TRI

2. 1.CONCEPTO:
Triangulo es la figura geométrica formada por la unión de tres puntos no coloniales
mediante segmentos.
Ángulos interiores:
A
n m BAC
m ACB
m ABC
s
Ángulos exteriores:
B
m C M, N y S
ELEMENTOS:
Vértices: A, B, C
Lados: AB, AC y BC

3. 2.CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
a) De acuerdo a sus lados:
60°
60° 60° Triángulo escaleno
Triángulo equilátero
Triángulo isósceles

4. b) De acuerdo a la medida de sus ángulos.
Triángulo acutángulo
, , 90
Triangulo obtusángulo
Triángulo rectángulo

5. 3.PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULOS
y
x
z
180
La suma de los ángulos
x y
internos es igual a 180°.
z
Un ángulo exterior es igual a la suma de
los ángulos exteriores no adyacentes a él.

6. Aplicaciones:
x
z
y
X + y + z = 360° x
La suma de loa ángulos exteriores
es igual a 360° x

7. x y
y
x

8. Ejemplos
En los gráficos encuentra el valor de «x» indicando la propiedad.
78°
x 20°
46°
35° x
Desarrollo:
Por ángulo exterior Desarrollo:
X = 78° + 46° = 124° Por ángulo exterior
35° = 20° + x
X = 15°

9. x
x
50°
100°
Desarrollo: Desarrollo:
50°
x
80° 80° 100°
El triángulo es isósceles
El triángulo es isósceles
X = 80°
X = 20°

10. B
El triángulo A, B, C es equilátero.
E
Suplemento de 60° = 120°
En el triángulo E , C, D
40°
x
D
A C X + 40° + 120° = 180°
Desarrollo: B X = 20°
E
40°
60° 120° x
D
A C

11. 70°
X + 20° X + 10°
40°
30°
X + 30°
x
Desarrollo: Desarrollo:
X + 20 + x + 10 + x + 30 = 180 X = 30° + 70° + 40°
X = 40° X = 140°

12. 70°
x 70°
x 60°
50°
80°
50°
Desarrollo:
Desarrollo:
X + 70° = 50° + 80° X + 60° = 70° + 50°
X = 60° X = 60°

14. LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
a) Bisectriz interior.
I
Todo triángulo tres bisectrices
La bisectriz interior divide interiores que concurren en un
al ángulo en dos ángulos punto llamado incentro ( I )
congruentes.

15. a) Bisectriz exterior
Dos bisectrices exteriores y una
interior concurren en un punto
llamado ex centro ( E )
E
a
a
b) Altura. B
La altura es el segmento trazado
desde un vértice, perpendicular
al lado opuesto. BH es la altura.
C
A H

16. C
B
N M
H A B
O
Q
A H C
La altura puede caer en Todo triángulo tiene tres alturas
prolongación del lado. que concurren en un punto
llamado orto centro ( O )

17. d) Mediana C
La mediana es un segmento
que une un vértice con el
M punto medio del lado opuesto
. AM es la mediana.
A B
Las tres medianas concurren
en un punto llamado
baricentro ( G )
G

18. e) Ceviana
B La ceviana es un segmento
que une un vértice con su
lado opuesto.
Q
C
A
f) mediatriz
La mediatriz es una recta que
C divide a uno de los lados de
un triángulo en partes iguales
formando un ángulo recto.
A B

19. Los tres mediatrices concurren
en el circuncentro ( M )
M

20. Ejemplos:
1.Encuentra el valor de «x»
B
70°
R
a x
a 30°
C
A
Desarrollo: B
En el triángulo ABC
70°
m BAC 80 R
AR es bisectriz, por lo
Tanto: a = 40° 40° x
40° 30°
C
X = 110° A

21. 2.Encuentra el valor de «x» . Si AH es altura. 3.En la figura encuentra el valor de «x»
B B
x
H
20° X
70°
C 50°
A C
R A
Desarrollo:
Desarrollo:
AHB es un triángulo rectángulo por BRA es un triángulo rectángulo.
lo tanto:
m BAR 70
X + 70° = 90°
Suplemento de 70° =110°
X = 20° Del triángulo ABC
X = 20°

22. 4.Halla el valor de «x» si AB = 20m.
A
B
C
Desarrollo:
MB = X + 5m
AB = X + 5m + x + 5m
20m = 2x + 10m X = 5m

23. 5.En la figura, halla el valor de «x». Si AM es mediana.
B
M
C
A
Desarrollo:
15cm = x + 2cm
X = 13cm

25. PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ 2.Ángulo formado por una bisectriz
interior y exterior.
1.Ángulo formado por dos bisectrices
interiores. C
C
x
X
A B B
A
x
x 90 2
2

26. 3.Angulo formado por dos bisectrices ÁNGULO ENTRE LA ALTURA Y UNA
exteriores. BISECTRIZ EXTERIOR.
B
x
C
A H M
x 90
2
2

27. PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS
C
M
G
B
A P
AM, CP medianas
AG = 2 GM
CG = 2 GP

28. PROPIEDAD DE LA MEDIATRIZ
B
L
L, M,N son mediatrices
AC = BC = CD
M
C
N
D
A

29. Ejemplos. 2.Halla el valor de «x»
1.Halla e l valor de «x»
b b
20° x
x
a
a 25°
Desarrollo:
Desarrollo:
x
2 x
25 x 50
2
20
x 10
2

30. 3.Encuentra el valor de «x» 4.Encuentra el valor de «x»
70°
a b°
x a° 135° b°
x
135 90
Desarrollo: 2
x 90 x
2 135 90
2
70
x 90 90° = x
2
x 125

31. 5.Halla el valor de «x» 6.Halla el valor de «x»
x
X° b°
a° b°
a° 80°
150°
Desarrollo:
Desarrollo:
x
80 90
x 90 2
2 x
80 90
150 2
x 90
2 x
10
2
x 90 75 15 20° = x

33. 1.Del gráfico encuentra el valor de «x»
150 2 2 30
60
30°
Nuevamente aplicando
x
x 30
150°
Reemplazando:
X = 60° + 30°
Desarrollo:
Por: X = 90°

34. 2.En la figura, halla «x»
3( 70°) – x = 180°
2 - X = 180° - 210°
70°
x 2
X = 30°
Desarrollo:
Por suma de los ángulos exteriores en un
triángulo se tiene:
3 3 180 x 360
3 x 360 180

35. Por propiedad
3.En el triángulo ABC, m A m C 40
Halla la medida que forman la altura y
la bisectriz interior que parte de B.
m A m C
2
Desarrollo:
B
40
20
2
C
A H M

36. 4.En la figura , halla HP, m ABH m BHP 120 Y BC = 20 m
B
40° 20°
C Por dato:
A H
m ABH m BHP 120
Desarrollo:
B
m BHP 70
50° 70° Se observa: BP = PC = HP
Los dos triángulos son
70° isósceles.
40° 20° 20°
C
HP = 10 cm
A H

37. 5.En un triángulo isósceles ABC ( AB = BC ), se traza la ceviana CN y sobre ella se
ubica el punto R. sí BN = BR y m RBC 36 , halla m NCA
Desarrollo: B
Entonces:
36°
N
m BCN x
Por ángulo exterior del triángulo BCR
R y ACN se observa:
x 36 x
C x
A
Igualando las ecuaciones se tiene:
Triángulo BNR isósceles.
36 x x
m BAC
Por dato X = 18°
m BCA

38. 6.En un triángulo ABC, m ACB 20 . Sobre AC y BC se ubica
Los puntos R y S, respectivamente. Sí AB = BS = SR y m CRS 40 , halla m ABC
Desarrollo:
B
60°
20°
60° S
80° 60°
80° 40° 20° C
A
R
Por ángulo exterior: m BSR 60
Triángulo BRS es equilátero.
Triángulo ABR isósceles
m ABS 80

39. 7.En la figura ABC es equilátero. Halla «x»
B
x x
40°
x B
C
A
x x
40°
x
Desarrollo:
60° 80° 60°
C
Por ángulo exterior:
A
X = 100° - x + 60°
100°- x
X = 80°

40. 8.Halla el valor de «x»
En el triángulo ABC:
50° + X +
X = 170° - (
9.En la figura, halla m PIR
Desarrollo: B
2
P
I
A
40°
2 Q
R
C

41. Desarrollo: 10.Halla «x»
A 2
P
I
40°
2 Q
R
Por ángulos formado por bisectrices
exteriores m A 70
En el triángulo APR:
2 2 70 180
55
El ángulo pedido es:
m PIR 180
m PIR 125

42. Desarrollo:
Por ángulo exterior:
m A x
En el triángulo DBC
A
2 2 2 180
90
X+
D
Por
2
4x x
Resolviendo:
B C
X = 30°

43. 11.Halla Por ángulo formado de las
bisectrices exteriores ( ver fig )
4
Desarrollo: 90°-
B
Resolviendo:
E
D
= 22,5°
A C
90° -

44. 12.Halla «x» Por ángulo formado por una
bisectriz interior y exterior:
m D x
4x
4x
B
Desarrollo: x
C
Resolviendo:
A E X = 20°
x
D

45. 13.Halla el valor de «x» Luego:
X+
150°
x 150 360
Desarrollo:
Se observa que:
180
Resolviendo:
X+
X = 30°

46. 14.Halla «x», si PQ = PR Desarrollo:
50° 50°
120° -
Entonces:
x 120 180 X = 60°

47. 15.Halla « » si . m A m C 32
De la condición:
m A m C 32
90 2 90 32
= 32°
Desarrollo:
90°-