1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Tích có hướng của hai véc tơ:
Cho hai véc tơ: 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; ) ; ; ;
y z z x x y
u x y z v x y z u v
y z z x x y
 
 = = → =   
 
Ví dụ 1: Tính tích có hướng của các véc tơ sau:
a) ( )
(1;1;2)
; 6; 4;5
( 2;3;0)
u
u v
v
 =  → = − −  = −
b) ( )
( 1;3;1)
; 7;0;5
( 2;1; 2)
u
u v
v
 = −  → = −  = − −
c) ( )
(2;0; 1)
; 2;4;4
( 2;2; 1)
u
u v
v
 = −  → =  = − −
Ví dụ 2: Cho ( ) ( )= = − −1;1;2 , 1; ; 2 .u v m m Tìm m để
a)   ⊥ ; ,u v a với ( )= − −3; 1; 2 .a b)   = ; 4.u v c) ( )  = 
0
; ; 60 ,u v a với ( )= −1;2;0 .a
Hướng dẫn giải:
Ta có
( )
( )
( )
1;1;2
; 2; ; 1
1; ; 2
u
u v m m m
v m m
 =  → = − − − +  − −
a) ( ) ( ); ; . 0 2; ; 1 . 3; 1; 2 0 3 6 2 2 0 4 8 2.u v a u v a m m m m m m m m   ⊥ ⇔ = ⇔ − − − + − − = ⇔ − − + − − = ⇔ = − ⇔ = −   
b) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1
; 4 2 1 4 5 6 5 4 5 6 11 0 11
5
m
u v m m m m m m m
m
=
  = ⇔ − − + − + + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔   = −

c) ( ) ( ) ( )0 2
2
1 2 2 1
; ; 60 cos ; ; 2 2 5. 5 6 5
2 25 6 5. 5
m m
u v a u v a m m m
m m
+ −
   = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = + +   
+ +
( ) ( )2 2 2
22 0 2 227 23
23 227
4 2 5 5 6 5 4221 46 9 0
42
mm m
m
m m m m m m
≤− ≥ ≤ − 
⇔ ⇔ ⇔ → =   − ±
− = + + + + = =  
Các ứng dụng của tích có hướng:
+ Ứng dụng 1: Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ (hoặc tính đồng phẳng của bốn điểm phân biệt A, B, C, D).
Ba véc tơ ; ;a b c đồng phẳng khi ; . 0  = a b c và không đồng phẳng khi ; . 0.  ≠ a b c
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi ; . 0  = AB AC AD và không đồng phẳng khi ; . 0.  ≠ AB AC AD
+ Ứng dụng 2: Tính diện tích tam giác.
Ta có
1 1 1
; ; ;
2 2 2
∆
     = = =     ABCS AB AC BC BA CA CB
Từ đó
; ;1 1
; .
2 2
∆
   
    = = → = = ABC a a
AB AC AB AC
S AB AC a h h
a BC
02. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
+ Ứng dụng 3: Tính thể tích khối chóp tam giác hoặc tứ diện.
Ta có
1 1 3
; . . .
6 3
∆
∆
 = = → = ABCD ABC
ABC
V
V AB AC AD S h h
S
⇒ thể tích khối hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D là ; . ' =  V AB AC AA
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
a) ( 6;3;3), ( 4;2;4), ( 2;3; 3)= − = − = − −AB AC AD
Ta có
3 3 3 6 6 3
, ; ; ( 18; 36;0)
2 4 4 4 4 2
 − −
  = = − −   − − − − 
AB AC
, . 18.( 2) 36.3 72 0 ⇒ = − − − = − ≠ AB AC AD nên ba vectơ , ,AB AC AD không đồng phẳng.
Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện
b)
1 1
, . .72 12
6 6
 = = = ABCDV AB AC AD (đvtt)
c) (2; 1; 7), (4;0; 6)= − − = −BC BD
2 2 21 7 7 2 2 1 1 1
, ; ; (6; 16;4) , 6 16 4 77
0 6 6 4 4 0 2 2
 − − − −
   = = − → = = + + =    − − 
BCDBC BD S BC BD
Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có
1 12 36
. . 3. 3.
3 77 77
= → = = =ABCD
ABCD BDC
BDC
V
V S AH AH
S
d) ( 6;3;3), (2;1;1)= − =AB CD
Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có:
2 2 2 2
6.2 3.1 3.1 6 1
cosφ .
33246 3 3 . 2 1 1
− + +
= = =
+ + + +
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là φ sao cho
1
cosφ
3
=
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) và D’(2; –2; –3)
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.
b) Tính thể tích hình hộp.
c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số . ' ' ' '
. ' ' '
ABCD A B C D
A A B C
V
V
d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’.
Hướng dẫn giải:
a) Đặt D(a; b; c) ta có ( )1; 2; 1 ; (0; 2; 1)= − − + = − −AD a b c BC

