2. KELOMPOK 6
1. IBNU RASYID AL ALAWI
2. WAHYU PRASETIO
3. M. RISKY
4. ALFIAN ABDULLAH ARMAYA
3. ALJABAR BOOLE adalah cabang ilmu matematika yang diperlukan
untuk mempelajari desain logika dari sebuah system digital.
Aljabar Boole dikembangkan oleh George Boole ditahun 1847
untuk memecahkan persoalan logika matematika.
4. 1. APLIKASI ALJABAR BOOLE DALAM JARINGAN SWITCHING
Jaringan switching adalah suatu alat yang pada umumnya mengenal dua keadan
yaitu : Voltage Tinggi ( Nilainya = 1 ) dan Voltage Rendah ( Nilainya = 0 ), untuk input dan
output bernilai “1 = On” dan “0 = off”.
Untuk dapat menyelesaikan persoalan jaringan switching kita harus mengenal terlebih
dahulu hokum-hokum aljabar Boole sebagai berikut: Bila a, b, c ∈ B (B= himpunan Boole)
maka memenuhi hukum-hukum :
1. Komutatif : a + b = b + a a.b = b.a
2. Assosiatif : (a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c)
3. Distributif : a+(b.c) = (a+b).(a.c) a.(b+c) = (a.b)+(a.c)
4. Identitas : a+0 = a , 0= elemen zero a.1 = a , 1= elemen unit
5. Komplemen : a+a’ = 1 a.a’ = 0
6. Idempoten : a+a = a a.a = a
7. Boundednes : a+1 = 1 a.0 = 0
8. Absorbsi : a+(a.b)= a a.(a+b) = a
9. Involusi : (a’)’ = a 0’ = 1 ; 1’ = 0
10.De Morgan : (a.b)’ = a’+b’ (a+b)’ = a’.b’
5. Kita perhatikan bahwa ada 9 pasang hokum dimana operasi logik + diganti
dengan x, x dengan +, 0 dengan 1, 1 dengan 0, ini menunjukkan bahwa
hokum-hokum aljabar boole memenuhi prinsip duality, yaitu dual suatu teori
merupakan teori juga.
Jaringan switching pada umumnya dibentuk dari rangkaian dasar yaitu seri
(AND) dan Paralel (OR).
• Rangkaian Seri (AND)
Notasi : A x B atau A ∧ B atau AB
• Rangkaian Pararel (OR)
Notasi : A + B atau A v B
6. Contoh:
Gambarkan jaringan switching yang diberikan oleh polinomial Boole ( x ∧ (y v
x ) ∧ (x ∧ y)’), kemudian sederhanakanlah jaringan tersebut; Bilamana
jaringan tersebut on atau off?
Jawab:
x ∧ (y v x ) ∧ (x ∧ y)’
= x ∧ (y v x ) ∧ (x’ ∧ y’) , DeMorgan
7. = x ∧ (y v x ) ∧ (x ∧ y)’ , absorbsi
= x ∧ (x ∧ y)’ , distribusi
= (x ∧ x’ ) ∧ (x ∧ y’) , komplemen
= 0 v (x ∧ y’) , identitas
= x ∧ y’
Jadi jaringan switching tersebut on bila x on
dan y off atau jaringan on bila x on dan y’
on.
8. 2. APLIKASI ALJABAR PADA RANGKAIAN LOGIK (GATE)
Sebagian besar rangkaian dalam hardware system pengolah data adalah rangkaian logic,
yang dapat bekerja sebagai penguat, pembanding, perata, osilator, penjumlahan, pengendali,
penyandi, dll.
Ada beberapa symbol yang sering digunakan dalam rangkaian logic yaitu:
9.
10. 3. APLIKASI ALJABAR BOOLE DALAM OPERASI KELIPATAN PERSEKUTUAN KECIL
(KPK) DAN FAKTOR PERSEKUTUAN BESAR (FPB)
Dala aljabar boole operasi + sama dengan operasi KPK dan operasi x sama
dengan operasi FPB. Perhatikan contoh berikut:
Contoh: Carilah KPK dan FPB dari 45, 48, dan 72.
