1. Phương pháp t a trong không gian
79
PHƯƠNG PHÁP T A TRONG KHÔNG GIAN
I. H TR C T A
N: H tr c t a các vuông góc trong không gian
1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 2 2 3 3 1
e ; e ; e
e e e 1
e e e e e e 0
x Ox y Oy z Oz x Ox
x Ox y Oy z Oz
′ ′ ′ ′⊥ ⊥ ⊥

 ′ ′ ′∈ ∈ ∈


 = = =

 ⋅ = ⋅ = ⋅ =
II. T A C A 1 I M
1. ( ), ,M x y z ⇔ ( ) 1 2 3, , e e eOM x y z OM x y z⇔ = ⋅ + ⋅ + ⋅
2. T a các i m c bi t
Cho
( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,
, ,
, ,
A x y z
B x y z
C x y z





⇒ Trung i m c a AB có t a là: 1 2 1 2 1 2
I , ,
2 2 2
x x y y z z+ + + 
 
 
i m chia AB t s k là i m tho mãn JA k
JB
= ⇔ 1 2 1 2 1 2
, ,
1 1 1
x kx y ky z kz
J
k k k
− − − 
 
− − − 
T a tr ng tâm tam giác ABC: 1 2 3 1 2 3 1 2 3
, ,
3 3 3
x x x y y y z z z
G
+ + + + + + 
 
 
III. T A C A 1 VÉCTƠ
1. nh nghĩa:
( )
( )
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , e e e
, , e e e
a a a a a a a a
b b b b b b b b
 = ⇔ = + +


 = ⇔ = + +
.
N u
( )
( )
1 1 1
2 2 2
, ,
, ,
A x y z
B x y z




thì ( )2 1 2 1 2 1, ,AB x x y y z z= − − − .
2. Phép toán: ( )1 1 2 2 3 3, , ;a b a b a b a b± = ± ± ±
( )1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a bα ⋅ ± β⋅ = α ⋅ ± β⋅ α ⋅ ± β⋅ α ⋅ ± β⋅
1e
z
y
2e
3e
O
x
L
M
M’
K
H

2. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
80
IV. TÍCH VÔ HƯ NG VÀ DÀI
1. ( )cos ,a b a b a b⋅ = ⋅ ; 2. 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b⋅ = + + ;
3. 1 1 2 2 3 30 0a b a b a b a b a b⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + =
4. 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3;a a a a b b b b= + + = + + ;
5. ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 3 3a b a b a b a b+ = + + + + +
6. ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 2 2 3 3a b a b a b a b− = − + − + − ;
7. ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1AB x x y y z z= − + − + −
8. ( ) 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos ,
a b a b a b
a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
;
9. ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
sin ,
a b a b a b a b a b a b
a b
a a a b b b
− + − + −
=
+ + + +
V. TÍCH CÓ HƯ NG C A HAI VÉCTƠ: ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ; , , ; , ,a a a a b b b b c c c c= = =
1. nh nghĩa: [ ] 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
a b p
b b b b b b
 
⋅ = =  
 
2. Tính ch t: a p b⊥ ⊥ ; a cùng phương b [ ] 0a b⇔ ⋅ =
[ ] ( )
2 2 2
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
sin ,
a a a a a a
a b a b a b
b b b b b b
⋅ = + + = ⋅
, ,a b c ng ph ng ⇔ [ ] 0a b c⋅ ⋅ =
VI. CÁC CÔNG TH C TÍNH DI N TÍCH VÀ TH TÍCH:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4, , ; , , ; , , ; , ,A x y z B x y z C x y z D x y z
( )2
2 21 1, .
2 2ABCS AB AC AB AC AB AC∆
 = = − ⋅  ;
1 ,
6ABCDV AB AC AD = ⋅  ;
,ADV AB AD AA′
  ′= ⋅ hép

