intero, né un numero
pari, ma é aleph zero, cioè il primo numero cardinale transfinito. E' l'operazione elementare di
corrispondenza biunivoca che permise a Cantor di superare la serie del numero finito. Cantor
non la inventò, ma la trovò nel suo pensiero.
Infatti la corrispondenza biunivoca é un'operazione molto primitiva: é alla base dello scambio
economico nelle società primitive e ne troviamo le radici nel pensiero infantile ancor prima
dello sviluppo delle operazioni concrete.
L'epistemologia genetica cerca di spiegare come il pensiero umano sia capace di produrre la
conoscenza scientifica, grazie a quali mezzi passa da un livello di conoscenza meno elevato ad
uno più elevato.
E' compito degli specialisti di ogni disciplina (matematici, fisici, logici ecc.) stabilire cosa si
intenda per conoscenza più bassa o più elevata. Per esempio nel campo della fisica appartiene
ai fisici decidere se una data teoria rappresenta un progresso su un'altra. La psicologia e
l’epistemologia genetica cercano di spiegare come il soggetto (il soggetto epistemico) passa da
un livello di conoscenza meno elevato ad uno più elevato. Pieget ricorre allora all'ontogenesi,
cioè allo studio dello sviluppo della conoscenza matematica, fisica, logica ecc. nel bambino
nell'intento di cercare le radici della conoscenza dalle sue forme più elementari fino al livello
del pensiero scientifico.
3
Perchè studiare la psicologia e l'epistemologia genetica?
Durante le mie visite di tirocinio sono stata confrontata a situazioni che potevano essere
spiegate dalla psicologia genetica.
Ecco alcuni esempi:
1. In una classe di II elementare un'allieva maestra presenta un testo, si tratta di una storia che
viene dapprima scoperta partendo da una serie di diapositive. Successivamente 7 cartelloni che
descrivono la successione degli avvenimenti devono essere ordinati dai bambini.
Quali sono le attività richieste? Leggere i cartelloni e ordinarli.
Ma cosa significa ordinare? Si tratta di applicare la struttura logica della ordine. Operazione
che il bambino ha costruito non prima dei 7 anni, ma che a quest'età non é generalizzabile a
qualsiasi contenuto.
2. In una classe di I elementare, la studentessa propone, come attività di lavoro manuale la
costruzione di un pupazzo: uno scolaro di cartone. La complessità dell'attività l'induce a
suddividerla in due tempi. Quando arrivo, i bambini hanno già costruito la sagoma del corpo e
della testa. Quella mattina dovranno dipingere il volto, incollare la testa, tagliare ed inserire le
braccia, ritagliare il quadernetto o il libro, incollarlo, ricoprire la cartella, incollarla. La

3. studentessa mostra e spiega ai bambini che l'attorniano, come realizzare il loro lavoro. Poi
ognuno va al proprio posto. Passando tra i tavoli vedo una bambina che cerca di disegnare il
volto, ma é in difficoltà. Il volto del suo o scolaro sembra più ad un teschio che a un bambino.
Mi chiede aiuto, ma prima che intervenga, il suo compagno mi mostra il volto che lui ha
disegnato e anche la bambina lo osserva. Da quel momento la bambina cerca di cancellare,
correggere e modificare il proprio disegno, migliorandolo. Cos'era successo?
A differenza del compagno, lei era in grado di imitare solo in presenza del modello. Non era
capace di imitarlo quando il modello era posto dietro di lei, sul tavolo dell'insegnante. Che
differenza esiste tra l'imitazione in presenza di un modello e l'imitazione differita (cioè non in
presenza del modello)? L'imitazione differita implica una rappresentazione mentale, mentre la
prima può essere il risultato della sola percezione.
3. In una classe di IV SE gli allievi svolgono un’attività creativa. Si tratta di costruire degli
animali con turaccioli e pulisci pipe. La maggior parte dei ragazzi sceglie di riprodurre il cigno.
La studentessa mostra gli esempi che ha preparato, dà alcune indicazioni. Dopo un'ora i cigni
sono costruiti, ma ahimè nessuno sta in piedi.
Cos'era successo?
La studentessa aveva messo a disposizione dei ragazzi il modello, e gli allievi potevano,
volendo, tenerselo vicino. Eppure non era bastato. Come mai? La copia di un modello non é
mai una copia passiva. Per riprodurlo occorre scomporlo e ricostruirlo. Non solo. La
costruzione di quel cigno, necessitava dell'applicazione di leggi relative al principio
d'equilibrio. La studentessa le aveva applicate senza prenderne coscienza, i bambini invece
dovevano ancora costruirsele.
4. Classe II SE l’allieva presenta un testo: una poesiola che tratta di TV per introdurli ad una
discussione sulla pubblicità. Successivamente ogni allievo riceve un settimanale con la
consegna di scegliere e ritagliare la pubblicità che preferisce.
Dopo pochi minuti ci si accorge che il bambino sceglie la fotografia, l'immagine che preferisce,
indipendentemente dal fatto che sia o no la pubblicità di qualcosa.
Come mai?
4
Il termine pubblicità era stato trattato dalla studentessa che, durante la discussione, aveva con i
bambini cercato i sinonimi. Per noi il termine pubblicità ha un significato chiaro: serve per
vendere un prodotto. Ma per il bambino. Come guarda la TV il bambino? A differenza di noi,
il bambino é "dentro" la TV, é coinvolto emotivamente dall'immagine, dal movimento. Ciò gli
impedisce sovente di cogliere il messaggio pubblicitario come l'offerta di un prodotto.
Definizione di alcuni concetti epistemologici
Prima di affrontare il tema dello sviluppo delle operazioni logico-matematiche nel bambino
occorre definire e distinguere alcuni termini. Comincerò cercando di definire il termine
intelligenza.
Per J. Piaget l’intelligenza1 é la capacità che permette al soggetto d'adattare il suo
comportamento (come pure le sue conoscenze ed il suo pensiero) alle modifiche dell'ambiente.
L'intelligenza compare molto prima del linguaggio, cioè molto prima del pensiero interiore. Si
tratta però di un'intelligenza pratica, basata sulla manipolazione degli oggetti, che invece di
utilizzare le parole utilizza solo le percezioni e i movimenti organizzati in schemi di azione.
Quando il bambino verso i 18 mesi utilizza un bastoncino per avvicinare un oggetto lontano,
realizza un atto di intelligenza, poiché uno strumento, un mezzo, viene coordinato ad uno scopo
determinato in precedenza. Per scoprire tale mezzo, il bambino ha dovuto comprendere
preliminarmente il rapporto tra bastoncino e oggetto. Un atto più precoce di intelligenza

