3. UNIDADIMAGINARIA
La unidad imaginaria es el número y se designa por la letra i.
Potenciasde unidadimaginaria
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten
de cuatro en cuatro.
Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el
exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia
equivalente a la dada.
i22
i22 = (i4)5 · i2 = − 1
4. NÚMEROS IMAGINARIOS
Un número imaginario se denota por bi, donde :
b =es un número real
i =es la unidad imaginaria
Con los números imaginarios podemos calcular
raíces con índice par y radicando negativo.
x2 + 9 = 0
5. NUMERO COMPLEJO
• Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica
.
• El número a se llama parte real del número complejo
.
• El número b se llama parte imaginaria del número complejo.
• Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
• Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.
• El conjunto de todos números complejos se designa por:
• Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.
• Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma
componente imaginaria.
6. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE NUMEROS COMPLEJOS
-
• Los números complejos no se pueden representar como puntos de una recta.
-
• Para representarlos geométricamente se procede a asociarlos biunívocamente con los puntos del plano .
-
• Medimos la parte real a de a + bi a lo largo del eje horizontal (eje real)
-
• La parte imaginaria b a lo largo del eje vertical (eje imaginario)
-
• Este proceso es el mismo q para representar un par ordenado (a,b)
-
• Así se establece la correspondencia biunívoca entre los números complejos y los puntos del plano
-
• En l a figura el vector ŌĀ se puede admitir como la representación geométrica de numero complejo
7. FORMATRIGONOMÉTRICADENUMEROCOMPLEJO
Para representarlo en forma trigonométrica ,es
necesario conocer el radio vector (r) y el ángulo o
(φ)argumento.
El radio vector r=
Geométricamente el módulo o valor absoluto es la
longitud del vector ŌĀ es decir │a+bi │=
a+bi=r(cosφ+isenφ)
= a+bi
8. TEOREMADEMOIVRE
-
• Esta fórmula es importante porque conecta a los
números complejos) con la trigonometría. La expresión
"cos φ + i senφ " a veces se abrevia como cis x.
-
• Si z es un numero complejo y n es un entero positivo
entonces un numero complejo w es una raíz n- ésimas de z
si wⁿ=z se demostrara q todo número complejo distinto
de cero tiene n raíces n- ésimas distintas.
-
• Como R-reales- están contenidos en C-complejos- se
concluye que todo numero real distinto de cero tiene n
raíces n-ésimas (complejas) distintas
9. Potencia y raíz de un numero
complejo
POTENCIA. (FÓRMULA DE MOIVRE)
Si z=(m)se verifica que: zⁿ = [(m)]ⁿ= (mⁿ)n
Expresión que escrita en forma trigonométrica:
se denomina FÓRMULA DE MOIVRE
[m(cosφ+isen φ)]ⁿ= mⁿ(cosn φ +isenn φ)
10. Uso del teorema de moivre
Representar (1+i)20
Forma trigonométrica
1+i=√2 (cosπ/4 + isenπ/4)
Aplicando el teorema de moivre
(1+i)20=(21/2)20[cos(20 . π/4)+i sen (20. π/4)]
= 2
10
(cos5 π+isen5 π)
=2
10
(-1)
=-1024
11. Teorema sobre raíces n-simas
Si z=r(cosφ+isenφ) es cualquier número complejo
de cero y si n es cualquier entero positivo,
entonces z tiene exactamente n raíces n- ésimas
distintas ,w0,w1,w2,….wn-1
Esas raíces cuando φ esta radianes son:
Para φ en grados sexagesimales:
Donde k=0,1,…..n-1
12. CALCULAR LAS CUATRO RAÍCES CUARTAS DE -8-8√3i
Representación geométrica
Forma trigonométrica
-8 -8√3i=16(cos de 240 +isen 240)
Aplicando el teorema sobre raíces n-esimas con n=4
y teniendo en cuenta que √16=2,tenemos:
Para k=0,1,2,3, esta fórmula se puede escribir como:
W k=2[ cos(60o+90ok) + i sen(60o+90ok)]
Sustituyendo 0,1,2,3 en lugar de k en (60o+90ok) :
W0=2(cos60o+isen60o) =1+√3i
W1=2(cos150o+isen150o) =-√3+i
W2=2(cos240o+isen240o) =-1-√3i
W3=2(cos330o+isen330o) =√3-i
