1. Teorema di Pitagora Dimostrazione Storia Terne pitagoriche Applicazioni Irrazionali

2. Storia Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce la relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo Quello che oggi conosciamo come teorema di Pitagora viene di solito attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto agli egizi e ai babilonesi, ed era forse conosciuto anche in Cina ed in India. La dimostrazione del teorema è invece molto probabilmente successiva a Pitagora.

3. Il metodo delle corde Nell'antico Egitto, per ottenere il triangolo rettangolo e disegnare l’angolo retto necessario per la misurazione dei terreni, per la squadratura dei blocchi di pietra dei templi , si adoperava il cosiddetto metodo della corda, che quindi risale almeno al 2900 a.C.; si prende una corda lunga 12 unità di lunghezza e avente nodi che la dividono in parti lunghe rispettivamente 3,4,5. I geometri egiziani fissavano sul terreno il quarto e l’ottavo nodo della corda e poi la tendevano agli estremi; in tal modo ottenevano un triangolo rettangolo di lati 3, 4, 5. Questi numeri formano la più famosa fra le terne pitagoriche. Se i lati sono multipli di 3,4,5 secondo uno stesso numero n si ha ancora un triangolo rettangolo e questa relazione è sempre valida. Gli Egiziani attribuirono a queste terne numeriche un valore mistico .

4. I matematici babilonesi conoscevano il teorema di Pitagora; se è dubbio che avessero un concetto di "teorema" come poi fu sviluppato dai greci, è certo che lo utilizzassero nella pratica per la risoluzione dei problemi legati soprattutto alla costruzione dei loro imponenti ziqqurat. Infatti abbiamo a disposizione documenti che attestano una conoscenza consapevole del teorema di Pitagora: esistono tavolette appartenenti al periodo babilonese antico (circa 1300 a.C.) che mostrano un largo utilizzo del teorema. Pare che in Mesopotamia la geometria e l'algebra avessero raggiunto un livello più elevato rispetto a quello ottenuto dagli Egiziani.

5. Alcuni scavi archeologici documentano l’esistenza, in questa regione, di un’antica e raffinata civiltà durante il periodo dei costruttori delle piramidi egiziane; ma non ci è pervenuto alcun documento matematico indiano risalente a tale epoca. Anche qui tuttavia le conoscenze matematiche sono legate alle necessità pratiche (costruzione di templi, misurazione di terreni, di altari,…) e, per quanto riguarda il teorema di Pitagora, presentano decise analogie con la matematica della Mesopotamia .

6. In un libro, il Sulvasutra di Apastamba (matematico indiano), che risale probabilmente al tempo di Pitagora, troviamo regole per la costruzione di angoli retti per mezzo di tre cordicelle, le cui lunghezze formano terne pitagoriche come 3, 4 e 5, oppure 5, 12 e 13, oppure 8, 15 e 17, oppure 12, 35 e 37. Queste terne si possono facilmente ricavare dall’antica regola babilonese. Apastamba conosceva la regola secondo cui il quadrato costruito sulla diagonale di un rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui due lati adiacenti; tuttavia è possibile che anche questa forma del teorema di Pitagora provenisse dalla Mesopotamia.

7. Anche presso questa civiltà troviamo tracce del teorema di Pitagora. In un testo databile tra il 200 a.C. e il 200 d.C. intitolato Chou Pei si ritrova infatti una rudimentale analisi del triangolo rettangolo e un'acquisita conoscenza del teorema di Pitagora.

8. Dimostrazione In matematica, per dimostrazione si intende il passaggio da certe premesse, che chiamiamo ipotesi , a una proposizione, che chiamiamo tesi , attraverso una sequenza finita di ragionamenti logici. L’ipotesi, la tesi e la dimostrazione costruita da un matematico per passare dalla prima alla seconda costituiscono un teorema .

9. La prima dimostrazione di questo teorema è stata attribuita, come facilmente intuibile, al matematico greco Pitagora (570-500 a. C.). Noi però non sappiamo come Pitagora abbia sviluppato la sua dimostrazione, perché le sue opere sono andate completamente distrutte. Solo nel 300 a. C. negli Elementi di Euclide troviamo la prima dimostrazione scritta. Da quel lontano momento numerosissimi matematici hanno elaborato nuove dimostrazioni: nel 1940 se ne contavano addirittura 370, e il lavoro di ricerca continua!!! Teorema di Pitagora

10. Tutto questo interesse per un teorema fondamentalmente semplice e facilmente dimostrabile si spiega con il fatto che proprio questo teorema, comprensibile da un ragazzo di scuola media, è molto spesso assolutamente indispensabile per risolvere svariati problemi. Ha inoltre cambiato in modo decisivo la storia della matematica in quanto ha trasformato una disciplina legata ad esigenze di vita concreta (misurazione di campi, costruzione di templi, …) in una scienza che insegna ed abitua a ragionare..

11. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti Enunciato

12. Il Triangolo rettangolo c 1 c 2 i Cateto minore Cateto maggiore Ipotenusa

13. Quadrato costruito sul cateto minore Quadrato costruito sul cateto maggiore

16. Il quadrato viola è stato ricoperto integralmente dai due quadrati rosso e blu, quindi il mio enunciato iniziale è verificato.

17. Viola=rosso+azzurro Il quadrato rosso rappresenta c 1 2 Il quadrato azzurro rappresenta c 2 2 Il quadrato viola rappresenta i 2 In conclusione: i 2 = c 1 2 + c 2 2

18. 1 2 2 2 c 2 = i 2 - c 2 1 c 2 i 2 c C 1 = C 1 2 + c 2 2 E di conseguenza anche : 2 i = c + c

19. Terne pitagoriche ESEMPI: 3² + 4² = 5² (25 = 25) 5² + 12² = 13² (169 = 169) 28² + 45² = 53² (2089 = 2089) Se tre numeri interi a, b e c verificano la relazione a 2 + b 2 = c 2 , si dice che formano una terna pitagorica. Ad esempio (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono due notissime terne pitagoriche. Anche (6, 8, 10) è una terna pitagorica, ottenuta raddoppiando i termini della (3, 4, 5). Le terne come la (3, 4, 5) sono dette terne primitive e quelle come la (6, 8, 10) sono dette derivate . Infatti, se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (ka, kb, kc) , con k numero intero positivo.

20. Applicazioni alle figure piane

23. Irrazionali In matematica, un numero irrazionale è un numero reale che non è un numero razionale, cioè non può essere scritto come una frazione. Un numero irrazionale può trasformarsi in un numero decimale che non diventa mai periodico. I numeri irrazionali inoltre, furono inventati per necessità di ampliare l’insieme dei numeri, problema che si presentò nello studio della geometria. Ad esempio la lunghezza della diagonale di un quadrato di lato uguale a una unità è un numero irrazionale e precisamente equivale alla = 1,4142135623…