3. Phương pháp t a trong không gian
81
BÀI T P
Bài 1. Cho ( ) ( ) ( )3;4; 1 ; 2;0;3 ; 3;5;4A B C− − . Tìm dài các c nh c a ∆ABC.
Tìm cosin c a các góc A, B, C. Tìm di n tích ∆ABC.
Bài 2. Cho ( ) ( ) ( )2;1; 1 , 3;0;1 , 2; 1;3A B C− − và OD y∈ . Bi t th tích V c a
ABCD là 5. Tìm t a D.
Bài 3. Cho ∆ABC v i ( ) ( ) ( )1;2; 1 , 2; 1;3 , 4;7;5A B C− − − . Tính dài ư ng
phân giác trong góc B.
Bài 4. Cho ( ) ( ) ( )2;3;1 , 5;7;0 , 3; 2;4a b c= = = − . CMR: , ,a b c không ng ph ng.
Cho ( )4;12; 3d = − . Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ , ,a b c .
Bài 5. Cho ( ) ( ) ( ) ( )1;0;1 , 1;1;2 , 1;1;0 , 2; 1; 2A B C D− − − − . CMR: A, B, C, D là 4
nh c a t di n. Tính dài ư ng cao c a ABCD h t nh D.
Tính ABCDV , suy ra dài ư ng cao AH c a t di n.
Bài 6. Cho ( ) ( ) ( )1;2;4 , 2; 1;0 , 2;3; 1A B C− − − . G i M ( ), ,x y z ∈ (ABC). Tìm h
th c liên h gi a , ,x y z .
Tìm t a i m D bi t ABCD là hình bình hành và tính ABCDS .
Bài 7. Cho ( ) ( ) ( )1;0;1 , 2;1;3 , 1;4;0A B C− . G i M ( ), ,x y z ∈ (ABC).
Tìm h th c liên h gi a , ,x y z . Tìm tr c tâm H c a ∆ABC.
Tìm tâm và bán kính ư ng tròn ngo i ti p ∆ABC.
Bài 8. Cho t di n ABCD v i ( ) ( ) ( ) ( );2;3;1 , 1;1; 2 , 2;1;0 , 0; 1;2A B C D− − ,
ư ng cao AH. Tìm t a H và AH.
Bài 9. Cho ( ) ( ) ( )2; 2; 2 , 0;3 2;3 2 , 2;3 2; 3 2A B C− − + − + .
CMR ∆ABC vuông t i A. Tìm i m D sao cho ABDC là hình vuông.
Tính th tích c a hình h p áy ABDC và c nh bên là AO.
Bài 10. Cho ( ) ( ) ( ) ( )1;1;1 , 4;1;5 , 4;6;5 , 1;6;1A B C D . Xác nh hình d ng c a t
giác ABCD. Tính kho ng cách t O n (ABC)

4. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
82
Bài 11. Cho ( ) ( ) ( ) ( )1;2;3 , 1;0;2 , 1;2; 4 , 0;5;0A B C D− − − .
CMR: ABCD là hình t di n. Tìm t a hình chi u H c a A lên BD.
Tính cosin c a góc nh n t o b i c nh i AB và CD c a t di n ABCD.
Bài 12. Cho ( ) ( ) ( )1;2;4 ,. 1;0;2 , 1;2;3A B C− − , ( )0;4;2D .
CMR: ABCD là hình t di n tr c tâm.
Tìm t a tr c tâm c a ABCD.
Bài 13. Cho hình chóp SABC v i ( ) ( ) ( )1;2; 1 , 5;0;3 , 7;2;2A B C− ,
( ),SA ABC S Oyz⊥ ∈ . Tính t a S.
Xác nh t a giao i m c a Ox, Oy v i (ABC).
Bài 14. Cho ( )1;2; 1A − . Tìm B i x ng v i A qua Oxy , C i x ng v i A qua
tr c Oz. Tính ABCS
Bài 15. Cho ( )156; 8;
2
u = − − . Tìm a bi t 50a = ; a cùng phương u và a t o
v i ( )0;0;1k m t góc nh n.
Bài 16. Cho ( ) ( )1;2; 1 , 4;3;5A B− . Xác nh Om x∈ sao cho M cách u A, B.
Bài 17. Cho ( ) ( ) ( )1; 2; 1 , 5;10; 1 , 4;1;1A B C− − − − .
Ch ng minh: A, B, C không th ng hàng. Tìm t a tr c tâm ∆ABC
Tìm t a tr ng tâm và tâm ư ng tròn ngo i ti p ∆ABC.
Bài 18. Cho ( ) ( )4; 1;2 , 3;5; 1A B− − − . Tìm C bi t trung i m AC thu c Oy, trung
i m BC thu c Oxz.
Bài 19. Cho ( ) ( )1;2;7 , 5;4; 2A B− − . AB c t Oxy t i M. i m M chia o n AB
theo t s nào? Tìm t a M.
Bài 20. Cho ( ) ( )3;2;2 , 18; 22; 5a b − − . Tìm c bi t 14, ,c c a c b= ⊥ ⊥ , c t o v i
( )0;0;1k m t góc tù.
Bài 21. Cho 0v ≠ . G i , ,α β γ là 3 góc t o b i v v i , ,Ox Oy Oz .
Ch ng minh r ng: 2 2 2
cos cos cos 1α + β + γ =