Documento en el que se explica el diseño de levas. Ideal para la materia de mecanismos.

1. DISEÑO DE UNA LEVA ©
Por Javier González Cázares
Profesor de Telesecundaria en Zacatecas, México
javisgc@yahoo.com.mx
El diseño, según Deutchsman1 es “el mecanismo mediante el cual una
necesidad es convertida en un plan
funcional y significativo”, la leva en sí
constituye todo un proceso de diseño,
desde formular el plan, hasta su
manufactura.
El propósito de este artículo se origina
de la relación y aplicación de
necesidades intelectuales básicas
(ciencias de la ingeniería y
matemáticas), como es el diseño de
mecanismos útiles en la industria.
Una Leva es un mecanismo que impulsa
a otro elemento (seguidor), para que
haga un movimiento específico, por
contacto directo.
Estos mecanismos se usan en automóviles, máquinas
tortilladoras, etc.
Las levas son mecanismos muy usados en sistemas
mecánicos donde palancas, engranes y conectores
complican el análisis dinámico, por ejemplo el sistema
de válvula puede ser estudiada por el método de
Rayleigh2, donde se reduce el sistema a uno
equivalente, las vibraciones dependen de su
distribución de masa y rigidez
En esta actividad se mencionará el diseño matemático
sin demostrar las fórmulas que lo sustentan, tampoco
todo el proceso de diseño que involucra el diseño detallado, construcción del
prototipo, diseño de producción, etcétera. El lector posteriormente los
estudiará al detalle.
1
DEUTSCHMAN, Aaron D.; Diseño de máquinas, México, 1987
2
THOMSON, W; “Teoría de vibraciones”, PHI, México, 1982.

2. La leva de la figura de la izquierda, se le llama “de placa”, aunque existen
otras (de cuña, de tambor y de cara), el método para resolverlas es el mismo
para todas3.
Se calculará el diagrama de desplazamiento (para darnos una idea de su
forma, diseño y comportamiento): donde la abscisa representa el movimiento
de entrada (θ, número de revoluciones de la leva) y la ordenada el recorrido
del seguidor ( y ).
La ecuación y = y (θ) representa la naturaleza exacta del perfil de la leva,
trazado, fabricación y su comportamiento dinámico. Las variables β y L
representan el ángulo de la leva y elevación respectivamente.
Cuando existe velocidad constante, no se produce movimiento del seguidor, lo
que no es útil para el movimiento de la leva, sólo en algunos casos.
Los conceptos teóricos son: movimiento armónico simple4 y movimiento
cicloidal para la construcción de la gráfica de desplazamiento.
Sería interesante que el lector trazara el perfil de la leva, primero a mano en
una hoja de papel milimétrico; para ello, un método es haciendo que gire no la
leva sino el seguidor para trazar el perfil; primero trazando el círculo de
excentricidad, es decir, con el círculo primario se dibuja la línea central del
seguidor de cada estación, haciendo tangente al círculo de excentricidad5.
El planteamiento de este trabajo es el que sigue:
3
Además de la clasificación los seguidores se clasifican en: de cuña, de cara plana, de
rodillo, de cara esférica (zapata curva)
4
La aceleración es proporcional al desplazamiento y de dirección opuesta de la
ecuación diferencial
5
Para varios ejemplos de cómo hacerlos recomiendo el libro “Máquinas herramientas y
manejo de materiales”, Herman W. Pollack, PHI, México, 1982