4. potrebbe essere quello di attirare un oggetto posato su di una copertina, tirando la stessa2.
Occorre pure definire e distinguere due aspetti del pensiero, diversi e complementari:
l'aspetto figurativo del pensiero consiste in una imitazione di stati presi come momentanei e
statici. Le funzioni figurative sono soprattutto:
- la percezione che é la conoscenza che noi prendiamo dagli oggetti, dai loro movimenti,
per contatto diretto ed attuale: l'oggetto é sempre presente,
- l'imitazione é la riproduzione di un modello presente o assente,
- l'immagine mentale é invece l'evocazione di un oggetto assente, é l'imitazione
interiorizzata dell'oggetto o di un movimento,
l'aspetto operativo del pensiero non riguarda gli stati, ma le trasformazioni da uno stato
all'altro3, esso include:
- le azioni stesse che trasformano gli oggetti e gli stati,
- le azioni interiorizzate, ma non ancora coordinate in operazioni del periodo preoperatorio,
- le operazioni propriamente dette, cioè azioni interiorizzate e reversibili, cioè che
possono essere effettuate in entrambe le direzioni. Questo significa che il risultato di un
azione A può essere eliminato da un'altra azione B: il prodotto di A per B conduce
all'identità, lasciando lo stato inalterato. Ad es. all'azione di aggiungere x elementi
posso far corrispondere la sua contraria che consiste nel togliere x elementi.
1 PIAGET J., INHERLDER B., La psicologia del bambino (1966), Torino, Einaudi, 1970, pp 7-15 e
2 PIAGET J., Lo sviluppo mentale del bambino, (1967) Torino, Einaudi, ed. or. 1964, pp 11-16,
3 PIAGET J., Conferenze sull'epistemologia genetica, (1972) Roma, Armando, ed. or. 1970, pp 11-31
5
Tutto ciò che é figurativo concerne gli stati, mentre l'aspetto operativo del pensiero concerne le
trasformazioni, cioè le azioni e le operazioni che si effettuano sul reale (effettivamente o
mentalmente). Gli aspetti figurativi risultano subordinati a quelli operativi, poiché ogni stato é
compreso come il risultato di una trasformazione. Sono gli studi piagetiani sullo sviluppo
dell'immagine mentale o quelli sulla memoria che hanno mostrato tale subordinazione. Infatti le
esperienze mostrano che il soggetto imita o ricorda non quello che ha visto, bensì quello che ha
capito. Per Piaget l'aspetto essenziale del pensiero é quello operativo, poiché la conoscenza
umana é essenzialmente attiva.
Conoscere é trasformare la realtà nel senso di capire come un certo stato é stato conseguito. La
conoscenza non é una semplice copia della realtà. Per conoscere un oggetto occorre agire su di
lui. Conoscere la realtà significa costruire dei sistemi di trasformazioni che corrispondono più o
meno adeguatamente alla realtà. Essi sono più o meno isomorfi alle trasformazioni della realtà.
Assimilazione e accomodazione sono i meccanismi che spiegano la formazione della
conoscenza.
Riflettiamo ad esempio riguardo a ciò che implica la capacità di riconoscere una melodia,
quella di indicare il percorso per tornare a casa, o la capacità di realizzare una ricetta di cucina.
oppure quella di risolvere un problema.
Di fronte ad un problema ad esempio noi riteniamo (noi selezioniamo) certi elementi soltanto,
che sono scelti in funzione degli strumenti psicologici che disponiamo. Questi nuovi elementi
devono essere integrati in un sapere già acquisito. Ma i nuovi elementi non vengono assimilati
giustapponendoli semplicemente agli altri. La loro assimilazione necessita di tutto un lavoro di
riorganizzazione dalla parte del soggetto.
Questa tendenza fondamentale di assimilare si accompagna alla tendenza di accomodarsi
all'oggetto, cioè alla capacità dell'individuo di cambiare, di modificare i propri schemi per
adattarsi alla nuova situazione.
Esempi di assimilazione nei comportamenti infantili:

5. Seriazione4: ogni bambino a partire dai 7 anni é in grado di seriare dei bastoncini dal più
piccolo al più grande. Ma cosa succede ai bambini più piccoli ai quali si chiede di eseguire
l’ordine? A 5 anni ad esempio, dopo vari tentativi, il bambino organizza i bastoncini non in
ordine seriale, ma costituisce delle coppie di grandi e piccoli bastoncini. Poiché i suoi schemi di
seriazione sono solo parzialmente costruiti, assimila il problema agli schemi di cui dispone: fa
una classificazione dicotomica. Più tardi cercherà di riprodurre la scala tenendo conto
esclusivamente degli apici dei bastoncini (trascurando così la loro base comune).
La psicologia genetica fornisce decine di esempi analoghi. La maggior parte dei bambini della
stessa età manifestano comportamenti analoghi. I loro errori riflettono il funzionamento
dell'intelligenza umana.
Per effettuare un'azione occorrono, oltre all'infrastruttura anatomica e fisiologica anche degli
strumenti di natura psicologica: degli schemi o delle strutture (così chiamati da Piaget). Uno
schema permette la ripetizione di un'azione in situazioni identiche. Ad esempio lo schema della
prensione mi permette di prendere in mano questo foglio ora e domani. Ma lo schema
funzionando si generalizza: imparo a prendere in mano un foglio, una matita, la cornetta del
telefono, ecc. L'azione viene allora generalizzata, differenziandosi in funzione di situazioni
nuove. Sul piano genetico gli schemi sensori-motori (che prolungano i riflessi) si differenziano
e si coordinano tra di loro per formare schemi di un livello superiore. Il bambino, verso i 2 anni
comincia a costruire schemi rappresentativi e più tardi verso i 7 anni schemi operatori. La loro
maniera d'organizzarsi (diversa ad ogni stadio di sviluppo) Piaget la chiama struttura.
4 HENRIQUES A. Aspects de la théorie piagetienne et pédagogie, "Ecole Valaisanne"Sion, Avril 1980 p 7-13
6
Le origini della conoscenza
Riguardo all'origine della conoscenza, l'alternativa classica consiste nel decidere se la
conoscenza sia una copia del reale o un'assimilazione di esso.
John Locke filosofo inglese del XVII secolo (1632-1704) considerava lo spirito umano, alla sua
nascita, come una "tabula rasa" sulla quale le sensazioni e le immagini venivano impresse.
Questa teoria empirista, attribuiva un ruolo essenziale all'esperienza, ignorando completamente
il ruolo dell'attività del soggetto. In questa concezione della conoscenza il ruolo dell'immagine
diventa essenziale. Essa é considerata come il prodotto diretto della percezione e della
sensazione e il pensiero o la conoscenza sono concepiti come un sistema di associazioni tra
immagini.
La psicologia beaviorista americana (Watson) riprende le tesi della filosofia empirista. Il
comportamento del soggetto é concepito come una risposta a stimoli esterni. Ogni acquisizione
é pure considerata come la risposta a qualcosa che proviene dall'esterno. Quanto al meccanismo
che spiega la o le acquisizioni é essenzialemente cumulativo ed associazionista.
Nella concezione piagettiana il ruolo dell'immagine é molto diverso. Il reale consiste, sotto le
sue apparenze, in un sistema di trasformazioni. Copiare queste trasformazioni é possibile solo
riproducendole attivamente, il che equivale a dire che "per conoscere gli oggetti, bisogna agire
su di essi in maniera da scomporli e ricomporli". La conoscenza finisce col diventare
assimilazione e assimilare l'oggetto significa partecipare ai sistemi di trasformazione di cui esso
é il prodotto. Partendo da questa spiegazione si capisce il ruolo che, nella teoria piagetiana,
spetta alle operazioni, le sole possono arrivare alle trasformazioni.
Dal punto di vista logico-matematico si tratta di combinare deduttivamente delle trasformazioni
possibili, dal punto di vista fisico si tratta invece di arrivare all'oggettività raggiungendo le
trasformazioni reali, o verificabili sperimentalmente. 5 Pur essendo l'immagine il risultato di
una copia dell'oggetto, questa é di natura simbolica, poiché il suo significato si situa a livello di
concetto. Noi possiamo evocare con un'immagine mentale un frutto, quale un'arancia, oppure

