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1.
E問題 : 鬼畜ババ抜き 原案:井上 解答:栗田、竹内、井上 解説:竹内
2.
問題概要 ★高坂さん、園田さん、南さんの3人でババ抜きをする。 ★園田さんのカードを引く人は、園田さんの手札のカードが数字まで分かるので、 自分が有利になるようにカードを引く。 ★高坂さんと南さんのカードを引く人は、相手の手札のカードから等確率に引く。 ★引く順番は、高坂さんが南さんから、園田さんが高坂さんから、南さん が園田さんから、の順。 ★使用するカードは1~𝑛の数字が書かれたカードそれぞれ4枚ずつと ジョーカー1枚の合計4𝑛 + 1枚。 ★カードの種類数
𝑛と初期の手札が与えられるので、園田さんが負けにな らない確率を求めよ。 ★主な制約 ★1 ≤ 𝑛 ≤ 100 2
3.
★Sample 2 ★𝑛 =
1 ★Output(勝率):0.0 Sample Input 1 ★Sample 2 ★𝑛 = 1 ★Output(勝率):0.5 高 南 園 11 10 1 高 南 園 11 1 0 ※ 0はジョーカー 3
4.
考察 ★初期の手札を整理すると、同じ数字のカードは全体で0枚か2枚になる。 (誰かの手札で必ず2枚揃い、捨てられるから。) ★つまり各数字のカードは、次のパターンのうちいずれか。 A) 高坂さん、園田さんで1枚ずつ所有 B) 高坂さん、南さんで1枚ずつ所有 C)
園田さん、南さんで1枚ずつ所有 D) 誰も持っていいない ★ここまで区別すれば、これ以上各カードを区別する必要がない。 ★よって、ババ抜きの途中の各戦況は、A,B,Cの各パターンのカードが何 枚ずつあるのか(各𝑛通り)、ジョーカーを誰が持っているのか(3通 り)、誰のターンなのか(3通り)、の情報で表すことができる。 ★戦況の数は高々、𝑂 𝑛 × 𝑛 × 𝑛 × 3 × 3 = 𝑂 𝑛3 である。 4
5.
想定解法 ★各戦況での園田さんの勝率をDP(動的計画法)で計算すればよい。 ★戦況間の遷移は、ババ抜きをシミュレーションすればよく、以下の通り。 ★高坂さんのターン ★南さんから引く場合、等確率にカードを引く ★園田さんから引く場合、一意に引くカードが定まる ★園田さんのターン ★高坂さんから引く場合、等確率にカードを引く ★南さんから引く場合、等確率にカードを引く ★南さんのターン ★園田さんから引く場合、一意に引くカードが定まる ★高坂さんから引く場合、すでに園田さんは勝利している(探索打ち切り) ★計算量は𝑂 𝑛3 で
𝑛 = 100なので間に合う。 ★実装は大変になりがちだが、戦況間の遷移が複雑なのでメモ化再帰で探 索するのが楽かと思われる。 5
6.
想定解法 補足 ★戦況がループしてしまうと、探索が終わらない可能性があるが、実は ループはない。以下、簡単な証明。 ★2人でループするかどうか? ★園田さんを含む2人で勝負になった場合は、自明にループは起きない。 ★高坂さんと南さんの2人ではループは起こりうるが、既に園田さんの勝利して おり園田さん勝率には影響しないため問題ない。(それ以上、探索する必要 がない。) ★3人でループするかどうか? ★南さんのターンを考える。 ★園田さんの手札に、南さんの手札と共通のカードがある場合は、南さんはそ のカードを必ず引き、場のカードが減るのでループは起こり得ない。 ★そうでない場合、南さんが園田さんからカードを引いた後、考えられる南さ んの手札はパターンAのカード(高坂&南)とジョーカーのみである。次の高 坂さんのターンで、高坂さんがAのカードを引くと場のカードが減るのでルー プしない。一方、南さんがジョーカーを持っており、高坂さんがジョーカー を引くとループが起きるように思われるが、3人残った状態で南さんが園田さ んからジョーカーを引くことはないのでループは起きない。 6
7.
ジャッジ解 ★栗田(C++):122 行 4032
B ★竹内(C++):166 行 4912 B ★井上(C++):134 行 2742 B 7
8.
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