3. 1. las fórmulas (originalmente planteadas por H. A. Rothbart) son tomadas
del libro de Joseph E. Shigley & John J. Uicker Jr 6 y se dedujeron en forma
“clásica” a mano. Y su demostración requerirá de un minucioso estudio,
a lo cual invito al lector a hacerlo.
2. si ya existen las fórmulas, es fácil trazar el perfil de una leva, para ello se
usará la hoja de cálculo Excel.
El diseño de una leva, debe cumplir con:
o necesidades de movimiento en cada aplicación.
o Dibujo del diagrama de desplazamiento, velocidad, aceleración en cada
“frontera” de los segmentos.
o Mantener lo más bajo posible los picos de velocidad y aceleración.
Por ejemplo, un motor con velocidad constante de 150 rpm impulsa una leva
de placa con seguidor de movimiento alternativo. El seguidor inicia con una
detención, acelera hasta una velocidad uniforme de 0.635 m/sg (25 plg/seg),
mantiene esta velocidad a lo largo de 0.03175 m (1.25 plg) de subida,
desacelera hasta la parte superior de la elevación, retorna y luego queda en
detención por 0.067 seg. La elevación máxima es de 0.0762 m (3.0 plg).
Determínense las especificaciones completas del diagrama de desplazamiento.
Solución:
Velocidad de entrada: ω = 150 rpm = 15.7079633 rad/seg
Pendiente del segmento de velocidad constante:
Si es constante durante el segmento de 49.25 m de subida, la rotación de la
leva es:
La rotación durante la detención final:
6
SHIGLEY, Joseph E. & UICKER JR, John J.; “Teoría de máquinas y mecanismos”, Mac
Graw Hill, México, 1983

4. Con esta información se forma un esquema de: puntos de arranque,
desplazamientos, retorno y detención. En el arranque escogemos la curva de
movimiento con características de media subida, por lo que se escoge el
movimiento semicicloidal.
Ecuaciones para el arranque, segmento :
Para el segmento , la velocidad es constante, y una pendiente, pero la
aceleración es cero.
En el segmento , se selecciona la curva semicicloidal, pero para mantener la
curva un “tirón” lo más suave posible, la curva de subida semiarmónica será:
El segmento , la curva es de retorno armónico modificado:
Se puede decir que son fórmulas las más apropiadas para este caso
Hagamos un análisis de etapa por etapa:

5. La velocidad terminal en el segmento , el movimiento es semicicloidal, lo
que el , entonces (extremo derecho):
Se deduce que:
Igualamos:
Despejamos y sustituimos los valores:
………………………..(1)
En el punto C, el ángulo θ=0 por lo que (extremo izquierdo, cuando
inicia), de la fórmula:
En este punto la velocidad 2 es igual a la velocidad 3:
…………………………….(2)
Para el punto D, los dos ángulos tienen (extremo derecho) y el valor de la
aceleración, de la ecuación:
Y el ángulo θ=0 (extremo izquierdo)
Igualamos ambas ecuaciones:
Despejamos (y usando la fórmula 2):

6. ;
Queda:
…………………………(3)
También:
L1+L2+L3=L4; L1+ +L3= 0.0762
Despejamos aquí:
L1+L3= 00762 – 0.03175 L1 + L3 = 0.04445……………………………….(4)
β1+ β2+ β3+ β4+ β5=2 β1+ β3+ β4 = 2 - 0.785 – 1.0524 = 4.4457
rad ………….(5)
Dejaré que usted amable lector resuelva a mano y compruebe este sencillo
sistema de ecuaciones:
L1 + L3 = 0.04445
β1+ β3+ β4 = 4.4457
, y sus soluciones son:
L1 = 0.0322 m β1 =
L2 = 0.03175 m β2 =
L3 = β3 =
L4 = 0.0762 m β4 =
L5 = 0 m β5 =

7. Con estos datos, podremos graficar la gráfica de Desplazamiento:
Abra una nueva hoja Excel:
Los siguientes cálculos definirán el perfil de la leva con las características
calculadas:
Perfil del segmento
Primero ponemos los datos del perfil desde , con una elevación de 0.0322 m
y un ángulo de leva de 91.33°
Luego se tabula desde 0° hasta 91.33°, para que este ángulo se grafique se
convierte en radianes en otra columna, en otra se tabula el Perfil 1:
La velocidad para este perfil tiene las características:
Su aceleración:

