1. Colegio Garcia Flamenco Alumnos: Violeta Marroquín Soto Adriana Flores Dominguez Tema: Sistemas de ecuaciones de segundo grado Grado: 9º ‘ ‘ A’ ‘

2. Sistema de ecuaciones En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemáticoconsistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones. Ecuación de segundo grado Una ecuación de segundo grado, ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica: donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

3. Sistema general La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y incógnitas es la siguiente: donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha solución, verifique la ecuación. Representación gráfica Los sistemas de 2 o 3 incógnitas reales admiten representaciones gráficas cuando las funciones en son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.

4. Clasificación de los sistemas Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones en: Sistema incompatible cuando no admite ninguna solución. Un ejemplo de sistema incompatible es {54x − 36y = 9, − 54x + 36y = 30}, ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39. Sistema compatible cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en: Sistemas compatibles indeterminados cuando existe un número infinito de soluciones que forman una variedad continua. Un ejemplo de sistema compatible indeterminado es {x + y = 1,2x + 2y = 2} ya que claramene la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2. Sistemas compatibles determinados cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de puntos de acumulación. Un ejemplo de sistema compatible determinado es {2x + 3y = 9,3x − 2y = 7} cuya solución única es y = 1 y x = 3.

5. Sistema lineal Un sistema como el anterior en que las anteriores ecuaciones son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada. Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esa forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma: La primera es la matriz de coeficientes, donde el término representa al coeficiente que acompaña a la j-ésima incógnita de la ecuación i-ésima. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las incógnitas que queremos averiguar. Y la tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada representa al término independiente de la ecuación i-ésima.

6. Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el método de Gauss, en el que, partiendo de la matriz aumentada (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, pretendemos llegar a una matriz de este tipo: Una vez la matriz se ha triangulado, el valor de cada término se corresponderá con el de la incógnita . Si nos encontramos alguna fila del tipo , con , el sistema no tendrá solución.

7. Existencia de soluciones El teorema de la función inversa proporciona condiciones suficientes de existencia de solución, de un sistema como con . Si sucede que la función vectorial: Es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase y su jacobina no se anula en ningún punto entonces existe una única solución del sistema. Ya que en ese caso existirá una función inversa, y podremos escribir la solución buscada simplemente como: Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendo condición suficiente, no es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciones no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en que existe más de una solución si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.

8. En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando , entonces el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el teorema de la función implícita proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la función inversa las proporciona en el caso .