Презентация по математической логике на тему "Предикаты. Основные понятия, связанные с предикатами"

1. Логика
предикатов

2. Логика предикатов расчленяет
элементарное высказывание на
субъект (буквально - подлежащее,
хотя оно и может играть роль
дополнения) и предикат (буквально -
сказуемое, хотя оно может играть и
роль определения).
Понятие предиката

3. Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция
переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из
множества {1,0}.
Пример: Q(x) == «x2
<-1, х R» — одноместный предикат, определенный на∈
множестве действительных чисел М=R. Ясно, что Q(-1) = Л, Q(5) = Л, и вообще
предикат Q(x) — тождественно ложен, т. е. Q(x) = Л для всех х R.∈
Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью
определения предиката
Область истинности предиката Р(х) - множество всех элементов, при которых
предикат принимает значения "истина" (1). I p={x:x ∈ М P(x=1},
Примеры:
Р(х) - «х - простое число» определен на множестве N, а множество истинности
для него есть множество всех простых чисел.
Предикат Q{x} - « sin х = 0 » определен на множестве R, а его множество
истинности -Q.
Предикат F(x) - «Диагонали параллелограмма перпендикулярны» определен на
множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является
множество всех ромбов.
Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно
истинным ,если область определения предиката и область истинности совпадают

4. Двухместным предикатом Р(х,у) называется функция двух
переменных x и y определенных на множестве М=M1 x M2 принимающая
значения из множества { 1 ;0}.
1 Q(x, у) - "х=у" - предикат равенства, определенный на множестве RxR=R2
;
2 F(x,y) - "х параллелен у", "прямая х параллельна прямой у",
определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.
3 S(x,y,z) - "x+y=z". Подстановка в него х=3 превращает его в двухместный
предикат: S(y,z) - "3+y=z", а подстановка х=3, z=2 - одноместный предикат
S(y) - "з+у=2".Подстановка же S(2,3,5) превращает его в истинное
высказывание, a S(1,7,4)- в ложное.
Аналогично определяется и n-местный предикат (функция n переменных).
Пример n- местного предиката:
R(xx, x2,...,xn): а1х1+...+апхп=о,
который, как видим, представляет собой алгебраическое уравнение с n
неизвестными.

5. КОНЪЮНКЦИЕЙ ДВУХ ПРЕДИКАТОВ P(X) И Q(X) НАЗЫВАЕТСЯ НОВЫЙ
(СЛОЖНЫЙ) ПРЕДИКАТ P(X)∧ Q(X) , КОТОРЫЙ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ
“ИСТИНА” ПРИ ТЕХ И ТОЛЬКО ТЕХ ЗНАЧЕНИЯХ X ∈ M , ПРИ КОТОРЫХ
КАЖДЫЙ ИЗ ПРЕДИКАТОВ ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ “ИСТИНА”, И
ПРИНИМАЕТ ЗНАЧЕНИЕ “ЛОЖЬ” ВО ВСЕХ ОСТАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ
Логические операции над
предикатами
Областью истинности предиката P(x)∧ Q(x)
является общая часть области истинности
предикатов P(x) и Q(x), т.е. пересечение –I p ∩ I q .

6. Так, например, для предикатов P(x): “x – четное
число” и Q(x): “x кратно 3” конъюнкцией P(x)∧ Q(x)
является предикат “x – четное число и x кратно
трем”, т.е. предикат “x делится на 6”.

7. Дизъюнкцией двух предикатов P(x) и Q(x)
называется новый предикат Р(х)∨ Q(x), который
принимает значение “ложь” при тех и только тех
значениях x ∈ M , при которых каждый из предикатов
принимает значение “ложь”, и принимает значение
“истина” во всех остальных случаях
Областью истинности предиката Р(х)∨ Q(x), является
объединение области истинности предикатов P(x) и
Q(x), т.е Ip I∪ q .