8. Perfil del segmento
El intervalo del ángulo es desde 91.33° hasta 136.33°, cuidando cambiarlos a
radianes, su perfil: tiene la fórmula en la celda: =$K$12*M13-0.0257208592,
Esta fórmula se considera como una recta, por lo que no será difícil deducirla
por usted:
Le recomiendo usar esta:
..
Como su velocidad es constante =$D$105, ya que es el último punto donde se
quedó el perfil 1, lo será a lo largo de todo este intervalo.
La aceleración ES CERO en todo este segmento.
Perfil del segmento
En este segmento, es un caso especial, ya que inicia fuera del origen por lo que
se tabula primero desde el ángulo de 136.33° hasta 163.65°, luego se tabula la
función tal como esta, desde 0° hasta 27.32°:

9. La velocidad también se tabula:
La aceleración es:
Perfil del segmento
La curva de retorno armónico tiene el perfil:
La velocidad tiene una curva:
La aceleración tiene comportamiento dinámico:

10. Perfil del segmento
El último perfil tiene como valores para la gráfica cero, tanto como para la
velocidad como la aceleración:
Terminemos este ejemplo con el perfil real de la leva en una gráfica ( x , y ),
usando funciones trigonométricas:
El valor del círculo primario es de 0.0254 m de radio. El ángulo es de 0° hasta
360°
La proyección en x, =$G$10*COS(B13)
La proyección en y, =$G$10*SENO(B13)+C13
Para finalizar graficamos nuestro valores usando la gráfica dispersión con
líneas suavizadas:

11. Algo que usted debería explicarse y responder, son los comportamientos en
cada segmento:
• ¿qué sucede en el segmento ?
• ¿qué sucede en el segmento ?
• ¿qué sucede en el segmento ?
• ¿qué sucede en el segmento ?
• ¿qué sucede en el segmento ?
Recuerde que no tomamos en cuenta la masa del seguidor, que ejercerá una
gran fuerza de inercia; las graficas de velocidad y aceleración nos darán una
idea de cambios bruscos, también evite que las gráficas sean discontinuas (sin
cambios de escalón).
Como actividad complementaria, construya el Diagrama de desplazamientos
Perfil, Velocidad y Aceleración, de la siguiente leva con seguidor radial
oscilante: inicia con 30° con movimiento cicloidal con 150° de rotación de la
leva, luego una detención de 30°, retorna con movimiento cicloidal en 120° y
detención en el curso 60°. El círculo primario es de 30 mm, la rotación de la
leva es en sentido contrario a las manecillas del reloj.
CONCLUSIONES

12. Observamos un ligero cambio en el segmento , esto permite comparar si
nuestros cálculos cubren realmente los requerimientos dinámicos del
mecanismo o no, una vez así, haremos los cambios, en tiempo real que
consideremos necesarios. El estudio del comportamiento dinámico y
cinemático por el método computacional, usando Microsoft Excel reduce el
tiempo de diseño, resuelve ciclos completos de movimiento presentando
gráficas que refuerzan el análisis y síntesis de este mecanismo.
Esto permite que las propiedades cinéticas y dinámicas de una leva, se
trasladen a propiedades geométricas: movimiento y cambio, ley y resolución
del problema.
Si partimos de datos reales y luego al interpretarlos, iniciamos un proceso de
abstracción de las características secundarias del problema, al usar fórmulas y
teoremas generales, obtenemos resultados muy precisos. Es un gran potencial
de abstracción para resolver una necesidad práctica, y si usamos como apoyo
los métodos computacionales, nos acercaremos a una explicación profunda y
correcta. Recordemos que valorar las cantidades variables en la forma más
general y evitar que estos métodos informáticos sean sólo un cúmulo de
información (incluso hasta distorsionados), además corregir nuestros diseños o
bien ajustarlos según las necesidades prácticas y aplicación lo requiera.
Como verá amable lector, note que estudiantes de nivel secundaria pueden
resolver fácilmente, el diseño de un mecanismo aplicando fórmulas a cualquier
circunstancia concreta, la idea es que las matemáticas se aplican en la vida de
la física.