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1 0 1
2 2 0 (1;0; 2)
1 1 2
− = = 
 
= ⇔ − = − ⇔ = → − 
 + = − = − 
a a
AD BC b b D
c c
Làm tương tự ' ' '(0; 1;2); ' ' '(0; 3;1); ' ' ' (2;0; 2)= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = −A B AB B B C BC C AA DD A , ;
b)
1 4 4 2 2 1
, ; ; (9; 2;4) , . ' 9.1 2.( 2) 4.( 1) 9
2 1 1 0 0 2
 − − − −
   = = − ⇒ = − − + − =    − − − − 
AB AD AB AD AA
. ' ' ' ' , . ' 9 = = ABCD A B C DV AB AD AA (đvtt)
c) . ' ' ' '
'. . ' ' ' . ' ' ' '
. ' ' '
1 1 3
.9 6
6 6 2
= = = = ⇒ =ABCD A B C D
A ABC A A B C ABCD A B C D
A A B C
V
V V V
V
d) ' . ' . '
9 9
3
6 6
= + = + =ABCDD D ACD B ACDV V V (đvtt)
Ví dụ 5: Cho ba vectơ ( ) ( ) ( )11 2 2 1 0 3 2= = − = −; ; , ; ; , ; ;a b c m m . Tìm m để
a) ; 3 5  = a c (Đ/s: m = 1)
b) ; 2 5  = b c (Đ/s: m = 2)
Ví dụ 6: Cho ba vectơ ( ) ( )1 3 2 2 1= − = −; ; , ; ;a b m m m . Tìm m để
a) 0=.a b
b) ; . 0,  = a b c với (3;1;1)=c
c) ; 3 10  = a b (Đ/s: m = –1)
Ví dụ 7: Cho ( ) ( )2;1;3 , 1; 1;2 1= − = + −u v m m . Tìm m để
a) ; ,u v a  ⊥  với ( )1;1; 3 .= −a
b) ; 2 2.  = u v
c) ( ) 0
; ; 30 ,  = u v a với ( )2;1;1 .= −a
Ví dụ 8: Cho ba vectơ ( ) ( )3 2 1 0 1 3 3 2 11= − = − = + −; ; , ( ; ; ), ; ;a b c m m . Tìm m để
a) ; 3 6  = a c (Đ/s: m = 0)
b) ; 2 26  = b c (Đ/s: m = –1)
c) ba véc tơ đã cho đồng phẳng
Ví dụ 9: Cho ba vectơ ( ) ( )2 3 1 3 11 2 2 3 1= + + = − = −; ; , ( ; ; ), ; ;a m m b c . Tìm m để
a) ; 110  = a b (Đ/s: m = 0)
b) ( ). 6+ =a b c (Đ/s: m = –1)
c) ; . 0  = a b c
Ví dụ 10: Cho ba vectô , ,a b c . Tìm m, n biết , =  c a b :

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
a) ( ) ( ) ( )3; 1; 2 , 1;2; , 5;1;7= − − = =a b m c
b) ( ) ( ) ( )6; 2; , 5; ; 3 , 6;33;10= − = − =a m b n c
c) ( ) ( ) ( )2;3;1 , 5;6;4 , ; ;1= = =a b c m n
Ví dụ 11: Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ , ,a b c cho dưới đây:
a) ( ) ( ) ( )1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3= − = =a b c b) ( ) ( ) ( )4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1= = − =a b c
c) ( ) ( ) ( )3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1= − − = = −a b c d) ( ) ( ) ( )4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1= = =a b c
Ví dụ 12: Tìm m để ba véc tơ , ,a b c đồng phẳng:
a) ( ) ( ) ( )1; ;2 , 1;2;1 , 0; 2;2= = + = −a m b m c m
b) (2 1;1;2 1); ( 1;2; 2), (2 ; 1;2)= + − = + + = +a m m b m m c m m
d) ( ) ( ) ( )1; 3;2 , 1; 2;1 , 0; 2;2= − = + − − = −a b m m m c m
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D đồng phẳng.
b) Tính diện tích tứ giác ABDC.
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Tính thể tích của tứ diện ABCD.
c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Ví dụ 15: Trong không gian cho các điểm A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3).
a) Chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng.
b) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c) Tính diện tích tam giác ABC.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7).
a) Tính diện tích tam giác SAB.
b) Tính diện tích tứ giác ABCD.
c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Từ đó tính khoảng cách từ S đến (ABCD).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SCD).