8. Пусть даны предикаты P(x) : «x – четное число» и
Q(x) : «x кратно 3», определенные на множестве
N. Множество истинности предиката Р(х)∨ Q(x):
IP∨Q= Ip I∪ q ={6,12,…,6n,…}

9. Отрицанием предиката P(x) называется новый предикат ,
который принимает значение “истина” при всех значениях x ∈
M , при которых предикат P(x) принимает значение “ложь”, и
принимает значение “ложь” при тех значениях x ∈ M , при
которых предикат P(x) принимает значение “истина”.
Очевидно, что , т.е. множество истинности предиката
является дополнением к множеству IP.
PP
II =

10. )()( xQxP ∨

11. Импликацией предикатов P(x) и Q(x) называется новый
предикат , который является ложным при тех и только
тех значениях x ∈ M , при которых одновременно P(x)
принимает значение “истина”, а Q(x) – значение “ложь”, и
принимает значение “истина” во всех остальных случаях.
Поскольку при каждом фиксированном x∈ M справедлива
равносильность , то .
)()( xQxP →
)()()()(
18
xQxPxQxP ∨≡→ QPQP III ∪=→

12. Эквиваленцией предикатов P(x) и Q(x)
называется новый предикат ,
который обращается в “истину” при всех
тех и только тех x ∈ M , при которых P(x) и
Q(x) обращаются оба в истинные или оба в
ложные высказывания.
Для его множества истинности имеем:
)()( xQxP ↔
QPQPQP IIIII ∩∪∩=↔

13. Пусть даны предикаты А(x,y) и B(x,y), определенные на
множестве M=M1 *M2⊂R*R. Найти множество
истинности предиката A(x,y)↔B(x,y) и изобразить ее с
помощью кругов Эйлера-Венна.
Так как A(x,y)↔B(x,y) = (A(x,y)→B(x,y))& (B(x,y)→A(x,y)),
то
IA↔B=(IA→B)∩(IB→A)=((CIA I∪ B)∩(CIB I∪ A))=(IA∩IB)∪(CIA∩CIB).
IA↔B изображена темно серым цветом

14. Записать предикат, полученный в результате
логических операций над предикатами P(x), Q(x) и
R(x), область истинности которогоI заштрихована
на рисунке
Решение: Так как здесь I=IP∩IQ∩IR, то искомый
предикат имеет вид P(x)&Q(x)&R(x)

17. Изображение с помощью круга
Эйлера-Венна

19. Кванторы
Всеобщности Существования Численные
∀∃ ≡~

20. 1.Квантор всеобщности.
Пусть Р(х) – предикат, определенный на множестве М. Под
выражением понимают высказывание, истинное,
когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М,
и ложное в противном случае. Это высказывание уже не
зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение
звучит так: “Для всякого х Р(х) истинно ”.
Символ называют квантором всеобщности (общности).
Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей
можно придавать различные значения из М), в
высказывании же х называют связанной квантором
всеобщности.
)(xxP∀
)(xxP∀

21. 2.Квантор существования
Пусть Р(х) -предикат определенный на
множестве М. Под выражением хР(х)
понимают высказывание, которое является
истинным, если существует элемент х∈М, для
которого Р(х) истинно, и ложным - в противном
случае. Это высказывание уже не зависит от х.
Соответствующее ему словесное выражение
звучит так: "Существует х, при котором Р(х)
истинно." Символ называют квантором
существования.
∃
∃

22. 3.Численные кванторы
В математике часто встречаются выражения вида
"по меньшей мере n" ("хотя бы n"), "не более чем
n", "n и только n" ("ровно n"), где n - натуральное
число.
Эти выражения, называемые численными
кванторами, имеют чисто логический смысл; они
могут быть заменены равнозначными
выражениями, не содержащими числительных и
состоящими только из логических терминов и
знака = или означающего тождество
(совпадение) объектов.

23. Даны предикаты P(x): и
Q(x): , определенные на множестве R.
Требуется установить, какие из следующих
высказываний истинны и какие ложны:
1)
2)
3)
4)
Решение. Так как при всех х, то
будут истинны высказывания . Так как
уравнение имеет только два
действительных корня и ,то предикат
Q(x) принимает значение 1 только при х=3 и х=1
и 0 в остальных случаях. Но тогда высказывание
ложно, а высказывание истинно
012
>++ xx
0342
=+− xx
)(xxP∃
)(xxP∀
)(xxQ∀
)(xxQ∃
0
4
3
)
2
1
(
2
12
>++=++ xxx
)(xxP∃ )(xxP∀
0342
=+− xx
31
=x 12
=x
)(xxQ∀
)(xxQ∃