Jawab:
Faktor prima dari 45 adalah 32 x 5
Faktor prima dari 48 adalah 24 x 3
Faktor prima dari 72 adalah 23 x 32
Jadi KPK dari 45, 48, dan 72 adalah 24𝑥 32 𝑥 5 = 720
Jadi FPB dari 45, 48 dan 72 adalah 3.
Perhatikan untuk KPK, semua factor prima yang ada dikalikan, factor
yang sama pangkat tertinggi; untuk FPB hanya factor prima yang sama dalam
45, 48, dan 72 dikalikan, diambil factor prima dengan pangkat terendah.
11. Contoh: Misalkan diketahui himpunan boole
B = 𝑫𝟔𝟎 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
Cari:
1) 5 + 12
KPK dari 5 dan 12 adalah 60
2) 5 x 12
FPB dari 5 dan 12 adalah 1
3) Elemen zero=?
a+0 = a
identitas
Perhatikan, yang memenuhi rumus identitas a + 0 = a adalah 1,
Jadi elemen zero dari B = 𝑫𝟔𝟎 adlah 1
12. 4) Elemen Unit = ?
a x 1 = a
identitas
5) 10’ = ?
a’ + a = unit, komplemen
10’+10 = 60
… + 10 = 60, lihat table soal nomor 3
12 + 10 = 60
60 + 10 = 60
Perhatikan, yang memenuhi
rumus identitas a x 1 = a
adalah 60, jadi elemen unit
dari B = 𝑫𝟔𝟎 adalah 60
Jadi 10’ = 12, karena 12 factor dari 60
13. 4. MINIMAl DNF (Disjuctive Normal Form)
Minimal DNF adalah ekspresi Boole yang ada dalam bentuk minimal,
dimana suku-sukunya tidak ada satu didalam yang lain. Minimal DNF dapat
dicari dengan 2 cara yaitu:
1) Dengan teori include dan teori consensus.
2) Dengan peta karnaugh.
4.1 Dengan Teori Include dan Konsensus
Dalam teori include dan konsensus ada beberapa istilah, yaitu:
a) Fundamental product (perkalian dasar) adalah perkalian dua atau
lebih variabel-variable Boole yang tidak memuat variabel yang
saling komplemen atau sama.
Contoh:
ab,abc’ ,a’bc’,… disebut fundamental product
aba, a’ba, abb’,… bukan fundamental product
14. b) Ekspresi Boole (E) adalah penjumlahan satu atau lebih fundamental
product.
Contoh:
E = ab+ ab’c + abc’
Ekspresi Boole dalam bentuk DNF, jika suku-suku E tidak ada satu
didalam yang lain.
E1 = ab + a’bc’ + ab’c , bentuk DNF
E2 = ab + abc , bukan DNF karena ab di dalam abc
TEORI INCLUDE
Jika fundamental product p1, termaksuk didalam fundamental producr p2,
maka p1 + p2 = p1
Contoh:
Ab + abc = ab
Konsensus
Jika fundamental product p1 dan p2 memiliki satu elemen saja yang
komplemen, maka consensus ( Q ) dari p1 dan p2 adalah perkalian elemen –
elemen p1 dan p2 dimana elemen – elemen yang saling komplemen
dihilangkan dan tidak ada pengulangan.
15. Contoh:
P1 = abc’
P2 = abcd
P1 = abc’
P2 = a’bcd
TEORI KONSENSUS
Jika Q consensus dari P1 dan P2 maka
P1 + P2 + Q = P1 + P2
Contoh:
P1 = abc’
P2 = abcd
Maka consensus dari P1
dan P2 adalah Q = abd
Tidak ada consensus sebab
ada 2 elemen yang saling
komplemen
Q = abd
P1 + P2 + Q = abc’ + abcd + abd
= abc’ + abcd + (c + c’)abd
= abc’ + abcd + abc’d + abcd
= abc’ + abc’d + abcd + abcd
= abc’ + abcd
= P1 + P2
Ekspresi Boole minimal adalah ekspresi
Boole (E) yang semua fundamental
productnya sudah minimal DNF ( tidak
ada satu didalam yang lain) .
16. PETA KARNAUGH
Adalah peta dari ekspresi Boole
yang dapat digunakan untuk mencari
prime implicant dan ekspresi Boole
minimal.
Peta untuk 2 variable
’
Peta untuk 3 variable
Peta untuk 4 variable