6. possiamo riconoscerlo tra altri e affermare "questa é un'arancia". Questa capacità non é il
semplice risultato delle nostre esperienze percettive anteriori. E' pure il risultato di una serie di
schemi di azioni, quali pelare il frutto, mangiarlo, berne il succo ecc.
E' sulla base di questi schemi percettivi e motori che si costruisce il concetto, la classe e
quindi la nostra capacità di affermare che questo ovoide dalla pelle rugosa é un'arancia.
Da dove deriva la conoscenza logico-matematica?
Piaget distingue due tipi di conoscenza: quella logico-matematica e quella sperimentale (detta
anche empirica) e due corrispondenti tipi di esperienze.
a) La conoscenza sperimentale
Quando noi agiamo su di un oggetto, la nostra conoscenza può provenire dall'oggetto stesso. E'
questo il punto di vista dell'empirismo e valido per lo più nel caso della conoscenza
sperimentale.
Esempi: quando il bambino lascia cadere un oggetto si accorge che certi si rompono mentre
altri no. Il bambino fa le sue esperienze e scopre la fragilità, cioè una delle proprietà specifiche
dell'oggetto stesso. Sollevando oggetti di peso diverso, il bambino si accorge che generalmente
gli oggetti piccoli possono pesare maggiormente di quelli voluminosi.
Questo tipo di conoscenza proviene soprattutto dall'esperienza.
5 J.PIAGET E B. INHELDER, L’immagine mentale nel bambino, ed. La Nuova Italia, Firenze 1974 p 2
7
b) La conoscenza logico-matematica
Quando noi agiamo su di un oggetto noi possiamo prendere in considerazione, non solo
l'oggetto, ma le azioni stesse che noi effettuaiamo su di lui.
Esempio: scoprire che contando oggetti in qualsiasi ordine, la loro somma resta invariata, non é
una scoperta che dipende dagli oggetti stessi. Infatti posso fare la stessa esperienza con
qualsiasi tipo di oggetti. La commutatività, cioé il fatto che la somma é indipendente dall'ordine
non é una proprietà degli oggetti, l'ordine neppure. E' il soggetto che ordina gli elementi, li
riunisce, e li conta. Questo altro tipo di conoscenza deriva dalla coordinazione delle azioni e
non dagli oggetti stessi.
Vi sono quindi due tipi diversi di astrazioni:
- l'astrazione empirica, o pseudo-empirica, che dà origine alla conoscenza delle
proprietà fisiche dell'oggetto,
- l'astrazione riflettente, che dà origine alla conoscenza logico-matematica. Riflettente
nel senso che implica una trasposizione a un livello superiore (al livello delle operazioni
ad esempio) di ciò che inizialmente é stata una coordinazione pratica e incosciente.
Infatti la presa di coscienza della commutatività della somma é il risultato delle azioni
di riunire e ordinare, effettuate dal bambino. Ciò non implica che la semplice
manipolazione di oggetti, determina necessariamente la capacità di astrarre delle leggi o
dei concetti.
Ci sono diversi tipi di azioni:
- le azioni individuali; quali gettare, spingere, toccare, gettare, prendere, che il più delle
volte danno origine all'astrazione empirica, cioé all'astrazione da oggetti,
- le azioni che possono essere coordinate. Le azioni possono essere coordinate in molti
modi diversi. Possono essere unite insieme e realizzare così una coordinazione additiva
(per contare gli elementi devo riunire e ordinare), oppure possono al contrario
susseguirsi in un ordine temporale e si ha allora una coordinazione temporale (esempio
colorare prima il fondo, poi i dettagli). Un altro tipo di coordinazione consiste nel far
corrispondere un'azione ad un'altra. (esempio contare: al gesto di toccare l'oggetto
faccio corrispondere il nome del numero).

7. Tutte queste forme di coordinazione trovano dei paralleli nelle strutture logiche. Le radici del
pensiero logico non devono essere cercate solo nel linguaggio, ma devono essere individuate
più generalmente nella coordinazione di azioni che formano la base dell'astrazione
riflettente.
Ovviamente questa distinzione fra esperienza fisica e logico-matematica é teorica, non
corrisponde ad una dissociazione a livello funzionale. Infatti non esiste esperienza fisica senza
messe in relazioni, classificazioni o misure, senza cioè l'applicazione di operazioni logicomatematiche.
Reciprocamente un'esperienza logico-matematica porta su oggetti. Occorrono
oggetti per poterli ordinare, raggruppare, contare, tuttavia l'ordine (o la riunione) non esistono
negli oggetti stessi, ma é il soggetto che introduce quest'ordine, allineandoli o disponendoli
in cerchio.
8
Dunque le origini delle strutture logico-matematiche si situano nella coordinazione di azioni. Si
tratta ora di spiegare come queste coordinazioni di azioni diventano operazioni e come
quet'ultime diventano strutture.
Cercherò prima di definire cosa intenda per operazione J.Piaget.
Un'operazione è un'azione che può essere realizzata effettivamente o effettuata mentalmente
(può essere interiorizzata).
E’ un'azione reversibile, cioé che può determinarsi in una direzione o in quella opposta. Non
tutte le azioni sono reversibili. Fumare una sigaretta ad esempio, non é un'azione reversibile.
Essa suppone sempre qualche conservazione, cioé un'invariante.
Un'operazione non esiste da sola, é sempre collegata ad un sistema di operazioni.
Esempio:
L'addizione é un esempio d'operazione. Io posso sommare (azione diretta) e posso sottrarre
(azione inversa). La sottrazione é la stessa operazione eseguita nella direzione opposta.
E' un'operazione reversibile. La reversibilità dell'addizione é per negazione: + 4 - 4 = 0
L'addizione suppone un invariante: la somma. L'addizione é una trasformazione, poichè é
un'azione, ma non trasforma qualsiasi cosa all'istante, altrimenti non ci sarebbe possibilità di
reversibilità. Nel caso dell'addizione, noi possiamo modificare la maniera con cui
raggruppiamo l'insieme delle parti:
5 + 2 o 4 + 3 o 6 + 1
ma la somma si conserva, non varia.
Ora vorrei definire cosa intenda Piaget per struttura.
Una struttura è una totalità, cioé un sistema governato da leggi che si applicano al sistema
come tale e non solamente ad uno o ad alcuni elementi.
Queste leggi sono leggi di trasformazione e non caratteristiche statiche.
Una volta applicata una legge di trasformazione, il suo risultato non si proietta al di fuori del
sistema (autoregolazione). C'é quindi una certa chiusura della struttura. Ciò non significa che
una struttura non possa collegarsi ad altre strutture.
Ogni struttura può essere quindi una sottostruttura di un sistema più largo.
Esempio: il sistema dei numeri interi.
I numeri interi non esistono isolatamente. La serie numerica ha proprietà strutturali di gruppo,
d'anello, di corpo ecc. In altri termini, nella serie dei numeri interi si possono trovare diverse
strutture, quali ad esempio il gruppo additivo. Le leggi del gruppo additivo sono:
l'associatività, la transitività, la commutatività. Sono leggi di trasformazione poiché consentono
di trasformare un numero in un altro aggiungendovi qualcosa. Il gruppo additivo é
caratterizzato da una certa chiusura: infatti quando aggiungiamo un numero intero ad un altro
non usciamo dalla serie dei numeri interi. E' una sottostruttura di un sistema più largo: ad

8. esempio é sottostruttura dei numeri frazionari.
Occorrere distinguere una struttura dai suoi elementi. Una struttura é certo costituita da
elementi, in questo caso i numeri. Ma le proprietà del gruppo additivo sono distinte da quelle
dei numeri, che possono essere pari, dispari, primi, divisibili per ecc.
Cercheremo ora di esaminare le tre strutture-madri dei matematici del gruppo Bourbaki, per
porci poi la questione fondamentale e cioé se queste strutture matematiche (le strutture-madri)
sono naturali, trovano dei corrispondenti sul piano psicologico, o se sono totalmente artificiali.
9
Le strutture matematiche
Nel 1930 un collettivo di matematici conosciuto con il nome di N.Bourbaki comincia a cercare
le strutture comuni alle diverse branche della matematica (algebra, teoria dei numeri, geometria
ecc.) La ricerca si concluse con la scoperta di 3 strutture-madri, a partire dalle quali é possibile
generare tutte le altre.
Le strutture-madri:
1. La struttura algebrica, il cui prototipo é la nozione di gruppo. Questa struttura si applica
alle classi e ai numeri. Esempi: gruppo additivo nella serie dei numeri interi, gruppo degli
spostamenti in geometria, gruppo additivo delle classi.
2. La struttura d'ordine, il cui prototipo é la nozione di reticolo. Si applica alle relazioni.
3. La struttura topologica, che é basata cui concetti di vicinanza, confini ecc. Si applica alla
geometria ed a altre aree della matematica
J.Piaget fa l'ipotesi che esiste un parallelismo tra le strutture matematiche e le strutture
operatorie (psicologiche) dei bambini.
I suoi studi sullo sviluppo del pensiero nei bambini lo conducono progressivamente a validare
tale ipotesi. Infatti ritrova nel pensiero dei bambini sia piccoli che di 6 o 7 anni strutture
(operazioni) che somigliano a ciascuno di questi tre tipi.
Le strutture psicologiche
Le strutture algebriche nel pensiero del bambino possono essere trovate in termini molto
generali, ad esempio nella logica della classificazione. E' la relazione di inclusione che dà
origine alla struttura operatoria di classificazione, la quale é analoga alle strutture algebriche
dei matematici. Poiché la proprietà distributiva non vale entro questa struttura, non siamo in
presenza di un gruppo completo, ma di un aggruppamento.
Esiste pure una primitiva struttura d'ordine nel pensiero dei bambini. Un esempio: la struttura
di seriazione. La reversibilità qui implicata é quella della reciprocità. La reversibilità é del tipo
seguente: A più grande di B implica che B sia più piccolo di A. Quando il bambino cerca il
bastoncino più piccolo di tutti quelli che restano, comprende contemporaneamente che questo
bastoncino é più piccolo di quelli che prenderà in seguito. Coordina cioé nello stesso tempo, le
relazioni "più grande di" e "più piccolo di". Inoltre, contemporaneamente diventa capace di
ragionare sulla base della transitività. Secondo i logici la seriazione é una collezione di
relazioni asimmetriche e transitive. Qui vediamo che nel pensiero dei bambini le relazioni
asimmetriche e la transitività si sviluppano in stretta connessione.
Le prime intuizioni spaziali sono di ordine topologico. Le prime operazioni consistono nel
dividere lo spazio, ordinare nello spazio, ossia operazioni più simili a quelle topologiche che a
quelle euclidee. I bambini di 4 anni, ad esempio, pur sapendo riconoscere le forme euclidee
quali quadrati, rotondi, triangoli, quando si tratta di rappresentarli operano delle distinzioni di
tipo topologico.
J.Piaget ha cercato di dimostrare come le strutture-madri matematiche hanno le radici nello
sviluppo del pensiero individuale e, come altre strutture, possano svilupparsi per combinazione