24. Запись математических предложении иЗапись математических предложении и
определений в виде формул логикиопределений в виде формул логики
предикатовпредикатов
1.Определение непрерывности функции в точке.
Функция , определенная на множестве Е, непрерывна в точке
х0 ∈ Е, если , где
2. Построение противоположный утверждений
)),,((00 xPEx δεδε ∈∀>∃>∀
))()(0(),,( 00 εδδε <−→<−<= xfxfxxxP
))((
))(())(())((
3131
MxfExRM
MxfExRMMxfExRMMxfExRM
>∈∃∈∀≡
≡≤∈∃∈∀≡≤∈∀∈∀≡≤∈∀∈∃
+
+++

25. Прямая, обратная и противоположная
теоремы
Рассмотрим четыре теоремы:
1
2
3
4
“Если в четырехугольнике диагонали равны, то
четырехугольник является прямоугольником ” (1) обратной
является теорема “Если четырехугольник является
прямоугольником, то его диагонали равны” (2). Для
теоремы (1) противоположной является теорема “Если в
четырехугольнике диагонали не равны, то
четырехугольник не является прямоугольником ” (3), а для
теоремы (2) противоположной является теорема “Если
четырехугольник не является прямоугольником, то его
диагонали не равны ” (4)
))()(( xQxPEx →∈∀
))()(( xQxPEx →∈∀
))()(( xPxQEx →∈∀
))()(( xPxQEx →∈∀

26. 9.4 Необходимые и достаточные условия.
Рассмотрим теорему
Как отмечалось, множество истинности предиката
есть множество . Но тогда
множеством ложности этого предиката будет
. Последнее множество будет пустым лишь в
случае, когда
Итак, предикат является истинным для всех
том и в только в том случае, когда множество
истинности предиката Р(х) содержится в множестве
истинности предиката Q(x). При этом говорят, что
предикат Q(x) логически следует из предиката Р(х), и
предикат Q(x) называют необходимым условием для
предиката Р(х), а предикат Р(х) – достаточным
условием для Q(x).
))()(( xQxPEx →∈∀
)()( xQxP → QP
II ∪
QPQP
IIII ∩=∪
QP II ⊂
)()( xQxP →

28. Логика и множества (10ч)
Тема Кол-во часов
1Теоретико-множественные понятия 5
§1 Множество, элемент множества 1
§2 Задание множеств перечислением элементов,
характеристическим свойством 1
§3Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое
множество и его обозначение. Подмножество 1
§4 Объединение и перечисление множеств, разность
множеств.
Иллюстрация отношений между множествами с помощью
диаграмм Эйлера-Венна 2
2Элементы логики 5
§5 Определение. Аксиомы и теоремы 1
§6 Доказательство от противного 1
§7 Теорема, обратная данной. Пример и контрпример. 1
§8 Понятие о равносильности, следовании, употребление
логических связок если …, то …, в том и только в том
случае, логические связки и, или 1
Контрольная работа 1
.

29. Содержание учебного материала Требования к уровню подготовки
обучающихся
Множества. Элементы логики
Множество, элемент множества. Задание
множеств перечислением элементов,
характеристическим свойством.
Стандартные обозначения числовых
множеств. Пустое множество и его
обозначение. Подмножество.
Объединение и пересечение множеств,
разность множеств. Иллюстрация
отношений между множествами с
помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Определение. Аксиомы и теоремы.
Доказательство. Доказательство от
противного. Теорема, обратная данной.
Пример и контрпример. Иллюстрация
отношений между множествами с
помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Понятие о равносильности, следовании,
употребление логических связок если ...,
то ..., в том и только том случае.
Логические связки и, или
. Приводить примеры конечных и бесконечных
множеств. Находить объединение и пересечение
конкретных множеств, разность множеств.
Приводить примеры несложных классификаций.
Использовать теоретико-множественную
символику и язык при решении задач в ходе
изучения различных разделов курса.
Воспроизводить формулировки определений;
конструировать несложные определения
самостоятельно. Воспроизводить формулировки и
доказательства изученных теорем, проводить
несложные доказательства самостоятельно,
ссылаться в ходе обоснований на определения,
теоремы, аксиомы. Иллюстрировать
математические понятия и утверждения
примерами. Использовать примеры и
контрпримеры в аргументации. Конструировать
математические предложения с помощью связок
если ..., то ..., в том и только том случае,
логических связок и, или
Содержание рабочей программы