1. y el origen de los
números complejos

2. En el s. XIII (1225), Leonardo Pisano (Fibonacci) ya resolvía
ecuaciones cúbicas, por métodos numéricos (dividiendo por
la regla de Ruffinni o método de Horner, ¡s. XIX!).
Así, en un desafío, encontró para la ecuación
x3 + 2x2 + 10x = ((x + 2)x + 10)x = 20
la solución aproximada:
x = 10 22I 7II 42III 33IV 4V 40VI ≅ 1.36880810785322…
coincidente hasta el 10º decimal con el verdadero valor
x = 1.36880810782137…

3. Fórmula de Cardano para las cúbicas
(Debida a Scipione del Ferro, Tartaglia, … principios del siglo XVI)
x3 + ax2 + bx + c = 0

4. ¿Cómo dedujeron esta ecuación?
Con una idea sorprendente, haciendo y = u + v.
Esto da margen para elegir adecuadamente los valores de u y v.
y3 + py = q ⇒ (u + v)3 + p(u + v) = q ⇒ u3 + 3u2v + 3uv2 + v3 + p(u + v) = q
⇒ u3 + 3uv(u + v)+ v3 + p(u + v) = q ⇒ u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) = q
Escogiendo u y v de forma que 3uv = -p, queda u3 + v3 = q. Podemos resolver este sistema
de ecuaciones en u y v despejando v en la primera y sustituyendo en la segunda:
Dada la simetría del sistema, un signo corresponde a u3 y otro a v3, y por tanto

6. x3 - 15x = 4 p = -15, q = 4 (4 es una solución obvia)
¡Raíces cuadradas de números negativos!

8. Números complejos
i es la unidad imaginaria
a = Re(z) (parte real de z)
b = Im(z) (parte imaginaria de z)
Si b = 0, se trata de un número real.
Si a = 0, y b ≠ 0, se trata de un número
imaginario puro.