9. due di esse:
- il numero come sintesi di inclusione di classi e relazioni di ordine,
- la misura come sintesi dell'addizione partitiva e della coordinazione degli spostamenti.
10
Lo sviluppo delle operazioni nel bambino
La teoria psicogenetica, postula che il bambino stesso costruisce non solo l'edificio del suo
sapere ma anche gli strumenti intellettuali grazie al quale acquisisce le conoscenze. Questa
costruzione segue un cammino, che passa attraverso certe tappe chiamate "stadi" caratterizzati
da strumenti intellettuali (schemi o strutture) già costruiti o in costruzione.
Ogni stadio di sviluppo prevede una particolare forma di organizzazione psicologica, con le
proprie conoscenze e interpretazioni della realtà.6 Le acquisizioni di uno stadio non si perdono
ma vengono integrate in strutture più evolute. Tra la nascita e l’adolescenza, lo sviluppo
cognitivo attraversa, secondo Piaget, quattro stadi principali, sinteticamente presentati nella
tabella.
Stadio senso-motorio
0 a 2 anni
Si sviluppa la conoscenza pratica attraverso azioni dirette sulla
realtà che si coordinano progressivamente. E' l'intelligenza
pratica dei primi adattamenti intenzionali, caratterizzata dalla
presenza percettiva, dall'uso di rapporti tra soli due oggetti alla
volta. Es. l'obiettivo (il gioco da raggiungere) e il mezzo (il
bastone).
Stadio pre-operatorio
2 a 6 o 7 anni
Ora il bambino è capace di rappresentare un oggetto o un
avvenimento per mezzo di simboli: l’immagine mentale, la parola,
l’imitazione differita, il gioco e il disegno.
Pensiero intuitivo (5-7 anni), il pensiero accede ad una più grande
generalità ma resta ancora irreversibile (incapacità di tenere
mentalmente presente due fasi di un avvenimento, di coordinare
due stati di una trasformazione). E’ dominato dalle immagini e
caratterizzato dal realismo (tendenza a considerare certi aspetti
pregnanti della realtà), cioè il primato dell'attività percettiva
sull'attività rappresentativa.
Stadio delle
operazioni concrete
7 – 12 anni
Operazioni concrete poiché compiute su una realtà
percettivamente presente. L’attività cognitiva diventa operatoria e
reversibile e riposa su invarianti. Durante questo periodo il
bambino elabora una serie di operazioni:
operazioni logico-matematiche,
operazioni spazio temporali
operazioni causali (per spiegare fenomeni)
gli invarianti (conservazioni, lunghezza, sostanza, numero, ecc.)
Stadio delle
operazioni formali

10. Dai 12 – 15 anni
La possibilità di ragionare su ipotesi riferite a simboli permette
la costruzione delle operazioni formali. Il pensiero diventa
ipotetico-deduttivo. Dalle proposizioni che considera ipotesi sa
trarre conclusioni, possibilità virtuali. Elabora le operazioni di
combinazione, alcune forme di probabilità, le nozioni di
proporzione ecc.
6 L. CAMAIONI, P. DI VLASIO, Psicologia dello sviluppo, ed. ed. Il Mulino, 220 p 87.
11
Sviluppo dell’intelligenza secondo la psicologia genetica
Intelligenza = capacità di adattare il proprio comportamento, il proprio pensiero e le proprie
conoscenze alle modifiche dell’ambiente.
Dai 12-
14 anni
STADIO DELLE OPERAZIONI FORMALI
Il ragazzo ora può ragionare su ipotesi riferite a simboli. Il pensiero
diventa ipotetico e deduttivo.
Elabora nuove operazioni più complesse:
- le operazioni di combinazione,
- le proporzioni,
- la probabilità ecc.
⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑
Dai 7 ai
12-14
anni
STADIO DELLE OPERAZIONI CONCRETE
Ma operazioni compiute su realtà e oggetti che sono presenti.
Queste operazioni non si sviluppano contemporaneamente, ma
progressivamente nel corso di tutto lo stadio. Il bambino elabora:
- le operazioni logico-matematiche (classificazioni,
seriazioni e numero)
- le operazioni spaziali (es. misura) e temporali
- le operazioni causali che gli consentono di spiegare i
fenomeni fisici,
- le conservazioni (numeriche, logiche, spaziali, fisiche)
⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑
La reversibilità rende possibili le operazioni che sono azioni
interiorizzate e coordinate
Da 2 a
6-7 anni
STADIO PRE-OPERATORIO
- Intelligenza simbolica →pre-concetti
- Pensiero intuitivo →irreversibilità e primato
della percezione
⇑ ⇑ ⇑ ⇑ ⇑
Intelligenza rappresentativa: capacità di rappresentare
con simboli o segni un oggetto o un avvenimento

11. assente (linguaggio, disegno,gioco simbolico, immagine
mentale, imitazione differita)
Da 0 a 2
anni
STADIO SENSO MOTORIO
Intelligenza pratica
12
Le operazioni concrete
Verso 7-8 anni nascono le operazioni concrete dell’intelligenza e il pensiero del bambino
diventa operatorio7. Ma che cos'è un'operazione e in che cosa consiste il pensiero
operatorio?
Se è facile definire quest'ultimo per il fatto che può utilizzare delle operazioni e basare su di
esse il proprio ragionamento, è molto più difficile spiegare che cosa sia un'operazione secondo
il significato attribuito a questo termine da J.Piaget. Egli propone diverse definizioni tra le quali
questa:"... psicologicamente l'operazione è un'azione interiorizzata diventata reversibile8 per
combinazione con altre azioni interiorizzate in una struttura d'insieme"9
A partire da questo livello due tipi di strutture d’operazioni si costruiscono:
- le operazioni logico-matematiche che organizzano gli oggetti discreti (discontinui) e
sono fondate sulle differenze, sulle somiglianze o sulle loro equivalenze,
- le operazioni infralogiche (o operazioni spazio temporali) che portano invece su
“oggetti” continui e che sono fondate sulle relazioni di vicinanza e separazione.
Operazioni logico-matematiche10
⇓
Quantità discontinue
Operazioni infralogiche
(spazio temporali)
⇓
quantità continue
Classificazioni Partizioni
Numero Misura
Seriazioni Spostamenti
Conservazioni
Conservazioni numeriche es. Conservazione della sostanza
Le strutture d’operazione concrete sono sistemi di trasformazione reversibili, ma una
trasformazione operatoria non si effettua che in rapporto a un invariante.
Nel corso dello stadio delle operazioni concrete avremo l’elaborazione :
- delle operazioni logico matematiche: seriazioni, classificazioni, conservazioni
numeriche,
- delle operazioni spazio temporali: operazioni di misura ecc.
- delle conservazioni: logiche, numeriche, spaziali e fisiche. In questo ambito tratteremo
delle operazioni di classificazione, di seriazione e delle conservazioni numeriche.
7 J.BIDEAUD, O. HOUDE, J.L.PEDINIELLI, L’homme en développement, PUF Paris, 2003
8 Reversibilità la capacità del pensiero di tornare indietro alla situazione iniziale di una trasformazione, e di comporre
una trasformazione (chiamata operazione diretta) con la sua contraria.
9 J. Piaget, Studi d'epistemologia genetica, PUF, Parigi 1957, p 35
13
Operazioni di classificazione

12. Sugli oggetti presenti nel campo percettivo è possibile compiere delle operazioni: si possono
collegare mentalmente l'uno all'altro gli oggetti sulla base della presenza in ciascuno di essi di
una certa qualità: il colore, la forma, la dimensione ecc. e il ragionamento porta sulle
somiglianze. In questo caso non si prende in considerazione la vicinanza o la distanza di questi
oggetti e nemmeno la loro posizione o il fatto di essere immobili o mobili. In altri termini sugli
oggetti si possono compiere delle operazioni logico-matematiche prescindendo però
completamente dalle posizioni nello spazio e nel tempo degli oggetti stessi. Anche le
operazioni logico-aritmetiche conducono alla costruzione di invarianti: una classe, una serie,
una quantità numerica rimangono ciò che sono indipendentemente dai mutamenti di posizione
dei loro elementi, oppure indipendentemente dalle composizioni alle quali possono prendere
parte: somme, sottrazioni, moltiplicazioni.
Le operazioni di classificazione consistono nel raggruppare degli oggetti in funzione delle loro
caratteristiche comuni. La classificazione più semplice appare come una successione lineare di
inclusioni: la classe dei cani < nella classe degli animali < classe degli esseri viventi.
Ci sono diverse strutture di classi: gli aggruppamenti additivi di classi (es. Quadrati rossi,
Quadrati), la moltiplicazione delle classi e cioè l'intersezione semplice (es. Rossi – piccoli rossi
– Piccoli) e la tavola a doppia entrata (es. Quadrati – Non quadrati – Grandi – Non Grandi)
Secondo la definizione di J.Piaget ogni classe è necessariamente relativa a un sistema di classi.
Non è possibile pensare una classe come qualcosa di isolato. La costruzione di una classe A
(oggetti rossi) comporta la costruzione della classe complementare A' (oggetti non rossi) e la
costruzione della classe includente B (tutti gli oggetti rossi e non rossi) che ha origine
dall'addizione logica delle classi A e A'. Costruire questa classe significa dunque operare una
classificazione additiva.
Nella moltiplicazione semplice si ha l'intersezione di due classi non disgiunte e la costruzione
di una terza classe che corrisponde alla parte comune delle prime due. Questa terza classe è
costituita di elementi che appartengono contemporaneamente alla prima e alla seconda classe.
Costruire questa classe significa dunque operare una classificazione moltiplicativa.
Nella tavola a doppia entrata sono invece messe in relazione due successioni di classi non
disgiunte (e non due classi solamente). Una moltiplicazione biunivoca consiste nel mettere
ciascuna delle classi di ognuna delle due successioni in rapporto con tutte le classi dell'altra
successione e nel costruire così un sistema di classi moltiplicative.
Rossi Non R
Quadr.
NonQ.
La situazione sperimentale utilizzata Piaget e Inhelder per cercare di analizzare lo sviluppo
della classificazione additiva nel bambino è stata la seguente: al bambino venivano presentate
figure di legno (triangoli, cerchi, quadrati ecc.) di colori diversi e varie dimensioni.
14
Il compito consisteva nel chiedere al soggetto di mettere insieme gli elementi che erano tra loro
simili. L'esperienza ha permesso di individuare un'evoluzione di condotte classificatorie:
I° livello (dai 2 ai 5 anni) : collezioni figurali
I bambini di questo livello, invece di costruire
una classe, compongono:
- degli oggetti collettivi (es. fanno un treno)
- dispongono gli oggetti in fila (un triangolo, poi
un quadrato, poi un triangolo ecc.)
- oppure costituiscono delle composizioni
spaziali sovente simmetriche.

13. Quando si interessano a qualità comuni queste
non sono generalizzate a tutti gli elementi: inizia
a costituire un gruppo di oggetti con la stessa
forma, poi aggiunge elementi dello stesso
colore.
II° livello ( 5-7 anni) collezioni non figurali
Costruisce delle collezioni, ma non ancora delle
classi, poiché giustapposte le une alle altre.
III° livello (8-9 anni circa) classificazioni
additive
Il bambino è ora capace di classificare
correttamente il materiale secondo il principio
dell'aggruppamento additivo e di confrontare il
tutto con una delle sue parti riconoscendo il
rapporto d’ inclusione di una sottoclasse in una
classe totale.
15
La nozione di inclusione di una sottoclasse in una classe
Per Piaget e Inhelder la comprensione del rapporto di inclusione di una classe parziale in una
classe totale è indispensabile per poter immaginare sin dall'inizio, di una prova di
classificazione, che è possibile ripartire la totalità degli elementi in sottoclassi all'interno delle
quali è possibile operare una nuova suddivisione senza però l'annullamento dell'unità logica
della struttura in cui essa è stata introdotta.
La difficoltà a comprendere il rapporto di inclusione è stata studiata dagli psicologi ginevrini
attraverso diverse situazioni sperimentali facendo ricorso ad una grande varietà di materiali
diversi: gettoni (figure geometriche), fiori, animali, frutti, perle di legno di due colori ecc.
Descriviamo ora l'esperienza più nota. Il materiale è costituito da 20 cartoncini che
raffiguravano: 16 fiori di cui 8 primule (4 gialle e 4 di altri colori) 8 altri fiori. Il bambino
doveva effettuare una classificazione (raggruppare i fiori che erano simili) e rispondere ad
alcuni problemi di quantificazione dell'inclusione;
"Il mazzo di primule gialle è più grande o più piccolo del mazzo di tutte le primule?"
"Ci sono più primule o più fiori?"
I risultati di questa esperienza hanno mostrato che la maggior parte dei bambini dai 5 ai 7 anni
(al livello quindi delle collezioni non figurali) sono incapaci di quantificare il rapporto di
inclusione. Infatti essi negano che vi siano più primule che primule gialle. Tutto si svolge come
se le primule gialle, dissociate mentalmente dalle altre primule e collegate tra loro dalla qualità
"a" (giallo) nella classe A, non fossero ormai più disponibili e non potessero dunque venire
considerate per la loro qualità "b" (primule) e costituire così la classe B.
Lo stesso problema è stato proposto con altro materiale: animali, perle di legno, frutta ecc.
Queste prove non sono però riuscite tutte alla stessa età.
La comprensione del rapporto d'inclusione per esempio della classe delle mele rosse nelle mele
richiede la capacità di passare: dalla considerazione di una qualità che dissocia certi elementi da
altri (esempio il rosso) alla considerazione di un'altra qualità che invece li unisce (esempio la
mela). E' appunto tale mobilità di pensiero che permette, una volta costruita una classificazione,
di mutarne la struttura scegliendo come base di suddivisione dei criteri diversi.
Operazioni di seriazione
Nel pensiero dei bambini esiste anche una primitiva struttura d'ordine: é la struttura di

14. seriazione. Si attualizza quando ad esempio si tratta di ordinare dal più piccolo al più grande
una collezione di bastoncini di diversa grandezza: il ragionamento porta sulle differenze ( e non
più sulle somiglianze come era il caso nelle classificazioni) di lunghezza di ogni bastoncino.
Quando il bambino non costruisce più la serie per tentativi, ma utilizza un metodo sistematico e
totalmente esaustivo: cerca il più piccolo, poi il più piccolo di tutti quelli che restano e via
dicendo, egli dimostra di capire che il bastoncino scelto é più grande dei precedenti e più
piccolo di quelli che prenderà in seguito. Coordina cioè nello stesso tempo due relazioni: "é più
grande di", "é più piccolo di". Contemporaneamente i bambini sono capaci di ragionare sulla
base della relazione di transitività. Infatti nel pensiero del bambino le relazioni d'ordine
(asimmetriche) e la transitività si sviluppano contemporaneamente.
Situazione sperimentale: si presentano al bambino 10 asticciole la cui lunghezza varia in
modo regolare (da 9 a 16,5 cm) e gli si chiede di costruire una scala. Una volta costruita la serie
il soggetto riceve una nuova asticciola (di misura intermedia a due elementi) e gli si chiede di
posizionarla intercalandola tra due elementi.
16
Evoluzione delle condotte
I° livello ( da 4 anni ) Nessun
tentativo di seriazione
Costituzione di coppie confronto:
trasporto della differenza di un elemento
sul secondo:
- oppure il bambino tiene conto solo
della linea delle sommità: fa una scala
ma senza prendere in considerazione le
basi M-Ange
5;1
Janine 5;3
II° livello (5-6 anni)
Riesce per tentativi ed errori a costruire
la scala, ma senza costruire un sistema
di relazioni che gli permetta di
intercalare nuovi elementi. Per potere
intercalare un nuovo elemento deve
annullare la serie già composta e
ricominciare da capo.
III° livello (dai 7 anni) seriazione
operatoria
Metodo sistematico: cerca ogni volta
l’elemento più piccolo, sa anche
intercalare nuovi elementi coordinando
la doppia relazione > e <.
17
La conservazione cardinale
Ogni forma di conoscenza presuppone un sistema di conservazione. L'idea che qualcosa si
conserva, pur attraverso una serie di mutamenti nelle caratteristiche di un oggetto o di un
insieme di oggetti, permette di introdurre un principio d'ordine nelle modificazioni registrate
dalla percezione.

15. Nelle trasformazioni di oggetti o di situazioni gli invarianti possono essere di volta in volta
diversi. Quando l'intervallo vuoto tra due punti viene riempito, ciò che non varia è la distanza
tra questi due punti; quando trasformo una palla di plastilina in una salsiccia, varia la sua forma
ma la quantità di materia resta invariata.
Durante il periodo delle operazioni concrete (dai 6 ai 12 anni), diversi sono gli invarianti
elaborati dal bambino. Si distinguono in:
- invarianti spaziali (lunghezza, distanza, superficie, volume, parallelismo ecc.)
- invarianti fisici (sostanza, peso, volume)
- invarianti numerici (conservazione cardinale)
Gli schemi (o le nozioni) di conservazioni si acquisiscono correlativamente all'elaborazione
delle strutture logico-aritmetiche delle classi, delle relazioni e numeriche.
Noi possiamo stabilire che due collezioni di gettoni sono equivalenti sia contandole, sia
facendo corrispondere un gettone della prima collezione a uno dell’altra collezione, stabilendo
così una corrispondenza termine a termine (corrispondenza biunivoca). Piaget e Szeminska 11
analizzano il meccanismo della corrispondenza biunivoca in situazioni in cui il bambino é
obbligato ad inventarla e ad utilizzarla nella forma che gli conviene.
La situazione sperimentale è la seguente: in presenza di 12 gettoni rossi e 12 gettoni blu lo
sperimentatore, dopo avere allineato i rossi, chiede al bambino di disporre i gettoni blu sotto la
linea dei rossi "per avere la stessa quantità, lo stesso numero di gettoni rossi e di gettoni blu".
Quando il bambino ha messo i suoi gettoni gli si chiede: "C'è la stessa quantità di blu e di
rossi? Come lo sai? Come hai fatto a saperlo?
Dopo avere disposto i suoi gettoni e confermato che si tratta della stessa quantità, lo
sperimentatore riavvicina i gettoni rossi: e ripropone le stesse domande chiedendo al bambino
di giustificare il suo giudizio. Il problema viene posto un’altra volta dopo essere tornati alla
situazione iniziale. Lo sperimentatore, questa volta distanzia i gettoni blu in maniera tale che il
gettone all'estremità destra superi di 2 cm la linea superiore dei rossi. Lo sperimentatore pone le
stesse domande.
Evoluzione dei comportamenti.
I° stadio: il bambino si limita ad un
confronto globale senza tener conto della
quantificazione esatta: riproduce due file
della stessa lunghezza senza tener conto
della densità (cioè del numero degli
elementi),
gettoni rossi o o o o o o o o
gettoni blu o o o o o o o o o o o o
11 : J.Piaget. A. Szeminska, La genesi del numero nel bambino, ed. La nuova Italia, Firenze, 1987 ed. or. 1941 pp 108-
126
18
II° stadio: applica la corrispondenza
termine a termine ma senza conservazione
della quantità in caso di deformazione della
figura. Il bambino a questo stadio sa che i
gettoni sono altrettanti per il fatto che ha
fatto sempre corrispondere un gettone a un
altro (anche se non li ha contati). Ammette
l’equivalenza solo quando le due
configurazioni percettive (le due file di

16. gettoni) coincidono spazialmente. Ci sono
anche bambini che ammettono che le due
collezioni hanno lo stesso numero, ma che in
una ce n’è di più (quando una fila supera
spazialmente l’altra). Il numero contato
(quotité) si conserva prima della quantità.
Il bambino fa corrispondere ogni suo gettone
a ogni gettone dello sperimentatore e
riconosce che le due collezioni hanno la
stessa quantità
gettoni rossi o o o o o o o o
gettoni blu o o o o o o o o
Ma quando le due file di gettoni non
coincidono più spazialmente, nega la loro
equivalenza:
o o o o o o o o
o o o o o o o o
Sono la stessa quantità , ma sono di più i
gettoni blu.
III° livello: c'é corrispondenza precisa e
equivalenza durevole.
Sono la stessa quantità perché non hai
aggiunto nulla.
o o o o o o o o
o o o o o o o o
Secondo P. Greco la conservazione della quotité, cioè del numero contato è più precoce della
conservazione cardinale. Bisogna dunque assegnare alla nozione di quotité un certo statuto
cardinale, quasi numerico. Essa nasce dall’aspetto seriale inerente all’azione stessa di contare.
Ciò che manca alla quotité è il sistema delle inclusioni che fonda la cardinazione operatoria.
Quest’ultima sarà fondata sull’operazione d’iterazione.
A titolo di illustrazione, nella pagina seguente, presentiamo il protocollo dell’interrogatorio di
Denise (7,2).
19
CONSERVAZIONE CARDINALE: la prova dei gettoni
Bambina: Denise. età 7;1 Sperimentatore : R.Rossera
Sperimentatore azioni bambina
I parte
Prendi i tuoi gettoni ... fammi una
fila di gettoni sotto alla mia che ha
la stessa quantità
Sono la stessa quantità?
II parte
Adesso sono la stessa quantità o ce
ne è una fila che ne ha di piu`?
Fai la stessa cosa allora, la stessa
quantità
Adesso sei sicura che abbiamo la
stessa quantità? Perché?
III parte
Adesso guarda cosa succede

17. E adesso? C'è la stessa quantità di
gettoni rossi e blu?
Chi ne ha di più?
Allora come fare?
Adesso?
Sei sicura?
Cosa hai guardato per essere
sicura?
R. mette 10 gettoni blu in fila sul tavolo
D. prende i suoi gettoni rossi e per
corrispondenza termine a termine ne mette
10 in fila .
O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O
R. allarga i gettoni blu
O O O O O O O O OO
O O O O O O O O O O
D con due dita allarga i gettoni della sua
fila spostandone due all'esterno poi altri
due fino ad avere due file con gli estremi
che coincidono. (ritorno empirico)
O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O
D mostra con due dita che due gettoni blu
corrispondono a due gettoni rossi e ripete
il gesto fino a verificare l'intera fila.
R. restringe la fila di gettoni blu
OOOOOOOOOO
O O O O O O O O O O
D. restringe la fila dei rossi fino ad
ottenere due file in corrispondenza ottica
OOOOOOOOOO
OOOOOOOOOO
(Ritorno empirico)
D mostra con le mani gli estremi delle due
file prima a destra poi a sinistra
Sì
No perchè qui ne mancano due
(mostra un estremo della fila) e qui
ne manca uno (mostra l'altro)
Ecco
Sì
Perchè? Perché..
Perchè qui ce ne sono due e qui
due
No!
No. I rossi sono di più
Adesso sì
Sì
perché finisce qua e finisce qua
20
IV parte
Adesso faccio un'altra cosa
Adesso abbiamo la stessa quantità
di rossi e di blu?
Cosa hai guardato?
Prova a contare

18. Allora?
Allora qui sono di più ? (mostra i
rossi) Ce ne sono 10 ma sono più
tanti
V parte
Ahh Allora faccio qualcosa d'altro
Ora tu metti la stessa quantità di
cubi
C'è la stessa quantità?
Ora guarda...
Ma sei poi sicura che sono 10?
Li hai poi contati?
Perché, avevi contato anche questi?
Allora sono 16 e 16 e sono la stessa
quantità perché sono lo stesso
numero..
Non c'è più bisogno di guardare
qua e qua?
R prende i gettoni blu e li mette in cerchio
accanto alla fila dei rossi
D mostra la fila dei rossi
D. conta i rossi
poi conta i blu
R. prende 16 cubi e li dispone in fila
D prende successivamente i cubi a 2 o a 3
alla volta e li mette in corrispondenza
termine a termine
D.Mostra gli estremi delle file
R raggruppa una fila di cubi
D. conta i cubi raggruppati
Esclama sorpresa
R. mostra la fila
D. conta i gettoni nella fila
R. mostra i limiti estremi della fila
No sono di più i rossi
Questi sono lunghi (indica fila) e
questi sono rotondi (indica gettoni
blu)
10
10
Sono 10 gettoni solo che qui sono
più pochi (mostra i gettoni blu in
cerchio)
(Quotité)
No
No sono uguali, soltanto che qui
(blu) c'è un rotondo e è più piccolo
Sì sì perchè qui finisce uguale e qui
anche
Si (stessa quantità) perché qui c'è
una fila lunga, qui sono 10 e anche
qui (sono 10) soltanto che sono
tutti ammucchiati
1.2.3........16!
allora sono di più questi (mostra
cubi raggruppati)
1.2..... 16

19. Sono 16 e sono pari
No.
21
Intelligenza
Pensiero
Aspetto figurativo del
pensiero
Percezione, imitazione,
immagine mentale
Aspetto operativo del
pensiero
Azioni, azioni interiorizzate
e non reversibili,
operazioni
Strumenti psicologici
Schemi:
ciò che è repetibile e
genera-lizzabile di
un’azione
Operazioni e strutture
Schemi coordinati
Conoscenza
Costruire sistemi di
trasformazione (schemi
o operazioni) che
corrispondono più o
meno adeguatamente
alla realtà
Meccanismi
Assimilazione Accomodamento
22
LA CONOSCENZA
Sperimentale Logico-matematica
proviene dall'oggetto proviene dalla coordinazione di azioni
astrazione empirica astrazione riflettente
dà origine alla conoscenza dà origine alla conoscenza
delle proprietà fisiche dell' logico-matematica
oggetto. Implica una trasposizione a livello
superiore di ciò che era coordinazione
pratica di azioni.
Come le coordinazioni d'azioni diventano operazioni e strutture:
operazione é un'azione che può essere
interiorizzata, reversibile,

20. suppone qualche invariante, é
sempre collegata ad un sistema d'operazioni
struttura totalità, cioé sistema governato da
leggi di trasformazione,chiusura del
sistema ma pure sottostruttura di un
sistema più largo
Strutture matematiche Strutture psicologiche
algebriche: il Gruppo algebriche: classificazioni additive e
additivo dei numeri, classi, e moltiplicative.
spostamenti.
d'ordine: si applica alle d'ordine: seriazione, corrispondenze
relazioni seriali
topologiche:si applica topologiche prime intuizioni spaziali
alla geometria e alla
matematica.
Sono le operazioni, gli elementi costitutivi delle strutture che il soggetto utilizza. E' l'attività del
soggetto, con l'incessante processo di coordinazioni e messe in relazioni, che genera le strutture.
23
Le operazioni
Operazioni logico-matematiche Operazione infralogiche (o spazio-temporali)
Si applicano alle collezioni di
oggetti e/o alle loro relazioni.
Si applicano all'oggetto come tale e alle sue parti o ai suoi
rapporti spazio-temporali interni
Gli elementi sono messi in
relazione indipendentemente dai
loro rapporti di vicinanza.
Quindi in maniera discontinua
Gli elementi sono messi in relazione in funzione dei
rapporti di vicinanza.
Quindi secondo relazioni continue.
Operazioni logico-matematiche Operazioni fisiche Operazioni spazio-temporali
Conservazione cardinale
Es. una collezione di gettoni
conserva la sua quantità anche se
si allontano i gettoni
Conservazione delle quantità
continue (dei liquidi).
Es. la quantità di sciroppo si
conserva anche se lo travaso
in un bicchiere più stretto
Conservazione della lunghezza
Es. La lunghezza di un'asta
spostata si conserva malgrado
lo spostamento.
Le operazioni di classificazione:
additive, moltiplicative

21. Raggruppo in funzione di
caratteristiche comuni.
Conservazione della sostanza
Conservazione della superficie
Le operazioni di seriazione
(ordine)
Ordino in funzione di differenze
(altezze, peso ecc.)
Conservazione del peso
Conservazione del volume
geometrico
Conservazione del volume
fisico
Il numero come sintesi di
inclusione e di ordine
La misura come sintesi di
partizione e spostamento
Operazioni fisiche costitutive
dell'oggetto fisico. Derivano
dalle azioni particolari che il
soggetto esercita sugli
oggetti
Operazioni costitutive dello
spazio geometrico.
Derivano dalla coordinazione
generale delle azioni
24
Riepilogo
Psicologia del bambino: cerca di descrivere come il bambino si sviluppa, dalla nascita
all'adolescenza.
Psicologia genetica: cerca non solo di descrivere, ma pure di spiegare la genesi di tale o tal
altro comportamento. Descrive gli stadi successivi dello sviluppo del bambino, definisce le
strutture che li caratterizzano, e cerca di spiegare le filiazioni da uno stadio all'altro.
L'epistemologia genetica cerca di spiegare come il pensiero umano sia capace di produrre la
conoscenza scientifica, come il soggetto epistemico passa da un livello di conoscenza meno
elevato ad uno più elevato. Piaget ricorre allora all'ontogenesi: cioè allo studio dello sviluppo
della conoscenza matematica, fisica, logica ecc. nel bambino allo scopo di cercare le radici
delle conoscenze dalle sue forme più elementari fino al livello del pensiero scientifico.
Intelligenza per Piaget non é un'attitudine, o la capacità di servirsi dell'esperienza né
tantomeno il risultato di un individuo ai tests d'intelligenza. E' piuttosto la capacità che
permette al soggetto d'adattare il proprio comportamento (come pure le proprie conoscenze ed
il proprio pensiero) alle modifiche dell'ambiente.
Del pensiero distingue due aspetti, diversi e complementari:
- l'aspetto figurativo che consiste in un'imitazione di stati presi come momentanei, (le
funzioni figurative sono percezione, imitazione, immagine mentale)
- l'aspetto operativo che comprende le azioni, le azioni interiorizzate, ma non ancora
reversibili del periodo preoperatorio, le azioni interiorizzate, coordinate e reversibili cioè le

22. operazioni. Per Piaget l'aspetto essenziale del pensiero é quello operativo, poiché concerne le
trasformazioni, cioè le azioni e le operazioni che si effettuano sul reale (effettivamente o
mentalmente).
Per effettuare un'azione occorrono, oltre all'infrastruttura anatomica e fisiologica, anche degli
strumenti di natura psicologica: degli schemi o strutture. Piaget ha chiamato schema ciò che
é repetibile e generalizzabile di un'azione. Considerato in se stesso un qualsiasi schema non
ha una componente logica, ma gli schemi possono coordinarsi tra loro e formare una logica
delle azioni che costituisce il punto di partenza delle strutture logiche-matematiche.
La conoscenza, non é una semplice copia della realtà, la conoscenza umana é essenzialmente
attiva, poiché per conoscere un oggetto devo agire su di lui costruendo dei sistemi di
trasformazione (schemi, operazioni) che corrispondono più o meno adeguatamente alla realtà.
Ispirandosi alla biologia, Piaget propone, quali meccanismi che spiegano la formazione della
conoscenza i concetti di assimilazione e accomodazione .
In funzione dei propri strumenti intellettuali, il soggetto filtra (sceglie) gli stimoli ritenendone
solo alcuni, poi integra questi nuovi elementi, questa nuova conoscenza nel sapere già
acquisito. Quest’incorporazione (assimilazione) necessita di un lavoro di riorganizzazione
(accomodamento), che solo il soggetto può effettuare. Nessuno può sostituirsi a colui che
apprende. L'insegnante può "offrire" delle conoscenze. L'allievo non le assimilerà
automaticamente, ma sceglierà alcuni elementi che integrerà alle proprie conoscenze
ristrutturandole.
Le origini della conoscenza logico-matematica
L'alternativa classica consiste nel decidere se la conoscenza sia una copia del reale (un prodotto
diretto della percezione e delle sensazioni) o un'assimilazione di esso.
Nella concezione piagettiana il reale consiste in sistema di trasformazioni. Copiare queste
trasformazioni é possibile solo riproducendole attivamente, il che equivale a dire che per
conoscere gli oggetti bisogna agire su di loro in maniera tale da scomporli e ricomporli. La
conoscenza finisce col diventare assimilazione. E assimilare l'oggetto é lo stesso che
25
partecipare ai sistemi di trasformazione con cui esso é prodotto. Da qui la parte che spetta alle
operazioni, che sole possono cogliere le trasformazioni.
Anche la capacità di riconoscere un frutto, ed affermare "questa é un'arancia" non é il semplice
risultato delle nostre esperienze percettive anteriori. E' pure il risultato di una serie di schemi di
azioni quali: pelare il frutto, mangiarlo, berne il succo ecc.
E' sulla base di schemi percettivi e motori che si costruisce il concetto, la classe e quindi la
nostra capacità di affermare che quest'ovoide rugoso é un'arancia.
Piaget distingue due tipi di conoscenze:
- la conoscenza sperimentale che proviene soprattutto dall'esperienza. Quando noi
agiamo su di un oggetto, la nostra conoscenza può provenire dall'oggetto stesso, dalle
sue proprietà fisiche (es. fragilità).
- La conoscenza logico-matematica. Quando noi agiamo su degli oggetti noi possiamo
prendere in considerazione non gli oggetti stessi, ma la azioni stesse che noi effettuiamo
su di loro. Es. scoprire che contando gli oggetti in qualsiasi ordine, la loro somma resta
invariata.
Nell'ipotesi piagettiana vi sono quindi due diversi tipi d’astrazione:
- l'astrazione empirica, o pseudo-empirica, che dà origine alla conoscenza delle
proprietà fisiche dell'oggetto, e
- l'astrazione riflettente, che dà origine alla conoscenza logico-matematica. Riflettente

23. nel senso che implica una trasposizione a un livello superiore (al livello delle operazioni
ad esempio) di ciò che inizialmente é stata una coordinazione pratica e incosciente. La
presa di coscienza della proprietà commutativa della somma é il risultato delle azioni di
riunire ed ordinare interiorizzate e coordinate mentalmente. Noi possiamo coordinare
mentalmente due azioni e realizzare così una coordinazione additiva, oppure possiamo
eseguire due azioni che si succedono in ordine temporale e si ha allora una
coordinazione ordinale, o sequenziale.
E' questa coordinazione a livello di azioni che costituisce la base dell'astrazione riflettente,
che dà origine alla conoscenza logico-matematica.
Ovviamente questa distinzione tra esperienza fisica e logico-matematica é teorica, non
corrisponde ad una dissociazione a livello funzionale Non esiste esperienza fisica senza
l'applicazione di messe in relazioni e operazioni logico-matematiche. Reciprocamente
un'esperienza logico-matematica porta su oggetti.
Ma come queste coordinazioni diventano operazioni e strutture?
Un'operazione é un'azione che può essere interiorizzata, che può determinarsi in una
direzione o in quella opposta, é cioé un'azione reversibile. Ma suppone sempre qualche
conservazione: un invariante. Inoltre non esiste mai da sola, é sempre collegata ad un sistema
di operazioni. Esempio: l'addizione
Una struttura é una totalità, cioé un sistema governato da leggi di trasformazione. Una volta
applicata una legge, il suo risultato non si proietta al di fuori dal sistema. C'é quindi una certa
chiusura della struttura, ma questo non significa che una struttura non possa collegarsi ad altre
strutture. Ogni struttura é quindi una sottostruttura di un sistema più largo.
Esempio il gruppo additivo del sistema dei numeri interi
Gli esempi che abbiamo citato sono relativi al campo matematico. Cercheremo ora di
esaminare le strutture-madri del gruppo matematico N. Bourbaki, per porci la questione
epistemologica fondamentale, e cioé se queste strutture matematiche sono naturali ( se trovano
dei corrispondenti sul piano psicologico) o se sono totalmente artificiali
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Le strutture matematiche
Nel 1930 un collettivo di matematici conosciuto con il nome di N.Bourbaki comincia a cercare
le strutture comuni alle diverse branche della matematica (algebra, teoria dei numeri, geometria
ecc.) La ricerca si concluse con la scoperta di 3 strutture-madri, a partire dalle quali é possibile
generare tutte le altre.
Le strutture-madri:
1. La struttura algebrica, il cui prototipo é la nozione di gruppo. Questa struttura si applica
alle classi e ai numeri. Esempi: gruppo additivo nella serie dei numeri interi, gruppo degli
spostamenti in geometria, gruppo additivo delle classi.
2. La struttura d'ordine, il cui prototipo é la nozione di reticolo. Si applica alle relazioni.
3. La struttura topologica, che é basata cui concetti di vicinanza, confini ecc. Si applica alla
geometria ed a altre aree della matematica
J.Piaget fa l'ipotesi che esiste un parallelismo tra le strutture matematiche e le strutture
operatorie (psicologiche) dei bambini.
I suoi studi sullo sviluppo del pensiero nei bambini lo conducono progressivamente a validare
tale ipotesi. Infatti ritrova nel pensiero dei bambini sia piccoli che di 6 o 7 anni strutture che
somigliano a ciascuno di questi tre tipi.
Le strutture psicologiche
Le strutture algebriche nel pensiero del bambino possono essere trovate in termini molto
generali, ad esempio nella logica della classificazione. E' la relazione di inclusione che dà

24. origine alla struttura operatoria di classificazione, la quale é analoga alle strutture algebriche
dei matematici. Ma poiché la proprietà distributiva non vale entro questa struttura, non siamo in
presenza di un gruppo completo, ma di un aggruppamento.
Esiste pure una primitiva struttura d'ordine nel pensiero dei bambini. Un esempio: la struttura
di seriazione. La reversibilità qui implicata é quella della reciprocità. La reversibilità é del tipo
seguente: A più grande bi B implica che B sia più piccolo di A. Quando il bambino cerca il
bastoncino più piccolo di tutti quelli che restano, comprende contemporaneamente che questo
bastoncino é più piccolo di quelli che prenderà in seguito. Coordina cioè nello stesso tempo le
relazioni "più grande di" e "più piccolo di". Inoltre, contemporaneamente diventa capace di
ragionare sulla base della transitività. Secondo i logici la seriazione é una collezione di
relazioni asimmetriche e transitive. Qui vediamo che nel pensiero dei bambini le relazioni
asimmetriche e la transitività si sviluppano in stretta connessione.
Le prime intuizioni spaziali sono di ordine topologico. Le prime operazioni consistono nel
dividere lo spazio, ordinare nello spazio, ossia operazioni più simili a quelle topologiche che a
quelle euclidee. I bambini di 4 anni, ad esempio, pur sapendo riconoscere le forme euclidee
quali quadrati, rotondi, triangoli, quando si tratta di rappresentarli operano delle distinzioni di
tipo topologico.
J.Piaget ha cercato di dimostrare come le struttura-madri matematiche hanno le radici nello
sviluppo del pensiero individuale. E come altre strutture possano svilupparsi per combinazione
due di esse. Il numero come sintesi di inclusione di classi e relazioni di ordine.
La misura come sintesi dell'addizione partitiva e della coordinazione degli spostamenti.
Al livello delle operazioni concrete le due forme di reversibilità non vengono mai sintetizzate in un
unico sistema. Al livello delle operazioni formali vengono costruite nuove strutture che danno
origine alla logica delle proposizioni in cui entrambi i tipi di reversibilità vengono egualmente usati.